Первую группу MOLS 12-го порядка из 5 ЛК я составила очень давно в своей статье (по известному алгоритму)
http://www.natalimak1.narod.ru/mols12.htm

Показываю эту группу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
1 2 3 4 5 0 7 8 9 10 11 6 
2 3 4 5 0 1 8 9 10 11 6 7 
3 4 5 0 1 2 9 10 11 6 7 8 
4 5 0 1 2 3 10 11 6 7 8 9 
5 0 1 2 3 4 11 6 7 8 9 10 
6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 
7 8 9 10 11 6 1 2 3 4 5 0 
8 9 10 11 6 7 2 3 4 5 0 1 
9 10 11 6 7 8 3 4 5 0 1 2 
10 11 6 7 8 9 4 5 0 1 2 3 
11 6 7 8 9 10 5 0 1 2 3 4

0 6 8 2 7 1 9 11 4 10 5 3 
1 7 9 3 8 2 10 6 5 11 0 4 
2 8 10 4 9 3 11 7 0 6 1 5 
3 9 11 5 10 4 6 8 1 7 2 0 
4 10 6 0 11 5 7 9 2 8 3 1 
5 11 7 1 6 0 8 10 3 9 4 2 
6 0 2 8 1 7 3 5 10 4 11 9 
7 1 3 9 2 8 4 0 11 5 6 10 
8 2 4 10 3 9 5 1 6 0 7 11 
9 3 5 11 4 10 0 2 7 1 8 6 
10 4 0 6 5 11 1 3 8 2 9 7 
11 5 1 7 0 6 2 4 9 3 10 8

0 3 6 1 9 11 2 8 5 4 7 10 
1 4 7 2 10 6 3 9 0 5 8 11 
2 5 8 3 11 7 4 10 1 0 9 6 
3 0 9 4 6 8 5 11 2 1 10 7 
4 1 10 5 7 9 0 6 3 2 11 8 
5 2 11 0 8 10 1 7 4 3 6 9 
6 9 0 7 3 5 8 2 11 10 1 4 
7 10 1 8 4 0 9 3 6 11 2 5 
8 11 2 9 5 1 10 4 7 6 3 0 
9 6 3 10 0 2 11 5 8 7 4 1 
10 7 4 11 1 3 6 0 9 8 5 2 
11 8 5 6 2 4 7 1 10 9 0 3

0 8 1 11 5 9 3 10 2 7 6 4 
1 9 2 6 0 10 4 11 3 8 7 5 
2 10 3 7 1 11 5 6 4 9 8 0 
3 11 4 8 2 6 0 7 5 10 9 1 
4 6 5 9 3 7 1 8 0 11 10 2 
5 7 0 10 4 8 2 9 1 6 11 3 
6 2 7 5 11 3 9 4 8 1 0 10 
7 3 8 0 6 4 10 5 9 2 1 11 
8 4 9 1 7 5 11 0 10 3 2 6 
9 5 10 2 8 0 6 1 11 4 3 7 
10 0 11 3 9 1 7 2 6 5 4 8 
11 1 6 4 10 2 8 3 7 0 5 9

0 4 11 10 2 7 8 6 9 1 3 5 
1 5 6 11 3 8 9 7 10 2 4 0 
2 0 7 6 4 9 10 8 11 3 5 1 
3 1 8 7 5 10 11 9 6 4 0 2 
4 2 9 8 0 11 6 10 7 5 1 3 
5 3 10 9 1 6 7 11 8 0 2 4 
6 10 5 4 8 1 2 0 3 7 9 11 
7 11 0 5 9 2 3 1 4 8 10 6 
8 6 1 0 10 3 4 2 5 9 11 7 
9 7 2 1 11 4 5 3 0 10 6 8 
10 8 3 2 6 5 0 4 1 11 7 9 
11 9 4 3 7 0 1 5 2 6 8 10

Проверка этих ЛК утилитой Harry White

Order? 12

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_5.txt

Counts
------
         5 Latin
         1 center symmetric
         1 nfr
         5 nfc
         1 nfr nfc
         1 self-transpose
         4 orthogonal pair

Как видим, в этой группе MOLS нет ДЛК.

Не так давно я немного поработала с ЛК этой группы. С помощью преобразования перестановки строк мне удалось получить несколько интересных ДЛК с точки зрения количества в них Д-трансверсалей.
Тогда я использовала только перестановку строк, а можно ещё использовать перестановку столбцов и одновременную перестановку строк и столбцов.
А цель у меня такая: найти тройку MODLS 12-го порядка.
Ортогональные пары ДЛК 12-го порядка, разумеется, существуют, нам их уже очень много известно. А вот насчёт тройки взаимно ортогональных ДЛК данного порядка пока ничего неизвестно (по крайней мере, мне).

Вторая группа MOLS 12-го порядка тоже из 5 ЛК получена программой SageMath.
Команда

sage: for x in designs.mutually_orthogonal_latin_squares(5,12): print(x,'\n')

Группа MOLS

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8
8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7
9 8 11 10 1 0 3 2 5 4 7 6
10 11 8 9 2 3 0 1 6 7 4 5
11 10 9 8 3 2 1 0 7 6 5 4
4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3
5 4 7 6 9 8 11 10 1 0 3 2
6 7 4 5 10 11 8 9 2 3 0 1
7 6 5 4 11 10 9 8 3 2 1 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
6 7 4 5 10 11 8 9 2 3 0 1
4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9
10 11 8 9 2 3 0 1 6 7 4 5
5 4 7 6 9 8 11 10 1 0 3 2
7 6 5 4 11 10 9 8 3 2 1 0
8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7
9 8 11 10 1 0 3 2 5 4 7 6
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10
11 10 9 8 3 2 1 0 7 6 5 4 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8
11 10 9 8 3 2 1 0 7 6 5 4
6 7 4 5 10 11 8 9 2 3 0 1
4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3
7 6 5 4 11 10 9 8 3 2 1 0
9 8 11 10 1 0 3 2 5 4 7 6
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10
5 4 7 6 9 8 11 10 1 0 3 2
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9
10 11 8 9 2 3 0 1 6 7 4 5
8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
9 8 11 10 1 0 3 2 5 4 7 6
8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10
5 4 7 6 9 8 11 10 1 0 3 2
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9
4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3
11 10 9 8 3 2 1 0 7 6 5 4
6 7 4 5 10 11 8 9 2 3 0 1
7 6 5 4 11 10 9 8 3 2 1 0
10 11 8 9 2 3 0 1 6 7 4 5 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
10 11 8 9 2 3 0 1 6 7 4 5
5 4 7 6 9 8 11 10 1 0 3 2
7 6 5 4 11 10 9 8 3 2 1 0
9 8 11 10 1 0 3 2 5 4 7 6
11 10 9 8 3 2 1 0 7 6 5 4
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8
6 7 4 5 10 11 8 9 2 3 0 1
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10
8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 

Утилита Harry White сообщает об этих ЛК

Order? 12

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_6.txt

Counts
------
         5 Latin
         1 center symmetric
         5 nfr
         4 orthogonal pair

Как видим, в этой группе тоже нет ДЛК.

Итак, мы имеем две группы MOLS 12-го порядка из 5 ЛК (возможно, есть и другие, но мне не встречались) и не имеем тройки MODLS.
Задача: найти тройку MODLS 12-го порядка.
Это задача-минимум.
Может быть, существуют группы MODLS 12-го порядка, содержание более трёх ДЛК.
Но пока ставлю задачу - найти тройку MODLS.
Не знаю, существует ли искомая тройка MODLS.
Точно так же, как о тройке MOLS 10-го порядка ничего неизвестно (по крайней мере, до недавнего времени было неизвестно; может быть, уже что-то выяснили; математики работают, а мы не всегда знаем о полученных результатах).

Первый алгоритм, лежащий на поверхности: преобразовать ЛК группы MOLS перестановкой строк или/и столбцов, пытаясь получить ДЛК.
При этом перестановку надо делать одновременно во всех ЛК группы.
Пока работаю с группой MOLS из моей статьи.
Первый этап эксперимента прошёл успешно.
С помощью перестановок строк получила группу MOLS, содержащую один ДЛК и четыре ЛК

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 2  3  4  5  0  1  8  9  10  11  6  7 
 6  7  8  9  10  11  0  1  2  3  4  5 
 4  5  0  1  2  3  10  11  6  7  8  9 
 7  8  9  10  11  6  1  2  3  4  5  0 
 8  9  10  11  6  7  2  3  4  5  0  1 
 11  6  7  8  9  10  5  0  1  2  3  4 
 10  11  6  7  8  9  4  5  0  1  2  3 
 1  2  3  4  5  0  7  8  9  10  11  6 
 9  10  11  6  7  8  3  4  5  0  1  2 
 5  0  1  2  3  4  11  6  7  8  9  10 
 3  4  5  0  1  2  9  10  11  6  7  8 

 0  6  8  2  7  1  9  11  4  10  5  3 
 2  8  10  4  9  3  11  7  0  6  1  5 
 6  0  2  8  1  7  3  5  10  4  11  9 
 4  10  6  0  11  5  7  9  2  8  3  1 
 7  1  3  9  2  8  4  0  11  5  6  10 
 8  2  4  10  3  9  5  1  6  0  7  11 
 11  5  1  7  0  6  2  4  9  3  10  8 
 10  4  0  6  5  11  1  3  8  2  9  7 
 1  7  9  3  8  2  10  6  5  11  0  4 
 9  3  5  11  4  10  0  2  7  1  8  6 
 5  11  7  1  6  0  8  10  3  9  4  2 
 3  9  11  5  10  4  6  8  1  7  2  0 

 0  3  6  1  9  11  2  8  5  4  7  10 
 2  5  8  3  11  7  4  10  1  0  9  6 
 6  9  0  7  3  5  8  2  11  10  1  4 
 4  1  10  5  7  9  0  6  3  2  11  8 
 7  10  1  8  4  0  9  3  6  11  2  5 
 8  11  2  9  5  1  10  4  7  6  3  0 
 11  8  5  6  2  4  7  1  10  9  0  3 
 10  7  4  11  1  3  6  0  9  8  5  2 
 1  4  7  2  10  6  3  9  0  5  8  11 
 9  6  3  10  0  2  11  5  8  7  4  1 
 5  2  11  0  8  10  1  7  4  3  6  9 
 3  0  9  4  6  8  5  11  2  1  10  7 

 0  8  1  11  5  9  3  10  2  7  6  4 
 2  10  3  7  1  11  5  6  4  9  8  0 
 6  2  7  5  11  3  9  4  8  1  0  10 
 4  6  5  9  3  7  1  8  0  11  10  2 
 7  3  8  0  6  4  10  5  9  2  1  11 
 8  4  9  1  7  5  11  0  10  3  2  6 
 11  1  6  4  10  2  8  3  7  0  5  9 
 10  0  11  3  9  1  7  2  6  5  4  8 
 1  9  2  6  0  10  4  11  3  8  7  5 
 9  5  10  2  8  0  6  1  11  4  3  7 
 5  7  0  10  4  8  2  9  1  6  11  3 
 3  11  4  8  2  6  0  7  5  10  9  1 

 0  4  11  10  2  7  8  6  9  1  3  5 
 2  0  7  6  4  9  10  8  11  3  5  1 
 6  10  5  4  8  1  2  0  3  7  9  11 
 4  2  9  8  0  11  6  10  7  5  1  3 
 7  11  0  5  9  2  3  1  4  8  10  6 
 8  6  1  0  10  3  4  2  5  9  11  7 
 11  9  4  3  7  0  1  5  2  6  8  10 
 10  8  3  2  6  5  0  4  1  11  7  9 
 1  5  6  11  3  8  9  7  10  2  4  0 
 9  7  2  1  11  4  5  3  0  10  6  8 
 5  3  10  9  1  6  7  11  8  0  2  4 
 3  1  8  7  5  10  11  9  6  4  0  2 

Проверяю ЛК этой группы утилитой Harry White

Order? 12

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_7.txt

Counts
------
         4 Latin
         1 diagonal Latin
         5 axial symmetric
         1 nfr
         4 orthogonal pair

И на всякий случай проверяю взаимную ортогональность ЛК группы

Order? 12

Enter the name of the squares file: inp
..output file inpPairs_9.txt
..output file inpPairNos_8.txt
squares 5 orthogonal pairs 10

И таблица ортогональных пар

2:  1
3:  1 2
4:  1 2 3
5:  1 2 3 4

Всё отлично.
Идея понятна. Дальше дело техники.
Во-первых, надо написать программу одновременной во всех ЛК группы полной перестановки строк и столбцов.
При этом программа должна отслеживать появление ДЛК. Как только появится три ДЛК, можно останавливать программу.
Решение задачи-минимум будет найдено.

Дублирую сообщение
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=162&postid=5849

Напомню цитату из статьи
New Bounds For Pairwise Orthogonal Diagonal Latin Squares

Theorem 1.1
There exist five pairwise orthogonal diagonal Latin squares of every
order n where n > 164. Order 2 ≤ n ≤ 7 are impossible; the only orders for which
the existence is undecided are:

10 12 14 15 18 20 21 22 24 26
28 30 33 34 35 36 38 39 40 42
44 45 46 48 50 51 52 54 55 60
62 66 68 69 70 74 76 82 84 90
98 106 164

Как видим, для порядков 10, 12, 14, 15, 18 и 20 (указанные мной выше проблемные порядки) существование MODLS из пяти взаимно (попарно) ортогональных ДЛК не установлено.
Ну, и дальше здесь перечислены проблемные порядки до порядка n=164.

Может быть, на данный момент есть новости у математиков по этому вопросу.
Убедительная просьба: кто обнаружит эти новости, сообщите, пожалуйста.

Абсолютно не помню, что в этой статье говорится о группах MODLS порядков 12 и 15.
Какие там найдены группы MODLS для данных порядков?

Я нашла группу MODLS порядка 15 из 4-х ДЛК. Это очень близко к 5 ДЛК, вполне возможно, что из 5 ДЛК тоже существует MODLS порядка 15.

PS. Ссылка на указанную статью
https://www.semanticscholar.org/paper/New-bounds-for-pairwise-orthogonal-diagonal-Latin-Du/8fbc493f8a0c436298ba0b85727e22e328339ed5
С главной страницы цитата

New bounds for pairwise orthogonal diagonal Latin squares
• B. Du
• Published 1993
• Mathematics, Computer Science
• Australas. J Comb.
A diagonal Latin square is a Latin square whose main diagonal and back diagonal are both transversals. Let dr be the least integer such that for all n > dr there exist r pairwise orthogonal diagonal Latin squares of order n. In a previous paper Wallis and Zhu gave several bounds on the dr. In this paper we shall present some constructions of pairwise orthogonal diagonal Latin squares and consequently obtain new bounds for five pairwise orthogonal diagonal Latin squares.

Вот что вычитала в статье

For t = 3, Wallis and Zhu [8] showed that d3 ~ 446. Then Zhu [11] and Du [2]
showed that three pairwise orthogonal diagonal Latin squares of order n exist for all
n with the 5 exceptions nEE = {2, 3,4,5, 6} and 11 possible exceptions, of which
46 is the largest number. Thus d3 ~ 46.

Статьи Zhu [11] and Du [2] не нашла.
В этих статьях как раз должны быть указаны "11 possible exceptions, of which 46 is the largest number".
Цитируемая статья написана в 1993 г., а статьи Zhu [11] and Du [2] в 1989 г. и 1991 г.
Интересно: какие порядки вошли в 11 возможных исключений?
Ещё более интересно, для каких проблемных порядков решения были найдены с тех пор.
Думаю, что порядки 10 и 12 входят в 11 возможных исключений.

Я нашла группу MODLS 12-го порядка, состоящую из четырёх взаимно ортогональных ДЛК!!

Сначала был найден набор из 16512 нормализованных ДЛК (работала программа перестановки строк и столбцов).
Затем проверила этот набор на ортогональные пары программой GetOrthogonal.
Ортогональных пар образовалось много, есть солидные группы ОДЛК: 48-ки, 32-ки.
Таблица ортогональных пар получилась огромная.
Программа SageMath много ругалась, то есть много выдала ошибок, но... клики размера 4 появились и их море!
Вот скриншот



Надеюсь, что это максимальные клики и клики бОльшего размера нет.
Но... надо бы это перепроверить, вдруг из-за множества ошибок клика бОльшего размера не найдена, но она есть.
Я позже выложу таблицу ортогональных пар. Сложность ещё в преобразовании формата этой таблицы. Делала это в Ворде вручную, тоже могла ошибиться.
Огромное количество клик размера 4 очень намекает на то, что есть клика размера 5 в этом наборе.
Но, может быть, и нет клики размера 5.

Показываю одну из многих групп MODLS 12-го порядка из 4-х взаимно ортогональных ДЛК

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 1  3  5  0  9  7  4  2 11  6  8 10
 4  9  8  6  1 11  0 10  5  3  2  7
 5  7  1  2 11  3  8  0  9 10  4  6
 7  2  3  5 10  0 11  1  6  8  9  4
11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0
 3  0  7  1  6  2  9  5 10  4 11  8
 6  4 10  9  0  8  3 11  2  1  7  5
 2  5  0  7  8  1 10  3  4 11  6  9
 8 11  4 10  5  9  2  6  1  7  0  3
 9  6 11  4  3 10  1  8  7  0  5  2
10  8  6 11  2  4  7  9  0  5  3  1

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 2  5  0  7  8  1 10  3  4 11  6  9
 3  0  7  1  6  2  9  5 10  4 11  8
11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0
 5  7  1  2 11  3  8  0  9 10  4  6
10  8  6 11  2  4  7  9  0  5  3  1
 9  6 11  4  3 10  1  8  7  0  5  2
 8 11  4 10  5  9  2  6  1  7  0  3
 6  4 10  9  0  8  3 11  2  1  7  5
 4  9  8  6  1 11  0 10  5  3  2  7
 7  2  3  5 10  0 11  1  6  8  9  4
 1  3  5  0  9  7  4  2 11  6  8 10

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 6  4 10  9  0  8  3 11  2  1  7  5
 7  2  3  5 10  0 11  1  6  8  9  4
 4  9  8  6  1 11  0 10  5  3  2  7
 2  5  0  7  8  1 10  3  4 11  6  9
 8 11  4 10  5  9  2  6  1  7  0  3
10  8  6 11  2  4  7  9  0  5  3  1
 3  0  7  1  6  2  9  5 10  4 11  8
 1  3  5  0  9  7  4  2 11  6  8 10
 5  7  1  2 11  3  8  0  9 10  4  6
11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0
 9  6 11  4  3 10  1  8  7  0  5  2

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 7  2  3  5 10  0 11  1  6  8  9  4
 8 11  4 10  5  9  2  6  1  7  0  3
10  8  6 11  2  4  7  9  0  5  3  1
 4  9  8  6  1 11  0 10  5  3  2  7
 5  7  1  2 11  3  8  0  9 10  4  6
11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0
 9  6 11  4  3 10  1  8  7  0  5  2
 3  0  7  1  6  2  9  5 10  4 11  8
 1  3  5  0  9  7  4  2 11  6  8 10
 6  4 10  9  0  8  3 11  2  1  7  5
 2  5  0  7  8  1 10  3  4 11  6  9

Проверяю ДЛК этой группы программой GetOrthogonal

Order? 12

Enter the name of the squares file: inp1
Choose 1 - get counts and maximun pairs, or 2 - get pairs for one square: 1
..output file inp1-orthCounts.txt
..output file inp1-orthNos.txt
squares 4 total orthogonal pairs 6
Maximum pairs for square 1: 3
There are 3 other squares with this maximum number of pairs.
..output file inp1-1orths.txt
Pairs for square 1: 3

Всё верно: ДЛК образовали 6 ортогональных пар, и каждый ДЛК имеет 3 ОДЛК.
Таблица ортогональных пар

1:  2 3 4
2:  1 3 4
3:  1 2 4
4:  1 2 3

Известна ли математикам группа MODLS 12-го порядка, состоящая из четырёх ДЛК? А из пяти ДЛК?
Программа SageMath выдаёт группу MOLS данного порядка из 5 ЛК.
Эта группа показана выше.
Я искала группу MODLS на основе группы MOLS, построенной мной по известному алгоритму. В этой группе тоже 5 взаимно ортогональных ЛК.
Выше показано, что сначала я нашла путём перестановок строк группу, в которой один ДЛК и 4 ЛК.
Затем продолжила процесс перестановок строк. И вот - удача!

Задала вопрос здесь
https://math.stackexchange.com/questions/4156562/modls-of-order-12
"MODLS of order 12"

Интересно, что мой вопрос о группах MODLS 12, 14 и 15 порядков, заданный там же в январе т. г., удалён, точнее скрыт.
Не было получено ни одного ответа.
Поэтому скрыт? Очень странно! Если ответов нет, значит вопрос надо удалить?

Посмотрим, сколько продержится мой новый вопрос.
И будут ли ответы.

Пока ответов нет.
Никто ничего не знает? Странно! Я получила результат до сих пор никому не известный?
А меня терзают сомнения: не потеряла ли я клику размера 5.

Ах, увидела там ответ на другой вопрос о MOLS 15-го порядка

Natalia Makarova has built a MOLS group of order 15, consisting of four Latin squares. The topic is discussed in detail on her webpage, and I will also quote the squares below. They also built a MODLS of order 15 on page dedicated to MODLS.
Whether a group of MODLS of order 15 containing more than 4 squares is still an open question.

https://math.stackexchange.com/questions/170575/a-pair-of-mols-of-order-15

Это написал Tomas Brada.
Спасибо!

На заданный мной вопрос ответа так и нет (см. сообщение чуть выше).
Вот же. Никто не знает ответ?
А на том сайте знатоки сидят, которые всё знают :)

Чтобы убрать сомнения в том, что ошиблась при преобразовании формата таблицы ортогональных пар, попросила Harry изменить программу GetOrthogonal, чтобы она выдавала таблицу ортогональных пар в нужном для программы SageMath формате.
Он это сделал. Спасибо ему!

Теперь ошибок в таблице ортогональности нет.
Но... версия программы SageMath, которой я пользуюсь
https://sagecell.sagemath.org/
укороченная, лёгкая, так сказать.
Я не устанавливала эту программу полностью.
Думаю, что поэтому программа выдаёт много ошибок.
Однако клики размера 4 программа по-прежнему выдаёт в огромном количестве.
Показываю скиншот



Сейчас покажу самую первую клику размера 4, которую видим на скриншоте
[10, 12228, 4476, 9032]

Вот эта групппа MODLS 12-го порядка

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 1  3  5  0  9  7  4  2 11  6  8 10
 3  0  7  1  6  2  9  5 10  4 11  8
 4  9  8  6  1 11  0 10  5  3  2  7
 5  7  1  2 11  3  8  0  9 10  4  6
10  8  6 11  2  4  7  9  0  5  3  1
 2  5  0  7  8  1 10  3  4 11  6  9
 9  6 11  4  3 10  1  8  7  0  5  2
 8 11  4 10  5  9  2  6  1  7  0  3
11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0
 7  2  3  5 10  0 11  1  6  8  9  4
 6  4 10  9  0  8  3 11  2  1  7  5

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 9  6 11  4  3 10  1  8  7  0  5  2
 5  7  1  2 11  3  8  0  9 10  4  6
 2  5  0  7  8  1 10  3  4 11  6  9
 8 11  4 10  5  9  2  6  1  7  0  3
 6  4 10  9  0  8  3 11  2  1  7  5
 7  2  3  5 10  0 11  1  6  8  9  4
10  8  6 11  2  4  7  9  0  5  3  1
11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0
 3  0  7  1  6  2  9  5 10  4 11  8
 4  9  8  6  1 11  0 10  5  3  2  7
 1  3  5  0  9  7  4  2 11  6  8 10

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 4  9  8  6  1 11  0 10  5  3  2  7
 8 11  4 10  5  9  2  6  1  7  0  3
 5  7  1  2 11  3  8  0  9 10  4  6
 7  2  3  5 10  0 11  1  6  8  9  4
11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0
 6  4 10  9  0  8  3 11  2  1  7  5
 3  0  7  1  6  2  9  5 10  4 11  8
 9  6 11  4  3 10  1  8  7  0  5  2
 2  5  0  7  8  1 10  3  4 11  6  9
 1  3  5  0  9  7  4  2 11  6  8 10
10  8  6 11  2  4  7  9  0  5  3  1

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 7  2  3  5 10  0 11  1  6  8  9  4
 6  4 10  9  0  8  3 11  2  1  7  5
 3  0  7  1  6  2  9  5 10  4 11  8
 2  5  0  7  8  1 10  3  4 11  6  9
 8 11  4 10  5  9  2  6  1  7  0  3
10  8  6 11  2  4  7  9  0  5  3  1
11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0
 1  3  5  0  9  7  4  2 11  6  8 10
 4  9  8  6  1 11  0 10  5  3  2  7
 9  6 11  4  3 10  1  8  7  0  5  2
 5  7  1  2 11  3  8  0  9 10  4  6

Проверяю программой GetOrthogonal

Order? 12

Enter the name of the squares file: inp1
Choose 1 - get counts and maximun pairs, or 2 - get pairs for one square: 1
..output file inp1-orthCounts.txt
..output file inp1-orthNos.txt
squares 4 total orthogonal pairs 6
Maximum pairs for square 1: 3
There are 3 other squares with this maximum number of pairs.
..output file inp1-1orths.txt
Pairs for square 1: 3

Всё правильно!
Таблица ортогональных пар

1: [2,3,4],
2: [1,3,4],
3: [1,2,4],
4: [1,2,3]

Да, это группа MODLS 12-го порядка, состоящая из 4-х взаимно ортогональных ДЛК.
Интересно, что групп таких очень много.

Клика размера 5 по-прежнему не найдена в данном наборе ОДЛК 12-го порядка.
Может быть, её и нет.
Но досадно, если она не найдена из-за ошибок, которые выдаёт программа SageMath.

Добавила туда (где задала вопрос) такой комментарий

Some constructions for t pairwise orthogonal diagonal Latin squares based on difference matrices
R. Abel, Yang Li
Published 2015
Computer Science, Mathematics
Discret. Math.
https://ajc.maths.uq.edu.au/pdf/7/ocr-ajc-v7-p87.pdf

Theorem 1.1
There exist five pairwise orthogonal diagonal Latin squares of every
order n where n > 164. Order 2 ≤ n ≤ 7 are impossible; the only orders for which
the existence is undecided are:

10 12 14 15 18 20 21 22 24 26
28 30 33 34 35 36 38 39 40 42
44 45 46 48 50 51 52 54 55 60
62 66 68 69 70 74 76 82 84 90
98 106 164

Это знатокам к сведению, а то что-то они растерялись :) ничего не отвечают, а я так жду ответа!

Кстати, ещё раз смотрю в эту статью. Она, между прочим, можно сказать свеженькая, 2015 год.
Смотрю в книгу и вижу фигу :)
Дальше процитированной теоремы пока не продвинулась.

Граф мой проверили на форуме Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=44&t=74401

Форумчанин пишет, что граф программа обсчитала очень быстро.
Он выложил все клики размера 4. Клики размера 5 нет.
А клик размера 4 море!
Я вижу в его файле 932 клики, это 930-я
[106, 10767, 12367, 1978],

Вот такие найдены группы MODLS 12-го порядка, состоящие из 4-х взаимно ортогональных ДЛК.
Остаётся открытым вопрос: существует ли группа MODLS 12-го порядка. состоящая из 5 взаимно ортогональных ДЛК.

Кстати, я выложила граф
https://disk.yandex.ru/d/JPS8hs8GQk8s9Q
(Яндекс.Диск, формат txt, файл не сжат, 478 КБ)
Все желающие тоже могут проверить.

Что-то всюду тишина :)

В OEIS внесла результат
https://oeis.org/draft/A328873
Цитирую

COMMENTS a(12) >= 4. - Natalia Makarova, May 30 2021
LINKS Natalia Makarova, MOLS and MODLS of order 12

Пять дней тишина. Ни одного комментария нет.

Написала коллеге Максу Алексееву письмо по этому вопросу.
Он много чего знает о ЛК, да и гуглить хорошо может.
Нет никакого ответа.
Кстати, Макс редактор OEIS (по крайней мере, был; не знаю, как сейчас, давно не видела его комментариев в OEIS).
Мог бы и в OEIS что-нибудь написать: хороший результат или плохой результат, утвердить его или перечеркнуть.

Уж сомнения меня одолевают: я тут или уже там :)

Господа!
Пожалуйста, подтвердите, что я тут :)

В другой последовательности OEIS редактор написал

Thu Jun 03 12:54 Andrew Howroyd: I don't think the discussion between you and yourself is of interest - removed.

https://oeis.org/history?seq=A343867

Улыбнулась, но возражать не стала.
Действительно: кому интересны уникальные алгоритмы, описываемые автором, как обсуждение "между вами и вами"?! :)

Везде по-прежнему тишина.
Ни одного ответа, ни одного комментария!
Кажется, я нашла неудобоваримый результат, никто не может его переварить :)

А я продолжаю переставлять строки и столбцы.
Получила новый набор из 50468 различных нормализованных ДЛК, который дал такой результат

Order? 12

Enter the name of the squares file: inp
Choose 1 - get counts and maximun pairs, or 2 - get pairs for one square: 1
..output file inp-orthCounts.txt
..output file inp-orthNos.txt
    .. increasing LS store to     100,000
squares 50468 total orthogonal pairs 97268
Maximum pairs for square 17367: 49
There is 1 other square with this maximum number of pairs.
..output file inp-17367orths.txt
Pairs for square 17367: 49

elapsed time 0:17:55

Граф получается огромный: 50468 узлов и 97268 рёбер.
Попытаюсь предложить его программе SageMath.

Показываю начало и конец таблицы ортогональных пар

6: [27425,32181,36229,40353,49884],
7: [9193,11736,13590],
14: [16864,19489,23169,35068,40010],
17: [27425,32181,36229,40353,49884],
18: [9193,11736,13590],
25: [16864,19489,23169,35068,40010],
33: [27425,32181,36229,40353,49884],
34: [9193,11736,13590],
42: [16864,19489,23169,35068,40010],
52: [9193,11736,13590],
53: [27425,32181,36229,40353,49884],
58: [16864,19489,23169,35068,40010],
70: [27425,32181,36229,40353,49884],
71: [9193,11736,13590],
75: [16864,19489,23169,35068,40010],
86: [27425,32181,36229,40353,49884],
87: [9193,11736,13590],
94: [16864,19489,23169,35068,40010],
103: [16864,19489,23169,35068,40010],
110: [27425,32181,36229,40353,49884],
. . . . . . 
50450: [18453,26979],
50451: [12258,12358,15200,21009,27951],
50452: [5886,18672,22510,23547,23917,35766],
50453: [20324,27249,37880],
50454: [20681,25734],
50455: [10870,12332,23413,27850,30367,37018],
50456: [12448,15365,17233,23884,28571,31397],
50457: [2388,39091,41593,44525],
50458: [18481,36115,40749,41095,42834,44680],
50459: [2428,2570,4513,5424,24270,24346,25260,26734,27452,30978],
50459: [31575,38491,38565,40467,40842,44504],
50460: [2388,2564,4470,5444,24221,24358,25277,25948,27091,32215],
50460: [32482,39043,39154,40504,40772,44486],
50461: [17220,25943,36257],
50462: [3789,4301,12619,14245,15508,21969,27698,28206,33724,33738],
50462: [36047,36050,36065,37833,40788,44232]

Скормила программе SageMath полученный граф.
Программа долго ругалась, но клики размера 4 начала-таки выдавать



Увы! Клики размера 5 по-прежнему нет.
Может быть, она и не существует в природе, а я её ищу :)
Очень трудно искать чёрную кошку в тёмной комнате, особенно когда её там нет.

А клик размера 4 стало ещё больше!

Напомню: первый набор ДЛК у меня содержал 16512 нормализованных различных ДЛК.
Текущий набор содержит 50468 различных нормализованных ДЛК.
Можно продолжать перестановку строк и столбцов.
Однако... совершенно неизвестно, даст ли это искомую клику размера 5.

Продолжая переставлять строки и столбцы, получила новый набор из 66996 различных нормализованных ДЛК.
Попросила помощника проверить этот набор и программой GetOrthogonal, и программой SageMath.
Причём программу SageMath он установил.

Проверка прошла замечательно, обе программы быстро отработали и выдали результаты.
Увы! Клика размера 5 не найдена.

Протокол работы программы GetOrthogonal

Order? 12

Enter the name of the squares file: DLK12_66996
Choose 1 - get counts and maximun pairs, or 2 - get pairs for one square: 1
..output file DLK12_66996-orthCounts.txt
..output file DLK12_66996-orthNos.txt
    .. increasing LS store to     100,000
squares 66996 total orthogonal pairs 129560
Maximum pairs for square 22033: 49
There is 1 other square with this maximum number of pairs.
..output file DLK12_66996-22033orths.txt
Pairs for square 22033: 49

elapsed time 0:06:25

Полученная таблица ортогональности (граф) далее проверяется программой SageMath на максимальную клику.
Протокол работы этой программы (фрагмент)

┌────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ SageMath version 9.2, Release Date: 2020-10-24 │
│ Using Python 3.7.7. Type "help()" for help. │
└────────────────────────────────────────────────────────────────────┘

....: 66798: [21358,24887,29786,45658,52259],
....: 66799: [14357,16370,42666],
....: 66807: [11178,14548,17015],
....: 66808: [35552,41786,47186,52714,65393],
....: 66833: [66232,66298,66351,66434,66504,66565,66635,66701,66754,66837],
....: 66833: [66907,66968],
....: 66835: [66229,66297,66350,66433,66501,66562,66636,66704,66757,66840],
....: 66835: [66908,66969],
....: 66837: [66236,66303,66356,66429,66498,66569,66640,66707,66760,66833],
....: 66837: [66902,66973],
....: 66840: [66228,66295,66348,66431,66500,66571,66632,66699,66752,66835],
....: 66840: [66904,66975],
....: 66873: [21358,24887,29786,45658,52259],
....: 66874: [14357,16370,42666],
....: 66883: [35552,41786,47186,52714,65393],
....: 66884: [11178,14548,17015],
....: 66902: [66232,66298,66351,66434,66504,66565,66635,66701,66754,66837],
....: 66902: [66907,66968],
....: 66904: [66229,66297,66350,66433,66501,66562,66636,66704,66757,66840],
....: 66904: [66908,66969],
....: 66907: [66236,66303,66356,66429,66498,66569,66640,66707,66760,66833],
....: 66907: [66902,66973],
....: 66908: [66228,66295,66348,66431,66500,66571,66632,66699,66752,66835],
....: 66908: [66904,66975],
....: 66943: [21358,24887,29786,45658,52259],
....: 66944: [14357,16370,42666],
....: 66950: [35552,41786,47186,52714,65393],
....: 66951: [11178,14548,17015],
....: 66968: [66236,66303,66356,66429,66498,66569,66640,66707,66760,66833],
....: 66968: [66902,66973],
....: 66969: [66228,66295,66348,66431,66500,66571,66632,66699,66752,66835],
....: 66969: [66904,66975],
....: 66973: [66232,66298,66351,66434,66504,66565,66635,66701,66754,66837],
....: 66973: [66907,66968],
....: 66975: [66229,66297,66350,66433,66501,66562,66636,66704,66757,66840],
....: 66975: [66908,66969]}
....: g = Graph (d)
....: g.cliques_maximum ()
[[1, 8158, 29200, 56296],
 [11, 21262, 28212, 35858],
 [12, 10093, 32759, 58196],
 [24, 23518, 35763, 53976],
 [24, 52018, 9834, 13979],
 [33, 7374, 29212, 56345],
 [44, 22600, 10048, 33976],
 [45, 25585, 44223, 14180],
 [46, 10893, 32809, 58234],
 [49, 10527, 20543, 51992],
 [49, 42331, 16280, 54896],
 [55, 26445, 28626, 61827],
 [59, 17365, 34262, 63118],
 [79, 29911, 38752, 57819],
 [85, 9457, 18448, 37901],
 [86, 40993, 17980, 56620],
 [86, 42555, 38456, 54646],
 [87, 13046, 18272, 28117],
 [99, 12562, 34630, 61679],
 [100, 22221, 42444, 47434],
 [154, 17942, 28276, 61851],
 [164, 22703, 39169, 64368],
 [164, 48782, 36089, 64368],
 [167, 44410, 29845, 35551],
 [178, 43032, 31687, 62024],
 [180, 43609, 36102, 61519],
 [183, 12734, 24982, 50874],
 [186, 24869, 41790, 49305],
. . . . . 
 [52012, 8069, 39680, 40699],
 [52024, 2406, 34458, 54587],
 [52046, 15510, 39570, 55479],
 [52053, 8126, 57390, 63533],
 [52053, 8926, 31059, 63533],
 [52053, 28704, 34823, 63533],
 [52075, 9864, 26395, 37734],
 [52096, 40685, 55659, 62498],
 [52098, 15902, 31088, 39617],
 [52105, 9595, 32516, 54026],
 [52108, 7621, 57549, 62310],
 [52113, 15496, 31112, 63567],
 [52137, 14023, 29970, 53968],
 [52137, 30424, 34504, 64952],
 [52139, 8550, 29980, 54034],
 [52144, 28043, 53464, 62086],
 [52145, 8260, 37327, 65099],
 [52153, 19242, 29001, 54928],
 [52162, 6938, 56807, 62211],
 [52164, 27341, 53397, 62065]]
sage:
sage:

Программа не выдала ошибок в отличие от версии онлайн, которой я пользуюсь.
Клик размера 4 океан! Наверное, много изоморфных.
ДЛК набора не проверялись на изоморфность, это различные нормализованные ДЛК.

Интересная клика
[4261, 16547, 39388, 55347],
Интересна тем, что квадрат 39388 имеет 49 ОДЛК (максимальная группа ОДЛК в этом наборе).
Показываю эту клику - группу MODLS, состоящую из 4 взаимно ортогональных ДЛК

квадрат 4261
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 1  8  9  7  6  4  2 11  3 10  5  0
 9 10  3  4  1  0  8  6  5  7 11  2
 7 11  4  1 10  9  5  8  0  6  2  3
 3  7  5  0  9  2 10  1 11  4  6  8
11  0  6  8  5 10  4  3  1  2  9  7
 4  6  0  9  7  3 11 10  2  1  8  5
10  5  7  6  8  1  3  2  4 11  0  9
 5  4 11  2  3  8  7  9  6  0  1 10
 8  3 10 11  2  6  9  0  7  5  4  1
 2  9  8  5  0 11  1  4 10  3  7  6
 6  2  1 10 11  7  0  5  9  8  3  4

квадрат 16547
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 3  7  6 11  0  1  4 10  9  5  8  2
10 11  5  8  7  3  1  2  4  0  6  9
 6  9  3  4  2  8 11  5  7 10  1  0
 2  8  0  6 11 10  3  9  1  7  5  4
 4  5 11  0  6  9  2  1 10  8  7  3
 5  4 10  1  9  6  8  0 11  2  3  7
 8  2  1  9 10 11  7  6  0  3  4  5
 9  6  7  5  8  2 10  4  3 11  0  1
11 10  4  2  3  7  0  8  5  1  9  6
 7  3  9 10  1  0  5 11  6  4  2  8
 1  0  8  7  5  4  9  3  2  6 11 10

квадрат 39388
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 7 11  5 10  2  8  3  9  1  6  0  4
 1  3  7  5  0  9  2 11  6  4  8 10
 3  5 11  9  1  4  7 10  2  0  6  8
 6  2  1  7  8 11  0  3  4 10  9  5
10  8  4  6 11  2  9  0  5  7  3  1
 2  7  3 11  6 10  1  5  0  8  4  9
11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0
 4  0  6  1  9  3  8  2 10  5 11  7
 9  4  8  0  5  1 10  6 11  3  7  2
 8  6  0  2 10  7  4  1  9 11  5  3
 5  9 10  4  3  0 11  8  7  1  2  6

квадрат 55347
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
10  5  4  9  3  0 11  8  2  7  6  1
 3  2  6  1 11  4  7  0 10  5  9  8
 1  6  7  2  8 11  0  3  9  4  5 10
11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0
 5 11  8  4  2  1 10  9  7  3  0  6
 8  9  5 10  0  7  4 11  1  6  2  3
 9  4 11  5  1  3  8 10  6  0  7  2
 7  3  1  0  5  9  2  6 11 10  8  4
 6  0  3  7  9 10  1  2  4  8 11  5
 4  8 10 11  6  2  9  5  0  1  3  7
 2  7  0  6 10  8  3  1  5 11  4  9

Проверяю группу MODLS программой GetOrthogonal

Order? 12

Enter the name of the squares file: inp
Choose 1 - get counts and maximun pairs, or 2 - get pairs for one square: 1
..output file inp-orthCounts.txt
..output file inp-orthNos.txt
squares 4 total orthogonal pairs 6
Maximum pairs for square 1: 3
There are 3 other squares with this maximum number of pairs.
..output file inp-1orths.txt
Pairs for square 1: 3

Всё верно.
Клика настоящая!
Все 4 ДЛК группы уникальные, канонизатор сообщает

Order? 12
Format, (1: first row or 2: \diagonal)? 2
File name? a
.. writing DLS to file output12CF2.txt
number of DLS 4 CFs 4

В рамках данного набора квадрат 4261 имеет 7 ОДЛК, квадрат 16547 - 9 ОДЛК, квадрат 39388 - 49 ОДЛК, квадрат 55347 - 32 ОДЛК.
Из таблицы ортогональных пар

4261: [11422,16547,25132,37775,39388,55347,65208],
16547: [4261,8244,27242,28589,39388,52925,55347,58794,65772],
39388: [1628,4144,4261,5280,7797,8244,11115,11422,13385,15404],
39388: [16547,17747,18458,20279,20302,20585,20673,21368,21434,25132],
39388: [25482,26877,26964,27242,27624,28571,28589,29179,29893,43233],
39388: [43399,44996,45096,46356,46463,47419,47462,48520,51342,53210],
39388: [55347,57223,58794,60409,60795,61397,62587,62789,65208],
55347: [3313,3314,4261,4552,6828,7042,7748,7797,13055,16547],
55347: [18102,18458,19374,19955,23164,23554,23711,27121,27624,29570],
55347: [36642,39388,40079,42604,43233,45749,47093,47419,48193,62587],
55347: [66029,66063],

У меня есть сильное подозрение, что во множестве всех ДЛК, получаемых перестановкой строк и столбцов в 4-х ДЛК найденной группы MODLS 12-го порядка, группа MODLS, состоящая из 5 ДЛК, не существует.
Может быть, ошибочное предположение, но... интуиция сильно так говорит :)
Поэтому остановила дальнейшую перестановку строк и столбцов.

А вдруг группа MODLS 12-го порядка, состоящая из 5 взаимно ортогональных ДЛК, вообще не существует в природе.
Что-то знатоки на сайте math.stackexchange.com ничего о ней не говорят.
Если бы она была найдена, то о ней наверняка знали бы.
Значит, не найдена. Может, и не существует.

Так, подойдём с другой стороны к этой группе MODLS 12-го порядка, состоящей из 4-х взаимно ортогональных ДЛК.
Будем искать пятый ЛК, который ортогонален всем ДЛК группы.
Таким образом. мы получим группу MOLS 12-го порядка, состоящую из пяти ЛК, четыре из которых являются ДЛК.
Мы знаем, что группа MOLS 12-го порядка существует. Выше показаны две такие группы MOLS. Но эти группы MOLS не содержат ДЛК.
В самом начале поиска группы MODLS я получила группу MOLS из пяти ЛК, в которой содержится один ДЛК.
Покажу ещё раз эту группу MOLS

ЛК
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 2  3  4  5  0  1  8  9 10 11  6  7
 6  7  8  9 10 11  0  1  2  3  4  5
 4  5  0  1  2  3 10 11  6  7  8  9
 7  8  9 10 11  6  1  2  3  4  5  0
 8  9 10 11  6  7  2  3  4  5  0  1
11  6  7  8  9 10  5  0  1  2  3  4
10 11  6  7  8  9  4  5  0  1  2  3
 1  2  3  4  5  0  7  8  9 10 11  6
 9 10 11  6  7  8  3  4  5  0  1  2
 5  0  1  2  3  4 11  6  7  8  9 10
 3  4  5  0  1  2  9 10 11  6  7  8

ЛК
 0  6  8  2  7  1  9 11  4 10  5  3
 2  8 10  4  9  3 11  7  0  6  1  5
 6  0  2  8  1  7  3  5 10  4 11  9
 4 10  6  0 11  5  7  9  2  8  3  1
 7  1  3  9  2  8  4  0 11  5  6 10
 8  2  4 10  3  9  5  1  6  0  7 11
11  5  1  7  0  6  2  4  9  3 10  8
10  4  0  6  5 11  1  3  8  2  9  7
 1  7  9  3  8  2 10  6  5 11  0  4
 9  3  5 11  4 10  0  2  7  1  8  6
 5 11  7  1  6  0  8 10  3  9  4  2
 3  9 11  5 10  4  6  8  1  7  2  0

ЛК
 0  3  6  1  9 11  2  8  5  4  7 10
 2  5  8  3 11  7  4 10  1  0  9  6
 6  9  0  7  3  5  8  2 11 10  1  4
 4  1 10  5  7  9  0  6  3  2 11  8
 7 10  1  8  4  0  9  3  6 11  2  5
 8 11  2  9  5  1 10  4  7  6  3  0
11  8  5  6  2  4  7  1 10  9  0  3
10  7  4 11  1  3  6  0  9  8  5  2
 1  4  7  2 10  6  3  9  0  5  8 11
 9  6  3 10  0  2 11  5  8  7  4  1
 5  2 11  0  8 10  1  7  4  3  6  9
 3  0  9  4  6  8  5 11  2  1 10  7

ДЛК
 0  8  1 11  5  9  3 10  2  7  6  4
 2 10  3  7  1 11  5  6  4  9  8  0
 6  2  7  5 11  3  9  4  8  1  0 10
 4  6  5  9  3  7  1  8  0 11 10  2
 7  3  8  0  6  4 10  5  9  2  1 11
 8  4  9  1  7  5 11  0 10  3  2  6
11  1  6  4 10  2  8  3  7  0  5  9
10  0 11  3  9  1  7  2  6  5  4  8
 1  9  2  6  0 10  4 11  3  8  7  5
 9  5 10  2  8  0  6  1 11  4  3  7
 5  7  0 10  4  8  2  9  1  6 11  3
 3 11  4  8  2  6  0  7  5 10  9  1

ЛК
 0  4 11 10  2  7  8  6  9  1  3  5
 2  0  7  6  4  9 10  8 11  3  5  1
 6 10  5  4  8  1  2  0  3  7  9 11
 4  2  9  8  0 11  6 10  7  5  1  3
 7 11  0  5  9  2  3  1  4  8 10  6
 8  6  1  0 10  3  4  2  5  9 11  7
11  9  4  3  7  0  1  5  2  6  8 10
10  8  3  2  6  5  0  4  1 11  7  9
 1  5  6 11  3  8  9  7 10  2  4  0
 9  7  2  1 11  4  5  3  0 10  6  8
 5  3 10  9  1  6  7 11  8  0  2  4
 3  1  8  7  5 10 11  9  6  4  0  2

Смотрите сообщение
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=120&postid=1291
Эта группа MOLS была получена путём перестановки строк в ЛК известной группы MOLS, состоящей из пяти ЛК, которая была построена мной давно по известному алгоритму.
Смотрите мою статью
"ПОСТРОЕНИЕ ГРУППЫ MOLS ДВЕНАДЦАТОГО ПОРЯДКА"
http://www.natalimak1.narod.ru/mols12.htm

Итак, задача понятна.
Алгоритм её решения тоже понятен.
Надо писать программу.

Для решения поставленной задачи возьмём ДЛК группы MODLS в нормализованном виде

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 1  3  5  0  9  7  4  2 11  6  8 10
 4  9  8  6  1 11  0 10  5  3  2  7
 5  7  1  2 11  3  8  0  9 10  4  6
 7  2  3  5 10  0 11  1  6  8  9  4
11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0
 3  0  7  1  6  2  9  5 10  4 11  8
 6  4 10  9  0  8  3 11  2  1  7  5
 2  5  0  7  8  1 10  3  4 11  6  9
 8 11  4 10  5  9  2  6  1  7  0  3
 9  6 11  4  3 10  1  8  7  0  5  2
10  8  6 11  2  4  7  9  0  5  3  1

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 2  5  0  7  8  1 10  3  4 11  6  9
 3  0  7  1  6  2  9  5 10  4 11  8
11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0
 5  7  1  2 11  3  8  0  9 10  4  6
10  8  6 11  2  4  7  9  0  5  3  1
 9  6 11  4  3 10  1  8  7  0  5  2
 8 11  4 10  5  9  2  6  1  7  0  3
 6  4 10  9  0  8  3 11  2  1  7  5
 4  9  8  6  1 11  0 10  5  3  2  7
 7  2  3  5 10  0 11  1  6  8  9  4
 1  3  5  0  9  7  4  2 11  6  8 10

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 6  4 10  9  0  8  3 11  2  1  7  5
 7  2  3  5 10  0 11  1  6  8  9  4
 4  9  8  6  1 11  0 10  5  3  2  7
 2  5  0  7  8  1 10  3  4 11  6  9
 8 11  4 10  5  9  2  6  1  7  0  3
10  8  6 11  2  4  7  9  0  5  3  1
 3  0  7  1  6  2  9  5 10  4 11  8
 1  3  5  0  9  7  4  2 11  6  8 10
 5  7  1  2 11  3  8  0  9 10  4  6
11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0
 9  6 11  4  3 10  1  8  7  0  5  2

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 7  2  3  5 10  0 11  1  6  8  9  4
 8 11  4 10  5  9  2  6  1  7  0  3
10  8  6 11  2  4  7  9  0  5  3  1
 4  9  8  6  1 11  0 10  5  3  2  7
 5  7  1  2 11  3  8  0  9 10  4  6
11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0
 9  6 11  4  3 10  1  8  7  0  5  2
 3  0  7  1  6  2  9  5 10  4 11  8
 1  3  5  0  9  7  4  2 11  6  8 10
 6  4 10  9  0  8  3 11  2  1  7  5
 2  5  0  7  8  1 10  3  4 11  6  9

Пятый ЛК будем искать тоже в нормализованном виде.

Кстати, сегодня появилась новая правка в последовательности OEIS
https://oeis.org/A328873
Господин Ватутин вставил найденную мной группу MODLS 12-го порядка, состоящую из 4-х взаимно ортогональных ДЛК, в свой "Proving list (best known examples)".
Правки ещё не утверждены.
Показываю добавление господина Ватутина в "Proving list (best known examples)"

n=12, a(12)>=4
Announcement: https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=120&postid=2217, Natalia Makarova, May 30 2021
Way of finding: ?

# 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 3 5 0 9 7 4 2 11 6 8 10
4 9 8 6 1 11 0 10 5 3 2 7
5 7 1 2 11 3 8 0 9 10 4 6
7 2 3 5 10 0 11 1 6 8 9 4
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
3 0 7 1 6 2 9 5 10 4 11 8
6 4 10 9 0 8 3 11 2 1 7 5
2 5 0 7 8 1 10 3 4 11 6 9
8 11 4 10 5 9 2 6 1 7 0 3
9 6 11 4 3 10 1 8 7 0 5 2
10 8 6 11 2 4 7 9 0 5 3 1

# 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 5 0 7 8 1 10 3 4 11 6 9
3 0 7 1 6 2 9 5 10 4 11 8
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
5 7 1 2 11 3 8 0 9 10 4 6
10 8 6 11 2 4 7 9 0 5 3 1
9 6 11 4 3 10 1 8 7 0 5 2
8 11 4 10 5 9 2 6 1 7 0 3
6 4 10 9 0 8 3 11 2 1 7 5
4 9 8 6 1 11 0 10 5 3 2 7
7 2 3 5 10 0 11 1 6 8 9 4
1 3 5 0 9 7 4 2 11 6 8 10

# 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
6 4 10 9 0 8 3 11 2 1 7 5
7 2 3 5 10 0 11 1 6 8 9 4
4 9 8 6 1 11 0 10 5 3 2 7
2 5 0 7 8 1 10 3 4 11 6 9
8 11 4 10 5 9 2 6 1 7 0 3
10 8 6 11 2 4 7 9 0 5 3 1
3 0 7 1 6 2 9 5 10 4 11 8
1 3 5 0 9 7 4 2 11 6 8 10
5 7 1 2 11 3 8 0 9 10 4 6
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
9 6 11 4 3 10 1 8 7 0 5 2

# 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
7 2 3 5 10 0 11 1 6 8 9 4
8 11 4 10 5 9 2 6 1 7 0 3
10 8 6 11 2 4 7 9 0 5 3 1
4 9 8 6 1 11 0 10 5 3 2 7
5 7 1 2 11 3 8 0 9 10 4 6
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
9 6 11 4 3 10 1 8 7 0 5 2
3 0 7 1 6 2 9 5 10 4 11 8
1 3 5 0 9 7 4 2 11 6 8 10
6 4 10 9 0 8 3 11 2 1 7 5
2 5 0 7 8 1 10 3 4 11 6 9

Группу MODLS господин Ватутин на форуме видел (ссылка указана, группа скопирована), однако как группа найдена, он не знает: "Way of finding: ?"
Повторю специально для него: группа MODLS 12-го порядка, состоящая из четырёх взаимно ортогональных ДЛК, получена путём перестановки строк и столбцов в ЛК известной группы MOLS данного порядка, состоящей из пяти взаимно ортогональных ЛК.
Алгоритм хорошо известен, программная реализация моя.

Так, жду утверждения этой последовательности OEIS. Что-то редакторы молчат, ни одного комментария.
С момента моей правки прошло две недели.
Цитирую

COMMENTS
a(12) >= 4. - Natalia Makarova, May 30 2021

LINKS
Natalia Makarova, MOLS and MODLS of order 12

Создаётся впечатление, что редакторы правку не видели.
По крайней мере, за две недели уже можно присвоить последовательности статус "reviewed".