Цитата

Оба файла прикрепляла к статье OEIS из самых благих побуждений, но поскольку они там не нужны, удалила обе ссылки.

Интересный момент: ссылки я удалила, но сами файлы пока доступны по ссылкам.
Последняя правка ещё не утверждена, но, наверное, и после утверждения файлы будут доступны, то есть с диска они не удаляются.
Просто ссылок на них в статье не будет.
Первый файл A338620.txt доступен по ссылке https://oeis.org/A338620/a338620.txt
а второй файл A338620_1.txt - по ссылке https://oeis.org/A338620/a338620_1.txt

Так что, квадраты мои пока в OEIS хранятся :)
А я думаю, как написать программу перестановки диагоналей в полуциклическом пандиагональном ДЛК.
Строки и столбцы переставить просто, я это делала много раз и раньше, когда магическими квадратами занималась.
А вот диагонали никогда не переставляла. Вручную могу переставить, но все вручную не переставишь, надо программу писать.

Кстати, редактор OEIS вчера писал в комментариях

Natalia please open up the paper by A. O. L. Atkin, L. Hay, and R. G. Larson. It is free-access. The introduction paragraph has both the numbers 1560 and 12386. (so there is nothing to suggest Eduard has independently verified these numbers). From their description it is clear they are also allowing the cycles to be diagonally and antidiagonally. That seems to add in another 338*2 (please check), so we are getting closer

Ну да, по диагоналям цикличность тоже может быть, так же, как в строках и в столбцах.
Если мне удастся написать программу перестановки диагоналей, может быть, получатся ещё две порции по 338 полуциклических пандиагональных ДЛК, одна порция с цикличностью в диагоналях первого направления (параллельных главной диагонали), вторая - с цикличностью в диагоналях второго направления (параллельных побочной диагонали).
Посмотрите для сравнения на полученный мной идеальный (не циклический пандиагональный и ассоциативный) ДЛК



Раскрашены диагонали одного направления - параллельные побочной диагонали.
В этом ДЛК цикличности нет ни в строках, ни в столбцах, ни в диагоналях обоих направлений. Потому он и называется не циклический пандиагональный.

Посмотрела на вторую порцию полуциклических пандиагональных ДЛК 13-го порядка (338 штук с цикличностью в столбцах) в аспекте Д-трансверсалей.
Программа Harry White GetTrasversals выдала

order? 13
Type of Latin square, 1 LS or 2 DLS? 2
Get diagonal transversals, (Y or N)? y
File name? inp
.. writing counts to file 13Transversals.txt
DLS 2 max transversals 129657
DLS 17 max transversals 129657
DLS 40 max transversals 129657
DLS 54 max transversals 129657
DLS 57 max transversals 129657
DLS 86 max transversals 129657
DLS 95 max transversals 129657
DLS 98 max transversals 129657
DLS 126 max transversals 129657
DLS 130 max transversals 129657
DLS 134 max transversals 129657
DLS 153 max transversals 129657
DLS 186 max transversals 129657
DLS 205 max transversals 129657
DLS 209 max transversals 129657
DLS 213 max transversals 129657
DLS 241 max transversals 129657
DLS 244 max transversals 129657
DLS 253 max transversals 129657
DLS 282 max transversals 129657
DLS 285 max transversals 129657
DLS 299 max transversals 129657
DLS 322 max transversals 129657
DLS 337 max transversals 129657

elapsed time 0:15:37

Интересно. Возможно, все эти ДЛК изоморфные, а может быть, только некоторые из них изоморфные.
В любом случае, найден новый топовый ДЛК 13-го порядка по Д-трансверсалям, например, этот

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 11 10 9 1 0 12 5 3 4 8 6 7
10 6 8 4 11 2 7 0 9 1 3 12 5
8 12 3 1 6 10 5 2 4 11 9 7 0
3 7 9 11 12 8 0 10 1 6 4 5 2
9 5 4 6 7 3 2 8 11 12 1 0 10
4 0 1 12 5 9 10 3 6 7 11 2 8
1 2 11 7 0 4 8 9 12 5 6 10 3
11 10 6 5 2 1 3 4 7 0 12 8 9
6 8 12 0 10 11 9 1 5 2 7 3 4
12 3 7 2 8 6 4 11 0 10 5 9 1
7 9 5 10 3 12 1 6 2 8 0 4 11
5 4 0 8 9 7 11 12 10 3 2 1 6

Сейчас соберу все топовые ДЛК 13-го порядка по Д-трансверсалям и выложу в отдельную тему, чтобы были все в одном месте.

История не закончилась!
Правки в статье OEIS утвердили; собственно, свои добавления последней правки я удалила.
Следовательно, должны были вернуться к предыдущей версии статьи.
Однако... к этой версии не вернулись!
Заодно удалили и эту мою ссылку, которая в предыдущей версии статьи была.

Natalia Makarova, Ten cyclic pandiagonal Latin squares of order 13

Это уже что-то непонятное.
Открываю новую правку и прошу восстановить эту ссылку или объяснить причину удаления.
Эта ссылка чем помешала???

Написала

Thu Apr 08 07:48
Natalia Makarova: Why have you removed the link that was present in the previous version of the article? Natalia Makarova, Ten cyclic pandiagonal Latin squares of order 13 Please restore this link. Or explain the reason for the deletion.

Пришёл другой редактор и сказал, что старую ссылку я сама удалила.
Посмотрела, всё верно.
Дело было так: сначала редактор Andrew Howroyd удалил мою новую ссылку.
Когда я начала удалять свои изменения в текущей правке, новой ссылки уже не было, и поэтому я удалила старую, особо не вчитываясь в неё.
Таким образом, обе ссылки оказались удалёнными.

Хорошо, тогда вопрос: почему редактор удалил новую ссылку?
И заодно в этой же правке (#32) он удалил мой пример полуциклического пандиагонального ДЛК 13-го порядка и ссылку на второй a-file, содержащий 676 нормализованных полуциклических пандиагональных ДЛК.
Всё это я рассмотрела только сейчас; вчера я не рассматривала все правки редактора Andrew Howroyd, потому что после серии его комментариев поспешила скорее сделать последнюю правку и удалиться.

В общем, все эти удаления редактора Andrew Howroyd, мягко говоря, совершенно непонятны.
Пример полуциклического пандиагонального ДЛК 13-го порядка нигде не показан.
И я настаивала в дискуссии на том, чтобы его оставить. Тем не менее, он удалён.
676 полуциклического пандиагонального ДЛК 13-го порядка тоже нигде не показаны. По крайней мере, в указанных двух статьях я их не нашла.
Да, описывается метод поиска этих ДЛК, но разобраться в этом методе и реализовать его не совсем просто. Я стараюсь это сделать. И удалять результат этого исследования как-то... странно.
На диске OEIS мало места?

Баталия продолжается.
Читайте
https://oeis.org/draft/A338620

Поразительно!
Пришёл редактор Andrew Howroyd и заявил, что он ничего не удалял в этой последовательности.
Дала ему указание на его правку #32.
Теперь деваться некуда: ФАКТ!
Удаление он признал, но сказал, что объяснил причины отклонения моих заявок.

Ну, дальше сами читайте, если интересно.
Мне, честно говоря, совсем не интересно вести эту бесполезную дискуссию, но приходится.
Я попросила восстановить то, что удалено необоснованно, по моему мнению.
Только и всего.
По крайней мере, надо восстановить ссылку, которая была в предыдущей версии статьи (и которую я удалила по ошибке, потому что Andrew Howroyd удалил перед этим мою новую ссылку).

Цитата

Возможно, полуциклические пандиагональные ДЛК 13-го порядка описаны (а может, и все перечислены) в одной из следующих статей:

16. E. Stern, Number of magic squares belonging to certain classes, Am. Math. Monthly 46,555-581 (1939).
17. E. Stern, iiber eine Zahlentheoretische Methode zur Bildune. und Anzahlbestimmung neuerartige lateinischer
Quadrate;.Timisoara, Rumania. Institutul Politehnic. Bulletin de &iience et Technique 10, cl-131 (1941).
18. E. Stem, Uber irregulare pandiagonale lateinische Quadrate mit Primzahlseitenliinge. Niew Archief uoor Wiskunde 19,
257-271 (1938).

Статью
16. E. Stern, Number of magic squares belonging to certain classes, Am. Math. Monthly 46,555-581 (1939).
нашёл в онлайн-библиотеке и прислал мне помощник Mynx.
Большое спасибо!
Пытаюсь кое-что переводить.
Интересен раздел F.
Фрагмент из этого раздела (в переводе Google)

Как мы видели, числовая формула (20) включает все известные ранее пандиагональные магические квадраты простого порядка. Далее возникает вопрос, существуют ли другие такие квадраты. На этот вопрос - насколько я смог установить - в предыдущей литературе по этому вопросу либо не обращали внимания, либо на него давали отрицательный ответ без доказательств. На то, что этот вопрос требует исследования, указывает, однако, тот факт, что формула (5), которая послужила нашей отправной точкой, дала только специальное решение уравнения (4), и поскольку по этому требованию когда два вспомогательных квадрата являются пандиагональными латинскими квадратами, мы ввели еще одно специальное условие, которое не является эссенциальным).
Однако, даже если эти ограничения будут сохранены, мы можем сделать вывод о полноте формулы (20) только постольку, поскольку мы имеем дело только с пандиагональными магическими квадратами, которые сводятся к циклическим пандиагональным латинским квадратам. Поэтому представляет особый интерес посмотреть, существуют ли пандиагональные латинские квадраты, которые не являются циклическими.

И далее

Для составных заказов это сразу очевидно; однако для простых заказов этот вопрос никогда не рассматривался.
Латинский квадрат может быть (а) либо циклическим в двух магических направлениях, из чего следует из (6a, b, c, d), что в двух других магических направлениях также является циклическим, (b) или циклическим только в одном магическом направлении, (c) или циклическое без магического направления.
Поскольку мы назвали квадраты группы (a) циклическими, мы соответственно называем квадраты группы (b) полуциклическими, а квадраты группы (c) нециклическими. Чтобы показать, что существуют пандиагональные латинские квадраты, которые не принадлежат (а), и, следовательно, есть, возможно, пандиагональные квадратные квадраты, не включенные в (20), тогда достаточно продемонстрировать существование полуциклических квадратов, или нециклические пандиагональные латинские квадраты.

Следующий фрагмент привожу в оригинале

This investigation would carry us beyond th e lim its of this paper. I have already discussed a special kind of semi-cyclic pandiagonal latin squares and the pandiagonal magic squares obtained from it in the paper a Ueber irregullire. pandiagonale lateinische Quadrate mil Primzahlseitenlange und ihre Bedeutungfilr das n-K'dniginnenproblem soivie fu r die Bildung magischer Quadrate'' [18].
Therein I have shown th a t semi-cyclic pandiagonal latin squares can be derived from pandiagonal cyclic squares by interchanging, in pairs, 4 parallel rows, columns, or diagonals, if
(50)
g* a — 1 (mod n),
and therefore n (which is supposed to be a prim e num ber greater than 5) has the form 41? + 1.

Непонятно, почему переставлять надо 4 параллельные строки, столбца или диагонали.

Наконец, последний фрагмент в переводе Google

Я обобщил этот результат в статье, которая скоро появится, в ходе которой доказывается следующая теорема: если простой порядок n имеет вид
(51), (52)
и если (53)
. . . .
то из каждого пандиагонального циклического квадрата, образованного q, можно получить полуциклические пандиагональные латинские квадраты, попарно меняя местами 2s строки или 2s столбца.
Если пандиагональный циклический квадрат состоит из
(56) qf = (mod w),
тогда из него можно получить полуциклические пандиагональные латинские квадраты, поменяв местами попарно две параллельные диагонали.

Здесь вообще мрак, потому что совершенно непонятные формулы.

Такая вот статья. Статья в основном посвящена магическим квадратам, но, как известно, магические квадраты тесно связаны с латинскими квадратами.
Обратите внимание: статья написана в 1939 году.
А мы до сих пор не имеем полного набора полуциклических пандиагональных ДЛК 13-го порядка (то есть самого первого порядка, для которого такие ДЛК существуют), а также не имеем полного набора не циклических пандиагональных ДЛК данного порядка.
А имеем только количества и один пример не циклического пандиагонального ДЛК, скопированный из более свежей статьи.

PS. Удалила формулы в последнем фрагменте, потому что они мне перечёркивают текст :) Чертовщина какая-то!

Редактор Andrew Howroyd разразился длинным комментарием, в котором я перевела (то есть прочитала) только первую фразу.
Ему не нравится, что в этой теме освещается дискуссия в OEIS.
Тех, кто ведёт себя достойно, это не должно волновать.
Я показываю факты и ничего кроме фактов.

Макс Алексеев на письмо не ответил.
Вполне ожидаемый результат.
Администратор OEIS тоже не ответил.
И это ожидаемый результат.
Разумеется, редактор во всём прав, а я во всём виновата.
Ещё и санкции последуют; например, блокировка меня в OEIS (как это было в прошлый раз, когда я выступила с публичной резкой критикой одной из последовательностей Ватутина).
Пожалуй, в этот раз бан уже будет вечным.
Ну, я в этом случае скажу только: "Слава тебе, Господи! Освободил от неблагодарного труда (внесения результатов в OEIS)".
Результаты я получаю, конечно, не для OEIS.
Мои исследования - это моё призвание. Должна это делать и делаю.
Всё остальное - глупая суета.

Кстати, чтоб два раза не вставать: обсуждаемая сейчас последовательность Ватутина ничем не отличается от той последовательности, которую я тогда критиковала.
Взял чужую статью, содрал количества, создал последовательность.
Грош цена такой последовательности!

В общем, можно в эту последовательность на заглядывать совсем. Ничего нового там уже не будет.
Разве что придёт администратор и объявит мне вечный бан.

Итак, повторяю цитату из статьи "E. Stern, Number of magic squares belonging to certain classes, Am. Math. Monthly 46,555-581 (1939)".

Я обобщил этот результат в статье, которая скоро появится, в ходе которой доказывается следующая теорема: если простой порядок n имеет вид
(51), (52)
и если (53)
. . . .
то из каждого пандиагонального циклического квадрата, образованного q, можно получить полуциклические пандиагональные латинские квадраты, попарно меняя местами 2s строки или 2s столбца.
Если пандиагональный циклический квадрат состоит из
(56) qf = (mod w),
тогда из него можно получить полуциклические пандиагональные латинские квадраты, поменяв местами попарно две параллельные диагонали.

Никаких сомнений не остаётся.
Полуциклические пандиагональные ДЛК получаются из циклических путём перестановки строк, столбцов и диагоналей обоих направлений.
Перестановку строк и столбцов я уже выполнила и получила 338*2 нормализованных полуциклических пандиагональных ДЛК 13-го порядка.
Эти 676 ДЛК можно посмотреть здесь (Яндекс.Диск)
https://disk.yandex.ru/d/hgvQXanEpb5--g
а также пока доступен а-файл в статье OEIS A338620
https://oeis.org/A338620/a338620_1.txt
хотя ссылка на него удалена редактором.

Если предположить, что перестановка диагоналей обоих направлений даст ещё 338*2 нормализованных полуциклических пандиагональных ДЛК, их будет 338*4=1352.
Однако до 1560 не хватает ещё 208 квадратов.
Ладно, об этом подумаем позже.
А сейчас надо подумать, как написать программу перестановки диагоналей.

Кстати, в цитате говорится о статье, "которая скоро появится".
Не эта ли статья имелась в виду?
17. E. Stern, iiber eine Zahlentheoretische Methode zur Bildune. und Anzahlbestimmung neuerartige lateinischer Quadrate;.Timisoara, Rumania. Institutul Politehnic. Bulletin de &iience et Technique 10, cl-131 (1941).
Статья на немецком языке, опубликована в 1941 году, как я понимаю, в Румынии.

Попробовала поиск этой статьи, Google выдаёт

ENUMERATION AND CONSTRUCTION OF PANDIAGONAL ...https://www.sciencedirect.com › science › article › pii › pdf
автор: AOL Atkin · 1983 · Цитируется: 13 — construction and classification of pandiagonal Latin squares (PL-squares) of prime ... 255) or Stern[l8].) ... E. Stern, iiber eine Zahlentheoretische Methode zur Bildune. und Anzahlbestimmung ... Timisoara, Rumania. Institutul Politehnic. ... E. Stem, Uber irregulare pandiagonale lateinische Quadrate mit Primzahlseitenliinge.

То есть искомая статья цитируется в статье автора AOL Atkin, 1983.

И больше ничего не нашла.

PS. Эта статья
18. E. Stem, Uber irregulare pandiagonale lateinische Quadrate mit Primzahlseitenliinge. Niew Archief uoor Wiskunde 19, 257-271 (1938).
тоже цитируется в статье автора AOL Atkin.

Первый нормализованный полуциклический пандиагональный ДЛК 13-го порядка с цикличностью только в диагоналях одного направления (параллельных главной диагонали) получен!

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 11 5 6 8 0 10 12 3 1 7 2 9
7 0 9 10 12 1 11 2 4 8 5 3 6
12 3 11 7 2 4 5 9 6 0 1 10 8
1 4 8 9 3 6 0 10 7 12 11 5 2
6 5 0 1 7 8 12 11 2 3 4 9 10
2 12 10 11 5 3 1 4 9 6 8 0 7
3 6 4 2 9 10 8 5 0 7 12 1 11
9 8 12 0 6 7 2 1 10 11 3 4 5
10 7 1 4 11 12 3 6 5 2 9 8 0
11 2 3 5 0 9 4 8 12 10 6 7 1
5 9 6 8 10 11 7 0 1 4 2 12 3
8 10 7 12 1 2 9 3 11 5 0 6 4

Дальше, думаю, дело техники.
Я пока не написала программу перестановки диагоналей.
Использован другой метод.

Применяя тот же метод (пока вручную) получила первый нормализованный полуциклический пандиагональный ДЛК 13-го порядка с цикличностью только в диагоналях другого направления (параллельных побочной диагонали)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
6 10 12 0 8 2 3 11 4 7 1 9 5
7 9 5 11 10 12 1 0 3 6 4 8 2
4 8 1 7 9 6 5 12 2 0 11 10 3
11 6 3 4 2 8 9 10 5 1 7 12 0
2 12 0 10 11 4 7 8 6 3 9 5 1
9 5 7 1 0 3 11 2 12 4 8 6 10
8 3 6 5 12 1 10 9 0 11 2 7 4
12 2 8 9 6 7 4 5 1 10 3 0 11
10 11 4 2 3 0 8 6 7 12 5 1 9
1 0 10 12 5 11 2 3 9 8 6 4 7
5 7 9 8 1 10 12 4 11 2 0 3 6
3 4 11 6 7 9 0 1 10 5 12 2 8

Теперь надо просто заставить машину применить этот метод к 676 квадратам.
Программка простенькая, сейчас нашлёпаю.

Проверила полученный ДЛК утилитой Harry White

Order? 13

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_9.txt

Counts
------
         1 diagonal Latin
         1 pandiagonal
         1 nfr
         1 self-orthogonal

Он ещё и SODLS!
То есть имеем ортогональную пару и можем построить оригинальный пандиагональный магический квадрат методом латинских квадратов.

Программку нашлёпала.
К первым 338 пандиагональным ДЛК применила, новые 338 нормализованных полуциклических пандиагональных ДЛК 13-го порядка получены.
Итак, уже 1014 (338*3) нормализованных полуциклических пандиагональных ДЛК 13-го порядка имеем!
Осталось применить программку ко второй порции из 338 нормализованных полуциклических пандиагональных ДЛК 13-го порядка.

Готово!
1352 (338*4) нормализованных полуциклических пандиагональных ДЛК 13-го порядка получены!

Это уже хорошо.
Теперь надо думать, как найти оствшиеся (1560 - 1352 = 208) нормализованные полуциклические пандиагональные ДЛК 13-го порядка.
Почему такой странный некомплект?
Может быть, перестановка строк/столбцов выполнена неправильно?
Но... это число 348 (338+10)... оно в статье мелькало. Вроде бы это правильно.
В общем, где-то 208 квадратов потеряны.
Включаем все фонарики, ищем :)

PS. Повторю цитату из статьи в переводе Google

Программа, написанная на SNOBOL4, использовалась для генерации всех возможных нормализованных путей. Этот
была относительно простой программой возврата. Результат этой программы был исследован на
определить, какая закономерность возникла. Именно в этот момент было замечено, что все 348
нормализованные пути для n = 13 были сдвигами 36 основных нормализованных путей, описанных в разделе 6.

Проверила найденные 1352 нормализованных полуциклических пандиагональных ДЛК утилитой Harry White

Order? 13

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_12.txt

Counts
------
      1352 diagonal Latin
      1352 pandiagonal
       104 center symmetric
      1352 nfr
         4 orthogonal pair
       364 self-orthogonal

Красивые квадратики!

Умопомрачительно!
Нашла 10 новых пандиагональных ДЛК

EUELx2zmrdPHyTGkGJhedf1cuDmJzqhw6hUme293TPB
ED5UUkaQHyofMVFzqmzcDmuLPccbt1ptUANXkhG2
EbdT3NmJ3TMRz4EMRVijniXqHSDTSJQSrR2R47wCo5
E69YTT7oWTTPvm6NPuTkaHotUc6TBf8JhaXFeP2
EJQpXmyWckWugCVYU1AjGVvKG3TurhdyGtisTQ
EhGfTuuzeiDk1sWSuXYUHyVH7uxvRLpcNN6
EhCupF23VnQYQGtdRsekPBGUuZQbLv4HhBhcVAAf
ERThu56y4MH4CLNvXPtUdK8hbL6vUd28X8HeTsAb3
E8nN72FMrzdExGPc4jakcgcqA71QV7Ls7k3
ESWAtzwPTVWoy8PVBSJVEYg1RbEPNNFRMb5CvUj3

Пока не декодировала их, но таких в порции из 1352 квадратов нет.
Так, теперь у меня 1362 квадрата.
Кто больше? :)

Сейчас продолжу поиск на том пути, где эти 10 квадратов нашла. Может ещё что-то найдётся.

Раскодировала 10 квадратов.
Увы! Они не новые, они что ни на есть самые старые - это 10 циклических пандиагональных ДЛК. Поэтому, естественно, их нет среди 1352 полуциклических пандиагональных ДЛК.
Не на правильном пути оказалась.
Надо придумывать другой путь.

В статье
Vahid Dabbaghian and Tiankuang Wu, Constructing non-cyclic pandiagonal Latin squares of prime orders, Journal of Discrete Algorithms 30, 2015.
вычитала

The constructed pandiagonal Latin squares by Hedayat’s method are cyclic. In [1]
Atkin, Hay, and Larson described a method for constructing pandiagonal Latin squares
that are semi-cyclic. Recently, another method for constructing semi-cyclic pandiagonal
Latin squares is proposed by Bell and Stevens [3].

Статья [1] это
[1] A. O. L. Atkin, L. Hay and R. G. Larson, Enumeration and construction of pandiagonal Latin
squares of prime order, Comput Math Appl 9 (1983), 267–292.
(есть ссылка на эту статью в OEIS)

Статья [3] это
[3] J. Bell and B. Stevens, Constructing orthogonal pandiagonal Latin squares and panmagic squares
from modular n-queens solutions, J Combin Des 15 (2007), 221–234
(этой ссылки в OEIS, кажется, нет)

Все сказали, как получить 1352 (338*4) нормализованных полуциклических пандиагональных ДЛК 13-го порядка, но почему-то никто не сказал, как получить ещё 208 таких ДЛК.
Конечно, статьи надо читать полностью, а не маленькими фрагментами.
Может быть, и это тоже сказали в статьях.

У меня пока всё остановилось на 1352 квадратах.
Нет новых идей.
Спать пора :)

А 1352 квадрата х-о-р-о-ш-и!
Например, три последних нормализованных полуциклических пандиагональных ДЛК с цикличностью в диагоналях параллельных побочной диагонали

. . . . . . 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 5 12 6 9 10 3 2 11 0 1 8 7
9 8 10 11 0 12 5 1 7 4 2 3 6
2 0 1 7 8 9 4 3 6 5 12 10 11
7 4 3 2 11 6 12 10 9 8 0 1 5
6 12 5 1 10 8 0 11 2 7 4 9 3
8 9 4 0 2 7 1 5 3 6 11 12 10
11 6 7 5 3 4 9 12 10 1 8 0 2
10 3 9 12 6 11 8 0 4 2 7 5 1
12 11 8 10 1 2 7 6 5 3 9 4 0
1 2 0 4 5 3 10 9 12 11 6 7 8
5 7 6 9 12 0 11 8 1 10 3 2 4
3 10 11 8 7 1 2 4 0 12 5 6 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
10 6 8 12 0 9 3 11 1 4 2 5 7
9 11 5 7 1 8 2 10 12 6 0 3 4
2 0 3 10 11 6 4 5 9 7 8 12 1
7 8 4 2 9 12 0 1 3 11 5 10 6
11 12 6 1 5 7 10 8 2 0 4 9 3
5 9 10 0 3 4 11 6 7 12 1 8 2
1 4 7 8 12 2 9 3 5 10 11 6 0
12 3 11 5 6 1 8 0 4 2 9 7 10
8 2 0 9 10 11 7 12 6 1 3 4 5
6 7 1 4 2 3 5 9 10 8 12 0 11
3 10 12 6 8 0 1 4 11 5 7 2 9
4 5 9 11 7 10 12 2 0 3 6 1 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
10 9 6 7 1 8 11 12 5 4 0 2 3
5 8 11 10 12 0 2 1 7 3 9 6 4
12 0 4 2 3 9 10 11 6 5 8 7 1
3 7 9 6 5 4 0 8 1 12 11 10 2
11 5 8 1 7 3 12 10 2 0 4 9 6
1 12 10 11 6 2 4 9 3 7 5 8 0
2 4 0 8 9 7 5 6 11 1 12 3 10
7 3 12 5 11 1 8 0 10 2 6 4 9
6 2 1 0 10 12 3 4 9 8 7 5 11
9 10 3 4 2 6 7 5 12 11 1 0 8
4 6 7 9 8 11 1 2 0 10 3 12 5
8 11 5 12 0 10 9 3 4 6 2 1 7

Я могла бы выложить файл со всеми 1352 квадратами в OEIS, но там мои квадраты не нужны, редактор сказал, чтобы я перестала их загружать.
Ну, я подчиняюсь :)

Чтобы отмести все сомнения насчёт перестановки строк, выполнила полную перестановку строк, то есть первую строку тоже переставляла.
Исходный циклический пандиагональный ДЛК

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1
4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3
6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5
8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7
10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2
5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4
7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6
9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8
11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Программа выдала 4524 ДЛК, как и ожидалось.
Нормализовала эти ДЛК и удалила дубликаты, получилось ровно 348 ДЛК, среди которых 10 ДЛК циклические пандиагональные и 338 ДЛК полуциклические пандиагональные.
Таким образом, с перестановкой строк (а значит, и столбцов) всё правильно.

Проверила все 4524 ДЛК утилитой Harry White

Order? 13

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_22.txt

Counts
------
      4524 diagonal Latin
        36 associative
      4524 pandiagonal
        36 ultramagic
       432 center symmetric
       348 nfr
         9 orthogonal pair
       130 self-orthogonal

Интересны в этом наборе из 4524 пандиагональных ДЛК 36 идеальных ДЛК.
Покажу их все, может быть, они что-то прояснят

 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 

 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 

 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 

 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 

 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 

 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 

 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 

 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 

 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 

 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 

 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 

 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 

 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 

 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 

 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 

 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 

 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 

 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 

 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 

 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 

 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 

 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 

 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 

 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 

 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 

 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 

 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 

 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 

 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 

 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 

 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 

 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 

 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 

 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 

 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 

 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 

Проверила эти 36 идеальных ДЛК утилитой Harry White

Order? 13

Enter the name of the squares file: inp1
.. writing type information to file inp1TypeDetail_14.txt

Counts
------
        36 diagonal Latin
        36 associative
        36 pandiagonal
        36 ultramagic
         3 orthogonal pair
        10 self-orthogonal

Повторю ещё раз цитату из статьи в переводе Google

Программа, написанная на SNOBOL4, использовалась для генерации всех возможных нормализованных путей. Этот
была относительно простой программой возврата. Результат этой программы был исследован на
определить, какая закономерность возникла. Именно в этот момент было замечено, что все 348
нормализованные пути для n = 13 были сдвигами 36 основных нормализованных путей, описанных в разделе 6.

Что это за "36 основных нормализованных путей, описанных в разделе 6"?
Обратите внимание на число 36.
У меня получилось при полной перестановке строк в циклическом пандиагональном ДЛК 36 идеальных ДЛК.
Совпадение? Или тут существует какая-то связь?

Ещё может быть зацепкой, что 208/13=16.

PS. Интересно: во всех этих 36 идеальных ДЛК центральная строка имеет вид

0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12

Можно посмотреть, каким является центральный столбец в этих идеальных ДЛК.
Может быть, он и даёт эти "36 основных нормализованных путей, описанных в разделе 6" (?)

А тем, кто читает по-английски, проще простого взять и прочитать этот самый раздел 6, в котором описаны 36 основных нормализованных путей.

Господин Ватутин указал в OEIS ссылку на статью

A. O. L. Atkin, L. Hay, and R. G. Larson, Enumeration and construction of pandiagonal Latin squares of prime order, Computers & Mathematics with Applications, Volume. 9, Iss. 2, 1983, pp. 267-292.

Возникает вопрос: он рассмотрел эту статью, понял алгоритм построения полуциклических пандиагональных ДЛК 13-го порядка?
Или он удовлетворился тем, что скопировал из статьи количества?
Судя по этому комментарию, он ни в чём не разбирался и как получить все нормализованные полуциклические пандиагональные ДЛК 13-го порядка в количестве 1560 штук, он не знает

Andrew, for this moment I can't confirm result of Natalia, it may be correct, but also it may be wrong. IMHO for this moment 338 (or 338+10) value is lower bound only (a(13)>=338 for semi-cyclic). I suspect that Brute Force based approach will help. Of course with series of optimizations (nested loops, bit arithmetic, the principle of minimum possibilities and variation of the order of filling the square based on it, etc.) as we used during complete enumeration of DLS of order 9 (see https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL23/Zaikin/zaikin3.pdf).

https://oeis.org/history?seq=A338620&start=10

Господин Ватутин предполагает, что "Brute Force based approach will help".

Итак, нашла в статье Раздел 6, вот начало этого раздела в переводе Google

6. КЛАССИФИКАЦИЯ ПУТИ МАЛОГО ПОРЯДКА
Теперь рассмотрим нормализованные пути для n = 5, 7, 11 и 13. На языке программирования SNOBOL4 была написана компьютерная программа, генерирующая все возможные нормализованные пути в PL-квадрате заданного порядка n. . Эта программа была запущена для n = 5, 7, 11 и 13. Мы обсудим результаты в свете предыдущей теории. Для n = 5,7 и 11 было обнаружено, что все нормализованные пути имеют индекс 1; т.е. они оказались в виде P (X) = cx,
где 1
_____________________
конец цитаты

Хуже всего Google переводит формулы.
Цитата упорно не желает дописываться! После "где 1" идёт формула, дальше всё обрывается.

Ну и понятно: чтобы понять раздел 6, надо прочитать предыдущие пять разделов, и не просто прочитать, а вникнуть, разобраться.
Тогда что-то можно будет понять и в Разделе 6.

Пока можно понять то, что нам уже известно: для простых порядков 5, 7 и 11 существуют только циклические пандиагональные ДЛК.

Далее интересно

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.2. Существует ровно: а) 2 класса эквивалентности PL-квадратов 5-го порядка; б) 4 класса эквивалентности PL-квадратов 7-го порядка; (c) 8 классов эквивалентности PL-квадратов порядка 11.

Это предложение в статье доказывается.

А вот и об основных нормализованных путях для n=13

Теперь опишем результаты компьютерного поиска для n = 13, используя соглашение, установленное в конце раздела 4.
ФАКТ 6.3. Для n = 13, (a) имеется 10 нормализованных путей индекса 1: ...
(b) имеется 104 = 13 x 8 нормализованных путей, которые являются сдвигами следующих 8 основных пути индекса 2: ...
(c) имеется 78 = 13 x 6 нормализованных путей, которые представляют собой сдвиги следующих 6 основных путей индекса 3: ...
(d) имеется 156 x 13 x 12 нормализованных путей, которые представляют собой сдвиги следующих 12 основных путей индекса 6: ...
(e) других нормализованных путей нет. Следовательно, существует 348 нормализованных путей.

(формулы выбросила)