Цитата

В статье "Ортогональные диагональные латинские квадраты"
http://www.natalimak1.narod.ru/diagon.htm
мне удалось построить ортогональные пары ДЛК 18-го порядка, преобразовав ортогональные ЛК из известной группы MOLS данного порядка, состоящей из трёх ЛК (см. ортогональные ДЛК на рис. 37 - 38).
Показываю ортогональную пару (один из вариантов решения)

1 5 15 16 17 18 2 14 13 4 3 7 12 10 8 6 11 9
8 2 6 15 16 17 18 1 14 5 4 13 11 9 7 12 10 3
14 9 3 7 15 16 17 2 1 6 5 12 10 8 13 11 4 18
13 1 10 4 8 15 16 3 2 7 6 11 9 14 12 5 18 17
12 14 2 11 5 9 15 4 3 8 7 10 1 13 6 18 17 16
11 13 1 3 12 6 10 5 4 9 8 2 14 7 18 17 16 15
3 12 14 2 4 13 7 6 5 10 9 1 8 18 17 16 15 11
9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 8 7 6 5 4 3 2
7 8 9 10 11 12 13 18 17 16 15 6 5 4 3 2 1 14
6 7 8 9 10 11 12 16 15 18 17 5 4 3 2 1 14 13
5 6 7 8 9 10 11 17 18 15 16 4 3 2 1 14 13 12
4 15 16 17 18 1 8 13 12 3 2 14 6 11 9 7 5 10
15 16 17 18 14 7 9 12 11 2 1 3 13 5 10 8 6 4
16 17 18 13 6 8 3 11 10 1 14 15 2 12 4 9 7 5
17 18 12 5 7 2 4 10 9 14 13 16 15 1 11 3 8 6
18 11 4 6 1 3 5 9 8 13 12 17 16 15 14 10 2 7
10 3 5 14 2 4 6 8 7 12 11 18 17 16 15 13 9 1
2 4 13 1 3 5 14 7 6 11 10 9 18 17 16 15 12 8
 
1 8 14 13 12 11 3 9 5 6 7 4 15 16 17 18 10 2
5 2 9 1 14 13 12 10 6 7 8 15 16 17 18 11 3 4
15 6 3 10 2 1 14 11 7 8 9 16 17 18 12 4 5 13
16 15 7 4 11 3 2 12 8 9 10 17 18 13 5 6 14 1
17 16 15 8 5 12 4 13 9 10 11 18 14 6 7 1 2 3
18 17 16 15 9 6 13 14 10 11 12 1 7 8 2 3 4 5
2 18 17 16 15 10 7 1 11 12 13 8 9 3 4 5 6 14
14 1 2 3 4 5 6 15 16 17 18 13 12 11 10 9 8 7
3 4 5 6 7 8 9 17 18 15 16 2 1 14 13 12 11 10
4 5 6 7 8 9 10 18 17 16 15 3 2 1 14 13 12 11
13 14 1 2 3 4 5 16 15 18 17 12 11 10 9 8 7 6
7 13 12 11 10 2 1 8 4 5 6 14 3 15 16 17 18 9
12 11 10 9 1 14 8 7 3 4 5 6 13 2 15 16 17 18
10 9 8 14 13 7 18 6 2 3 4 11 5 12 1 15 16 17
8 7 13 12 6 18 17 5 1 2 3 9 10 4 11 14 15 16
6 12 11 5 18 17 16 4 14 1 2 7 8 9 3 10 13 15
11 10 4 18 17 16 15 3 13 14 1 5 6 7 8 2 9 12
9 3 18 17 16 15 11 2 12 13 14 10 4 5 6 7 1 8

ДЛК здесь записаны не в традиционной форме, для приведения к традиционной форме надо все элементы уменьшить на 1.

Отмечу, что в статье OEIS https://oeis.org/A328873
я привела в качестве примера другую ортогональную пару 18-го порядка

1 5 15 16 17 18 2 14 4 13 3 7 12 10 8 6 11 9
8 2 6 15 16 17 18 1 5 14 4 13 11 9 7 12 10 3
14 9 3 7 15 16 17 2 6 1 5 12 10 8 13 11 4 18
13 1 10 4 8 15 16 3 7 2 6 11 9 14 12 5 18 17
12 14 2 11 5 9 15 4 8 3 7 10 1 13 6 18 17 16
11 13 1 3 12 6 10 5 9 4 8 2 14 7 18 17 16 15
3 12 14 2 4 13 7 6 10 5 9 1 8 18 17 16 15 11
9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 8 7 6 5 4 3 2
6 7 8 9 10 11 12 18 17 16 15 5 4 3 2 1 14 13
5 6 7 8 9 10 11 16 15 18 17 4 3 2 1 14 13 12
7 8 9 10 11 12 13 17 18 15 16 6 5 4 3 2 1 14
4 15 16 17 18 1 8 13 3 12 2 14 6 11 9 7 5 10
15 16 17 18 14 7 9 12 2 11 1 3 13 5 10 8 6 4
16 17 18 13 6 8 3 11 1 10 14 15 2 12 4 9 7 5
17 18 12 5 7 2 4 10 14 9 13 16 15 1 11 3 8 6
18 11 4 6 1 3 5 9 13 8 12 17 16 15 14 10 2 7
10 3 5 14 2 4 6 8 12 7 11 18 17 16 15 13 9 1
2 4 13 1 3 5 14 7 11 6 10 9 18 17 16 15 12 8

1 8 14 13 12 11 3 9 6 5 7 4 15 16 17 18 10 2
5 2 9 1 14 13 12 10 7 6 8 15 16 17 18 11 3 4
15 6 3 10 2 1 14 11 8 7 9 16 17 18 12 4 5 13
16 15 7 4 11 3 2 12 9 8 10 17 18 13 5 6 14 1
17 16 15 8 5 12 4 13 10 9 11 18 14 6 7 1 2 3
18 17 16 15 9 6 13 14 11 10 12 1 7 8 2 3 4 5
2 18 17 16 15 10 7 1 12 11 13 8 9 3 4 5 6 14
14 1 2 3 4 5 6 15 16 17 18 13 12 11 10 9 8 7
4 5 6 7 8 9 10 17 18 15 16 3 2 1 14 13 12 11
13 14 1 2 3 4 5 18 17 16 15 12 11 10 9 8 7 6
3 4 5 6 7 8 9 16 15 18 17 2 1 14 13 12 11 10
7 13 12 11 10 2 1 8 5 4 6 14 3 15 16 17 18 9
12 11 10 9 1 14 8 7 4 3 5 6 13 2 15 16 17 18
10 9 8 14 13 7 18 6 3 2 4 11 5 12 1 15 16 17
8 7 13 12 6 18 17 5 2 1 3 9 10 4 11 14 15 16
6 12 11 5 18 17 16 4 1 14 2 7 8 9 3 10 13 15
11 10 4 18 17 16 15 3 14 13 1 5 6 7 8 2 9 12
9 3 18 17 16 15 11 2 13 12 14 10 4 5 6 7 1 8

Оба ДЛК этой ортогональной пары являются SODLS

Order? 18

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_7.txt

Counts
------
2 diagonal Latin
1 orthogonal pair
2 self-orthogonal

Более того: эти ДЛК являются друг для друга транспонированным вариантом.
Вот такая взаимная любовь :)

ДЛК первой ортогональной пары не являются SODLS.
Я составила в своей статье много подобных ортогональных пар ДЛК 18-го порядка путём варьирования квази-разностной матрицы.

PS. В статье OEIS https://oeis.org/A328873 пока не утверждены последние изменения.
Изменения можно посмотреть в черновике
https://oeis.org/draft/A328873

Ещё одна красивая ортогональная пара 18-го порядка получена мной недавно по программе Harry White (построение магических квадратов с помощью SODLS).
В те далёкие времена, когда писалась указанная выше статья об ортогональных парах ДЛК 18-го порядка, я ещё ничего не знала о SODLS.
Показываю эту ортогональную пару

 0 11 16 12  5  8  7  1 17  2  3 10  9  4 15 13  6 14
 7  1 17 15 11  6  8  2 16  3  4  9  5 14 12  0 13 10
 8  7  2 16 14 17  0  3 15  4  5  6 13 11  1 12 10  9
 1  8  7  3 15 13 16  4 14  5  6 12 17  2 11 10  9  0
15  2  8  7  4 14 12  5 13  6  0 16  3 17 10  9  1 11
11 14  3  8  7  5 13  6 12  0  1  4 16 10  9  2 17 15
12 17 13  4  8  7  6  0 11  1  2 15 10  9  3 16 14  5
 3  4  5  6  0  1  2  7  9 10  8 17 11 12 13 14 15 16
16 15 14 13 12 11 17 10  8  7  9  2  1  0  6  5  4  3
17 16 15 14 13 12 11  8 10  9  7  1  0  6  5  4  3  2
 4  5  6  0  1  2  3  9  7  8 10 13 14 15 16 17 11 12
13  6 12  2  9 10  1 15  5 14 16 11  7  8 17  3  0  4
 5 13  1  9 10  0 14 16  4 15 17  3 12  7  8 11  2  6
14  0  9 10  6 15  4 17  3 16 11  5  2 13  7  8 12  1
 6  9 10  5 16  3 15 11  2 17 12  0  4  1 14  7  8 13
 9 10  4 17  2 16  5 12  1 11 13 14  6  3  0 15  7  8
10  3 11  1 17  4  9 13  0 12 14  8 15  5  2  6 16  7
 2 12  0 11  3  9 10 14  6 13 15  7  8 16  4  1  5 17

 0  7  8  1 15 11 12  3 16 17  4 13  5 14  6  9 10  2
11  1  7  8  2 14 17  4 15 16  5  6 13  0  9 10  3 12
16 17  2  7  8  3 13  5 14 15  6 12  1  9 10  4 11  0
12 15 16  3  7  8  4  6 13 14  0  2  9 10  5 17  1 11
 5 11 14 15  4  7  8  0 12 13  1  9 10  6 16  2 17  3
 8  6 17 13 14  5  7  1 11 12  2 10  0 15  3 16  4  9
 7  8  0 16 12 13  6  2 17 11  3  1 14  4 15  5  9 10
 1  2  3  4  5  6  0  7 10  8  9 15 16 17 11 12 13 14
17 16 15 14 13 12 11  9  8 10  7  5  4  3  2  1  0  6
 2  3  4  5  6  0  1 10  7  9  8 14 15 16 17 11 12 13
 3  4  5  6  0  1  2  8  9  7 10 16 17 11 12 13 14 15
10  9  6 12 16  4 15 17  2  1 13 11  3  5  0 14  8  7
 9  5 13 17  3 16 10 11  1  0 14  7 12  2  4  6 15  8
 4 14 11  2 17 10  9 12  0  6 15  8  7 13  1  3  5 16
15 12  1 11 10  9  3 13  6  5 16 17  8  7 14  0  2  4
13  0 12 10  9  2 16 14  5  4 17  3 11  8  7 15  6  1
 6 13 10  9  1 17 14 15  4  3 11  0  2 12  8  7 16  5
14 10  9  0 11 15  5 16  3  2 12  4  6  1 13  8  7 17

Точно так же, как ДЛК в построенной мной ортогональной паре, эти ДЛК являются SODLS.
Видимо, метод построения тут одинаковый.

Кстати, порядок 30 относится к той же серии n=4k+2, как и порядок 18.
Метод Harry White работает и для этого порядка!
Я уже это давно опробовала и ортогональную пару получила; наверное, я показала её в теме на форуме ОДЛК.
Покажу эту красивую ортогональную пару 30-го порядка и здесь

 0 22 24 11 23 27 28  8  6  5  4 14 13  1 29  2  3 16 15 20  9 12 25 19 18 17 21 10  7 26
13  1 21 23 12 22 26 27  9  7  6  5 14  2 28  3  4 15 19 10  0 24 18 17 29 20 11  8 25 16
14 13  2 20 22  0 21 25 26 10  8  7  6  3 27  4  5 18 11  1 23 17 29 28 19 12  9 24 16 15
 7 14 13  3 19 21  1 20 24 25 11  9  8  4 26  5  6 12  2 22 29 28 27 18  0 10 23 16 15 17
 9  8 14 13  4 18 20  2 19 23 24 12 10  5 25  6  7  3 21 28 27 26 17  1 11 22 16 15 29  0
11 10  9 14 13  5 17 19  3 18 22 23  0  6 24  7  8 20 27 26 25 29  2 12 21 16 15 28  1  4
 1 12 11 10 14 13  6 29 18  4 17 21 22  7 23  8  9 26 25 24 28  3  0 20 16 15 27  2  5 19
21  2  0 12 11 14 13  7 28 17  5 29 20  8 22  9 10 24 23 27  4  1 19 16 15 26  3  6 18 25
19 20  3  1  0 12 14 13  8 27 29  6 28  9 21 10 11 22 26  5  2 18 16 15 25  4  7 17 24 23
27 18 19  4  2  1  0 14 13  9 26 28  7 10 20 11 12 25  6  3 17 16 15 24  5  8 29 23 22 21
 8 26 17 18  5  3  2  1 14 13 10 25 27 11 19 12  0  7  4 29 16 15 23  6  9 28 22 21 20 24
26  9 25 29 17  6  4  3  2 14 13 11 24 12 18  0  1  5 28 16 15 22  7 10 27 21 20 19 23  8
23 25 10 24 28 29  7  5  4  3 14 13 12  0 17  1  2 27 16 15 21  8 11 26 20 19 18 22  9  6
 3  4  5  6  7  8  9 10 11 12  0  1  2 13 15 16 14 29 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 29 16 14 13 15  2  1  0 12 11 10  9  8  7  6  5  4  3
29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 14 16 15 13  1  0 12 11 10  9  8  7  6  5  4  3  2
 4  5  6  7  8  9 10 11 12  0  1  2  3 15 13 14 16 28 29 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
22 19 23 28 10  2 11  6 29 21 15 16  1 27  5 20 25 17 13 14 24  9  3  4 26 18  8 12  0  7
20 24 29  9  1 10  5 17 22 15 16  0 23 28  4 21 26  6 18 13 14 25  8  2  3 27 19  7 11 12
25 17  8  0  9  4 18 23 15 16 12 24 21 29  3 22 27 11  5 19 13 14 26  7  1  2 28 20  6 10
18  7 12  8  3 19 24 15 16 11 25 22 26 17  2 23 28  9 10  4 20 13 14 27  6  0  1 29 21  5
 6 11  7  2 20 25 15 16 10 26 23 27 19 18  1 24 29  4  8  9  3 21 13 14 28  5 12  0 17 22
10  6  1 21 26 15 16  9 27 24 28 20  5 19  0 25 17 23  3  7  8  2 22 13 14 29  4 11 12 18
 5  0 22 27 15 16  8 28 25 29 21  4  9 20 12 26 18 19 24  2  6  7  1 23 13 14 17  3 10 11
12 23 28 15 16  7 29 26 17 22  3  8  4 21 11 27 19 10 20 25  1  5  6  0 24 13 14 18  2  9
24 29 15 16  6 17 27 18 23  2  7  3 11 22 10 28 20  8  9 21 26  0  4  5 12 25 13 14 19  1
17 15 16  5 18 28 19 24  1  6  2 10 25 23  9 29 21  0  7  8 22 27 12  3  4 11 26 13 14 20
15 16  4 19 29 20 25  0  5  1  9 26 18 24  8 17 22 21 12  6  7 23 28 11  2  3 10 27 13 14
16  3 20 17 21 26 12  4  0  8 27 19 15 25  7 18 23 14 22 11  5  6 24 29 10  1  2  9 28 13
 2 21 18 22 27 11  3 12  7 28 20 15 16 26  6 19 24 13 14 23 10  4  5 25 17  9  0  1  8 29

 0 13 14  7  9 11  1 21 19 27  8 26 23  3 28 29  4 22 20 25 18  6 10  5 12 24 17 15 16  2
22  1 13 14  8 10 12  2 20 18 26  9 25  4 27 28  5 19 24 17  7 11  6  0 23 29 15 16  3 21
24 21  2 13 14  9 11  0  3 19 17 25 10  5 26 27  6 23 29  8 12  7  1 22 28 15 16  4 20 18
11 23 20  3 13 14 10 12  1  4 18 29 24  6 25 26  7 28  9  0  8  2 21 27 15 16  5 19 17 22
23 12 22 19  4 13 14 11  0  2  5 17 28  7 24 25  8 10  1  9  3 20 26 15 16  6 18 29 21 27
27 22  0 21 18  5 13 14 12  1  3  6 29  8 23 24  9  2 10  4 19 25 15 16  7 17 28 20 26 11
28 26 21  1 20 17  6 13 14  0  2  4  7  9 22 23 10 11  5 18 24 15 16  8 29 27 19 25 12  3
 8 27 25 20  2 19 29  7 13 14  1  3  5 10 21 22 11  6 17 23 15 16  9 28 26 18 24  0  4 12
 6  9 26 24 19  3 18 28  8 13 14  2  4 11 20 21 12 29 22 15 16 10 27 25 17 23  1  5  0  7
 5  7 10 25 23 18  4 17 27  9 13 14  3 12 19 20  0 21 15 16 11 26 24 29 22  2  6  1  8 28
 4  6  8 11 24 22 17  5 29 26 10 13 14  0 18 19  1 15 16 12 25 23 28 21  3  7  2  9 27 20
14  5  7  9 12 23 21 29  6 28 25 11 13  1 17 18  2 16  0 24 22 27 20  4  8  3 10 26 19 15
13 14  6  8 10  0 22 20 28  7 27 24 12  2 29 17  3  1 23 21 26 19  5  9  4 11 25 18 15 16
 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12  0 13 16 14 15 27 28 29 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 15 14 16 13  5  4  3  2  1  0 12 11 10  9  8  7  6
 2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12  0  1 16 13 15 14 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 17 18 19
 3  4  5  6  7  8  9 10 11 12  0  1  2 14 15 13 16 25 26 27 28 29 17 18 19 20 21 22 23 24
16 15 18 12  3 20 26 24 22 25  7  5 27 29  2  1 28 17  6 11  9  4 23 19 10  8  0 21 14 13
15 19 11  2 21 27 25 23 26  6  4 28 16 17  1  0 29 13 18  5 10  8  3 24 20  9  7 12 22 14
20 10  1 22 28 26 24 27  5  3 29 16 15 18  0 12 17 14 13 19  4  9  7  2 25 21  8  6 11 23
 9  0 23 29 27 25 28  4  2 17 16 15 21 19 12 11 18 24 14 13 20  3  8  6  1 26 22  7  5 10
12 24 17 28 26 29  3  1 18 16 15 22  8 20 11 10 19  9 25 14 13 21  2  7  5  0 27 23  6  4
25 18 29 27 17  2  0 19 16 15 23  7 11 21 10  9 20  3  8 26 14 13 22  1  6  4 12 28 24  5
19 17 28 18  1 12 20 16 15 24  6 10 26 22  9  8 21  4  2  7 27 14 13 23  0  5  3 11 29 25
18 29 19  0 11 21 16 15 25  5  9 27 20 23  8  7 22 26  3  1  6 28 14 13 24 12  4  2 10 17
17 20 12 10 22 16 15 26  4  8 28 21 19 24  7  6 23 18 27  2  0  5 29 14 13 25 11  3  1  9
21 11  9 23 16 15 27  3  7 29 22 20 18 25  6  5 24  8 19 28  1 12  4 17 14 13 26 10  2  0
10  8 24 16 15 28  2  6 17 23 21 19 22 26  5  4 25 12  7 20 29  0 11  3 18 14 13 27  9  1
 7 25 16 15 29  1  5 18 24 22 20 23  9 27  4  3 26  0 11  6 21 17 12 10  2 19 14 13 28  8
26 16 15 17  0  4 19 25 23 21 24  8  6 28  3  2 27  7 12 10  5 22 18 11  9  1 20 14 13 29

Чудесно!
Всё точно так же: два SODLS, транспонированные варианты друг друга.
Да, отличный метод для порядков серии n=4k+2.

Я не показала в этой теме ортогональную пару ДЛК 22-го порядка.
Показываю построенную тем же методом Harry White

 0 16 14  8 15  6 17 10  9  1 21  2  3 12 11  5 20 19  4 13  7 18
 9  1 15 13  0 14  7 16 10  2 20  3  4 11  6 19 18  5 21  8 17 12
10  9  2 14 21  1 13  8 15  3 19  4  5  7 18 17  6 20  0 16 12 11
14 10  9  3 13 20  2 21  0  4 18  5  6 17 16  7 19  1 15 12 11  8
 1 13 10  9  4 21 19  3 20  5 17  6  7 15  8 18  2 14 12 11  0 16
19  2 21 10  9  5 20 18  4  6 16  7  8  0 17  3 13 12 11  1 15 14
 5 18  3 20 10  9  6 19 17  7 15  8  0 16  4 21 12 11  2 14 13  1
16  6 17  4 19 10  9  7 18  8 14  0  1  5 20 12 11  3 13 21  2 15
17 15  7 16  5 18 10  9  8  0 13  1  2 19 12 11  4 21 20  3 14  6
 3  4  5  6  7  8  0  1  2  9 11 12 10 21 13 14 15 16 17 18 19 20
20 19 18 17 16 15 14 13 21 12 10  9 11  2  1  0  8  7  6  5  4  3
21 20 19 18 17 16 15 14 13 10 12 11  9  1  0  8  7  6  5  4  3  2
 4  5  6  7  8  0  1  2  3 11  9 10 12 14 15 16 17 18 19 20 21 13
18  7 20 21  2  4 11 12  1 19  5 14 17 13  9 10  3  8 16 15  6  0
 6 21 13  1  3 11 12  0 19 20  4 15 18  8 14  9 10  2  7 17 16  5
13 14  0  2 11 12  8 20  5 21  3 16 19  4  7 15  9 10  1  6 18 17
15  8  1 11 12  7 21  4 14 13  2 17 20 18  3  6 16  9 10  0  5 19
 7  0 11 12  6 13  3 15 16 14  1 18 21 20 19  2  5 17  9 10  8  4
 8 11 12  5 14  2 16 17  6 15  0 19 13  3 21 20  1  4 18  9 10  7
11 12  4 15  1 17 18  5  7 16  8 20 14  6  2 13 21  0  3 19  9 10
12  3 16  0 18 19  4  6 11 17  7 21 15 10  5  1 14 13  8  2 20  9
 2 17  8 19 20  3  5 11 12 18  6 13 16  9 10  4  0 15 14  7  1 21

 0  9 10 14  1 19  5 16 17  3 20 21  4 18  6 13 15  7  8 11 12  2
16  1  9 10 13  2 18  6 15  4 19 20  5  7 21 14  8  0 11 12  3 17
14 15  2  9 10 21  3 17  7  5 18 19  6 20 13  0  1 11 12  4 16  8
 8 13 14  3  9 10 20  4 16  6 17 18  7 21  1  2 11 12  5 15  0 19
15  0 21 13  4  9 10 19  5  7 16 17  8  2  3 11 12  6 14  1 18 20
 6 14  1 20 21  5  9 10 18  8 15 16  0  4 11 12  7 13  2 17 19  3
17  7 13  2 19 20  6  9 10  0 14 15  1 11 12  8 21  3 16 18  4  5
10 16  8 21  3 18 19  7  9  1 13 14  2 12  0 20  4 15 17  5  6 11
 9 10 15  0 20  4 17 18  8  2 21 13  3  1 19  5 14 16  6  7 11 12
 1  2  3  4  5  6  7  8  0  9 12 10 11 19 20 21 13 14 15 16 17 18
21 20 19 18 17 16 15 14 13 11 10 12  9  5  4  3  2  1  0  8  7  6
 2  3  4  5  6  7  8  0  1 12  9 11 10 14 15 16 17 18 19 20 21 13
 3  4  5  6  7  8  0  1  2 10 11  9 12 17 18 19 20 21 13 14 15 16
12 11  7 17 15  0 16  5 19 21  2  1 14 13  8  4 18 20  3  6 10  9
11  6 18 16  8 17  4 20 12 13  1  0 15  9 14  7  3 19 21  2  5 10
 5 19 17  7 18  3 21 12 11 14  0  8 16 10  9 15  6  2 20 13  1  4
20 18  6 19  2 13 12 11  4 15  8  7 17  3 10  9 16  5  1 21 14  0
19  5 20  1 14 12 11  3 21 16  7  6 18  8  2 10  9 17  4  0 13 15
 4 21  0 15 12 11  2 13 20 17  6  5 19 16  7  1 10  9 18  3  8 14
13  8 16 12 11  1 14 21  3 18  5  4 20 15 17  6  0 10  9 19  2  7
 7 17 12 11  0 15 13  2 14 19  4  3 21  6 16 18  5  8 10  9 20  1
18 12 11  8 16 14  1 15  6 20  3  2 13  0  5 17 19  4  7 10  9 21

Красиво и строится мгновенно.

Дальше буду двигаться, для порядка 34 построю (этим методом) и покажу ортогональную пару ДЛК.
Пока мы остановились на порядке 33.
Этот порядок тоже проблемный и для MOLS, и, конечно, для MODLS.

Задаю в программе SageMath команду

sage: for x in designs.mutually_orthogonal_latin_squares(5,33): print(x,'\n')

и получаю группу MOLS 33-го порядка из 5 ЛК

0 10 25 15 32 21 28 5 18 23 9 7 31 4 27 19 17 22 29 16 26 6 14 11 8 12 1 20 30 3 24 13 2
3 1 11 26 16 0 22 29 6 19 24 10 8 32 5 28 20 18 23 30 17 27 7 15 12 9 13 2 21 31 4 25 14
15 4 2 12 27 17 1 23 30 7 20 25 11 9 0 6 29 21 19 24 31 18 28 8 16 13 10 14 3 22 32 5 26
27 16 5 3 13 28 18 2 24 31 8 21 26 12 10 1 7 30 22 20 25 32 19 29 9 17 14 11 15 4 23 0 6
7 28 17 6 4 14 29 19 3 25 32 9 22 27 13 11 2 8 31 23 21 26 0 20 30 10 18 15 12 16 5 24 1
2 8 29 18 7 5 15 30 20 4 26 0 10 23 28 14 12 3 9 32 24 22 27 1 21 31 11 19 16 13 17 6 25
26 3 9 30 19 8 6 16 31 21 5 27 1 11 24 29 15 13 4 10 0 25 23 28 2 22 32 12 20 17 14 18 7
8 27 4 10 31 20 9 7 17 32 22 6 28 2 12 25 30 16 14 5 11 1 26 24 29 3 23 0 13 21 18 15 19
20 9 28 5 11 32 21 10 8 18 0 23 7 29 3 13 26 31 17 15 6 12 2 27 25 30 4 24 1 14 22 19 16
17 21 10 29 6 12 0 22 11 9 19 1 24 8 30 4 14 27 32 18 16 7 13 3 28 26 31 5 25 2 15 23 20
21 18 22 11 30 7 13 1 23 12 10 20 2 25 9 31 5 15 28 0 19 17 8 14 4 29 27 32 6 26 3 16 24
25 22 19 23 12 31 8 14 2 24 13 11 21 3 26 10 32 6 16 29 1 20 18 9 15 5 30 28 0 7 27 4 17
18 26 23 20 24 13 32 9 15 3 25 14 12 22 4 27 11 0 7 17 30 2 21 19 10 16 6 31 29 1 8 28 5
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28 16 14 20 7 1 26 6 19 11 23 32 4 18 15 29 22 3 9 2 30 10 12 17 21 25 0 31 13 27 5 24 8
9 29 17 15 21 8 2 27 7 20 12 24 0 5 19 16 30 23 4 10 3 31 11 13 18 22 26 1 32 14 28 6 25
26 10 30 18 16 22 9 3 28 8 21 13 25 1 6 20 17 31 24 5 11 4 32 12 14 19 23 27 2 0 15 29 7
8 27 11 31 19 17 23 10 4 29 9 22 14 26 2 7 21 18 32 25 6 12 5 0 13 15 20 24 28 3 1 16 30
31 9 28 12 32 20 18 24 11 5 30 10 23 15 27 3 8 22 19 0 26 7 13 6 1 14 16 21 25 29 4 2 17
18 32 10 29 13 0 21 19 25 12 6 31 11 24 16 28 4 9 23 20 1 27 8 14 7 2 15 17 22 26 30 5 3
4 19 0 11 30 14 1 22 20 26 13 7 32 12 25 17 29 5 10 24 21 2 28 9 15 8 3 16 18 23 27 31 6
7 5 20 1 12 31 15 2 23 21 27 14 8 0 13 26 18 30 6 11 25 22 3 29 10 16 9 4 17 19 24 28 32

0 7 26 1 18 19 14 22 28 11 29 8 16 15 25 3 21 23 9 32 10 2 13 5 31 20 27 6 24 30 4 17 12
12 0 7 26 1 18 19 14 22 28 11 29 8 16 15 25 3 21 23 9 32 10 2 13 5 31 20 27 6 24 30 4 17
17 12 0 7 26 1 18 19 14 22 28 11 29 8 16 15 25 3 21 23 9 32 10 2 13 5 31 20 27 6 24 30 4
4 17 12 0 7 26 1 18 19 14 22 28 11 29 8 16 15 25 3 21 23 9 32 10 2 13 5 31 20 27 6 24 30
30 4 17 12 0 7 26 1 18 19 14 22 28 11 29 8 16 15 25 3 21 23 9 32 10 2 13 5 31 20 27 6 24
24 30 4 17 12 0 7 26 1 18 19 14 22 28 11 29 8 16 15 25 3 21 23 9 32 10 2 13 5 31 20 27 6
6 24 30 4 17 12 0 7 26 1 18 19 14 22 28 11 29 8 16 15 25 3 21 23 9 32 10 2 13 5 31 20 27
27 6 24 30 4 17 12 0 7 26 1 18 19 14 22 28 11 29 8 16 15 25 3 21 23 9 32 10 2 13 5 31 20
20 27 6 24 30 4 17 12 0 7 26 1 18 19 14 22 28 11 29 8 16 15 25 3 21 23 9 32 10 2 13 5 31
31 20 27 6 24 30 4 17 12 0 7 26 1 18 19 14 22 28 11 29 8 16 15 25 3 21 23 9 32 10 2 13 5
5 31 20 27 6 24 30 4 17 12 0 7 26 1 18 19 14 22 28 11 29 8 16 15 25 3 21 23 9 32 10 2 13
13 5 31 20 27 6 24 30 4 17 12 0 7 26 1 18 19 14 22 28 11 29 8 16 15 25 3 21 23 9 32 10 2
2 13 5 31 20 27 6 24 30 4 17 12 0 7 26 1 18 19 14 22 28 11 29 8 16 15 25 3 21 23 9 32 10
10 2 13 5 31 20 27 6 24 30 4 17 12 0 7 26 1 18 19 14 22 28 11 29 8 16 15 25 3 21 23 9 32
32 10 2 13 5 31 20 27 6 24 30 4 17 12 0 7 26 1 18 19 14 22 28 11 29 8 16 15 25 3 21 23 9
9 32 10 2 13 5 31 20 27 6 24 30 4 17 12 0 7 26 1 18 19 14 22 28 11 29 8 16 15 25 3 21 23
23 9 32 10 2 13 5 31 20 27 6 24 30 4 17 12 0 7 26 1 18 19 14 22 28 11 29 8 16 15 25 3 21
21 23 9 32 10 2 13 5 31 20 27 6 24 30 4 17 12 0 7 26 1 18 19 14 22 28 11 29 8 16 15 25 3
3 21 23 9 32 10 2 13 5 31 20 27 6 24 30 4 17 12 0 7 26 1 18 19 14 22 28 11 29 8 16 15 25
25 3 21 23 9 32 10 2 13 5 31 20 27 6 24 30 4 17 12 0 7 26 1 18 19 14 22 28 11 29 8 16 15
15 25 3 21 23 9 32 10 2 13 5 31 20 27 6 24 30 4 17 12 0 7 26 1 18 19 14 22 28 11 29 8 16
16 15 25 3 21 23 9 32 10 2 13 5 31 20 27 6 24 30 4 17 12 0 7 26 1 18 19 14 22 28 11 29 8
8 16 15 25 3 21 23 9 32 10 2 13 5 31 20 27 6 24 30 4 17 12 0 7 26 1 18 19 14 22 28 11 29
29 8 16 15 25 3 21 23 9 32 10 2 13 5 31 20 27 6 24 30 4 17 12 0 7 26 1 18 19 14 22 28 11
11 29 8 16 15 25 3 21 23 9 32 10 2 13 5 31 20 27 6 24 30 4 17 12 0 7 26 1 18 19 14 22 28
28 11 29 8 16 15 25 3 21 23 9 32 10 2 13 5 31 20 27 6 24 30 4 17 12 0 7 26 1 18 19 14 22
22 28 11 29 8 16 15 25 3 21 23 9 32 10 2 13 5 31 20 27 6 24 30 4 17 12 0 7 26 1 18 19 14
14 22 28 11 29 8 16 15 25 3 21 23 9 32 10 2 13 5 31 20 27 6 24 30 4 17 12 0 7 26 1 18 19
19 14 22 28 11 29 8 16 15 25 3 21 23 9 32 10 2 13 5 31 20 27 6 24 30 4 17 12 0 7 26 1 18
18 19 14 22 28 11 29 8 16 15 25 3 21 23 9 32 10 2 13 5 31 20 27 6 24 30 4 17 12 0 7 26 1
1 18 19 14 22 28 11 29 8 16 15 25 3 21 23 9 32 10 2 13 5 31 20 27 6 24 30 4 17 12 0 7 26
26 1 18 19 14 22 28 11 29 8 16 15 25 3 21 23 9 32 10 2 13 5 31 20 27 6 24 30 4 17 12 0 7
7 26 1 18 19 14 22 28 11 29 8 16 15 25 3 21 23 9 32 10 2 13 5 31 20 27 6 24 30 4 17 12 0 [/code]
Из 6 ЛК программа пока не знает группу MOLS 33-го порядка.
Как говорит утилита Harry White, в этой группе нет ДЛК
[code]Order? 33

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_10.txt

Counts
------
5 Latin
1 center symmetric
4 natural \diagonal
4 orthogonal pair[/code]
Ортогональная пара ДЛК 33-го порядка у нас имеется.
Таким образом, пока a(33)>=2.

Показываю ортогональную пару ДЛК 33-го порядка, построенную по программе Harry White

 0  6  7  4  1  2 16  5 17 20 24 21 22 23 19 18  3 25 28 32 29 30 31 27 26  8 11 15 12 13 14 10  9
 7  1  4  2  5 16  3  6 19 18 22 23 24 21 17 20  0 27 26 30 31 32 29 25 28 10  9 13 14 15 12  8 11
 4  5  2 16  6  3  0  1 22 23 19 18 17 20 24 21  7 30 31 27 26 25 28 32 29 13 14 10  9  8 11 15 12
 2 16  6  3  0  1  7  4 24 21 17 20 19 18 22 23  5 32 29 25 28 27 26 30 31 15 12  8 11 10  9 13 14
 6  0  3  1  4  7  5 16 18 19 23 22 21 24 20 17  2 26 27 31 30 29 32 28 25  9 10 14 13 12 15 11  8
 3  4  1  7 16  5  2  0 20 17 21 24 23 22 18 19  6 28 25 29 32 31 30 26 27 11  8 12 15 14 13  9 10
 1  7 16  5  2  0  6  3 21 24 20 17 18 19 23 22  4 29 32 28 25 26 27 31 30 12 15 11  8  9 10 14 13
16  2  5  0  3  6  4  7 23 22 18 19 20 17 21 24  1 31 30 26 27 28 25 29 32 14 13  9 10 11  8 12 15
25 28 32 29 30 31 27 26  8 14 15 12  9 10 16 13 11  0  3  7  4  5  6  2  1 17 20 24 21 22 23 19 18
27 26 30 31 32 29 25 28 15  9 12 10 13 16 11 14  8  2  1  5  6  7  4  0  3 19 18 22 23 24 21 17 20
30 31 27 26 25 28 32 29 12 13 10 16 14 11  8  9 15  5  6  2  1  0  3  7  4 22 23 19 18 17 20 24 21
32 29 25 28 27 26 30 31 10 16 14 11  8  9 15 12 13  7  4  0  3  2  1  5  6 24 21 17 20 19 18 22 23
26 27 31 30 29 32 28 25 14  8 11  9 12 15 13 16 10  1  2  6  5  4  7  3  0 18 19 23 22 21 24 20 17
28 25 29 32 31 30 26 27 11 12  9 15 16 13 10  8 14  3  0  4  7  6  5  1  2 20 17 21 24 23 22 18 19
29 32 28 25 26 27 31 30  9 15 16 13 10  8 14 11 12  4  7  3  0  1  2  6  5 21 24 20 17 18 19 23 22
31 30 26 27 28 25 29 32 16 10 13  8 11 14 12 15  9  6  5  1  2  3  0  4  7 23 22 18 19 20 17 21 24
 5  3  0  6  7  4  1  2 13 11  8 14 15 12  9 10 16 22 20 17 23 24 21 18 19 30 28 25 31 32 29 26 27
 8 11 15 12 13 14 10  9 25 28 32 29 30 31 27 26 20 17 23 24 21 18 19 16 22  0  3  7  4  5  6  2  1
10  9 13 14 15 12  8 11 27 26 30 31 32 29 25 28 17 24 18 21 19 22 16 20 23  2  1  5  6  7  4  0  3
13 14 10  9  8 11 15 12 30 31 27 26 25 28 32 29 24 21 22 19 16 23 20 17 18  5  6  2  1  0  3  7  4
15 12  8 11 10  9 13 14 32 29 25 28 27 26 30 31 22 19 16 23 20 17 18 24 21  7  4  0  3  2  1  5  6
 9 10 14 13 12 15 11  8 26 27 31 30 29 32 28 25 19 23 17 20 18 21 24 22 16  1  2  6  5  4  7  3  0
11  8 12 15 14 13  9 10 28 25 29 32 31 30 26 27 23 20 21 18 24 16 22 19 17  3  0  4  7  6  5  1  2
12 15 11  8  9 10 14 13 29 32 28 25 26 27 31 30 21 18 24 16 22 19 17 23 20  4  7  3  0  1  2  6  5
14 13  9 10 11  8 12 15 31 30 26 27 28 25 29 32 18 16 19 22 17 20 23 21 24  6  5  1  2  3  0  4  7
17 20 24 21 22 23 19 18  0  3  7  4  5  6  2  1 28  8 11 15 12 13 14 10  9 25 31 32 29 26 27 16 30
19 18 22 23 24 21 17 20  2  1  5  6  7  4  0  3 25 10  9 13 14 15 12  8 11 32 26 29 27 30 16 28 31
22 23 19 18 17 20 24 21  5  6  2  1  0  3  7  4 32 13 14 10  9  8 11 15 12 29 30 27 16 31 28 25 26
24 21 17 20 19 18 22 23  7  4  0  3  2  1  5  6 30 15 12  8 11 10  9 13 14 27 16 31 28 25 26 32 29
18 19 23 22 21 24 20 17  1  2  6  5  4  7  3  0 27  9 10 14 13 12 15 11  8 31 25 28 26 29 32 30 16
20 17 21 24 23 22 18 19  3  0  4  7  6  5  1  2 31 11  8 12 15 14 13  9 10 28 29 26 32 16 30 27 25
21 24 20 17 18 19 23 22  4  7  3  0  1  2  6  5 29 12 15 11  8  9 10 14 13 26 32 16 30 27 25 31 28
23 22 18 19 20 17 21 24  6  5  1  2  3  0  4  7 26 14 13  9 10 11  8 12 15 16 27 30 25 28 31 29 32

 0  7  4  2  6  3  1 16 25 27 30 32 26 28 29 31  5  8 10 13 15  9 11 12 14 17 19 22 24 18 20 21 23
 6  1  5 16  0  4  7  2 28 26 31 29 27 25 32 30  3 11  9 14 12 10  8 15 13 20 18 23 21 19 17 24 22
 7  4  2  6  3  1 16  5 32 30 27 25 31 29 28 26  0 15 13 10  8 14 12 11  9 24 22 19 17 23 21 20 18
 4  2 16  3  1  7  5  0 29 31 26 28 30 32 25 27  6 12 14  9 11 13 15  8 10 21 23 18 20 22 24 17 19
 1  5  6  0  4 16  2  3 30 32 25 27 29 31 26 28  7 13 15  8 10 12 14  9 11 22 24 17 19 21 23 18 20
 2 16  3  1  7  5  0  6 31 29 28 26 32 30 27 25  4 14 12 11  9 15 13 10  8 23 21 20 18 24 22 19 17
16  3  0  7  5  2  6  4 27 25 32 30 28 26 31 29  1 10  8 15 13 11  9 14 12 19 17 24 22 20 18 23 21
 5  6  1  4 16  0  3  7 26 28 29 31 25 27 30 32  2  9 11 12 14  8 10 13 15 18 20 21 23 17 19 22 24
17 19 22 24 18 20 21 23  8 15 12 10 14 11  9 16 13 25 27 30 32 26 28 29 31  0  2  5  7  1  3  4  6
20 18 23 21 19 17 24 22 14  9 13 16  8 12 15 10 11 28 26 31 29 27 25 32 30  3  1  6  4  2  0  7  5
24 22 19 17 23 21 20 18 15 12 10 14 11  9 16 13  8 32 30 27 25 31 29 28 26  7  5  2  0  6  4  3  1
21 23 18 20 22 24 17 19 12 10 16 11  9 15 13  8 14 29 31 26 28 30 32 25 27  4  6  1  3  5  7  0  2
22 24 17 19 21 23 18 20  9 13 14  8 12 16 10 11 15 30 32 25 27 29 31 26 28  5  7  0  2  4  6  1  3
23 21 20 18 24 22 19 17 10 16 11  9 15 13  8 14 12 31 29 28 26 32 30 27 25  6  4  3  1  7  5  2  0
19 17 24 22 20 18 23 21 16 11  8 15 13 10 14 12  9 27 25 32 30 28 26 31 29  2  0  7  5  3  1  6  4
18 20 21 23 17 19 22 24 13 14  9 12 16  8 11 15 10 26 28 29 31 25 27 30 32  1  3  4  6  0  2  5  7
 3  0  7  5  2  6  4  1 11  8 15 13 10 14 12  9 16 20 17 24 22 19 23 21 18 28 25 32 30 27 31 29 26
25 27 30 32 26 28 29 31  0  2  5  7  1  3  4  6 22 17 24 21 19 23 20 18 16  8 10 13 15  9 11 12 14
28 26 31 29 27 25 32 30  3  1  6  4  2  0  7  5 20 23 18 22 16 17 21 24 19 11  9 14 12 10  8 15 13
32 30 27 25 31 29 28 26  7  5  2  0  6  4  3  1 17 24 21 19 23 20 18 16 22 15 13 10  8 14 12 11  9
29 31 26 28 30 32 25 27  4  6  1  3  5  7  0  2 23 21 19 16 20 18 24 22 17 12 14  9 11 13 15  8 10
30 32 25 27 29 31 26 28  5  7  0  2  4  6  1  3 24 18 22 23 17 21 16 19 20 13 15  8 10 12 14  9 11
31 29 28 26 32 30 27 25  6  4  3  1  7  5  2  0 21 19 16 20 18 24 22 17 23 14 12 11  9 15 13 10  8
27 25 32 30 28 26 31 29  2  0  7  5  3  1  6  4 18 16 20 17 24 22 19 23 21 10  8 15 13 11  9 14 12
26 28 29 31 25 27 30 32  1  3  4  6  0  2  5  7 19 22 23 18 21 16 17 20 24  9 11 12 14  8 10 13 15
 8 10 13 15  9 11 12 14 17 19 22 24 18 20 21 23 30  0  2  5  7  1  3  4  6 25 32 29 27 31 28 26 16
11  9 14 12 10  8 15 13 20 18 23 21 19 17 24 22 28  3  1  6  4  2  0  7  5 31 26 30 16 25 29 32 27
15 13 10  8 14 12 11  9 24 22 19 17 23 21 20 18 25  7  5  2  0  6  4  3  1 32 29 27 31 28 26 16 30
12 14  9 11 13 15  8 10 21 23 18 20 22 24 17 19 31  4  6  1  3  5  7  0  2 29 27 16 28 26 32 30 25
13 15  8 10 12 14  9 11 22 24 17 19 21 23 18 20 32  5  7  0  2  4  6  1  3 26 30 31 25 29 16 27 28
14 12 11  9 15 13 10  8 23 21 20 18 24 22 19 17 29  6  4  3  1  7  5  2  0 27 16 28 26 32 30 25 31
10  8 15 13 11  9 14 12 19 17 24 22 20 18 23 21 26  2  0  7  5  3  1  6  4 16 28 25 32 30 27 31 29
 9 11 12 14  8 10 13 15 18 20 21 23 17 19 22 24 27  1  3  4  6  0  2  5  7 30 31 26 29 16 25 28 32

По команде

sage: for x in designs.mutually_orthogonal_latin_squares(4,34): print(x,'\n')

поучаю группу MOLS 34-го порядка из 4-х ЛК

0 14 3 15 30 23 13 6 22 12 32 27 31 8 25 9 24 4 20 10 2 17 19 28 1 29 16 11 26 33 18 7 5 21
6 1 15 4 16 31 24 14 7 23 13 0 28 32 9 26 10 25 5 21 11 3 18 20 29 2 30 17 12 27 33 19 8 22
9 7 2 16 5 17 32 25 15 8 24 14 1 29 0 10 27 11 26 6 22 12 4 19 21 30 3 31 18 13 28 33 20 23
21 10 8 3 17 6 18 0 26 16 9 25 15 2 30 1 11 28 12 27 7 23 13 5 20 22 31 4 32 19 14 29 33 24
33 22 11 9 4 18 7 19 1 27 17 10 26 16 3 31 2 12 29 13 28 8 24 14 6 21 23 32 5 0 20 15 30 25
31 33 23 12 10 5 19 8 20 2 28 18 11 27 17 4 32 3 13 30 14 29 9 25 15 7 22 24 0 6 1 21 16 26
17 32 33 24 13 11 6 20 9 21 3 29 19 12 28 18 5 0 4 14 31 15 30 10 26 16 8 23 25 1 7 2 22 27
23 18 0 33 25 14 12 7 21 10 22 4 30 20 13 29 19 6 1 5 15 32 16 31 11 27 17 9 24 26 2 8 3 28
4 24 19 1 33 26 15 13 8 22 11 23 5 31 21 14 30 20 7 2 6 16 0 17 32 12 28 18 10 25 27 3 9 29
10 5 25 20 2 33 27 16 14 9 23 12 24 6 32 22 15 31 21 8 3 7 17 1 18 0 13 29 19 11 26 28 4 30
5 11 6 26 21 3 33 28 17 15 10 24 13 25 7 0 23 16 32 22 9 4 8 18 2 19 1 14 30 20 12 27 29 31
30 6 12 7 27 22 4 33 29 18 16 11 25 14 26 8 1 24 17 0 23 10 5 9 19 3 20 2 15 31 21 13 28 32
29 31 7 13 8 28 23 5 33 30 19 17 12 26 15 27 9 2 25 18 1 24 11 6 10 20 4 21 3 16 32 22 14 0
15 30 32 8 14 9 29 24 6 33 31 20 18 13 27 16 28 10 3 26 19 2 25 12 7 11 21 5 22 4 17 0 23 1
24 16 31 0 9 15 10 30 25 7 33 32 21 19 14 28 17 29 11 4 27 20 3 26 13 8 12 22 6 23 5 18 1 2
2 25 17 32 1 10 16 11 31 26 8 33 0 22 20 15 29 18 30 12 5 28 21 4 27 14 9 13 23 7 24 6 19 3
20 3 26 18 0 2 11 17 12 32 27 9 33 1 23 21 16 30 19 31 13 6 29 22 5 28 15 10 14 24 8 25 7 4
8 21 4 27 19 1 3 12 18 13 0 28 10 33 2 24 22 17 31 20 32 14 7 30 23 6 29 16 11 15 25 9 26 5
27 9 22 5 28 20 2 4 13 19 14 1 29 11 33 3 25 23 18 32 21 0 15 8 31 24 7 30 17 12 16 26 10 6
11 28 10 23 6 29 21 3 5 14 20 15 2 30 12 33 4 26 24 19 0 22 1 16 9 32 25 8 31 18 13 17 27 7
28 12 29 11 24 7 30 22 4 6 15 21 16 3 31 13 33 5 27 25 20 1 23 2 17 10 0 26 9 32 19 14 18 8
19 29 13 30 12 25 8 31 23 5 7 16 22 17 4 32 14 33 6 28 26 21 2 24 3 18 11 1 27 10 0 20 15 9
16 20 30 14 31 13 26 9 32 24 6 8 17 23 18 5 0 15 33 7 29 27 22 3 25 4 19 12 2 28 11 1 21 10
22 17 21 31 15 32 14 27 10 0 25 7 9 18 24 19 6 1 16 33 8 30 28 23 4 26 5 20 13 3 29 12 2 11
3 23 18 22 32 16 0 15 28 11 1 26 8 10 19 25 20 7 2 17 33 9 31 29 24 5 27 6 21 14 4 30 13 12
14 4 24 19 23 0 17 1 16 29 12 2 27 9 11 20 26 21 8 3 18 33 10 32 30 25 6 28 7 22 15 5 31 13
32 15 5 25 20 24 1 18 2 17 30 13 3 28 10 12 21 27 22 9 4 19 33 11 0 31 26 7 29 8 23 16 6 14
7 0 16 6 26 21 25 2 19 3 18 31 14 4 29 11 13 22 28 23 10 5 20 33 12 1 32 27 8 30 9 24 17 15
18 8 1 17 7 27 22 26 3 20 4 19 32 15 5 30 12 14 23 29 24 11 6 21 33 13 2 0 28 9 31 10 25 16
26 19 9 2 18 8 28 23 27 4 21 5 20 0 16 6 31 13 15 24 30 25 12 7 22 33 14 3 1 29 10 32 11 17
12 27 20 10 3 19 9 29 24 28 5 22 6 21 1 17 7 32 14 16 25 31 26 13 8 23 33 15 4 2 30 11 0 18
1 13 28 21 11 4 20 10 30 25 29 6 23 7 22 2 18 8 0 15 17 26 32 27 14 9 24 33 16 5 3 31 12 19
13 2 14 29 22 12 5 21 11 31 26 30 7 24 8 23 3 19 9 1 16 18 27 0 28 15 10 25 33 17 6 4 32 20
25 26 27 28 29 30 31 32 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 33 

0 6 19 30 17 7 2 29 16 24 20 32 11 4 23 18 28 10 1 5 12 8 26 21 31 15 27 33 25 14 3 9 13 22
14 1 7 20 31 18 8 3 30 17 25 21 0 12 5 24 19 29 11 2 6 13 9 27 22 32 16 28 33 26 15 4 10 23
11 15 2 8 21 32 19 9 4 31 18 26 22 1 13 6 25 20 30 12 3 7 14 10 28 23 0 17 29 33 27 16 5 24
6 12 16 3 9 22 0 20 10 5 32 19 27 23 2 14 7 26 21 31 13 4 8 15 11 29 24 1 18 30 33 28 17 25
18 7 13 17 4 10 23 1 21 11 6 0 20 28 24 3 15 8 27 22 32 14 5 9 16 12 30 25 2 19 31 33 29 26
30 19 8 14 18 5 11 24 2 22 12 7 1 21 29 25 4 16 9 28 23 0 15 6 10 17 13 31 26 3 20 32 33 27
33 31 20 9 15 19 6 12 25 3 23 13 8 2 22 30 26 5 17 10 29 24 1 16 7 11 18 14 32 27 4 21 0 28
1 33 32 21 10 16 20 7 13 26 4 24 14 9 3 23 31 27 6 18 11 30 25 2 17 8 12 19 15 0 28 5 22 29
23 2 33 0 22 11 17 21 8 14 27 5 25 15 10 4 24 32 28 7 19 12 31 26 3 18 9 13 20 16 1 29 6 30
7 24 3 33 1 23 12 18 22 9 15 28 6 26 16 11 5 25 0 29 8 20 13 32 27 4 19 10 14 21 17 2 30 31
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4 32 9 26 5 33 3 25 14 20 24 11 17 30 8 28 18 13 7 27 2 31 10 22 15 1 29 6 21 12 16 23 19 0
20 5 0 10 27 6 33 4 26 15 21 25 12 18 31 9 29 19 14 8 28 3 32 11 23 16 2 30 7 22 13 17 24 1
25 21 6 1 11 28 7 33 5 27 16 22 26 13 19 32 10 30 20 15 9 29 4 0 12 24 17 3 31 8 23 14 18 2
19 26 22 7 2 12 29 8 33 6 28 17 23 27 14 20 0 11 31 21 16 10 30 5 1 13 25 18 4 32 9 24 15 3
16 20 27 23 8 3 13 30 9 33 7 29 18 24 28 15 21 1 12 32 22 17 11 31 6 2 14 26 19 5 0 10 25 4
26 17 21 28 24 9 4 14 31 10 33 8 30 19 25 29 16 22 2 13 0 23 18 12 32 7 3 15 27 20 6 1 11 5
12 27 18 22 29 25 10 5 15 32 11 33 9 31 20 26 30 17 23 3 14 1 24 19 13 0 8 4 16 28 21 7 2 6
3 13 28 19 23 30 26 11 6 16 0 12 33 10 32 21 27 31 18 24 4 15 2 25 20 14 1 9 5 17 29 22 8 7
9 4 14 29 20 24 31 27 12 7 17 1 13 33 11 0 22 28 32 19 25 5 16 3 26 21 15 2 10 6 18 30 23 8
24 10 5 15 30 21 25 32 28 13 8 18 2 14 33 12 1 23 29 0 20 26 6 17 4 27 22 16 3 11 7 19 31 9
32 25 11 6 16 31 22 26 0 29 14 9 19 3 15 33 13 2 24 30 1 21 27 7 18 5 28 23 17 4 12 8 20 10
21 0 26 12 7 17 32 23 27 1 30 15 10 20 4 16 33 14 3 25 31 2 22 28 8 19 6 29 24 18 5 13 9 11
10 22 1 27 13 8 18 0 24 28 2 31 16 11 21 5 17 33 15 4 26 32 3 23 29 9 20 7 30 25 19 6 14 12
15 11 23 2 28 14 9 19 1 25 29 3 32 17 12 22 6 18 33 16 5 27 0 4 24 30 10 21 8 31 26 20 7 13
8 16 12 24 3 29 15 10 20 2 26 30 4 0 18 13 23 7 19 33 17 6 28 1 5 25 31 11 22 9 32 27 21 14
22 9 17 13 25 4 30 16 11 21 3 27 31 5 1 19 14 24 8 20 33 18 7 29 2 6 26 32 12 23 10 0 28 15
29 23 10 18 14 26 5 31 17 12 22 4 28 32 6 2 20 15 25 9 21 33 19 8 30 3 7 27 0 13 24 11 1 16
2 30 24 11 19 15 27 6 32 18 13 23 5 29 0 7 3 21 16 26 10 22 33 20 9 31 4 8 28 1 14 25 12 17
13 3 31 25 12 20 16 28 7 0 19 14 24 6 30 1 8 4 22 17 27 11 23 33 21 10 32 5 9 29 2 15 26 18
27 14 4 32 26 13 21 17 29 8 1 20 15 25 7 31 2 9 5 23 18 28 12 24 33 22 11 0 6 10 30 3 16 19
17 28 15 5 0 27 14 22 18 30 9 2 21 16 26 8 32 3 10 6 24 19 29 13 25 33 23 12 1 7 11 31 4 20
5 18 29 16 6 1 28 15 23 19 31 10 3 22 17 27 9 0 4 11 7 25 20 30 14 26 33 24 13 2 8 12 32 21
28 29 30 31 32 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 33 

0 2 29 24 22 4 20 5 23 6 15 13 28 30 10 21 26 12 25 27 31 7 14 32 11 16 19 17 8 18 9 33 3 1
4 1 3 30 25 23 5 21 6 24 7 16 14 29 31 11 22 27 13 26 28 32 8 15 0 12 17 20 18 9 19 10 33 2
33 5 2 4 31 26 24 6 22 7 25 8 17 15 30 32 12 23 28 14 27 29 0 9 16 1 13 18 21 19 10 20 11 3
12 33 6 3 5 32 27 25 7 23 8 26 9 18 16 31 0 13 24 29 15 28 30 1 10 17 2 14 19 22 20 11 21 4
22 13 33 7 4 6 0 28 26 8 24 9 27 10 19 17 32 1 14 25 30 16 29 31 2 11 18 3 15 20 23 21 12 5
13 23 14 33 8 5 7 1 29 27 9 25 10 28 11 20 18 0 2 15 26 31 17 30 32 3 12 19 4 16 21 24 22 6
23 14 24 15 33 9 6 8 2 30 28 10 26 11 29 12 21 19 1 3 16 27 32 18 31 0 4 13 20 5 17 22 25 7
26 24 15 25 16 33 10 7 9 3 31 29 11 27 12 30 13 22 20 2 4 17 28 0 19 32 1 5 14 21 6 18 23 8
24 27 25 16 26 17 33 11 8 10 4 32 30 12 28 13 31 14 23 21 3 5 18 29 1 20 0 2 6 15 22 7 19 9
20 25 28 26 17 27 18 33 12 9 11 5 0 31 13 29 14 32 15 24 22 4 6 19 30 2 21 1 3 7 16 23 8 10
9 21 26 29 27 18 28 19 33 13 10 12 6 1 32 14 30 15 0 16 25 23 5 7 20 31 3 22 2 4 8 17 24 11
25 10 22 27 30 28 19 29 20 33 14 11 13 7 2 0 15 31 16 1 17 26 24 6 8 21 32 4 23 3 5 9 18 12
19 26 11 23 28 31 29 20 30 21 33 15 12 14 8 3 1 16 32 17 2 18 27 25 7 9 22 0 5 24 4 6 10 13
11 20 27 12 24 29 32 30 21 31 22 33 16 13 15 9 4 2 17 0 18 3 19 28 26 8 10 23 1 6 25 5 7 14
8 12 21 28 13 25 30 0 31 22 32 23 33 17 14 16 10 5 3 18 1 19 4 20 29 27 9 11 24 2 7 26 6 15
7 9 13 22 29 14 26 31 1 32 23 0 24 33 18 15 17 11 6 4 19 2 20 5 21 30 28 10 12 25 3 8 27 16
28 8 10 14 23 30 15 27 32 2 0 24 1 25 33 19 16 18 12 7 5 20 3 21 6 22 31 29 11 13 26 4 9 17
10 29 9 11 15 24 31 16 28 0 3 1 25 2 26 33 20 17 19 13 8 6 21 4 22 7 23 32 30 12 14 27 5 18
6 11 30 10 12 16 25 32 17 29 1 4 2 26 3 27 33 21 18 20 14 9 7 22 5 23 8 24 0 31 13 15 28 19
29 7 12 31 11 13 17 26 0 18 30 2 5 3 27 4 28 33 22 19 21 15 10 8 23 6 24 9 25 1 32 14 16 20
17 30 8 13 32 12 14 18 27 1 19 31 3 6 4 28 5 29 33 23 20 22 16 11 9 24 7 25 10 26 2 0 15 21
16 18 31 9 14 0 13 15 19 28 2 20 32 4 7 5 29 6 30 33 24 21 23 17 12 10 25 8 26 11 27 3 1 22
2 17 19 32 10 15 1 14 16 20 29 3 21 0 5 8 6 30 7 31 33 25 22 24 18 13 11 26 9 27 12 28 4 23
5 3 18 20 0 11 16 2 15 17 21 30 4 22 1 6 9 7 31 8 32 33 26 23 25 19 14 12 27 10 28 13 29 24
30 6 4 19 21 1 12 17 3 16 18 22 31 5 23 2 7 10 8 32 9 0 33 27 24 26 20 15 13 28 11 29 14 25
15 31 7 5 20 22 2 13 18 4 17 19 23 32 6 24 3 8 11 9 0 10 1 33 28 25 27 21 16 14 29 12 30 26
31 16 32 8 6 21 23 3 14 19 5 18 20 24 0 7 25 4 9 12 10 1 11 2 33 29 26 28 22 17 15 30 13 27
14 32 17 0 9 7 22 24 4 15 20 6 19 21 25 1 8 26 5 10 13 11 2 12 3 33 30 27 29 23 18 16 31 28
32 15 0 18 1 10 8 23 25 5 16 21 7 20 22 26 2 9 27 6 11 14 12 3 13 4 33 31 28 30 24 19 17 29
18 0 16 1 19 2 11 9 24 26 6 17 22 8 21 23 27 3 10 28 7 12 15 13 4 14 5 33 32 29 31 25 20 30
21 19 1 17 2 20 3 12 10 25 27 7 18 23 9 22 24 28 4 11 29 8 13 16 14 5 15 6 33 0 30 32 26 31
27 22 20 2 18 3 21 4 13 11 26 28 8 19 24 10 23 25 29 5 12 30 9 14 17 15 6 16 7 33 1 31 0 32
1 28 23 21 3 19 4 22 5 14 12 27 29 9 20 25 11 24 26 30 6 13 31 10 15 18 16 7 17 8 33 2 32 0
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 0 1 2 33 

0 22 25 10 7 15 12 21 20 8 18 6 4 31 5 33 17 11 29 1 3 19 2 9 28 14 13 32 30 26 23 27 16 24
17 1 23 26 11 8 16 13 22 21 9 19 7 5 32 6 33 18 12 30 2 4 20 3 10 29 15 14 0 31 27 24 28 25
29 18 2 24 27 12 9 17 14 23 22 10 20 8 6 0 7 33 19 13 31 3 5 21 4 11 30 16 15 1 32 28 25 26
26 30 19 3 25 28 13 10 18 15 24 23 11 21 9 7 1 8 33 20 14 32 4 6 22 5 12 31 17 16 2 0 29 27
30 27 31 20 4 26 29 14 11 19 16 25 24 12 22 10 8 2 9 33 21 15 0 5 7 23 6 13 32 18 17 3 1 28
2 31 28 32 21 5 27 30 15 12 20 17 26 25 13 23 11 9 3 10 33 22 16 1 6 8 24 7 14 0 19 18 4 29
5 3 32 29 0 22 6 28 31 16 13 21 18 27 26 14 24 12 10 4 11 33 23 17 2 7 9 25 8 15 1 20 19 30
20 6 4 0 30 1 23 7 29 32 17 14 22 19 28 27 15 25 13 11 5 12 33 24 18 3 8 10 26 9 16 2 21 31
22 21 7 5 1 31 2 24 8 30 0 18 15 23 20 29 28 16 26 14 12 6 13 33 25 19 4 9 11 27 10 17 3 32
4 23 22 8 6 2 32 3 25 9 31 1 19 16 24 21 30 29 17 27 15 13 7 14 33 26 20 5 10 12 28 11 18 0
19 5 24 23 9 7 3 0 4 26 10 32 2 20 17 25 22 31 30 18 28 16 14 8 15 33 27 21 6 11 13 29 12 1
13 20 6 25 24 10 8 4 1 5 27 11 0 3 21 18 26 23 32 31 19 29 17 15 9 16 33 28 22 7 12 14 30 2
31 14 21 7 26 25 11 9 5 2 6 28 12 1 4 22 19 27 24 0 32 20 30 18 16 10 17 33 29 23 8 13 15 3
16 32 15 22 8 27 26 12 10 6 3 7 29 13 2 5 23 20 28 25 1 0 21 31 19 17 11 18 33 30 24 9 14 4
15 17 0 16 23 9 28 27 13 11 7 4 8 30 14 3 6 24 21 29 26 2 1 22 32 20 18 12 19 33 31 25 10 5
11 16 18 1 17 24 10 29 28 14 12 8 5 9 31 15 4 7 25 22 30 27 3 2 23 0 21 19 13 20 33 32 26 6
27 12 17 19 2 18 25 11 30 29 15 13 9 6 10 32 16 5 8 26 23 31 28 4 3 24 1 22 20 14 21 33 0 7
1 28 13 18 20 3 19 26 12 31 30 16 14 10 7 11 0 17 6 9 27 24 32 29 5 4 25 2 23 21 15 22 33 8
33 2 29 14 19 21 4 20 27 13 32 31 17 15 11 8 12 1 18 7 10 28 25 0 30 6 5 26 3 24 22 16 23 9
24 33 3 30 15 20 22 5 21 28 14 0 32 18 16 12 9 13 2 19 8 11 29 26 1 31 7 6 27 4 25 23 17 10
18 25 33 4 31 16 21 23 6 22 29 15 1 0 19 17 13 10 14 3 20 9 12 30 27 2 32 8 7 28 5 26 24 11
25 19 26 33 5 32 17 22 24 7 23 30 16 2 1 20 18 14 11 15 4 21 10 13 31 28 3 0 9 8 29 6 27 12
28 26 20 27 33 6 0 18 23 25 8 24 31 17 3 2 21 19 15 12 16 5 22 11 14 32 29 4 1 10 9 30 7 13
8 29 27 21 28 33 7 1 19 24 26 9 25 32 18 4 3 22 20 16 13 17 6 23 12 15 0 30 5 2 11 10 31 14
32 9 30 28 22 29 33 8 2 20 25 27 10 26 0 19 5 4 23 21 17 14 18 7 24 13 16 1 31 6 3 12 11 15
12 0 10 31 29 23 30 33 9 3 21 26 28 11 27 1 20 6 5 24 22 18 15 19 8 25 14 17 2 32 7 4 13 16
14 13 1 11 32 30 24 31 33 10 4 22 27 29 12 28 2 21 7 6 25 23 19 16 20 9 26 15 18 3 0 8 5 17
6 15 14 2 12 0 31 25 32 33 11 5 23 28 30 13 29 3 22 8 7 26 24 20 17 21 10 27 16 19 4 1 9 18
10 7 16 15 3 13 1 32 26 0 33 12 6 24 29 31 14 30 4 23 9 8 27 25 21 18 22 11 28 17 20 5 2 19
3 11 8 17 16 4 14 2 0 27 1 33 13 7 25 30 32 15 31 5 24 10 9 28 26 22 19 23 12 29 18 21 6 20
7 4 12 9 18 17 5 15 3 1 28 2 33 14 8 26 31 0 16 32 6 25 11 10 29 27 23 20 24 13 30 19 22 21
23 8 5 13 10 19 18 6 16 4 2 29 3 33 15 9 27 32 1 17 0 7 26 12 11 30 28 24 21 25 14 31 20 22
21 24 9 6 14 11 20 19 7 17 5 3 30 4 33 16 10 28 0 2 18 1 8 27 13 12 31 29 25 22 26 15 32 23
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 0 1 2 3 4 5 6 7 8 33 

Из 5 ЛК программа пока не знает группу MOLS данного порядка.
В показанной группе ДЛК нет.
Ну, ортогональная пара ДЛК 34-го порядка у нас имеется.
Таким образом, пока a(34)>=2.

Показываю ортогональную пару ДЛК 34-го порядка, построенную по программе Harry White

 0 18  7  4  5 21  2  1 16 17 25 22 23 24 20 19  3  6 26 29 33 30 31 32 28 27  8 11 15 12 13 14 10  9
 2  1  5 18  7  4  0 21 20 19 23 24 25 22 16 17  6  3 28 27 31 32 33 30 26 29 10  9 13 14 15 12  8 11
18  6  2  1 21  3  7  4 23 24 20 19 16 17 25 22  5  0 31 32 28 27 26 29 33 30 13 14 10  9  8 11 15 12
 7  4 18  3  2  1 21  6 25 22 16 17 20 19 23 24  0  5 33 30 26 29 28 27 31 32 15 12  8 11 10  9 13 14
 1 21  6  5  4 18  3  0 19 20 24 23 22 25 17 16  7  2 27 28 32 31 30 33 29 26  9 10 14 13 12 15 11  8
 3  0  4 21  6  5  1 18 17 16 22 25 24 23 19 20  2  7 29 26 30 33 32 31 27 28 11  8 12 15 14 13  9 10
21  7  3  0 18  2  6  5 22 25 17 16 19 20 24 23  1  4 30 33 29 26 27 28 32 31 12 15 11  8  9 10 14 13
 6  5 21  2  3  0 18  7 24 23 19 20 17 16 22 25  4  1 32 31 27 28 29 26 30 33 14 13  9 10 11  8 12 15
26 29 33 30 31 32 28 27  8 18 15 12 13 21 10  9 11 14  0  3  7  4  5  6  2  1 16 17 25 22 23 24 20 19
28 27 31 32 33 30 26 29 10  9 13 18 15 12  8 21 14 11  2  1  5  6  7  4  0  3 20 19 23 24 25 22 16 17
31 32 28 27 26 29 33 30 18 14 10  9 21 11 15 12 13  8  5  6  2  1  0  3  7  4 23 24 20 19 16 17 25 22
33 30 26 29 28 27 31 32 15 12 18 11 10  9 21 14  8 13  7  4  0  3  2  1  5  6 25 22 16 17 20 19 23 24
27 28 32 31 30 33 29 26  9 21 14 13 12 18 11  8 15 10  1  2  6  5  4  7  3  0 19 20 24 23 22 25 17 16
29 26 30 33 32 31 27 28 11  8 12 21 14 13  9 18 10 15  3  0  4  7  6  5  1  2 17 16 22 25 24 23 19 20
30 33 29 26 27 28 32 31 21 15 11  8 18 10 14 13  9 12  4  7  3  0  1  2  6  5 22 25 17 16 19 20 24 23
32 31 27 28 29 26 30 33 14 13 21 10 11  8 18 15 12  9  6  5  1  2  3  0  4  7 24 23 19 20 17 16 22 25
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 4  2  1  7  0  6  5  3 12 10  9 15  8 14 13 11 18 17 20 23 16 25 21 22 19 24 30 28 27 33 26 32 31 29
 8 11 15 12 13 14 10  9 26 29 33 30 31 32 28 27 17 24 18 25 19 20 23 21 22 16  0  3  7  4  5  6  2  1
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13 14 10  9  8 11 15 12 31 32 28 27 26 29 33 30 19 23 16 21 20 22 17 24 25 18  5  6  2  1  0  3  7  4
15 12  8 11 10  9 13 14 33 30 26 29 28 27 31 32 22 16 23 24 25 21 19 18 20 17  7  4  0  3  2  1  5  6
 9 10 14 13 12 15 11  8 27 28 32 31 30 33 29 26 21 25 19 18 24 17 22 16 23 20  1  2  6  5  4  7  3  0
11  8 12 15 14 13  9 10 29 26 30 33 32 31 27 28 25 18 17 20 21 19 24 23 16 22  3  0  4  7  6  5  1  2
12 15 11  8  9 10 14 13 30 33 29 26 27 28 32 31 23 20 21 22 18 16 25 17 24 19  4  7  3  0  1  2  6  5
14 13  9 10 11  8 12 15 32 31 27 28 29 26 30 33 24 19 22 16 17 23 18 20 21 25  6  5  1  2  3  0  4  7
16 17 25 22 23 24 20 19  0  3  7  4  5  6  2  1 29 32  8 11 15 12 13 14 10  9 26 18 33 30 31 21 28 27
20 19 23 24 25 22 16 17  2  1  5  6  7  4  0  3 32 29 10  9 13 14 15 12  8 11 28 27 31 18 33 30 26 21
23 24 20 19 16 17 25 22  5  6  2  1  0  3  7  4 31 26 13 14 10  9  8 11 15 12 18 32 28 27 21 29 33 30
25 22 16 17 20 19 23 24  7  4  0  3  2  1  5  6 26 31 15 12  8 11 10  9 13 14 33 30 18 29 28 27 21 32
19 20 24 23 22 25 17 16  1  2  6  5  4  7  3  0 33 28  9 10 14 13 12 15 11  8 27 21 32 31 30 18 29 26
17 16 22 25 24 23 19 20  3  0  4  7  6  5  1  2 28 33 11  8 12 15 14 13  9 10 29 26 30 21 32 31 27 18
22 25 17 16 19 20 24 23  4  7  3  0  1  2  6  5 27 30 12 15 11  8  9 10 14 13 21 33 29 26 18 28 32 31
24 23 19 20 17 16 22 25  6  5  1  2  3  0  4  7 30 27 14 13  9 10 11  8 12 15 32 31 21 28 29 26 18 33

 0  2 18  7  1  3 21  6 26 28 31 33 27 29 30 32  5  4  8 10 13 15  9 11 12 14 16 20 23 25 19 17 22 24
18  1  6  4 21  0  7  5 29 27 32 30 28 26 33 31  3  2 11  9 14 12 10  8 15 13 17 19 24 22 20 16 25 23
 7  5  2 18  6  4  3 21 33 31 28 26 32 30 29 27  0  1 15 13 10  8 14 12 11  9 25 23 20 16 24 22 17 19
 4 18  1  3  5 21  0  2 30 32 27 29 31 33 26 28  6  7 12 14  9 11 13 15  8 10 22 24 19 17 23 25 16 20
 5  7 21  2  4  6 18  3 31 33 26 28 30 32 27 29  1  0 13 15  8 10 12 14  9 11 23 25 16 20 22 24 19 17
21  4  3  1 18  5  2  0 32 30 29 27 33 31 28 26  7  6 14 12 11  9 15 13 10  8 24 22 17 19 25 23 20 16
 2  0  7 21  3  1  6 18 28 26 33 31 29 27 32 30  4  5 10  8 15 13 11  9 14 12 20 16 25 23 17 19 24 22
 1 21  4  6  0 18  5  7 27 29 30 32 26 28 31 33  2  3  9 11 12 14  8 10 13 15 19 17 22 24 16 20 23 25
16 20 23 25 19 17 22 24  8 10 18 15  9 11 21 14 13 12 26 28 31 33 27 29 30 32  0  2  5  7  1  3  4  6
17 19 24 22 20 16 25 23 18  9 14 12 21  8 15 13 11 10 29 27 32 30 28 26 33 31  3  1  6  4  2  0  7  5
25 23 20 16 24 22 17 19 15 13 10 18 14 12 11 21  8  9 33 31 28 26 32 30 29 27  7  5  2  0  6  4  3  1
22 24 19 17 23 25 16 20 12 18  9 11 13 21  8 10 14 15 30 32 27 29 31 33 26 28  4  6  1  3  5  7  0  2
23 25 16 20 22 24 19 17 13 15 21 10 12 14 18 11  9  8 31 33 26 28 30 32 27 29  5  7  0  2  4  6  1  3
24 22 17 19 25 23 20 16 21 12 11  9 18 13 10  8 15 14 32 30 29 27 33 31 28 26  6  4  3  1  7  5  2  0
20 16 25 23 17 19 24 22 10  8 15 21 11  9 14 18 12 13 28 26 33 31 29 27 32 30  2  0  7  5  3  1  6  4
19 17 22 24 16 20 23 25  9 21 12 14  8 18 13 15 10 11 27 29 30 32 26 28 31 33  1  3  4  6  0  2  5  7
 3  6  5  0  7  2  1  4 11 14 13  8 15 10  9 12 16 18 17 20 19 22 21 25 23 24 29 32 31 26 33 28 27 30
 6  3  0  5  2  7  4  1 14 11  8 13 10 15 12  9 21 17 24 22 23 16 25 18 20 19 32 29 26 31 28 33 30 27
26 28 31 33 27 29 30 32  0  2  5  7  1  3  4  6 25 20 18 24 16 23 19 17 21 22  8 10 13 15  9 11 12 14
29 27 32 30 28 26 33 31  3  1  6  4  2  0  7  5 17 23 25 19 21 24 18 20 22 16 11  9 14 12 10  8 15 13
33 31 28 26 32 30 29 27  7  5  2  0  6  4  3  1 22 16 19 23 20 25 24 21 18 17 15 13 10  8 14 12 11  9
30 32 27 29 31 33 26 28  4  6  1  3  5  7  0  2 24 25 20 18 22 21 17 19 16 23 12 14  9 11 13 15  8 10
31 33 26 28 30 32 27 29  5  7  0  2  4  6  1  3 20 21 23 16 17 19 22 24 25 18 13 15  8 10 12 14  9 11
32 30 29 27 33 31 28 26  6  4  3  1  7  5  2  0 19 22 21 25 24 18 16 23 17 20 14 12 11  9 15 13 10  8
28 26 33 31 29 27 32 30  2  0  7  5  3  1  6  4 18 19 22 17 25 20 23 16 24 21 10  8 15 13 11  9 14 12
27 29 30 32 26 28 31 33  1  3  4  6  0  2  5  7 23 24 16 21 18 17 20 22 19 25  9 11 12 14  8 10 13 15
 8 10 13 15  9 11 12 14 16 20 23 25 19 17 22 24 31 30  0  2  5  7  1  3  4  6 26 28 18 33 27 29 21 32
11  9 14 12 10  8 15 13 17 19 24 22 20 16 25 23 29 28  3  1  6  4  2  0  7  5 18 27 32 30 21 26 33 31
15 13 10  8 14 12 11  9 25 23 20 16 24 22 17 19 26 27  7  5  2  0  6  4  3  1 33 31 28 18 32 30 29 21
12 14  9 11 13 15  8 10 22 24 19 17 23 25 16 20 32 33  4  6  1  3  5  7  0  2 30 18 27 29 31 21 26 28
13 15  8 10 12 14  9 11 23 25 16 20 22 24 19 17 27 26  5  7  0  2  4  6  1  3 31 33 21 28 30 32 18 29
14 12 11  9 15 13 10  8 24 22 17 19 25 23 20 16 33 32  6  4  3  1  7  5  2  0 21 30 29 27 18 31 28 26
10  8 15 13 11  9 14 12 20 16 25 23 17 19 24 22 30 31  2  0  7  5  3  1  6  4 28 26 33 21 29 27 32 18
 9 11 12 14  8 10 13 15 19 17 22 24 16 20 23 25 28 29  1  3  4  6  0  2  5  7 27 21 30 32 26 18 31 33

По команде

sage: for x in designs.mutually_orthogonal_latin_squares(5,35): print(x,'\n')

получаю группу MOLS 35-го порядка из 5 ЛК

0 30 32  6 15 10 12 14  9 11 34  1  3 26 28 23 25 27 22 31  5  7  2  4 20  8 24 19 21 16 18 13 29 17 33
34  1 31 33  7 16 11 13 15 10 12  0  2  4 27 29 24 26 28 23 32  6  8  3  5 21  9 25 20 22 17 19 14 30 18
19  0  2 32 34  8 17 12 14 16 11 13  1  3  5 28 30 25 27 29 24 33  7  9  4  6 22 10 26 21 23 18 20 15 31
32 20  1  3 33  0  9 18 13 15 17 12 14  2  4  6 29 31 26 28 30 25 34  8 10  5  7 23 11 27 22 24 19 21 16
17 33 21  2  4 34  1 10 19 14 16 18 13 15  3  5  7 30 32 27 29 31 26  0  9 11  6  8 24 12 28 23 25 20 22
23 18 34 22  3  5  0  2 11 20 15 17 19 14 16  4  6  8 31 33 28 30 32 27  1 10 12  7  9 25 13 29 24 26 21
22 24 19  0 23  4  6  1  3 12 21 16 18 20 15 17  5  7  9 32 34 29 31 33 28  2 11 13  8 10 26 14 30 25 27
28 23 25 20  1 24  5  7  2  4 13 22 17 19 21 16 18  6  8 10 33  0 30 32 34 29  3 12 14  9 11 27 15 31 26
27 29 24 26 21  2 25  6  8  3  5 14 23 18 20 22 17 19  7  9 11 34  1 31 33  0 30  4 13 15 10 12 28 16 32
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20 26 32 3 6 12 18 24 28 33 0 7 13 17 23 29 34 1 5 14 19 22 25 30 4 8 10 15 21 27 31 2 9 11 16
16 20 26 32 3 6 12 18 24 28 33 0 7 13 17 23 29 34 1 5 14 19 22 25 30 4 8 10 15 21 27 31 2 9 11
11 16 20 26 32 3 6 12 18 24 28 33 0 7 13 17 23 29 34 1 5 14 19 22 25 30 4 8 10 15 21 27 31 2 9
9 11 16 20 26 32 3 6 12 18 24 28 33 0 7 13 17 23 29 34 1 5 14 19 22 25 30 4 8 10 15 21 27 31 2
2 9 11 16 20 26 32 3 6 12 18 24 28 33 0 7 13 17 23 29 34 1 5 14 19 22 25 30 4 8 10 15 21 27 31
31 2 9 11 16 20 26 32 3 6 12 18 24 28 33 0 7 13 17 23 29 34 1 5 14 19 22 25 30 4 8 10 15 21 27
27 31 2 9 11 16 20 26 32 3 6 12 18 24 28 33 0 7 13 17 23 29 34 1 5 14 19 22 25 30 4 8 10 15 21
21 27 31 2 9 11 16 20 26 32 3 6 12 18 24 28 33 0 7 13 17 23 29 34 1 5 14 19 22 25 30 4 8 10 15
15 21 27 31 2 9 11 16 20 26 32 3 6 12 18 24 28 33 0 7 13 17 23 29 34 1 5 14 19 22 25 30 4 8 10
10 15 21 27 31 2 9 11 16 20 26 32 3 6 12 18 24 28 33 0 7 13 17 23 29 34 1 5 14 19 22 25 30 4 8
8 10 15 21 27 31 2 9 11 16 20 26 32 3 6 12 18 24 28 33 0 7 13 17 23 29 34 1 5 14 19 22 25 30 4
4 8 10 15 21 27 31 2 9 11 16 20 26 32 3 6 12 18 24 28 33 0 7 13 17 23 29 34 1 5 14 19 22 25 30
30 4 8 10 15 21 27 31 2 9 11 16 20 26 32 3 6 12 18 24 28 33 0 7 13 17 23 29 34 1 5 14 19 22 25
25 30 4 8 10 15 21 27 31 2 9 11 16 20 26 32 3 6 12 18 24 28 33 0 7 13 17 23 29 34 1 5 14 19 22
22 25 30 4 8 10 15 21 27 31 2 9 11 16 20 26 32 3 6 12 18 24 28 33 0 7 13 17 23 29 34 1 5 14 19
19 22 25 30 4 8 10 15 21 27 31 2 9 11 16 20 26 32 3 6 12 18 24 28 33 0 7 13 17 23 29 34 1 5 14
14 19 22 25 30 4 8 10 15 21 27 31 2 9 11 16 20 26 32 3 6 12 18 24 28 33 0 7 13 17 23 29 34 1 5
5 14 19 22 25 30 4 8 10 15 21 27 31 2 9 11 16 20 26 32 3 6 12 18 24 28 33 0 7 13 17 23 29 34 1
1 5 14 19 22 25 30 4 8 10 15 21 27 31 2 9 11 16 20 26 32 3 6 12 18 24 28 33 0 7 13 17 23 29 34
34 1 5 14 19 22 25 30 4 8 10 15 21 27 31 2 9 11 16 20 26 32 3 6 12 18 24 28 33 0 7 13 17 23 29
29 34 1 5 14 19 22 25 30 4 8 10 15 21 27 31 2 9 11 16 20 26 32 3 6 12 18 24 28 33 0 7 13 17 23
23 29 34 1 5 14 19 22 25 30 4 8 10 15 21 27 31 2 9 11 16 20 26 32 3 6 12 18 24 28 33 0 7 13 17
17 23 29 34 1 5 14 19 22 25 30 4 8 10 15 21 27 31 2 9 11 16 20 26 32 3 6 12 18 24 28 33 0 7 13
13 17 23 29 34 1 5 14 19 22 25 30 4 8 10 15 21 27 31 2 9 11 16 20 26 32 3 6 12 18 24 28 33 0 7
7 13 17 23 29 34 1 5 14 19 22 25 30 4 8 10 15 21 27 31 2 9 11 16 20 26 32 3 6 12 18 24 28 33 0
[/code]
Из 6 ЛК программа пока не знает группы MOLS 35-го порядка.
Проверяю эти ЛК утилитой Harry White
[code]Order? 35

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_9.txt

Counts
------
4 Latin
1 diagonal Latin
1 pandiagonal
1 center symmetric
4 natural \diagonal
4 orthogonal pair
[/code]
Есть один ДЛК, причём он пандиагональный.
Очень оригинальный последний ЛК, он центрально-симметричный и полупандиагональный; построен методом циклического сдвига.

Построить ортогональную пару ДЛК 35-го порядка очень просто методом составных квадратов (35=5*7).
Так что, пока a(35)>=2.

По команде

sage: for x in designs.mutually_orthogonal_latin_squares(8,36): print(x,'\n')

получаю группу MOLS 36-го порядка из 8 ЛК

0 7 4 11 2 9 30 22 34 20 32 18 1 29 5 27 3 25 16 28 14 26 12 24 23 6 21 10 19 8 35 13 33 17 31 15
10 1 8 5 6 3 19 31 23 35 21 33 26 2 24 0 28 4 25 17 29 15 27 13 9 18 7 22 11 20 16 30 14 34 12 32
4 11 2 9 0 7 34 20 32 18 30 22 5 27 3 25 1 29 14 26 12 24 16 28 21 10 19 8 23 6 33 17 31 15 35 13
8 5 6 3 10 1 23 35 21 33 19 31 24 0 28 4 26 2 29 15 27 13 25 17 7 22 11 20 9 18 14 34 12 32 16 30
2 9 0 7 4 11 32 18 30 22 34 20 3 25 1 29 5 27 12 24 16 28 14 26 19 8 23 6 21 10 31 15 35 13 33 17
6 3 10 1 8 5 21 33 19 31 23 35 28 4 26 2 24 0 27 13 25 17 29 15 11 20 9 18 7 22 12 32 16 30 14 34
5 19 3 23 1 21 6 13 10 17 8 15 0 28 4 26 2 24 7 35 11 33 9 31 22 34 20 32 18 30 29 12 27 16 25 14
22 0 20 4 18 2 16 7 14 11 12 9 25 1 29 5 27 3 32 8 30 6 34 10 31 23 35 21 33 19 15 24 13 28 17 26
3 23 1 21 5 19 10 17 8 15 6 13 4 26 2 24 0 28 11 33 9 31 7 35 20 32 18 30 22 34 27 16 25 14 29 12
20 4 18 2 22 0 14 11 12 9 16 7 29 5 27 3 25 1 30 6 34 10 32 8 35 21 33 19 31 23 13 28 17 26 15 24
1 21 5 19 3 23 8 15 6 13 10 17 2 24 0 28 4 26 9 31 7 35 11 33 18 30 22 34 20 32 25 14 29 12 27 16
18 2 22 0 20 4 12 9 16 7 14 11 27 3 25 1 29 5 34 10 32 8 30 6 33 19 31 23 35 21 17 26 15 24 13 28
35 18 33 22 31 20 11 25 9 29 7 27 12 19 16 23 14 21 6 34 10 32 8 30 13 5 17 3 15 1 28 4 26 2 24 0
21 30 19 34 23 32 28 6 26 10 24 8 22 13 20 17 18 15 31 7 35 11 33 9 2 14 0 12 4 16 1 29 5 27 3 25
33 22 31 20 35 18 9 29 7 27 11 25 16 23 14 21 12 19 10 32 8 30 6 34 17 3 15 1 13 5 26 2 24 0 28 4
19 34 23 32 21 30 26 10 24 8 28 6 20 17 18 15 22 13 35 11 33 9 31 7 0 12 4 16 2 14 5 27 3 25 1 29
31 20 35 18 33 22 7 27 11 25 9 29 14 21 12 19 16 23 8 30 6 34 10 32 15 1 13 5 17 3 24 0 28 4 26 2
23 32 21 30 19 34 24 8 28 6 26 10 18 15 22 13 20 17 33 9 31 7 35 11 4 16 2 14 0 12 3 25 1 29 5 27
34 10 32 8 30 6 5 24 3 28 1 26 17 31 15 35 13 33 18 25 22 29 20 27 12 4 16 2 14 0 19 11 23 9 21 7
7 35 11 33 9 31 27 0 25 4 29 2 34 12 32 16 30 14 28 19 26 23 24 21 1 13 5 17 3 15 8 20 6 18 10 22
32 8 30 6 34 10 3 28 1 26 5 24 15 35 13 33 17 31 22 29 20 27 18 25 16 2 14 0 12 4 23 9 21 7 19 11
11 33 9 31 7 35 25 4 29 2 27 0 32 16 30 14 34 12 26 23 24 21 28 19 5 17 3 15 1 13 6 18 10 22 8 20
30 6 34 10 32 8 1 26 5 24 3 28 13 33 17 31 15 35 20 27 18 25 22 29 14 0 12 4 16 2 21 7 19 11 23 9
9 31 7 35 11 33 29 2 27 0 25 4 30 14 34 12 32 16 24 21 28 19 26 23 3 15 1 13 5 17 10 22 8 20 6 18
25 17 29 15 27 13 4 16 2 14 0 12 11 30 9 34 7 32 23 1 21 5 19 3 24 31 28 35 26 33 18 10 22 8 20 6
14 26 12 24 16 28 13 5 17 3 15 1 33 6 31 10 35 8 4 18 2 22 0 20 34 25 32 29 30 27 7 19 11 23 9 21
29 15 27 13 25 17 2 14 0 12 4 16 9 34 7 32 11 30 21 5 19 3 23 1 28 35 26 33 24 31 22 8 20 6 18 10
12 24 16 28 14 26 17 3 15 1 13 5 31 10 35 8 33 6 2 22 0 20 4 18 32 29 30 27 34 25 11 23 9 21 7 19
27 13 25 17 29 15 0 12 4 16 2 14 7 32 11 30 9 34 19 3 23 1 21 5 26 33 24 31 28 35 20 6 18 10 22 8
16 28 14 26 12 24 15 1 13 5 17 3 35 8 33 6 31 10 0 20 4 18 2 22 30 27 34 25 32 29 9 21 7 19 11 23
24 16 28 14 26 12 31 23 35 21 33 19 10 22 8 20 6 18 17 0 15 4 13 2 29 7 27 11 25 9 30 1 34 5 32 3
13 25 17 29 15 27 20 32 18 30 22 34 19 11 23 9 21 7 3 12 1 16 5 14 10 24 8 28 6 26 4 31 2 35 0 33
28 14 26 12 24 16 35 21 33 19 31 23 8 20 6 18 10 22 15 4 13 2 17 0 27 11 25 9 29 7 34 5 32 3 30 1
17 29 15 27 13 25 18 30 22 34 20 32 23 9 21 7 19 11 1 16 5 14 3 12 8 28 6 26 10 24 2 35 0 33 4 31
26 12 24 16 28 14 33 19 31 23 35 21 6 18 10 22 8 20 13 2 17 0 15 4 25 9 29 7 27 11 32 3 30 1 34 5
15 27 13 25 17 29 22 34 20 32 18 30 21 7 19 11 23 9 5 14 3 12 1 16 6 26 10 24 8 28 0 33 4 31 2 35 

0 26 12 2 24 14 23 29 35 5 11 17 21 10 33 22 9 34 20 27 32 3 8 15 19 28 31 4 7 16 18 25 30 1 6 13
15 1 27 13 3 25 12 18 24 30 0 6 35 22 11 34 23 10 16 21 28 33 4 9 17 20 29 32 5 8 14 19 26 31 2 7
26 16 2 28 14 4 7 13 19 25 31 1 11 30 23 6 35 18 10 17 22 29 34 5 9 12 21 24 33 0 8 15 20 27 32 3
5 27 17 3 29 15 2 8 14 20 26 32 19 6 31 18 7 30 0 11 12 23 24 35 1 10 13 22 25 34 4 9 16 21 28 33
16 0 28 12 4 24 33 3 9 15 21 27 31 20 7 32 19 8 30 1 6 13 18 25 35 2 11 14 23 26 34 5 10 17 22 29
25 17 1 29 13 5 28 34 4 10 16 22 9 32 21 8 33 20 26 31 2 7 14 19 27 30 3 6 15 18 24 35 0 11 12 23
24 31 0 7 12 19 6 32 18 8 30 20 29 35 5 11 17 23 27 16 3 28 15 4 26 33 2 9 14 21 25 34 1 10 13 22
20 25 32 1 8 13 21 7 33 19 9 31 18 24 30 0 6 12 5 28 17 4 29 16 22 27 34 3 10 15 23 26 35 2 11 14
14 21 26 33 2 9 32 22 8 34 20 10 13 19 25 31 1 7 17 0 29 12 5 24 16 23 28 35 4 11 15 18 27 30 3 6
10 15 22 27 34 3 11 33 23 9 35 21 8 14 20 26 32 2 25 12 1 24 13 0 6 17 18 29 30 5 7 16 19 28 31 4
4 11 16 23 28 35 22 6 34 18 10 30 3 9 15 21 27 33 1 26 13 2 25 14 0 7 12 19 24 31 5 8 17 20 29 32
30 5 6 17 18 29 31 23 7 35 19 11 34 4 10 16 22 28 15 2 27 14 3 26 32 1 8 13 20 25 33 0 9 12 21 24
31 4 7 16 19 28 30 1 6 13 18 25 12 2 24 14 0 26 35 5 11 17 23 29 33 22 9 34 21 10 32 3 8 15 20 27
29 32 5 8 17 20 26 31 2 7 14 19 27 13 3 25 15 1 24 30 0 6 12 18 11 34 23 10 35 22 28 33 4 9 16 21
21 24 33 0 9 12 20 27 32 3 8 15 2 28 14 4 26 16 19 25 31 1 7 13 23 6 35 18 11 30 22 29 34 5 10 17
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4 0 5 1 3 2 34 30 35 31 33 32 16 12 17 13 15 14 10 6 11 7 9 8 28 24 29 25 27 26 22 18 23 19 21 20
2 4 0 5 1 3 32 34 30 35 31 33 14 16 12 17 13 15 8 10 6 11 7 9 26 28 24 29 25 27 20 22 18 23 19 21
3 2 4 0 5 1 33 32 34 30 35 31 15 14 16 12 17 13 9 8 10 6 11 7 27 26 28 24 29 25 21 20 22 18 23 19
1 3 2 4 0 5 31 33 32 34 30 35 13 15 14 16 12 17 7 9 8 10 6 11 25 27 26 28 24 29 19 21 20 22 18 23
5 1 3 2 4 0 35 31 33 32 34 30 17 13 15 14 16 12 11 7 9 8 10 6 29 25 27 26 28 24 23 19 21 20 22 18
18 23 19 21 20 22 0 5 1 3 2 4 30 35 31 33 32 34 12 17 13 15 14 16 6 11 7 9 8 10 24 29 25 27 26 28
22 18 23 19 21 20 4 0 5 1 3 2 34 30 35 31 33 32 16 12 17 13 15 14 10 6 11 7 9 8 28 24 29 25 27 26
20 22 18 23 19 21 2 4 0 5 1 3 32 34 30 35 31 33 14 16 12 17 13 15 8 10 6 11 7 9 26 28 24 29 25 27
21 20 22 18 23 19 3 2 4 0 5 1 33 32 34 30 35 31 15 14 16 12 17 13 9 8 10 6 11 7 27 26 28 24 29 25
19 21 20 22 18 23 1 3 2 4 0 5 31 33 32 34 30 35 13 15 14 16 12 17 7 9 8 10 6 11 25 27 26 28 24 29
23 19 21 20 22 18 5 1 3 2 4 0 35 31 33 32 34 30 17 13 15 14 16 12 11 7 9 8 10 6 29 25 27 26 28 24
24 29 25 27 26 28 18 23 19 21 20 22 0 5 1 3 2 4 30 35 31 33 32 34 12 17 13 15 14 16 6 11 7 9 8 10
28 24 29 25 27 26 22 18 23 19 21 20 4 0 5 1 3 2 34 30 35 31 33 32 16 12 17 13 15 14 10 6 11 7 9 8
26 28 24 29 25 27 20 22 18 23 19 21 2 4 0 5 1 3 32 34 30 35 31 33 14 16 12 17 13 15 8 10 6 11 7 9
27 26 28 24 29 25 21 20 22 18 23 19 3 2 4 0 5 1 33 32 34 30 35 31 15 14 16 12 17 13 9 8 10 6 11 7
25 27 26 28 24 29 19 21 20 22 18 23 1 3 2 4 0 5 31 33 32 34 30 35 13 15 14 16 12 17 7 9 8 10 6 11
29 25 27 26 28 24 23 19 21 20 22 18 5 1 3 2 4 0 35 31 33 32 34 30 17 13 15 14 16 12 11 7 9 8 10 6
6 11 7 9 8 10 24 29 25 27 26 28 18 23 19 21 20 22 0 5 1 3 2 4 30 35 31 33 32 34 12 17 13 15 14 16
10 6 11 7 9 8 28 24 29 25 27 26 22 18 23 19 21 20 4 0 5 1 3 2 34 30 35 31 33 32 16 12 17 13 15 14
8 10 6 11 7 9 26 28 24 29 25 27 20 22 18 23 19 21 2 4 0 5 1 3 32 34 30 35 31 33 14 16 12 17 13 15
9 8 10 6 11 7 27 26 28 24 29 25 21 20 22 18 23 19 3 2 4 0 5 1 33 32 34 30 35 31 15 14 16 12 17 13
7 9 8 10 6 11 25 27 26 28 24 29 19 21 20 22 18 23 1 3 2 4 0 5 31 33 32 34 30 35 13 15 14 16 12 17
11 7 9 8 10 6 29 25 27 26 28 24 23 19 21 20 22 18 5 1 3 2 4 0 35 31 33 32 34 30 17 13 15 14 16 12
12 17 13 15 14 16 6 11 7 9 8 10 24 29 25 27 26 28 18 23 19 21 20 22 0 5 1 3 2 4 30 35 31 33 32 34
16 12 17 13 15 14 10 6 11 7 9 8 28 24 29 25 27 26 22 18 23 19 21 20 4 0 5 1 3 2 34 30 35 31 33 32
14 16 12 17 13 15 8 10 6 11 7 9 26 28 24 29 25 27 20 22 18 23 19 21 2 4 0 5 1 3 32 34 30 35 31 33
15 14 16 12 17 13 9 8 10 6 11 7 27 26 28 24 29 25 21 20 22 18 23 19 3 2 4 0 5 1 33 32 34 30 35 31
13 15 14 16 12 17 7 9 8 10 6 11 25 27 26 28 24 29 19 21 20 22 18 23 1 3 2 4 0 5 31 33 32 34 30 35
17 13 15 14 16 12 11 7 9 8 10 6 29 25 27 26 28 24 23 19 21 20 22 18 5 1 3 2 4 0 35 31 33 32 34 30
30 35 31 33 32 34 12 17 13 15 14 16 6 11 7 9 8 10 24 29 25 27 26 28 18 23 19 21 20 22 0 5 1 3 2 4
34 30 35 31 33 32 16 12 17 13 15 14 10 6 11 7 9 8 28 24 29 25 27 26 22 18 23 19 21 20 4 0 5 1 3 2
32 34 30 35 31 33 14 16 12 17 13 15 8 10 6 11 7 9 26 28 24 29 25 27 20 22 18 23 19 21 2 4 0 5 1 3
33 32 34 30 35 31 15 14 16 12 17 13 9 8 10 6 11 7 27 26 28 24 29 25 21 20 22 18 23 19 3 2 4 0 5 1
31 33 32 34 30 35 13 15 14 16 12 17 7 9 8 10 6 11 25 27 26 28 24 29 19 21 20 22 18 23 1 3 2 4 0 5
35 31 33 32 34 30 17 13 15 14 16 12 11 7 9 8 10 6 29 25 27 26 28 24 23 19 21 20 22 18 5 1 3 2 4 0 [/code]
Из 9 ЛК группу MOLS данного порядка программа SageMath пока не знает.
Проверяю ЛК показанной группы MOLS утилитой Harry White
[code]Order? 36

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_6.txt

Counts
------
2 Latin
6 diagonal Latin
1 center symmetric
7 natural \diagonal
7 orthogonal pair[/code]
Замечательно! В группе содержится подгруппа MODLS, состоящая из 6 ДЛК.
Не являются ДЛК первый и последний ЛК в группе. Последний ЛК центрально-симметричный.
Молодцы математики, хорошую группу MOLS нашли!

Таким образом, имеем a(36)>=6.

А с порядком 37 всё прекрасно, ибо 37 - простое число.
Легко можем составить полную систему MOLS данного порядка в программе SageMath или в матпакете Maple.
Полная система MOLS состоит из 36 ЛК, 34 из которых являются ДЛК.
Отличная группа MODLS!
Таким образом, a(37)>=34.

По команде

sage: for x in designs.mutually_orthogonal_latin_squares(4,38): print(x,'\n')

получаю группу MOLS 38-го порядка из 4 ЛК

37 11 22 33 7 18 29 3 14 25 36 10 21 32 6 17 28 2 13 24 35 12 20 31 5 9 27 1 16 23 34 8 19 30 4 15 26 0
27 37 12 23 34 8 19 30 4 15 26 0 11 22 33 7 18 29 3 14 25 36 13 21 32 6 10 28 2 17 24 35 9 20 31 5 16 1
17 28 37 13 24 35 9 20 31 5 16 27 1 12 23 34 8 19 30 4 15 26 0 14 22 33 7 11 29 3 18 25 36 10 21 32 6 2
7 18 29 37 14 25 36 10 21 32 6 17 28 2 13 24 35 9 20 31 5 16 27 1 15 23 34 8 12 30 4 19 26 0 11 22 33 3
34 8 19 30 37 15 26 0 11 22 33 7 18 29 3 14 25 36 10 21 32 6 17 28 2 16 24 35 9 13 31 5 20 27 1 12 23 4
24 35 9 20 31 37 16 27 1 12 23 34 8 19 30 4 15 26 0 11 22 33 7 18 29 3 17 25 36 10 14 32 6 21 28 2 13 5
14 25 36 10 21 32 37 17 28 2 13 24 35 9 20 31 5 16 27 1 12 23 34 8 19 30 4 18 26 0 11 15 33 7 22 29 3 6
4 15 26 0 11 22 33 37 18 29 3 14 25 36 10 21 32 6 17 28 2 13 24 35 9 20 31 5 19 27 1 12 16 34 8 23 30 7
31 5 16 27 1 12 23 34 37 19 30 4 15 26 0 11 22 33 7 18 29 3 14 25 36 10 21 32 6 20 28 2 13 17 35 9 24 8
25 32 6 17 28 2 13 24 35 37 20 31 5 16 27 1 12 23 34 8 19 30 4 15 26 0 11 22 33 7 21 29 3 14 18 36 10 9
11 26 33 7 18 29 3 14 25 36 37 21 32 6 17 28 2 13 24 35 9 20 31 5 16 27 1 12 23 34 8 22 30 4 15 19 0 10
1 12 27 34 8 19 30 4 15 26 0 37 22 33 7 18 29 3 14 25 36 10 21 32 6 17 28 2 13 24 35 9 23 31 5 16 20 11
21 2 13 28 35 9 20 31 5 16 27 1 37 23 34 8 19 30 4 15 26 0 11 22 33 7 18 29 3 14 25 36 10 24 32 6 17 12
18 22 3 14 29 36 10 21 32 6 17 28 2 37 24 35 9 20 31 5 16 27 1 12 23 34 8 19 30 4 15 26 0 11 25 33 7 13
8 19 23 4 15 30 0 11 22 33 7 18 29 3 37 25 36 10 21 32 6 17 28 2 13 24 35 9 20 31 5 16 27 1 12 26 34 14
35 9 20 24 5 16 31 1 12 23 34 8 19 30 4 37 26 0 11 22 33 7 18 29 3 14 25 36 10 21 32 6 17 28 2 13 27 15
28 36 10 21 25 6 17 32 2 13 24 35 9 20 31 5 37 27 1 12 23 34 8 19 30 4 15 26 0 11 22 33 7 18 29 3 14 16
15 29 0 11 22 26 7 18 33 3 14 25 36 10 21 32 6 37 28 2 13 24 35 9 20 31 5 16 27 1 12 23 34 8 19 30 4 17
5 16 30 1 12 23 27 8 19 34 4 15 26 0 11 22 33 7 37 29 3 14 25 36 10 21 32 6 17 28 2 13 24 35 9 20 31 18
32 6 17 31 2 13 24 28 9 20 35 5 16 27 1 12 23 34 8 37 30 4 15 26 0 11 22 33 7 18 29 3 14 25 36 10 21 19
22 33 7 18 32 3 14 25 29 10 21 36 6 17 28 2 13 24 35 9 37 31 5 16 27 1 12 23 34 8 19 30 4 15 26 0 11 20
12 23 34 8 19 33 4 15 26 30 11 22 0 7 18 29 3 14 25 36 10 37 32 6 17 28 2 13 24 35 9 20 31 5 16 27 1 21
2 13 24 35 9 20 34 5 16 27 31 12 23 1 8 19 30 4 15 26 0 11 37 33 7 18 29 3 14 25 36 10 21 32 6 17 28 22
29 3 14 25 36 10 21 35 6 17 28 32 13 24 2 9 20 31 5 16 27 1 12 37 34 8 19 30 4 15 26 0 11 22 33 7 18 23
19 30 4 15 26 0 11 22 36 7 18 29 33 14 25 3 10 21 32 6 17 28 2 13 37 35 9 20 31 5 16 27 1 12 23 34 8 24
9 20 31 5 16 27 1 12 23 0 8 19 30 34 15 26 4 11 22 33 7 18 29 3 14 37 36 10 21 32 6 17 28 2 13 24 35 25
36 10 21 32 6 17 28 2 13 24 1 9 20 31 35 16 27 5 12 23 34 8 19 30 4 15 37 0 11 22 33 7 18 29 3 14 25 26
26 0 11 22 33 7 18 29 3 14 25 2 10 21 32 36 17 28 6 13 24 35 9 20 31 5 16 37 1 12 23 34 8 19 30 4 15 27
16 27 1 12 23 34 8 19 30 4 15 26 3 11 22 33 0 18 29 7 14 25 36 10 21 32 6 17 37 2 13 24 35 9 20 31 5 28
6 17 28 2 13 24 35 9 20 31 5 16 27 4 12 23 34 1 19 30 8 15 26 0 11 22 33 7 18 37 3 14 25 36 10 21 32 29
33 7 18 29 3 14 25 36 10 21 32 6 17 28 5 13 24 35 2 20 31 9 16 27 1 12 23 34 8 19 37 4 15 26 0 11 22 30
23 34 8 19 30 4 15 26 0 11 22 33 7 18 29 6 14 25 36 3 21 32 10 17 28 2 13 24 35 9 20 37 5 16 27 1 12 31
13 24 35 9 20 31 5 16 27 1 12 23 34 8 19 30 7 15 26 0 4 22 33 11 18 29 3 14 25 36 10 21 37 6 17 28 2 32
3 14 25 36 10 21 32 6 17 28 2 13 24 35 9 20 31 8 16 27 1 5 23 34 12 19 30 4 15 26 0 11 22 37 7 18 29 33
30 4 15 26 0 11 22 33 7 18 29 3 14 25 36 10 21 32 9 17 28 2 6 24 35 13 20 31 5 16 27 1 12 23 37 8 19 34
20 31 5 16 27 1 12 23 34 8 19 30 4 15 26 0 11 22 33 10 18 29 3 7 25 36 14 21 32 6 17 28 2 13 24 37 9 35
10 21 32 6 17 28 2 13 24 35 9 20 31 5 16 27 1 12 23 34 11 19 30 4 8 26 0 15 22 33 7 18 29 3 14 25 37 36
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1 17 24 30 11 23 20 22 29 0 8 5 21 19 7 35 16 9 6 32 15 37 34 25 28 36 12 14 27 26 33 4 3 13 2 31 18 10
19 2 18 25 31 12 24 21 23 30 1 9 6 22 20 8 36 17 10 7 33 16 37 35 26 29 0 13 15 28 27 34 5 4 14 3 32 11
33 20 3 19 26 32 13 25 22 24 31 2 10 7 23 21 9 0 18 11 8 34 17 37 36 27 30 1 14 16 29 28 35 6 5 15 4 12
5 34 21 4 20 27 33 14 26 23 25 32 3 11 8 24 22 10 1 19 12 9 35 18 37 0 28 31 2 15 17 30 29 36 7 6 16 13
17 6 35 22 5 21 28 34 15 27 24 26 33 4 12 9 25 23 11 2 20 13 10 36 19 37 1 29 32 3 16 18 31 30 0 8 7 14
8 18 7 36 23 6 22 29 35 16 28 25 27 34 5 13 10 26 24 12 3 21 14 11 0 20 37 2 30 33 4 17 19 32 31 1 9 15
10 9 19 8 0 24 7 23 30 36 17 29 26 28 35 6 14 11 27 25 13 4 22 15 12 1 21 37 3 31 34 5 18 20 33 32 2 16
3 11 10 20 9 1 25 8 24 31 0 18 30 27 29 36 7 15 12 28 26 14 5 23 16 13 2 22 37 4 32 35 6 19 21 34 33 17
34 4 12 11 21 10 2 26 9 25 32 1 19 31 28 30 0 8 16 13 29 27 15 6 24 17 14 3 23 37 5 33 36 7 20 22 35 18
36 35 5 13 12 22 11 3 27 10 26 33 2 20 32 29 31 1 9 17 14 30 28 16 7 25 18 15 4 24 37 6 34 0 8 21 23 19
24 0 36 6 14 13 23 12 4 28 11 27 34 3 21 33 30 32 2 10 18 15 31 29 17 8 26 19 16 5 25 37 7 35 1 9 22 20
23 25 1 0 7 15 14 24 13 5 29 12 28 35 4 22 34 31 33 3 11 19 16 32 30 18 9 27 20 17 6 26 37 8 36 2 10 21
11 24 26 2 1 8 16 15 25 14 6 30 13 29 36 5 23 35 32 34 4 12 20 17 33 31 19 10 28 21 18 7 27 37 9 0 3 22
4 12 25 27 3 2 9 17 16 26 15 7 31 14 30 0 6 24 36 33 35 5 13 21 18 34 32 20 11 29 22 19 8 28 37 10 1 23
2 5 13 26 28 4 3 10 18 17 27 16 8 32 15 31 1 7 25 0 34 36 6 14 22 19 35 33 21 12 30 23 20 9 29 37 11 24
12 3 6 14 27 29 5 4 11 19 18 28 17 9 33 16 32 2 8 26 1 35 0 7 15 23 20 36 34 22 13 31 24 21 10 30 37 25
37 13 4 7 15 28 30 6 5 12 20 19 29 18 10 34 17 33 3 9 27 2 36 1 8 16 24 21 0 35 23 14 32 25 22 11 31 26
32 37 14 5 8 16 29 31 7 6 13 21 20 30 19 11 35 18 34 4 10 28 3 0 2 9 17 25 22 1 36 24 15 33 26 23 12 27
13 33 37 15 6 9 17 30 32 8 7 14 22 21 31 20 12 36 19 35 5 11 29 4 1 3 10 18 26 23 2 0 25 16 34 27 24 28
25 14 34 37 16 7 10 18 31 33 9 8 15 23 22 32 21 13 0 20 36 6 12 30 5 2 4 11 19 27 24 3 1 26 17 35 28 29
29 26 15 35 37 17 8 11 19 32 34 10 9 16 24 23 33 22 14 1 21 0 7 13 31 6 3 5 12 20 28 25 4 2 27 18 36 30
0 30 27 16 36 37 18 9 12 20 33 35 11 10 17 25 24 34 23 15 2 22 1 8 14 32 7 4 6 13 21 29 26 5 3 28 19 31
20 1 31 28 17 0 37 19 10 13 21 34 36 12 11 18 26 25 35 24 16 3 23 2 9 15 33 8 5 7 14 22 30 27 6 4 29 32
30 21 2 32 29 18 1 37 20 11 14 22 35 0 13 12 19 27 26 36 25 17 4 24 3 10 16 34 9 6 8 15 23 31 28 7 5 33
6 31 22 3 33 30 19 2 37 21 12 15 23 36 1 14 13 20 28 27 0 26 18 5 25 4 11 17 35 10 7 9 16 24 32 29 8 34
9 7 32 23 4 34 31 20 3 37 22 13 16 24 0 2 15 14 21 29 28 1 27 19 6 26 5 12 18 36 11 8 10 17 25 33 30 35
31 10 8 33 24 5 35 32 21 4 37 23 14 17 25 1 3 16 15 22 30 29 2 28 20 7 27 6 13 19 0 12 9 11 18 26 34 36
35 32 11 9 34 25 6 36 33 22 5 37 24 15 18 26 2 4 17 16 23 31 30 3 29 21 8 28 7 14 20 1 13 10 12 19 27 0
28 36 33 12 10 35 26 7 0 34 23 6 37 25 16 19 27 3 5 18 17 24 32 31 4 30 22 9 29 8 15 21 2 14 11 13 20 1
21 29 0 34 13 11 36 27 8 1 35 24 7 37 26 17 20 28 4 6 19 18 25 33 32 5 31 23 10 30 9 16 22 3 15 12 14 2
15 22 30 1 35 14 12 0 28 9 2 36 25 8 37 27 18 21 29 5 7 20 19 26 34 33 6 32 24 11 31 10 17 23 4 16 13 3
14 16 23 31 2 36 15 13 1 29 10 3 0 26 9 37 28 19 22 30 6 8 21 20 27 35 34 7 33 25 12 32 11 18 24 5 17 4
18 15 17 24 32 3 0 16 14 2 30 11 4 1 27 10 37 29 20 23 31 7 9 22 21 28 36 35 8 34 26 13 33 12 19 25 6 5
7 19 16 18 25 33 4 1 17 15 3 31 12 5 2 28 11 37 30 21 24 32 8 10 23 22 29 0 36 9 35 27 14 34 13 20 26 6
27 8 20 17 19 26 34 5 2 18 16 4 32 13 6 3 29 12 37 31 22 25 33 9 11 24 23 30 1 0 10 36 28 15 35 14 21 7
22 28 9 21 18 20 27 35 6 3 19 17 5 33 14 7 4 30 13 37 32 23 26 34 10 12 25 24 31 2 1 11 0 29 16 36 15 8
16 23 29 10 22 19 21 28 36 7 4 20 18 6 34 15 8 5 31 14 37 33 24 27 35 11 13 26 25 32 3 2 12 1 30 17 0 9
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 37

Из 5 ЛК пока неизвестна группа MOLS данного порядка.
В показанной группе ДЛК нет.
Ортогональная пара ДЛК 38-го порядка у нас имеется.
Таким образом, пока имеем a(38)>=2.

Показываю ортогональную пару ДЛК 38-го порядка, построенную программой Harry White
[а то вдруг кто-нибудь сомневается в том, что такая ортогональная пара у нас имеется :) ]

 0  6  5  4 19 20 14 31 37 36 35 34 33 32 24 30 29 28 27 26 25  3  2  1 21 22 23 18 17 16 15  7 13 12 11 10  9  8
14  1  0  6  5 19 20 33 32 31 37 36 35 34 26 25 24 30 29 28 27  4  3  2 16 15 21 22 23 18 17  9  8  7 13 12 11 10
20 14  2  1  0  6 19 35 34 33 32 31 37 36 28 27 26 25 24 30 29  5  4  3 18 17 16 15 21 22 23 11 10  9  8  7 13 12
19 20 14  3  2  1  0 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24  6  5  4 22 23 18 17 16 15 21 13 12 11 10  9  8  7
 1 19 20 14  4  3  2 32 31 37 36 35 34 33 25 24 30 29 28 27 26  0  6  5 15 21 22 23 18 17 16  8  7 13 12 11 10  9
 3  2 19 20 14  5  4 34 33 32 31 37 36 35 27 26 25 24 30 29 28  1  0  6 17 16 15 21 22 23 18 10  9  8  7 13 12 11
 5  4  3 19 20 14  6 36 35 34 33 32 31 37 29 28 27 26 25 24 30  2  1  0 23 18 17 16 15 21 22 12 11 10  9  8  7 13
21 22 23 18 17 16 15  7 13 12 11 19 20 14  0  6  5  4  3  2  1 10  9  8 31 37 36 35 34 33 32 24 30 29 28 27 26 25
16 15 21 22 23 18 17 14  8  7 13 12 19 20  2  1  0  6  5  4  3 11 10  9 33 32 31 37 36 35 34 26 25 24 30 29 28 27
18 17 16 15 21 22 23 20 14  9  8  7 13 19  4  3  2  1  0  6  5 12 11 10 35 34 33 32 31 37 36 28 27 26 25 24 30 29
22 23 18 17 16 15 21 19 20 14 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0 13 12 11 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24
15 21 22 23 18 17 16  8 19 20 14 11 10  9  1  0  6  5  4  3  2  7 13 12 32 31 37 36 35 34 33 25 24 30 29 28 27 26
17 16 15 21 22 23 18 10  9 19 20 14 12 11  3  2  1  0  6  5  4  8  7 13 34 33 32 31 37 36 35 27 26 25 24 30 29 28
23 18 17 16 15 21 22 12 11 10 19 20 14 13  5  4  3  2  1  0  6  9  8  7 36 35 34 33 32 31 37 29 28 27 26 25 24 30
31 37 36 35 34 33 32 24 30 29 28 27 26 25 14 19 23 15 20 22 18 17 16 21  7 13 12 11 10  9  8  0  6  5  4  3  2  1
33 32 31 37 36 35 34 26 25 24 30 29 28 27 16 15 18 21 14 23 19 20 17 22  9  8  7 13 12 11 10  2  1  0  6  5  4  3
35 34 33 32 31 37 36 28 27 26 25 24 30 29 15 22 16 23 17 18 21 19 20 14 11 10  9  8  7 13 12  4  3  2  1  0  6  5
37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 18 20 22 17 21 16 14 23 15 19 13 12 11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0
32 31 37 36 35 34 33 25 24 30 29 28 27 26 17 21 14 19 18 20 15 22 23 16  8  7 13 12 11 10  9  1  0  6  5  4  3  2
34 33 32 31 37 36 35 27 26 25 24 30 29 28 20 14 21 22 23 19 17 16 18 15 10  9  8  7 13 12 11  3  2  1  0  6  5  4
36 35 34 33 32 31 37 29 28 27 26 25 24 30 19 23 17 16 22 15 20 14 21 18 12 11 10  9  8  7 13  5  4  3  2  1  0  6
 6  0  1  2  3  4  5 13  7  8  9 10 11 12 23 16 15 18 19 17 22 21 14 20 30 24 25 26 27 28 29 37 31 32 33 34 35 36
 4  5  6  0  1  2  3 11 12 13  7  8  9 10 21 18 19 20 16 14 23 15 22 17 28 29 30 24 25 26 27 35 36 37 31 32 33 34
 2  3  4  5  6  0  1  9 10 11 12 13  7  8 22 17 20 14 15 21 16 18 19 23 26 27 28 29 30 24 25 33 34 35 36 37 31 32
 7 13 12 11 10  9  8  0  6  5  4  3  2  1 31 37 36 35 34 33 32 27 26 25 24 30 29 28 19 20 14 21 22 23 18 17 16 15
 9  8  7 13 12 11 10  2  1  0  6  5  4  3 33 32 31 37 36 35 34 28 27 26 14 25 24 30 29 19 20 16 15 21 22 23 18 17
11 10  9  8  7 13 12  4  3  2  1  0  6  5 35 34 33 32 31 37 36 29 28 27 20 14 26 25 24 30 19 18 17 16 15 21 22 23
13 12 11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 19 20 14 27 26 25 24 22 23 18 17 16 15 21
 8  7 13 12 11 10  9  1  0  6  5  4  3  2 32 31 37 36 35 34 33 24 30 29 25 19 20 14 28 27 26 15 21 22 23 18 17 16
10  9  8  7 13 12 11  3  2  1  0  6  5  4 34 33 32 31 37 36 35 25 24 30 27 26 19 20 14 29 28 17 16 15 21 22 23 18
12 11 10  9  8  7 13  5  4  3  2  1  0  6 36 35 34 33 32 31 37 26 25 24 29 28 27 19 20 14 30 23 18 17 16 15 21 22
24 30 29 28 27 26 25 21 22 23 18 17 16 15  7 13 12 11 10  9  8 34 33 32  0  6  5  4  3  2  1 31 37 36 35 19 20 14
26 25 24 30 29 28 27 16 15 21 22 23 18 17  9  8  7 13 12 11 10 35 34 33  2  1  0  6  5  4  3 14 32 31 37 36 19 20
28 27 26 25 24 30 29 18 17 16 15 21 22 23 11 10  9  8  7 13 12 36 35 34  4  3  2  1  0  6  5 20 14 33 32 31 37 19
30 29 28 27 26 25 24 22 23 18 17 16 15 21 13 12 11 10  9  8  7 37 36 35  6  5  4  3  2  1  0 19 20 14 34 33 32 31
25 24 30 29 28 27 26 15 21 22 23 18 17 16  8  7 13 12 11 10  9 31 37 36  1  0  6  5  4  3  2 32 19 20 14 35 34 33
27 26 25 24 30 29 28 17 16 15 21 22 23 18 10  9  8  7 13 12 11 32 31 37  3  2  1  0  6  5  4 34 33 19 20 14 36 35
29 28 27 26 25 24 30 23 18 17 16 15 21 22 12 11 10  9  8  7 13 33 32 31  5  4  3  2  1  0  6 36 35 34 19 20 14 37

 0 14 20 19  1  3  5 21 16 18 22 15 17 23 31 33 35 37 32 34 36  6  4  2  7  9 11 13  8 10 12 24 26 28 30 25 27 29
 6  1 14 20 19  2  4 22 15 17 23 21 16 18 37 32 34 36 31 33 35  0  5  3 13  8 10 12  7  9 11 30 25 27 29 24 26 28
 5  0  2 14 20 19  3 23 21 16 18 22 15 17 36 31 33 35 37 32 34  1  6  4 12  7  9 11 13  8 10 29 24 26 28 30 25 27
 4  6  1  3 14 20 19 18 22 15 17 23 21 16 35 37 32 34 36 31 33  2  0  5 11 13  8 10 12  7  9 28 30 25 27 29 24 26
19  5  0  2  4 14 20 17 23 21 16 18 22 15 34 36 31 33 35 37 32  3  1  6 10 12  7  9 11 13  8 27 29 24 26 28 30 25
20 19  6  1  3  5 14 16 18 22 15 17 23 21 33 35 37 32 34 36 31  4  2  0  9 11 13  8 10 12  7 26 28 30 25 27 29 24
14 20 19  0  2  4  6 15 17 23 21 16 18 22 32 34 36 31 33 35 37  5  3  1  8 10 12  7  9 11 13 25 27 29 24 26 28 30
31 33 35 37 32 34 36  7 14 20 19  8 10 12 24 26 28 30 25 27 29 13 11  9  0  2  4  6  1  3  5 21 16 18 22 15 17 23
37 32 34 36 31 33 35 13  8 14 20 19  9 11 30 25 27 29 24 26 28  7 12 10  6  1  3  5  0  2  4 22 15 17 23 21 16 18
36 31 33 35 37 32 34 12  7  9 14 20 19 10 29 24 26 28 30 25 27  8 13 11  5  0  2  4  6  1  3 23 21 16 18 22 15 17
35 37 32 34 36 31 33 11 13  8 10 14 20 19 28 30 25 27 29 24 26  9  7 12  4  6  1  3  5  0  2 18 22 15 17 23 21 16
34 36 31 33 35 37 32 19 12  7  9 11 14 20 27 29 24 26 28 30 25 10  8 13  3  5  0  2  4  6  1 17 23 21 16 18 22 15
33 35 37 32 34 36 31 20 19 13  8 10 12 14 26 28 30 25 27 29 24 11  9  7  2  4  6  1  3  5  0 16 18 22 15 17 23 21
32 34 36 31 33 35 37 14 20 19  7  9 11 13 25 27 29 24 26 28 30 12 10  8  1  3  5  0  2  4  6 15 17 23 21 16 18 22
24 26 28 30 25 27 29  0  2  4  6  1  3  5 14 16 15 18 17 20 19 23 21 22 31 33 35 37 32 34 36  7  9 11 13  8 10 12
30 25 27 29 24 26 28  6  1  3  5  0  2  4 19 15 22 20 21 14 23 16 18 17 37 32 34 36 31 33 35 13  8 10 12  7  9 11
29 24 26 28 30 25 27  5  0  2  4  6  1  3 23 18 16 22 14 21 17 15 19 20 36 31 33 35 37 32 34 12  7  9 11 13  8 10
28 30 25 27 29 24 26  4  6  1  3  5  0  2 15 21 23 17 19 22 16 18 20 14 35 37 32 34 36 31 33 11 13  8 10 12  7  9
27 29 24 26 28 30 25  3  5  0  2  4  6  1 20 14 17 21 18 23 22 19 16 15 34 36 31 33 35 37 32 10 12  7  9 11 13  8
26 28 30 25 27 29 24  2  4  6  1  3  5  0 22 23 18 16 20 19 15 17 14 21 33 35 37 32 34 36 31  9 11 13  8 10 12  7
25 27 29 24 26 28 30  1  3  5  0  2  4  6 18 19 21 14 15 17 20 22 23 16 32 34 36 31 33 35 37  8 10 12  7  9 11 13
 3  4  5  6  0  1  2 10 11 12 13  7  8  9 17 20 19 23 22 16 14 21 15 18 27 28 29 30 24 25 26 34 35 36 37 31 32 33
 2  3  4  5  6  0  1  9 10 11 12 13  7  8 16 17 20 15 23 18 21 14 22 19 26 27 28 29 30 24 25 33 34 35 36 37 31 32
 1  2  3  4  5  6  0  8  9 10 11 12 13  7 21 22 14 19 16 15 18 20 17 23 25 26 27 28 29 30 24 32 33 34 35 36 37 31
21 16 18 22 15 17 23 31 33 35 37 32 34 36  7  9 11 13  8 10 12 30 28 26 24 14 20 19 25 27 29  0  2  4  6  1  3  5
22 15 17 23 21 16 18 37 32 34 36 31 33 35 13  8 10 12  7  9 11 24 29 27 30 25 14 20 19 26 28  6  1  3  5  0  2  4
23 21 16 18 22 15 17 36 31 33 35 37 32 34 12  7  9 11 13  8 10 25 30 28 29 24 26 14 20 19 27  5  0  2  4  6  1  3
18 22 15 17 23 21 16 35 37 32 34 36 31 33 11 13  8 10 12  7  9 26 24 29 28 30 25 27 14 20 19  4  6  1  3  5  0  2
17 23 21 16 18 22 15 34 36 31 33 35 37 32 10 12  7  9 11 13  8 27 25 30 19 29 24 26 28 14 20  3  5  0  2  4  6  1
16 18 22 15 17 23 21 33 35 37 32 34 36 31  9 11 13  8 10 12  7 28 26 24 20 19 30 25 27 29 14  2  4  6  1  3  5  0
15 17 23 21 16 18 22 32 34 36 31 33 35 37  8 10 12  7  9 11 13 29 27 25 14 20 19 24 26 28 30  1  3  5  0  2  4  6
 7  9 11 13  8 10 12 24 26 28 30 25 27 29  0  2  4  6  1  3  5 37 35 33 21 16 18 22 15 17 23 31 14 20 19 32 34 36
13  8 10 12  7  9 11 30 25 27 29 24 26 28  6  1  3  5  0  2  4 31 36 34 22 15 17 23 21 16 18 37 32 14 20 19 33 35
12  7  9 11 13  8 10 29 24 26 28 30 25 27  5  0  2  4  6  1  3 32 37 35 23 21 16 18 22 15 17 36 31 33 14 20 19 34
11 13  8 10 12  7  9 28 30 25 27 29 24 26  4  6  1  3  5  0  2 33 31 36 18 22 15 17 23 21 16 35 37 32 34 14 20 19
10 12  7  9 11 13  8 27 29 24 26 28 30 25  3  5  0  2  4  6  1 34 32 37 17 23 21 16 18 22 15 19 36 31 33 35 14 20
 9 11 13  8 10 12  7 26 28 30 25 27 29 24  2  4  6  1  3  5  0 35 33 31 16 18 22 15 17 23 21 20 19 37 32 34 36 14
 8 10 12  7  9 11 13 25 27 29 24 26 28 30  1  3  5  0  2  4  6 36 34 32 15 17 23 21 16 18 22 14 20 19 31 33 35 37

Порядок 39 тоже проблемный.
Что программа SageMath знает о группе MOLS данного порядка? Сейчас посмотрю.

Пошла посмотреть тему на форуме ОДЛК, наткнулась на это сообщение

Кстати, ссылка на мою тему "Латинские квадраты" на форуме dxdy.ru
https://dxdy.ru/topic15897.html
Тема была начата в те давние времена, когда я только начинала заниматься латинскими квадратами.
А привело меня к этому занятию построение магических квадратов с помощью ортогональных латинских квадратов.
Может быть, в этой теме начинающие найдут что-то полезное.

Это сообщение
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=116&postid=3540
посмотрите.
Там картинка как раз из темы "Латинские квадраты"



Сообщение Макса Алексеева о знаменитой статье Брауна и Ко о первых ортогональных парах ДЛК 10-го порядка.

Помещу тут; полезная ссылка на тему и скриншот с сообщением М. Алексеева об исторической статье 1992 г., которая положила начало БД КФ ОДЛК 10-го порядка.

Тема га форуме dxdy.ru тоже историческая. В этой теме я начинала работу с ЛК/ДЛК/ОДЛК практически с нуля.
М. Алексеев много мне помогал.

По команде

sage: for x in designs.mutually_orthogonal_latin_squares(5,39): print(x,'\n')

получаю группу MOLS порядка 39 из 5 ЛК

0 27  4 26 25 34 10 31  9  1 24  6 23 22  7 21 28 20 37 36  3  2 19 11 18 32 17 16 33 15 38 30  8 29  5 14 13 35 12
13  1 28  5 27 26 35 11 32 10  2 25  7 24 23  8 22 29 21 38 37  4  3 20 12 19 33 18 17 34 16  0 31  9 30  6 15 14 36
37 14  2 29  6 28 27 36 12 33 11  3 26  8 25 24  9 23 30 22  0 38  5  4 21 13 20 34 19 18 35 17  1 32 10 31  7 16 15
16 38 15  3 30  7 29 28 37 13 34 12  4 27  9 26 25 10 24 31 23  1  0  6  5 22 14 21 35 20 19 36 18  2 33 11 32  8 17
18 17  0 16  4 31  8 30 29 38 14 35 13  5 28 10 27 26 11 25 32 24  2  1  7  6 23 15 22 36 21 20 37 19  3 34 12 33  9
10 19 18  1 17  5 32  9 31 30  0 15 36 14  6 29 11 28 27 12 26 33 25  3  2  8  7 24 16 23 37 22 21 38 20  4 35 13 34
35 11 20 19  2 18  6 33 10 32 31  1 16 37 15  7 30 12 29 28 13 27 34 26  4  3  9  8 25 17 24 38 23 22  0 21  5 36 14
15 36 12 21 20  3 19  7 34 11 33 32  2 17 38 16  8 31 13 30 29 14 28 35 27  5  4 10  9 26 18 25  0 24 23  1 22  6 37
38 16 37 13 22 21  4 20  8 35 12 34 33  3 18  0 17  9 32 14 31 30 15 29 36 28  6  5 11 10 27 19 26  1 25 24  2 23  7
8  0 17 38 14 23 22  5 21  9 36 13 35 34  4 19  1 18 10 33 15 32 31 16 30 37 29  7  6 12 11 28 20 27  2 26 25  3 24
25  9  1 18  0 15 24 23  6 22 10 37 14 36 35  5 20  2 19 11 34 16 33 32 17 31 38 30  8  7 13 12 29 21 28  3 27 26  4
5 26 10  2 19  1 16 25 24  7 23 11 38 15 37 36  6 21  3 20 12 35 17 34 33 18 32  0 31  9  8 14 13 30 22 29  4 28 27
28  6 27 11  3 20  2 17 26 25  8 24 12  0 16 38 37  7 22  4 21 13 36 18 35 34 19 33  1 32 10  9 15 14 31 23 30  5 29
30 29  7 28 12  4 21  3 18 27 26  9 25 13  1 17  0 38  8 23  5 22 14 37 19 36 35 20 34  2 33 11 10 16 15 32 24 31  6
7 31 30  8 29 13  5 22  4 19 28 27 10 26 14  2 18  1  0  9 24  6 23 15 38 20 37 36 21 35  3 34 12 11 17 16 33 25 32
33  8 32 31  9 30 14  6 23  5 20 29 28 11 27 15  3 19  2  1 10 25  7 24 16  0 21 38 37 22 36  4 35 13 12 18 17 34 26
27 34  9 33 32 10 31 15  7 24  6 21 30 29 12 28 16  4 20  3  2 11 26  8 25 17  1 22  0 38 23 37  5 36 14 13 19 18 35
36 28 35 10 34 33 11 32 16  8 25  7 22 31 30 13 29 17  5 21  4  3 12 27  9 26 18  2 23  1  0 24 38  6 37 15 14 20 19
20 37 29 36 11 35 34 12 33 17  9 26  8 23 32 31 14 30 18  6 22  5  4 13 28 10 27 19  3 24  2  1 25  0  7 38 16 15 21
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34 13 35 33  3 24  8  4 18 23 31 27 19 17 22 28  1 32  5 11 16 14  6  2 10 15 29 25  9 30  0 37 20 38 12  7 36 26 21
22 35 14 36 34  4 25  9  5 19 24 32 28 20 18 23 29  2 33  6 12 17 15  7  3 11 16 30 26 10 31  1 38 21  0 13  8 37 27
28 23 36 15 37 35  5 26 10  6 20 25 33 29 21 19 24 30  3 34  7 13 18 16  8  4 12 17 31 27 11 32  2  0 22  1 14  9 38 

0 18 23 19  3 21  8 37 31 13  6 33 27 15 25  1 10 30 36 11 12 35 29  9  2 26 16 28 34  5 14 32 38  7 22  4 20 24 17
17  0 18 23 19  3 21  8 37 31 13  6 33 27 15 25  1 10 30 36 11 12 35 29  9  2 26 16 28 34  5 14 32 38  7 22  4 20 24
24 17  0 18 23 19  3 21  8 37 31 13  6 33 27 15 25  1 10 30 36 11 12 35 29  9  2 26 16 28 34  5 14 32 38  7 22  4 20
20 24 17  0 18 23 19  3 21  8 37 31 13  6 33 27 15 25  1 10 30 36 11 12 35 29  9  2 26 16 28 34  5 14 32 38  7 22  4
4 20 24 17  0 18 23 19  3 21  8 37 31 13  6 33 27 15 25  1 10 30 36 11 12 35 29  9  2 26 16 28 34  5 14 32 38  7 22
22  4 20 24 17  0 18 23 19  3 21  8 37 31 13  6 33 27 15 25  1 10 30 36 11 12 35 29  9  2 26 16 28 34  5 14 32 38  7
7 22  4 20 24 17  0 18 23 19  3 21  8 37 31 13  6 33 27 15 25  1 10 30 36 11 12 35 29  9  2 26 16 28 34  5 14 32 38
38  7 22  4 20 24 17  0 18 23 19  3 21  8 37 31 13  6 33 27 15 25  1 10 30 36 11 12 35 29  9  2 26 16 28 34  5 14 32
32 38  7 22  4 20 24 17  0 18 23 19  3 21  8 37 31 13  6 33 27 15 25  1 10 30 36 11 12 35 29  9  2 26 16 28 34  5 14
14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 18 23 19  3 21  8 37 31 13  6 33 27 15 25  1 10 30 36 11 12 35 29  9  2 26 16 28 34  5
5 14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 18 23 19  3 21  8 37 31 13  6 33 27 15 25  1 10 30 36 11 12 35 29  9  2 26 16 28 34
34  5 14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 18 23 19  3 21  8 37 31 13  6 33 27 15 25  1 10 30 36 11 12 35 29  9  2 26 16 28
28 34  5 14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 18 23 19  3 21  8 37 31 13  6 33 27 15 25  1 10 30 36 11 12 35 29  9  2 26 16
16 28 34  5 14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 18 23 19  3 21  8 37 31 13  6 33 27 15 25  1 10 30 36 11 12 35 29  9  2 26
26 16 28 34  5 14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 18 23 19  3 21  8 37 31 13  6 33 27 15 25  1 10 30 36 11 12 35 29  9  2
2 26 16 28 34  5 14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 18 23 19  3 21  8 37 31 13  6 33 27 15 25  1 10 30 36 11 12 35 29  9
9  2 26 16 28 34  5 14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 18 23 19  3 21  8 37 31 13  6 33 27 15 25  1 10 30 36 11 12 35 29
29  9  2 26 16 28 34  5 14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 18 23 19  3 21  8 37 31 13  6 33 27 15 25  1 10 30 36 11 12 35
35 29  9  2 26 16 28 34  5 14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 18 23 19  3 21  8 37 31 13  6 33 27 15 25  1 10 30 36 11 12
12 35 29  9  2 26 16 28 34  5 14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 18 23 19  3 21  8 37 31 13  6 33 27 15 25  1 10 30 36 11
11 12 35 29  9  2 26 16 28 34  5 14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 18 23 19  3 21  8 37 31 13  6 33 27 15 25  1 10 30 36
36 11 12 35 29  9  2 26 16 28 34  5 14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 18 23 19  3 21  8 37 31 13  6 33 27 15 25  1 10 30
30 36 11 12 35 29  9  2 26 16 28 34  5 14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 18 23 19  3 21  8 37 31 13  6 33 27 15 25  1 10
10 30 36 11 12 35 29  9  2 26 16 28 34  5 14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 18 23 19  3 21  8 37 31 13  6 33 27 15 25  1
1 10 30 36 11 12 35 29  9  2 26 16 28 34  5 14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 18 23 19  3 21  8 37 31 13  6 33 27 15 25
25  1 10 30 36 11 12 35 29  9  2 26 16 28 34  5 14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 18 23 19  3 21  8 37 31 13  6 33 27 15
15 25  1 10 30 36 11 12 35 29  9  2 26 16 28 34  5 14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 18 23 19  3 21  8 37 31 13  6 33 27
27 15 25  1 10 30 36 11 12 35 29  9  2 26 16 28 34  5 14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 18 23 19  3 21  8 37 31 13  6 33
33 27 15 25  1 10 30 36 11 12 35 29  9  2 26 16 28 34  5 14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 18 23 19  3 21  8 37 31 13  6
6 33 27 15 25  1 10 30 36 11 12 35 29  9  2 26 16 28 34  5 14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 18 23 19  3 21  8 37 31 13
13  6 33 27 15 25  1 10 30 36 11 12 35 29  9  2 26 16 28 34  5 14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 18 23 19  3 21  8 37 31
31 13  6 33 27 15 25  1 10 30 36 11 12 35 29  9  2 26 16 28 34  5 14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 18 23 19  3 21  8 37
37 31 13  6 33 27 15 25  1 10 30 36 11 12 35 29  9  2 26 16 28 34  5 14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 18 23 19  3 21  8
8 37 31 13  6 33 27 15 25  1 10 30 36 11 12 35 29  9  2 26 16 28 34  5 14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 18 23 19  3 21
21  8 37 31 13  6 33 27 15 25  1 10 30 36 11 12 35 29  9  2 26 16 28 34  5 14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 18 23 19  3
3 21  8 37 31 13  6 33 27 15 25  1 10 30 36 11 12 35 29  9  2 26 16 28 34  5 14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 18 23 19
19  3 21  8 37 31 13  6 33 27 15 25  1 10 30 36 11 12 35 29  9  2 26 16 28 34  5 14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 18 23
23 19  3 21  8 37 31 13  6 33 27 15 25  1 10 30 36 11 12 35 29  9  2 26 16 28 34  5 14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 18
18 23 19  3 21  8 37 31 13  6 33 27 15 25  1 10 30 36 11 12 35 29  9  2 26 16 28 34  5 14 32 38  7 22  4 20 24 17  0 

Из 6 ЛК пока неизвестна группа MOLS данного порядка.
В показанной группе нет ДЛК.
Последний ЛК интересный, он центрально-симметричный и полупандиагональный; построен методом циклического сдвига.

Ортогональная пара ДЛК 39-го порядка у нас имеется.
Так что, можем сказать: a(39)>=2.

Показываю ортогональную пару ДЛК 39-го порядка, построенную программой Harry White

 0  4  3  2  1 34 38 37 21 20 29 33 32 31 30 35 36 24 28 27 26 25 16 17 15 19 18 23 22 10 14 13 12 11  5  9  8  7  6
 2  1  0  4  3 20 35 34 38 21 31 30 29 33 32 36 37 26 25 24 28 27 17 18 22 16 15 19 23 12 11 10 14 13  7  6  5  9  8
 4  3  2  1  0 21 20 36 35 34 33 32 31 30 29 37 38 28 27 26 25 24 18 19 23 22 17 16 15 14 13 12 11 10  9  8  7  6  5
 1  0  4  3  2 35 21 20 37 36 30 29 33 32 31 38 34 25 24 28 27 26 19 15 16 23 22 18 17 11 10 14 13 12  6  5  9  8  7
 3  2  1  0  4 37 36 21 20 38 32 31 30 29 33 34 35 27 26 25 24 28 15 16 18 17 23 22 19 13 12 11 10 14  8  7  6  5  9
10 14 13 21 20  5  9  8  7  6  0  4  3  2  1 11 12 34 38 37 23 22 35 36 29 33 32 31 30 24 28 27 26 25 15 19 18 17 16
20 11 10 14 21  7  6  5  9  8  2  1  0  4  3 12 13 22 35 34 38 23 36 37 31 30 29 33 32 26 25 24 28 27 17 16 15 19 18
21 20 12 11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0 13 14 23 22 36 35 34 37 38 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 19 18 17 16 15
11 21 20 13 12  6  5  9  8  7  1  0  4  3  2 14 10 35 23 22 37 36 38 34 30 29 33 32 31 25 24 28 27 26 16 15 19 18 17
13 12 21 20 14  8  7  6  5  9  3  2  1  0  4 10 11 37 36 23 22 38 34 35 32 31 30 29 33 27 26 25 24 28 18 17 16 15 19
24 28 27 26 25 15 19 18 17 16 10 14 13 23 22 30 31  5  9  8  7  6 11 12  0  4  3  2  1 34 38 37 36 35 29 33 32 21 20
26 25 24 28 27 17 16 15 19 18 22 11 10 14 23 31 32  7  6  5  9  8 12 13  2  1  0  4  3 36 35 34 38 37 20 30 29 33 21
28 27 26 25 24 19 18 17 16 15 23 22 12 11 10 32 33  9  8  7  6  5 13 14  4  3  2  1  0 38 37 36 35 34 21 20 31 30 29
25 24 28 27 26 16 15 19 18 17 11 23 22 13 12 33 29  6  5  9  8  7 14 10  1  0  4  3  2 35 34 38 37 36 30 21 20 32 31
27 26 25 24 28 18 17 16 15 19 13 12 23 22 14 29 30  8  7  6  5  9 10 11  3  2  1  0  4 37 36 35 34 38 32 31 21 20 33
12 13 14 10 11 36 37 38 34 35 17 18 19 15 16 20 22  2  3  4  0  1 23 21 26 27 28 24 25  7  8  9  5  6 31 32 33 29 30
14 10 11 12 13 38 34 35 36 37 19 15 16 17 18 23 21  4  0  1  2  3 20 22 28 24 25 26 27  9  5  6  7  8 33 29 30 31 32
34 38 37 36 35 29 33 32 23 22 24 28 27 26 25  6  7 15 19 18 17 16 30 31 10 14 13 12 11  5  9  8 21 20  0  4  3  2  1
36 35 34 38 37 22 30 29 33 23 26 25 24 28 27  7  8 17 16 15 19 18 31 32 12 11 10 14 13 20  6  5  9 21  2  1  0  4  3
38 37 36 35 34 23 22 31 30 29 28 27 26 25 24  8  9 19 18 17 16 15 32 33 14 13 12 11 10 21 20  7  6  5  4  3  2  1  0
35 34 38 37 36 30 23 22 32 31 25 24 28 27 26  9  5 16 15 19 18 17 33 29 11 10 14 13 12  6 21 20  8  7  1  0  4  3  2
37 36 35 34 38 32 31 23 22 33 27 26 25 24 28  5  6 18 17 16 15 19 29 30 13 12 11 10 14  8  7 21 20  9  3  2  1  0  4
 7  8  9  5  6 31 32 33 29 30 12 13 14 10 11 21 23 36 37 38 34 35 22 20 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1 26 27 28 24 25
 9  5  6  7  8 33 29 30 31 32 14 10 11 12 13 22 20 38 34 35 36 37 21 23 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3 28 24 25 26 27
 5  9  8 23 22  0  4  3  2  1 34 38 37 36 35 25 26 29 33 32 31 30  6  7 24 28 27 21 20 15 19 18 17 16 10 14 13 12 11
22  6  5  9 23  2  1  0  4  3 36 35 34 38 37 26 27 31 30 29 33 32  7  8 20 25 24 28 21 17 16 15 19 18 12 11 10 14 13
23 22  7  6  5  4  3  2  1  0 38 37 36 35 34 27 28 33 32 31 30 29  8  9 21 20 26 25 24 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10
 6 23 22  8  7  1  0  4  3  2 35 34 38 37 36 28 24 30 29 33 32 31  9  5 25 21 20 27 26 16 15 19 18 17 11 10 14 13 12
 8  7 23 22  9  3  2  1  0  4 37 36 35 34 38 24 25 32 31 30 29 33  5  6 27 26 21 20 28 18 17 16 15 19 13 12 11 10 14
15 19 18 17 16 10 14 13 12 11  5  9  8  7  6  1  2  0  4  3 21 20 25 26 34 38 37 36 35 29 33 32 31 30 24 28 27 23 22
17 16 15 19 18 12 11 10 14 13  7  6  5  9  8  2  3 20  1  0  4 21 26 27 36 35 34 38 37 31 30 29 33 32 22 25 24 28 23
19 18 17 16 15 14 13 12 11 10  9  8  7  6  5  3  4 21 20  2  1  0 27 28 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 23 22 26 25 24
16 15 19 18 17 11 10 14 13 12  6  5  9  8  7  4  0  1 21 20  3  2 28 24 35 34 38 37 36 30 29 33 32 31 25 23 22 27 26
18 17 16 15 19 13 12 11 10 14  8  7  6  5  9  0  1  3  2 21 20  4 24 25 37 36 35 34 38 32 31 30 29 33 27 26 23 22 28
29 33 32 31 30 24 28 27 26 25 15 19 18 21 20 16 17 10 14 13 12 11  1  2  5  9  8  7  6  0  4  3 23 22 34 38 37 36 35
31 30 29 33 32 26 25 24 28 27 20 16 15 19 21 17 18 12 11 10 14 13  2  3  7  6  5  9  8 22  1  0  4 23 36 35 34 38 37
33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 21 20 17 16 15 18 19 14 13 12 11 10  3  4  9  8  7  6  5 23 22  2  1  0 38 37 36 35 34
30 29 33 32 31 25 24 28 27 26 16 21 20 18 17 19 15 11 10 14 13 12  4  0  6  5  9  8  7  1 23 22  3  2 35 34 38 37 36
32 31 30 29 33 27 26 25 24 28 18 17 21 20 19 15 16 13 12 11 10 14  0  1  8  7  6  5  9  3  2 23 22  4 37 36 35 34 38

 0  2  4  1  3 10 20 21 11 13 24 26 28 25 27 12 14 34 36 38 35 37  7  9  5 22 23  6  8 15 17 19 16 18 29 31 33 30 32
 4  1  3  0  2 14 11 20 21 12 28 25 27 24 26 13 10 38 35 37 34 36  8  5  9  6 22 23  7 19 16 18 15 17 33 30 32 29 31
 3  0  2  4  1 13 10 12 20 21 27 24 26 28 25 14 11 37 34 36 38 35  9  6  8  5  7 22 23 18 15 17 19 16 32 29 31 33 30
 2  4  1  3  0 21 14 11 13 20 26 28 25 27 24 10 12 36 38 35 37 34  5  7 23  9  6  8 22 17 19 16 18 15 31 33 30 32 29
 1  3  0  2  4 20 21 10 12 14 25 27 24 26 28 11 13 35 37 34 36 38  6  8 22 23  5  7  9 16 18 15 17 19 30 32 29 31 33
34 20 21 35 37  5  7  9  6  8 15 17 19 16 18 36 38 29 22 23 30 32 31 33  0  2  4  1  3 10 12 14 11 13 24 26 28 25 27
38 35 20 21 36  9  6  8  5  7 19 16 18 15 17 37 34 33 30 22 23 31 32 29  4  1  3  0  2 14 11 13 10 12 28 25 27 24 26
37 34 36 20 21  8  5  7  9  6 18 15 17 19 16 38 35 32 29 31 22 23 33 30  3  0  2  4  1 13 10 12 14 11 27 24 26 28 25
21 38 35 37 20  7  9  6  8  5 17 19 16 18 15 34 36 23 33 30 32 22 29 31  2  4  1  3  0 12 14 11 13 10 26 28 25 27 24
20 21 34 36 38  6  8  5  7  9 16 18 15 17 19 35 37 22 23 29 31 33 30 32  1  3  0  2  4 11 13 10 12 14 25 27 24 26 28
29 31 33 30 32  0  2  4  1  3 10 22 23 11 13 17 19 24 26 28 25 27 12 14 34 36 38 35 37  5  7  9  6  8 15 20 21 16 18
33 30 32 29 31  4  1  3  0  2 14 11 22 23 12 18 15 28 25 27 24 26 13 10 38 35 37 34 36  9  6  8  5  7 19 16 20 21 17
32 29 31 33 30  3  0  2  4  1 13 10 12 22 23 19 16 27 24 26 28 25 14 11 37 34 36 38 35  8  5  7  9  6 18 15 17 20 21
31 33 30 32 29  2  4  1  3  0 23 14 11 13 22 15 17 26 28 25 27 24 10 12 36 38 35 37 34  7  9  6  8  5 21 19 16 18 20
30 32 29 31 33  1  3  0  2  4 22 23 10 12 14 16 18 25 27 24 26 28 11 13 35 37 34 36 38  6  8  5  7  9 20 21 15 17 19
35 36 37 38 34 11 12 13 14 10 30 31 32 33 29 20 23  6  7  8  9  5 21 22 25 26 27 28 24  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15
36 37 38 34 35 12 13 14 10 11 31 32 33 29 30 22 21  7  8  9  5  6 23 20 26 27 28 24 25  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16
24 26 28 25 27 34 22 23 35 37  5  7  9  6  8  2  4 15 17 19 16 18 36 38 29 31 33 30 32  0 20 21  1  3 10 12 14 11 13
28 25 27 24 26 38 35 22 23 36  9  6  8  5  7  3  0 19 16 18 15 17 37 34 33 30 32 29 31  4  1 20 21  2 14 11 13 10 12
27 24 26 28 25 37 34 36 22 23  8  5  7  9  6  4  1 18 15 17 19 16 38 35 32 29 31 33 30  3  0  2 20 21 13 10 12 14 11
26 28 25 27 24 23 38 35 37 22  7  9  6  8  5  0  2 17 19 16 18 15 34 36 31 33 30 32 29 21  4  1  3 20 12 14 11 13 10
25 27 24 26 28 22 23 34 36 38  6  8  5  7  9  1  3 16 18 15 17 19 35 37 30 32 29 31 33 20 21  0  2  4 11 13 10 12 14
16 17 18 19 15 35 36 37 38 34 11 12 13 14 10 23 20 30 31 32 33 29 22 21  6  7  8  9  5 25 26 27 28 24  1  2  3  4  0
17 18 19 15 16 36 37 38 34 35 12 13 14 10 11 21 22 31 32 33 29 30 20 23  7  8  9  5  6 26 27 28 24 25  2  3  4  0  1
15 22 23 16 18 29 31 33 30 32  0  2  4  1  3 26 28 10 12 14 11 13 17 19 24 20 21 25 27 34 36 38 35 37  5  7  9  6  8
19 16 22 23 17 33 30 32 29 31  4  1  3  0  2 27 24 14 11 13 10 12 18 15 28 25 20 21 26 38 35 37 34 36  9  6  8  5  7
18 15 17 22 23 32 29 31 33 30  3  0  2  4  1 28 25 13 10 12 14 11 19 16 27 24 26 20 21 37 34 36 38 35  8  5  7  9  6
23 19 16 18 22 31 33 30 32 29  2  4  1  3  0 24 26 12 14 11 13 10 15 17 21 28 25 27 20 36 38 35 37 34  7  9  6  8  5
22 23 15 17 19 30 32 29 31 33  1  3  0  2  4 25 27 11 13 10 12 14 16 18 20 21 24 26 28 35 37 34 36 38  6  8  5  7  9
10 12 14 11 13 24 26 28 25 27 34 36 38 35 37  7  9  5 20 21  6  8  2  4 15 17 19 16 18 29 31 33 30 32  0 22 23  1  3
14 11 13 10 12 28 25 27 24 26 38 35 37 34 36  8  5  9  6 20 21  7  3  0 19 16 18 15 17 33 30 32 29 31  4  1 22 23  2
13 10 12 14 11 27 24 26 28 25 37 34 36 38 35  9  6  8  5  7 20 21  4  1 18 15 17 19 16 32 29 31 33 30  3  0  2 22 23
12 14 11 13 10 26 28 25 27 24 36 38 35 37 34  5  7 21  9  6  8 20  0  2 17 19 16 18 15 31 33 30 32 29 23  4  1  3 22
11 13 10 12 14 25 27 24 26 28 35 37 34 36 38  6  8 20 21  5  7  9  1  3 16 18 15 17 19 30 32 29 31 33 22 23  0  2  4
 5  7  9  6  8 15 17 19 16 18 29 20 21 30 32 31 33  0  2  4  1  3 26 28 10 12 14 11 13 24 22 23 25 27 34 36 38 35 37
 9  6  8  5  7 19 16 18 15 17 33 30 20 21 31 32 29  4  1  3  0  2 27 24 14 11 13 10 12 28 25 22 23 26 38 35 37 34 36
 8  5  7  9  6 18 15 17 19 16 32 29 31 20 21 33 30  3  0  2  4  1 28 25 13 10 12 14 11 27 24 26 22 23 37 34 36 38 35
 7  9  6  8  5 17 19 16 18 15 21 33 30 32 20 29 31  2  4  1  3  0 24 26 12 14 11 13 10 23 28 25 27 22 36 38 35 37 34
 6  8  5  7  9 16 18 15 17 19 20 21 29 31 33 30 32  1  3  0  2  4 25 27 11 13 10 12 14 22 23 24 26 28 35 37 34 36 38

Порядок 40 проблемный, а 41 - нет, так как простое число.
Сразу скажем: a(41)>=38.
Сейчас посмотрю, что мы имеем для порядка 40.

По команде

sage: for x in designs.mutually_orthogonal_latin_squares(7,40): print(x,'\n')

получаю группу MOLS 40-го порядка из 7 ЛК

0 2 33 4 36 34 32 1 21 19 14 23 15 11 13 22 28 25 37 24 35 39 38 26 7 6 10 5 8 9 12 3 17 20 30 18 31 27 29 16
4 1 34 0 32 33 36 2 23 22 11 21 13 14 15 19 24 26 39 28 38 37 35 25 5 3 9 7 12 10 8 6 18 16 27 17 29 30 31 20
36 33 2 32 0 1 4 34 15 14 19 13 21 22 23 11 35 37 25 38 28 26 24 39 8 10 6 12 7 3 5 9 31 30 20 29 17 16 18 27
6 7 37 3 35 39 38 5 17 20 8 18 10 12 9 16 27 29 33 30 36 34 32 31 2 0 15 1 14 13 11 4 21 19 24 23 26 28 25 22
32 34 1 36 4 2 0 33 13 11 22 15 23 19 21 14 38 39 26 35 24 25 28 37 12 9 3 8 5 6 7 10 29 27 16 31 18 20 17 30
35 37 7 38 6 5 3 39 10 8 20 9 17 16 18 12 36 33 29 32 27 31 30 34 14 15 0 11 2 4 1 13 26 24 19 25 21 22 23 28
38 39 5 35 3 7 6 37 9 12 16 10 18 20 17 8 32 34 31 36 30 29 27 33 11 13 4 14 1 0 2 15 25 28 22 26 23 19 21 24
3 5 39 6 38 37 35 7 18 16 12 17 9 8 10 20 30 31 34 27 32 33 36 29 1 4 13 2 11 15 14 0 23 22 28 21 25 24 26 19
25 28 38 26 39 35 37 24 8 10 1 12 4 2 0 9 29 27 22 31 23 19 21 30 36 33 5 32 3 7 6 34 15 14 18 13 16 17 20 11
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30 28 12 25 14 15 9 31 36 38 3 39 0 2 5 33 22 20 26 17 29 27 24 23 4 6 18 7 21 19 16 1 10 13 37 11 34 32 35 8
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26 29 13 27 10 8 11 24 37 34 1 32 7 6 4 35 18 21 30 19 28 25 31 16 5 2 22 0 20 17 23 3 14 12 36 9 38 39 33 15
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4 6 22 7 20 17 23 1 21 18 34 16 37 35 32 19 9 15 5 14 2 0 3 12 38 36 26 33 29 27 24 39 30 28 13 25 10 8 11 31 

0 20 8 30 28 38 18 10 1 21 9 31 29 39 19 11 5 25 2 35 22 32 12 15 6 26 3 36 23 33 13 16 7 27 4 37 24 34 14 17
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12 32 15 22 35 25 5 2 13 33 16 23 36 26 6 3 14 34 17 24 37 27 7 4 18 38 10 28 30 20 0 8 19 39 11 29 31 21 1 9
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21 1 29 11 9 19 39 31 25 5 22 15 2 12 32 35 26 6 23 16 3 13 33 36 27 7 24 17 4 14 34 37 20 0 28 10 8 18 38 30
9 29 1 39 21 31 11 19 2 22 5 32 25 35 15 12 3 23 6 33 26 36 16 13 4 24 7 34 27 37 17 14 8 28 0 38 20 30 10 18
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11 31 19 21 39 29 9 1 15 35 12 25 32 22 2 5 16 36 13 26 33 23 3 6 17 37 14 27 34 24 4 7 10 30 18 20 38 28 8 0 

Из 8 ЛК программа не знает группу MOLS данного порядка.
В показанной группе нет ДЛК.
Поэтому пока имеем только ортогональную пару ДЛК 40-го порядка, и a(40)>=2.

PS. Построить ортогональную пару ДЛК 40-го порядка очень просто методом составных квадратов (40=5*8).