Цитата

Покажу таблицу для a(n) аналогичную таблице для Q(n); для a(n) указано максимальное известное на данный момент значение
_____________________________________________________________
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
______________________________________________________________
0| +oo 1 0 0 2 2 1 4 6 6 2 8 2 10 2 4 14 14 2 16
20| 2 2 2 20 2 22 2 24 2 26 2 28 30

Дополняю таблицу значениями для n= 33 - 41.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
______________________________________________________________
0| +oo 1 0 0 2 2 1 4 6 6 2 8 2 10 2 4 14 14 2 16
20| 2 2 2 20 2 22 2 24 2 26 2 28 30 2 2 2 6 34 2 2
40| 2 38

По команде

sage: for x in designs.mutually_orthogonal_latin_squares(5,42): print(x,'\n')

получаю группу MOLS 42-го порядка из 5 ЛК

16 8 40 29 23 30 21 20 2 11 7 10 35 34 37 3 12 9 26 19 32 38 1 36 25 28 24 33 15 14 5 41 6 39 27 18 17 31 4 13 22 0
28 17 9 40 30 24 31 22 21 3 12 8 11 35 0 37 4 13 10 27 20 33 38 2 36 26 29 25 34 16 15 6 41 7 39 19 18 32 5 14 23 1
39 29 18 10 40 31 25 32 23 22 4 13 9 12 35 1 37 5 14 11 28 21 34 38 3 36 27 30 26 0 17 16 7 41 8 20 19 33 6 15 24 2
9 39 30 19 11 40 32 26 33 24 23 5 14 10 13 35 2 37 6 15 12 29 22 0 38 4 36 28 31 27 1 18 17 8 41 21 20 34 7 16 25 3
41 10 39 31 20 12 40 33 27 34 25 24 6 15 11 14 35 3 37 7 16 13 30 23 1 38 5 36 29 32 28 2 19 18 9 22 21 0 8 17 26 4
10 41 11 39 32 21 13 40 34 28 0 26 25 7 16 12 15 35 4 37 8 17 14 31 24 2 38 6 36 30 33 29 3 20 19 23 22 1 9 18 27 5
20 11 41 12 39 33 22 14 40 0 29 1 27 26 8 17 13 16 35 5 37 9 18 15 32 25 3 38 7 36 31 34 30 4 21 24 23 2 10 19 28 6
22 21 12 41 13 39 34 23 15 40 1 30 2 28 27 9 18 14 17 35 6 37 10 19 16 33 26 4 38 8 36 32 0 31 5 25 24 3 11 20 29 7
6 23 22 13 41 14 39 0 24 16 40 2 31 3 29 28 10 19 15 18 35 7 37 11 20 17 34 27 5 38 9 36 33 1 32 26 25 4 12 21 30 8
33 7 24 23 14 41 15 39 1 25 17 40 3 32 4 30 29 11 20 16 19 35 8 37 12 21 18 0 28 6 38 10 36 34 2 27 26 5 13 22 31 9
3 34 8 25 24 15 41 16 39 2 26 18 40 4 33 5 31 30 12 21 17 20 35 9 37 13 22 19 1 29 7 38 11 36 0 28 27 6 14 23 32 10
1 4 0 9 26 25 16 41 17 39 3 27 19 40 5 34 6 32 31 13 22 18 21 35 10 37 14 23 20 2 30 8 38 12 36 29 28 7 15 24 33 11
36 2 5 1 10 27 26 17 41 18 39 4 28 20 40 6 0 7 33 32 14 23 19 22 35 11 37 15 24 21 3 31 9 38 13 30 29 8 16 25 34 12
14 36 3 6 2 11 28 27 18 41 19 39 5 29 21 40 7 1 8 34 33 15 24 20 23 35 12 37 16 25 22 4 32 10 38 31 30 9 17 26 0 13
38 15 36 4 7 3 12 29 28 19 41 20 39 6 30 22 40 8 2 9 0 34 16 25 21 24 35 13 37 17 26 23 5 33 11 32 31 10 18 27 1 14
12 38 16 36 5 8 4 13 30 29 20 41 21 39 7 31 23 40 9 3 10 1 0 17 26 22 25 35 14 37 18 27 24 6 34 33 32 11 19 28 2 15
0 13 38 17 36 6 9 5 14 31 30 21 41 22 39 8 32 24 40 10 4 11 2 1 18 27 23 26 35 15 37 19 28 25 7 34 33 12 20 29 3 16
8 1 14 38 18 36 7 10 6 15 32 31 22 41 23 39 9 33 25 40 11 5 12 3 2 19 28 24 27 35 16 37 20 29 26 0 34 13 21 30 4 17
27 9 2 15 38 19 36 8 11 7 16 33 32 23 41 24 39 10 34 26 40 12 6 13 4 3 20 29 25 28 35 17 37 21 30 1 0 14 22 31 5 18
31 28 10 3 16 38 20 36 9 12 8 17 34 33 24 41 25 39 11 0 27 40 13 7 14 5 4 21 30 26 29 35 18 37 22 2 1 15 23 32 6 19
23 32 29 11 4 17 38 21 36 10 13 9 18 0 34 25 41 26 39 12 1 28 40 14 8 15 6 5 22 31 27 30 35 19 37 3 2 16 24 33 7 20
37 24 33 30 12 5 18 38 22 36 11 14 10 19 1 0 26 41 27 39 13 2 29 40 15 9 16 7 6 23 32 28 31 35 20 4 3 17 25 34 8 21
21 37 25 34 31 13 6 19 38 23 36 12 15 11 20 2 1 27 41 28 39 14 3 30 40 16 10 17 8 7 24 33 29 32 35 5 4 18 26 0 9 22
35 22 37 26 0 32 14 7 20 38 24 36 13 16 12 21 3 2 28 41 29 39 15 4 31 40 17 11 18 9 8 25 34 30 33 6 5 19 27 1 10 23
34 35 23 37 27 1 33 15 8 21 38 25 36 14 17 13 22 4 3 29 41 30 39 16 5 32 40 18 12 19 10 9 26 0 31 7 6 20 28 2 11 24
32 0 35 24 37 28 2 34 16 9 22 38 26 36 15 18 14 23 5 4 30 41 31 39 17 6 33 40 19 13 20 11 10 27 1 8 7 21 29 3 12 25
2 33 1 35 25 37 29 3 0 17 10 23 38 27 36 16 19 15 24 6 5 31 41 32 39 18 7 34 40 20 14 21 12 11 28 9 8 22 30 4 13 26
29 3 34 2 35 26 37 30 4 1 18 11 24 38 28 36 17 20 16 25 7 6 32 41 33 39 19 8 0 40 21 15 22 13 12 10 9 23 31 5 14 27
13 30 4 0 3 35 27 37 31 5 2 19 12 25 38 29 36 18 21 17 26 8 7 33 41 34 39 20 9 1 40 22 16 23 14 11 10 24 32 6 15 28
15 14 31 5 1 4 35 28 37 32 6 3 20 13 26 38 30 36 19 22 18 27 9 8 34 41 0 39 21 10 2 40 23 17 24 12 11 25 33 7 16 29
25 16 15 32 6 2 5 35 29 37 33 7 4 21 14 27 38 31 36 20 23 19 28 10 9 0 41 1 39 22 11 3 40 24 18 13 12 26 34 8 17 30
19 26 17 16 33 7 3 6 35 30 37 34 8 5 22 15 28 38 32 36 21 24 20 29 11 10 1 41 2 39 23 12 4 40 25 14 13 27 0 9 18 31
26 20 27 18 17 34 8 4 7 35 31 37 0 9 6 23 16 29 38 33 36 22 25 21 30 12 11 2 41 3 39 24 13 5 40 15 14 28 1 10 19 32
40 27 21 28 19 18 0 9 5 8 35 32 37 1 10 7 24 17 30 38 34 36 23 26 22 31 13 12 3 41 4 39 25 14 6 16 15 29 2 11 20 33
7 40 28 22 29 20 19 1 10 6 9 35 33 37 2 11 8 25 18 31 38 0 36 24 27 23 32 14 13 4 41 5 39 26 15 17 16 30 3 12 21 34
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 35 37 39 41 36 38 40
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 36 38 40 35 37 39
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40 35 37 39 41 36 38
24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 39 41 36 38 40 35 37
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 0 1 2 3 4 38 40 35 37 39 41 36
30 31 32 33 34 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 37 39 41 36 38 40 35
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 0 1 2 3 36 38 40 35 37 39 41 

12 21 24 27 23 33 9 6 22 40 16 3 30 38 10 36 41 15 20 0 35 25 37 5 32 19 39 13 29 26 2 31 8 11 14 1 34 7 28 18 17 4
15 13 22 25 28 24 34 10 7 23 40 17 4 31 38 11 36 41 16 21 1 35 26 37 6 33 20 39 14 30 27 3 32 9 12 2 0 8 29 19 18 5
13 16 14 23 26 29 25 0 11 8 24 40 18 5 32 38 12 36 41 17 22 2 35 27 37 7 34 21 39 15 31 28 4 33 10 3 1 9 30 20 19 6
11 14 17 15 24 27 30 26 1 12 9 25 40 19 6 33 38 13 36 41 18 23 3 35 28 37 8 0 22 39 16 32 29 5 34 4 2 10 31 21 20 7
0 12 15 18 16 25 28 31 27 2 13 10 26 40 20 7 34 38 14 36 41 19 24 4 35 29 37 9 1 23 39 17 33 30 6 5 3 11 32 22 21 8
7 1 13 16 19 17 26 29 32 28 3 14 11 27 40 21 8 0 38 15 36 41 20 25 5 35 30 37 10 2 24 39 18 34 31 6 4 12 33 23 22 9
32 8 2 14 17 20 18 27 30 33 29 4 15 12 28 40 22 9 1 38 16 36 41 21 26 6 35 31 37 11 3 25 39 19 0 7 5 13 34 24 23 10
1 33 9 3 15 18 21 19 28 31 34 30 5 16 13 29 40 23 10 2 38 17 36 41 22 27 7 35 32 37 12 4 26 39 20 8 6 14 0 25 24 11
21 2 34 10 4 16 19 22 20 29 32 0 31 6 17 14 30 40 24 11 3 38 18 36 41 23 28 8 35 33 37 13 5 27 39 9 7 15 1 26 25 12
39 22 3 0 11 5 17 20 23 21 30 33 1 32 7 18 15 31 40 25 12 4 38 19 36 41 24 29 9 35 34 37 14 6 28 10 8 16 2 27 26 13
29 39 23 4 1 12 6 18 21 24 22 31 34 2 33 8 19 16 32 40 26 13 5 38 20 36 41 25 30 10 35 0 37 15 7 11 9 17 3 28 27 14
8 30 39 24 5 2 13 7 19 22 25 23 32 0 3 34 9 20 17 33 40 27 14 6 38 21 36 41 26 31 11 35 1 37 16 12 10 18 4 29 28 15
17 9 31 39 25 6 3 14 8 20 23 26 24 33 1 4 0 10 21 18 34 40 28 15 7 38 22 36 41 27 32 12 35 2 37 13 11 19 5 30 29 16
37 18 10 32 39 26 7 4 15 9 21 24 27 25 34 2 5 1 11 22 19 0 40 29 16 8 38 23 36 41 28 33 13 35 3 14 12 20 6 31 30 17
4 37 19 11 33 39 27 8 5 16 10 22 25 28 26 0 3 6 2 12 23 20 1 40 30 17 9 38 24 36 41 29 34 14 35 15 13 21 7 32 31 18
35 5 37 20 12 34 39 28 9 6 17 11 23 26 29 27 1 4 7 3 13 24 21 2 40 31 18 10 38 25 36 41 30 0 15 16 14 22 8 33 32 19
16 35 6 37 21 13 0 39 29 10 7 18 12 24 27 30 28 2 5 8 4 14 25 22 3 40 32 19 11 38 26 36 41 31 1 17 15 23 9 34 33 20
2 17 35 7 37 22 14 1 39 30 11 8 19 13 25 28 31 29 3 6 9 5 15 26 23 4 40 33 20 12 38 27 36 41 32 18 16 24 10 0 34 21
33 3 18 35 8 37 23 15 2 39 31 12 9 20 14 26 29 32 30 4 7 10 6 16 27 24 5 40 34 21 13 38 28 36 41 19 17 25 11 1 0 22
41 34 4 19 35 9 37 24 16 3 39 32 13 10 21 15 27 30 33 31 5 8 11 7 17 28 25 6 40 0 22 14 38 29 36 20 18 26 12 2 1 23
36 41 0 5 20 35 10 37 25 17 4 39 33 14 11 22 16 28 31 34 32 6 9 12 8 18 29 26 7 40 1 23 15 38 30 21 19 27 13 3 2 24
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41 39 4 30 13 34 1 37 11 24 9 25 31 36 35 27 2 18 3 16 38 26 28 14 32 23 40 15 21 5 20 12 7 22 6 19 8 17 10 33 29 0
7 41 39 5 31 14 0 2 37 12 25 10 26 32 36 35 28 3 19 4 17 38 27 29 15 33 24 40 16 22 6 21 13 8 23 20 9 18 11 34 30 1
24 8 41 39 6 32 15 1 3 37 13 26 11 27 33 36 35 29 4 20 5 18 38 28 30 16 34 25 40 17 23 7 22 14 9 21 10 19 12 0 31 2
10 25 9 41 39 7 33 16 2 4 37 14 27 12 28 34 36 35 30 5 21 6 19 38 29 31 17 0 26 40 18 24 8 23 15 22 11 20 13 1 32 3
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 41 40 39 38 37 36
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 37 36 35 41 40 39 38
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 0 1 2 3 39 38 37 36 35 41 40
31 32 33 34 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 41 40 39 38 37 36 35
22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 36 35 41 40 39 38 37
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 38 37 36 35 41 40 39
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 40 39 38 37 36 35 41

Из 6 ЛК программа не знает группу MOLS данного порядка.
В показанной группе нет ДЛК.
Ортогональная пара ДЛК 42-го порядка у нас есть, покажу её дальше.
Поэтому можем сказать: a(42)>=2.

Цитирую это сообщение
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=162&postid=5813

Ортогональная пара ДЛК 42-го порядка, построенная методом Пелегрино-Ланселотти по программе Чернова
(с использованием найденной мной ортогональной пары ДЛК 14-го порядка)

15 10 2 3 4 5 6 8 0 13 12 11 1 9 7 23 17 18 19 20 21 14 27 26 25 24 16 30 36 35 41 29 32 33 39 31 37 38 40 34 28 22 
1 17 12 4 5 6 7 9 8 0 13 3 11 10 16 2 25 19 20 21 15 22 14 27 26 18 34 23 28 41 40 32 33 39 36 30 31 37 38 29 24 35 
2 3 19 0 6 7 1 10 9 8 5 13 12 11 17 18 4 27 21 15 16 23 22 14 20 38 25 24 41 29 32 37 39 36 28 35 30 31 33 26 40 34 
3 4 5 21 9 1 2 11 10 7 8 0 13 12 18 19 20 6 22 16 17 24 23 15 31 27 26 25 29 32 33 39 30 28 41 34 35 36 14 37 38 40 
4 5 6 7 16 11 3 12 2 10 9 8 0 13 19 20 21 15 1 24 18 25 17 35 22 14 27 26 32 33 39 36 28 34 29 40 41 23 30 31 37 38 
5 6 7 1 2 18 13 4 12 11 10 9 8 0 20 21 15 16 17 3 26 19 40 24 23 22 14 27 33 39 36 28 41 29 38 32 25 34 35 30 31 37 
8 7 1 2 3 4 20 0 13 12 11 10 9 6 14 15 16 17 18 19 5 37 26 25 24 23 22 21 31 36 28 41 29 32 33 27 38 40 34 35 30 39 
0 8 9 10 11 12 4 26 3 2 1 7 6 5 27 14 22 23 24 25 32 13 18 17 16 15 21 20 37 31 30 35 34 40 19 38 29 41 28 36 39 33 
13 0 8 9 10 2 12 3 24 1 7 6 5 4 26 27 14 22 23 41 25 18 11 16 15 21 20 19 38 37 31 30 35 17 40 29 34 28 36 39 33 32 
12 13 0 8 7 10 11 2 1 22 6 5 4 3 25 26 27 14 36 23 24 17 16 9 21 20 19 18 40 38 37 31 15 35 34 41 28 30 39 33 32 29 
11 12 13 5 8 9 10 1 7 6 27 4 3 2 24 25 26 33 14 22 23 16 15 21 0 19 18 17 34 40 38 20 31 30 35 28 36 39 37 32 29 41 
10 11 3 13 0 8 9 7 6 5 4 25 2 1 23 24 29 26 27 14 22 15 21 20 19 12 17 16 35 34 18 38 37 31 30 36 39 33 32 40 41 28 
9 1 11 12 13 0 8 6 5 4 3 2 23 7 22 28 24 25 26 27 14 21 20 19 18 17 10 15 30 16 34 40 38 37 31 39 33 32 29 41 35 36 
6 9 10 11 12 13 0 5 4 3 2 1 7 14 39 22 23 24 25 26 27 20 19 18 17 16 15 8 21 30 35 34 40 38 37 33 32 29 41 28 36 31 
21 15 22 16 23 24 18 19 25 20 39 14 26 17 29 37 31 32 33 34 35 28 41 40 27 11 30 36 5 12 13 6 7 9 8 3 4 10 1 38 0 2 
26 22 27 23 24 35 21 17 19 25 20 16 14 15 30 31 39 7 34 18 29 36 28 41 40 32 38 37 0 13 1 33 9 8 5 2 3 4 10 6 11 12 
22 16 23 25 18 21 26 15 17 19 24 20 27 38 31 32 33 41 35 29 30 12 36 28 34 40 39 14 13 6 7 4 8 5 0 37 2 3 9 10 1 11 
16 23 24 18 17 26 22 14 15 21 19 41 20 27 32 33 34 35 2 30 31 38 37 29 28 25 40 39 6 7 9 8 36 0 13 11 12 5 3 4 10 1 
23 24 18 29 26 14 16 27 22 15 17 19 25 20 33 34 35 21 30 38 6 39 31 37 36 28 41 40 7 9 8 5 0 11 32 1 13 12 2 3 4 10 
24 18 21 26 22 16 40 23 27 14 15 17 19 25 34 35 5 30 31 32 20 33 39 38 37 36 28 41 9 8 29 0 13 6 10 7 1 11 12 2 3 4 
19 21 26 22 32 23 24 25 20 27 14 15 17 18 28 29 30 31 16 33 34 41 10 39 38 37 36 35 3 5 0 13 6 7 9 4 40 1 11 12 2 8 
25 19 17 15 14 27 23 20 16 31 26 21 18 24 41 3 36 37 38 39 33 40 32 22 30 29 35 34 4 28 2 12 11 1 7 10 6 13 0 5 8 9 
20 25 28 17 15 22 27 16 14 26 21 18 24 23 40 41 19 36 37 31 39 32 38 30 29 35 9 33 10 4 3 2 12 13 1 6 11 0 5 8 34 7 
27 20 25 19 21 15 14 22 26 17 18 24 33 16 1 40 41 28 29 37 38 31 30 36 35 34 23 32 39 10 4 3 5 12 11 13 0 2 8 9 7 6 
14 27 20 24 19 17 15 30 21 18 25 23 16 22 38 39 40 34 28 36 37 26 29 8 41 33 32 31 11 1 10 9 3 2 12 0 5 35 4 7 6 13 
37 14 16 20 25 19 17 21 18 24 23 27 22 26 15 38 32 40 41 28 36 29 35 34 33 39 31 0 12 11 6 10 4 3 2 5 8 9 7 1 13 30 
17 26 14 27 20 25 19 18 34 23 16 22 15 21 36 30 38 39 40 4 28 35 24 33 32 31 37 29 2 0 11 1 10 41 3 8 9 7 6 13 12 5 
18 36 15 14 27 20 25 24 23 16 22 26 21 19 35 17 37 38 39 40 41 34 33 32 13 30 29 28 8 2 12 11 1 10 4 9 7 6 31 0 5 3 
32 31 35 28 40 29 37 39 30 41 34 33 36 8 21 9 3 4 5 6 7 0 13 12 11 10 2 38 1 24 16 17 18 19 20 22 14 27 26 25 15 23 
36 35 34 40 29 37 32 38 39 30 41 28 10 31 2 16 11 5 6 7 1 8 0 13 12 4 33 9 15 3 26 18 19 20 21 23 22 14 27 17 25 24 
35 28 40 30 37 32 36 31 38 39 29 12 34 33 3 4 18 13 7 1 2 9 8 0 6 41 11 10 16 17 5 14 20 21 15 24 23 22 19 27 26 25 
28 40 29 37 38 36 35 33 31 32 0 30 41 34 4 5 6 20 8 2 3 10 9 1 39 13 12 11 17 18 19 7 23 15 16 25 24 21 22 14 27 26 
40 29 37 32 36 33 28 34 35 9 38 39 30 41 5 6 7 1 15 10 4 11 3 31 8 0 13 12 18 19 20 21 2 25 17 26 16 24 23 22 14 27 
29 37 32 36 35 28 41 40 11 33 31 38 39 30 6 7 1 2 3 17 12 5 34 10 9 8 0 13 19 20 21 15 16 4 27 18 26 25 24 23 22 14 
39 32 36 35 28 40 29 13 41 34 33 31 38 37 0 1 2 3 4 5 19 30 12 11 10 9 8 7 22 21 15 16 17 18 6 14 27 26 25 24 23 20 
30 39 38 31 33 34 5 41 28 35 36 32 37 29 13 0 8 9 10 11 40 27 4 3 2 1 7 6 14 22 23 24 25 26 18 12 17 16 15 21 20 19 
41 30 39 38 31 3 34 28 33 36 32 37 29 40 12 13 0 8 9 35 11 4 25 2 1 7 6 5 27 14 22 23 24 16 26 17 10 15 21 20 19 18 
34 41 30 39 1 31 33 35 36 38 37 29 40 28 11 12 13 0 32 9 10 3 2 23 7 6 5 4 26 27 14 22 21 24 25 16 15 8 20 19 18 17 
33 34 41 6 39 38 31 36 32 37 30 40 28 35 10 11 12 29 0 8 9 2 1 7 14 5 4 3 25 26 27 19 22 23 24 15 21 20 13 18 17 16 
31 33 4 41 30 39 38 32 37 29 40 34 35 36 9 10 28 12 13 0 8 1 7 6 5 26 3 2 24 25 17 27 14 22 23 21 20 19 18 11 16 15 
38 2 33 34 41 30 39 37 29 40 28 35 31 32 8 36 10 11 12 13 0 7 6 5 4 3 24 1 23 15 25 26 27 14 22 20 19 18 17 16 9 21 
7 38 31 33 34 41 30 29 40 28 35 36 32 39 37 8 9 10 11 12 13 6 5 4 3 2 1 22 20 23 24 25 26 27 14 19 18 17 16 15 21 0 

28 7 11 8 5 6 3 4 1 2 9 12 0 10 13 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 22 27 26 15 21 25 16 18 14 23 19 17 20 24 41 
8 34 13 6 9 5 10 2 11 4 0 7 1 12 31 3 28 33 38 32 41 37 30 35 40 29 23 39 21 18 27 16 17 25 22 19 15 14 24 26 36 20 
1 13 38 12 0 2 6 11 5 10 8 3 4 7 36 28 9 39 40 37 33 30 32 41 31 18 35 29 23 27 17 20 24 19 16 15 25 22 21 34 14 26 
2 4 1 29 3 9 12 10 0 11 13 6 5 8 37 35 36 7 34 38 39 41 40 30 27 33 32 31 19 14 23 26 18 17 20 22 24 15 28 16 25 21 
3 2 10 4 30 13 1 12 9 5 7 0 8 6 34 37 41 35 11 28 36 39 38 25 29 40 31 33 18 19 22 14 15 27 23 20 17 32 26 24 21 16 
12 1 8 5 10 35 13 0 2 9 6 11 7 3 39 36 31 32 41 4 28 40 19 38 33 30 29 34 20 23 21 25 22 14 27 24 37 17 16 15 26 18 
6 5 7 2 12 10 40 9 4 1 3 8 13 11 33 32 29 37 39 41 0 17 35 36 34 31 28 30 16 25 26 19 20 22 24 38 14 23 18 21 27 15 
11 9 6 13 2 3 7 31 10 0 4 1 12 5 30 38 33 28 37 34 26 8 41 40 35 36 39 32 15 17 16 27 19 18 29 21 22 24 14 23 20 25 
7 0 2 1 4 8 11 5 33 3 12 9 10 13 29 40 37 36 35 21 30 32 6 34 39 38 41 28 26 24 19 23 14 31 15 25 16 18 20 17 22 27 
0 10 5 3 6 1 8 7 13 39 2 4 11 9 40 41 32 34 16 36 31 29 28 12 37 35 30 38 24 22 25 18 33 23 21 26 27 20 19 14 15 17 
5 6 12 11 8 0 9 1 7 13 41 2 3 4 32 33 39 15 31 40 38 36 29 28 10 37 34 35 25 16 20 30 21 24 17 23 26 27 22 19 18 14 
10 11 0 9 13 12 4 3 8 7 1 32 6 2 41 30 24 38 28 39 35 34 31 29 36 5 33 37 22 15 40 17 27 20 14 18 21 26 23 25 16 19 
9 12 4 10 1 7 5 6 3 8 11 13 37 0 38 20 35 41 36 29 32 33 34 31 30 28 2 40 17 39 14 22 23 26 25 16 18 21 15 27 19 24 
4 8 3 0 7 11 2 13 12 6 5 10 9 36 14 31 34 40 29 30 37 28 39 33 32 41 38 1 35 21 18 24 26 15 19 27 20 16 25 22 17 23 
15 27 22 25 17 20 23 16 24 26 10 19 18 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 34 12 13 32 31 38 40 28 30 33 37 29 41 39 11 35 36 
25 23 15 20 14 4 21 26 22 16 18 27 24 19 3 6 0 30 10 17 13 9 2 7 12 1 8 11 40 33 32 5 39 28 36 41 38 37 35 31 29 34 
24 15 14 19 18 26 20 22 17 21 25 23 16 1 8 0 10 11 12 9 5 38 4 13 3 6 7 27 29 32 39 34 35 41 30 2 28 36 40 33 37 31 
26 16 24 27 23 14 19 21 18 22 15 5 17 25 9 7 8 1 33 10 11 13 12 2 0 20 4 3 41 37 29 31 6 39 34 36 35 38 32 30 28 40 
23 26 21 7 22 15 24 19 14 17 27 18 25 20 6 9 13 16 2 0 29 11 10 4 1 12 3 5 33 41 36 37 38 32 8 34 39 28 31 35 40 30 
19 24 25 17 21 16 0 18 26 14 20 22 27 23 11 8 40 4 13 7 15 12 9 10 5 2 1 6 34 29 3 28 36 37 32 35 41 39 30 38 31 33 
20 17 27 26 11 21 18 14 16 24 23 25 15 22 5 4 1 9 19 13 12 10 37 8 6 3 0 2 30 28 31 41 34 36 35 39 7 29 33 40 32 38 
22 14 20 15 26 23 27 25 21 12 16 24 19 17 2 39 5 0 9 6 1 3 13 18 7 8 11 4 38 10 30 32 41 33 31 40 36 35 37 29 34 28 
27 18 9 24 16 25 22 17 20 23 19 14 21 15 1 12 26 8 7 3 2 4 5 6 11 10 36 0 31 35 41 29 37 40 38 28 30 33 34 39 13 32 
18 21 17 23 20 24 25 27 15 19 26 16 2 14 35 13 4 6 5 8 3 1 0 11 9 7 22 10 12 36 28 33 30 29 40 31 32 34 41 37 38 39 
17 20 19 22 25 18 14 8 27 15 21 26 23 16 4 5 11 2 3 12 10 24 1 32 13 9 6 7 28 30 34 38 40 35 39 29 31 0 36 41 33 37 
13 22 18 14 15 19 16 23 25 27 24 17 20 26 21 2 12 10 0 11 7 6 3 1 8 4 5 41 36 38 35 39 32 34 37 33 40 31 29 28 30 9 
14 19 16 21 24 27 17 20 6 25 22 15 26 18 10 11 7 13 8 31 4 5 23 3 2 0 9 12 39 34 37 36 29 1 28 30 33 40 38 32 41 35 
16 3 23 18 27 22 26 15 19 20 17 21 14 24 7 25 6 12 1 2 9 0 11 5 28 13 10 8 37 40 33 35 31 38 41 32 34 30 4 36 39 29 
41 40 29 35 39 30 32 28 37 33 31 34 38 27 12 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 36 14 5 6 2 11 7 10 1 9 13 3 0 8 4 
35 32 41 30 31 39 36 33 29 28 38 40 22 34 17 10 14 19 24 18 27 23 16 21 26 15 37 25 2 20 12 7 3 11 4 13 6 1 8 5 9 0 
37 41 31 34 38 33 30 29 39 36 35 20 28 40 22 14 3 25 26 23 19 16 18 27 17 32 21 15 9 12 24 0 8 13 7 6 11 4 2 10 1 5 
33 28 37 40 32 31 34 36 38 29 14 30 39 35 23 21 22 5 20 24 25 27 26 16 41 19 18 17 13 1 9 15 10 3 0 4 8 6 12 7 11 2 
32 33 36 28 29 41 37 34 31 18 40 38 35 30 20 23 27 21 6 14 22 25 24 39 15 26 17 19 10 13 4 1 16 12 9 0 3 11 5 8 2 7 
34 37 35 39 36 28 41 38 23 31 30 29 40 32 25 22 17 18 27 1 14 26 33 24 19 16 15 20 0 9 2 11 4 21 12 8 13 3 7 6 5 10 
30 39 40 33 34 36 38 24 28 37 32 35 41 29 19 18 15 23 25 27 8 31 21 22 20 17 14 16 7 11 5 13 0 4 26 3 1 9 10 2 12 6 
29 31 30 41 33 32 15 35 36 38 28 37 34 39 16 24 19 14 23 20 40 2 27 26 21 22 25 18 6 3 7 12 13 10 5 17 4 8 1 9 0 11 
40 38 33 37 28 17 29 39 30 32 34 31 36 41 15 26 23 22 21 35 16 18 7 20 25 24 27 14 5 8 13 9 1 2 6 11 19 10 0 3 4 12 
38 36 39 32 19 37 35 40 41 34 33 28 29 31 26 27 18 20 30 22 17 15 14 0 23 21 16 24 8 4 11 10 7 9 2 5 12 25 13 1 6 3 
39 30 34 16 35 38 31 37 40 41 36 33 32 28 18 19 25 29 17 26 24 22 15 14 4 23 20 21 11 7 0 6 2 8 3 9 5 12 27 13 10 1 
36 29 26 31 41 34 28 32 35 40 37 39 30 33 27 16 38 24 14 25 21 20 17 15 22 11 19 23 4 6 8 3 12 0 1 10 2 5 9 18 7 13 
31 25 28 36 37 40 39 30 32 35 29 41 33 38 24 34 21 27 22 15 18 19 20 17 16 14 13 26 3 0 1 4 9 5 11 7 10 2 6 12 23 8 
21 35 32 38 40 29 33 41 34 30 39 36 31 37 28 17 20 26 15 16 23 14 25 19 18 27 24 9 1 2 10 8 5 6 13 12 0 7 11 4 3 22

Ну, и для порядка 43 всё понятно, так как простое число.
Добавляю в таблицу ещё два значения - для порядков 42, 43.

Таблица известных максимальных значений a(n) последовательности OEIS https://oeis.org/A328873

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
______________________________________________________________
0| +oo 1 0 0 2 2 1 4 6 6 2 8 2 10 2 4 14 14 2 16
20| 2 2 2 20 2 22 2 24 2 26 2 28 30 2 2 2 6 34 2 2
40| 2 38 2 40

На этом пока останавливаю представленное исследование групп MOLS и MODLS.
Кому интересно, может продолжить.

Цитата

PS. Построить ортогональную пару ДЛК 40-го порядка очень просто методом составных квадратов (40=5*8).

И не только 40=5*8 :)
Есть ещё другое разложение на множители: 40=4*10.
Сейчас покажу историческую ортогональную пару ДЛК 40-го порядка, потому что построю её на основе исторического ДЛК Брауна

0 8 5 1 7 3 4 6 9 2
5 1 7 2 9 8 0 3 4 6
1 7 2 9 5 6 8 0 3 4
9 6 4 3 0 2 7 1 5 8
3 0 8 6 4 1 5 9 2 7
4 3 0 8 6 5 9 2 7 1
7 2 9 5 1 4 6 8 0 3
6 4 3 0 8 9 2 7 1 5
2 9 6 4 3 7 1 5 8 0
8 5 1 7 2 0 3 4 6 9

Этот ДЛК симметричный по Гергели/Брауну (осевая вертикальная симметрия) и ещё является "брауном" (это свойство и названо по этому историческому квадрату; оно означает, что каждая строка ДЛК имеет в этом ДЛК и свою реверсивную строку).
У этого ДЛК есть 4 ортогональных диагональных соквадрата, вот они (получены программой Белышева ortogon_u)

4 6 5 0 3 7 8 9 2 1
9 5 1 3 7 0 6 2 4 8
1 2 7 6 0 4 9 3 8 5
5 3 2 9 8 6 0 4 1 7
0 7 4 2 6 8 3 1 5 9
3 1 9 8 5 2 4 0 7 6
6 4 8 7 2 9 1 5 0 3
7 0 6 5 1 3 2 8 9 4
8 9 0 1 4 5 7 6 3 2
2 8 3 4 9 1 5 7 6 0

6 4 5 7 8 0 2 9 1 3
4 2 3 5 6 7 9 1 0 8
3 1 7 8 0 6 5 4 2 9
7 0 1 9 5 4 6 8 3 2
5 3 0 1 4 9 8 2 6 7
8 6 2 3 7 1 4 0 9 5
0 8 9 2 1 5 3 6 7 4
2 7 8 0 9 3 1 5 4 6
9 5 4 6 3 2 0 7 8 1
1 9 6 4 2 8 7 3 5 0

3 1 6 7 5 8 9 2 4 0
7 0 1 4 9 5 8 3 2 6
2 7 8 6 0 9 4 5 1 3
5 3 0 9 4 7 6 1 8 2
6 2 3 8 7 4 1 0 5 9
4 5 9 0 1 2 7 6 3 8
8 9 2 3 6 1 5 7 0 4
0 6 7 1 8 3 2 4 9 5
1 8 4 5 2 0 3 9 6 7
9 4 5 2 3 6 0 8 7 1

3 2 6 4 1 7 8 5 9 0
7 1 2 6 8 0 5 3 4 9
6 4 9 5 0 1 7 8 2 3
4 3 7 0 9 5 6 2 1 8
8 0 4 7 6 9 2 1 3 5
5 6 1 9 2 8 3 4 0 7
9 8 0 3 5 2 4 6 7 1
0 9 5 2 3 6 1 7 8 4
2 7 8 1 4 3 0 9 5 6
1 5 3 8 7 4 9 0 6 2

Таким образом, мы имеем 4 ортогональные пары ДЛК 10-го порядка.
Любую из них можно выбрать для построения ортогональной пары ДЛК 40-го порядка.
Я возьму первую ортогональную пару

0 8 5 1 7 3 4 6 9 2
5 1 7 2 9 8 0 3 4 6
1 7 2 9 5 6 8 0 3 4
9 6 4 3 0 2 7 1 5 8
3 0 8 6 4 1 5 9 2 7
4 3 0 8 6 5 9 2 7 1
7 2 9 5 1 4 6 8 0 3
6 4 3 0 8 9 2 7 1 5
2 9 6 4 3 7 1 5 8 0
8 5 1 7 2 0 3 4 6 9

4 6 5 0 3 7 8 9 2 1
9 5 1 3 7 0 6 2 4 8
1 2 7 6 0 4 9 3 8 5
5 3 2 9 8 6 0 4 1 7
0 7 4 2 6 8 3 1 5 9
3 1 9 8 5 2 4 0 7 6
6 4 8 7 2 9 1 5 0 3
7 0 6 5 1 3 2 8 9 4
8 9 0 1 4 5 7 6 3 2
2 8 3 4 9 1 5 7 6 0

В качестве базовой возьмём следующую ортогональную пару ДЛК 4-го порядка

0 3 2 1
2 1 0 3
1 2 3 0
3 0 1 2

0 1 2 3
3 2 1 0
1 0 3 2
2 3 0 1

Эти ДЛК имеют кучу свойств

Order? 4

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_8.txt

Counts
------
         2 diagonal Latin
         2 weakly pandiagonal
         2 double axial symmetric
         2 center symmetric
         1 nfr
         1 orthogonal pair
         2 self-orthogonal

Сейчас построю историческую ортогональную пару ДЛК 40-го порядка.

Имея огромную БД КФ ОДЛК 10-го порядка (на данный момент примерно 15 миллионов), представьте, сколько мы можем построить ортогональных пар ДЛК 40-го порядка.

Итак, встречайте историческую ортогональную пару ДЛК 40-го порядка

0  8  5  1  7  3  4  6  9  2 30 38 35 31 37 33 34 36 39 32 20 28 25 21 27 23 24 26 29 22 10 18 15 11 17 13 14 16 19 12
5  1  7  2  9  8  0  3  4  6 35 31 37 32 39 38 30 33 34 36 25 21 27 22 29 28 20 23 24 26 15 11 17 12 19 18 10 13 14 16
1  7  2  9  5  6  8  0  3  4 31 37 32 39 35 36 38 30 33 34 21 27 22 29 25 26 28 20 23 24 11 17 12 19 15 16 18 10 13 14
9  6  4  3  0  2  7  1  5  8 39 36 34 33 30 32 37 31 35 38 29 26 24 23 20 22 27 21 25 28 19 16 14 13 10 12 17 11 15 18
3  0  8  6  4  1  5  9  2  7 33 30 38 36 34 31 35 39 32 37 23 20 28 26 24 21 25 29 22 27 13 10 18 16 14 11 15 19 12 17
4  3  0  8  6  5  9  2  7  1 34 33 30 38 36 35 39 32 37 31 24 23 20 28 26 25 29 22 27 21 14 13 10 18 16 15 19 12 17 11
7  2  9  5  1  4  6  8  0  3 37 32 39 35 31 34 36 38 30 33 27 22 29 25 21 24 26 28 20 23 17 12 19 15 11 14 16 18 10 13
6  4  3  0  8  9  2  7  1  5 36 34 33 30 38 39 32 37 31 35 26 24 23 20 28 29 22 27 21 25 16 14 13 10 18 19 12 17 11 15
2  9  6  4  3  7  1  5  8  0 32 39 36 34 33 37 31 35 38 30 22 29 26 24 23 27 21 25 28 20 12 19 16 14 13 17 11 15 18 10
8  5  1  7  2  0  3  4  6  9 38 35 31 37 32 30 33 34 36 39 28 25 21 27 22 20 23 24 26 29 18 15 11 17 12 10 13 14 16 19
20 28 25 21 27 23 24 26 29 22 10 18 15 11 17 13 14 16 19 12  0  8  5  1  7  3  4  6  9  2 30 38 35 31 37 33 34 36 39 32
25 21 27 22 29 28 20 23 24 26 15 11 17 12 19 18 10 13 14 16  5  1  7  2  9  8  0  3  4  6 35 31 37 32 39 38 30 33 34 36
21 27 22 29 25 26 28 20 23 24 11 17 12 19 15 16 18 10 13 14  1  7  2  9  5  6  8  0  3  4 31 37 32 39 35 36 38 30 33 34
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23 20 28 26 24 21 25 29 22 27 13 10 18 16 14 11 15 19 12 17  3  0  8  6  4  1  5  9  2  7 33 30 38 36 34 31 35 39 32 37
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Проверяю эти ДЛК утилитой Harry White

Order? 40

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_7.txt

Counts
------
    2 diagonal Latin
    1 axial symmetric
    1 orthogonal pair

Один ДЛК 40-го порядка обладает свойством осевой симметрии, перешедшим к нему от исходных ДЛК.

Дублирую сообщение
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=110&postid=1088

Чтобы построить ортогональную пару слабо пандиагональных ДЛК 40-го порядка методом составных квадратов,
возьмите эту ортогональную пару пандиагональных ДЛК 5-го порядка

0 1 2 3 4
3 4 0 1 2
1 2 3 4 0
4 0 1 2 3
2 3 4 0 1

0 1 2 3 4
2 3 4 0 1
4 0 1 2 3
1 2 3 4 0
3 4 0 1 2

и эту ортогональную пару слабо пандиагональных ДЛК 8-го порядка

0 1 6 7 4 5 2 3
6 7 0 1 2 3 4 5
3 2 5 4 7 6 1 0
5 4 3 2 1 0 7 6
2 3 4 5 6 7 0 1
4 5 2 3 0 1 6 7
1 0 7 6 5 4 3 2
7 6 1 0 3 2 5 4

3 5 0 6 1 7 2 4
2 4 1 7 0 6 3 5
5 3 6 0 7 1 4 2
4 2 7 1 6 0 5 3
7 1 4 2 5 3 6 0
6 0 5 3 4 2 7 1
1 7 2 4 3 5 0 6
0 6 3 5 2 4 1 7

Попробуйте!

Утверждены изменения в последовательности OEIS
"Maximal size of a set of pairwise mutually orthogonal diagonal Latin squares of order n"
https://oeis.org/A328873