Пора посвятить отдельную тему идеальным ДЛК (ultramagic DLS).

Цитата из сообщения
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=51&postid=1221

Кстати, методом составных квадратов можно строить не только дважды симметричные ДЛК.
Покажу построение этим методом идеального ДЛК 35-го порядка (ultra).
Исходные идеальные ДЛК взяла отсюда: 7-го и 5-го порядков (7-го порядка взяла левый квадрат на иллюстрации)





На выходе получила идеальный ДЛК 35-го порядка



Красавец! Этот ДЛК и ассоциативный, и пандиагональный.

На показанной первой иллюстрации сверху вы видите идеальные ДЛК 7-го порядка (с моего сайта) и 5-го порядка (с сайта Harry White).
Далее методом составных квадратов на основе идеальных ДЛК 7-го и 5-го порядков построен идеальный ДЛК 35-го порядка.

Определение: идеальным ДЛК (ultramagic) называется ДЛК одновременно ассоциативный и пандиагональный.

Замечание: ассоциативность ДЛК понимается в смысле терминологии Harry White.
Я не различаю ассоциативные и центрально-симметричные ДЛК, потому что они изоморфны (превращаются друг в друга переобозначением элементов).
Harry White различает эти понятия, поэтому будем придерживаться в этой теме терминологии Harry White.

В стартовом посте вы видите примеры идеальных ДЛК 5-го, 7-го и 35-го порядков.

Я немного занималась идеальными ДЛК в теме на форуме проекта ОДЛК, с этого сообщения
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=162&postid=7171
и далее.
Не буду перетаскивать сюда все сообщения.
Покажу некоторые интересные результаты.

Это идеальный ДЛК 13-го порядка, рекордный на данный момент по Д-трансверсалям (131106 Д-трансверсалей)



Это идеальный ДЛК 19-го порядка, тоже рекордный на данный момент по Д-трансверсалям (11254190082 Д-трансверсалей)



В этом ДЛК показала раскраской необычную структуру.

Далее я исследовала вопрос существования различных (не изоморфных) идеальных ДЛК порядков 11, 13.
И остановилась на порядке 17.

Дублирую сообщение
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=122&postid=1430

Канонизировала 14 ДЛК 17-го порядка, входящих в полную систему MOLS, программой Tomas Brada, получила следующие 4 КФ

J39x3jjhxnHszoQpfcDrAzx27ZgCpvYW9JZU9nm4EozssVGc6mUYnCWuV7HzfwhWK2hEtntURM2pDGa9ins
JHep946hdpmD3PbVe64oR1i2JacXn5EZhBapLW1bdkDY4JdXfnDizzcaKLehQmyCFnBMwusRtF4PEhke4
JVUesFePXAN1rG8UWDrmYhv7h3UUqSqVraVEBWcofey2tPsEJpepgvNg8vu32qL8dazxSPiVu1Ttj29tL
JZavs7uAV4CURwBtFMoJPcLBijAc1hE3FotZHERYCMPtfJ1PMTFPDqmULKieXppg11yArjb6WbfYS3zYz2

Следовательно, из 14 ДЛК уникальных только 4.
Сейчас посчитаю в них Д-трансверсали.

Готово!

num_dtrans: 204446127
num_dtrans: 204995269
num_dtrans: 204586817
num_dtrans: 204330233

Топ-4 получилось для ДЛК 17-го порядка. Второму ДЛК принадлежит текущий рекорд.
---------
Таким образом, из 14 ДЛК, содержащихся в полной системе MOLS 17-го порядка, только 4 уникальных.
Эти уникальные ДЛК сейчас рассмотрим.

В оригинальном (нормализованном) виде эти 4 ДЛК из полной системы MOLS

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5
8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7
10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6
9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8
11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5
9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8
12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6
10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4
8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7
11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3
8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7
12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6
11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5
10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4
9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8
13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4
10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2
8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7
13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5
11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3
9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8
14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6
12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Смотрим свойства этих ДЛК утилитой Harry White

Order? 17

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_7.txt

Counts
------
         4 diagonal Latin
         4 pandiagonal
         4 center symmetric
         4 nfr
         3 orthogonal pair
         4 self-orthogonal

ДЛК пандиагональные, но не ассоциативные, а значит, не идеальные.
Преобразую эти ДЛК из нормализованных в СН ДЛК (использую для преобразования программу Tomas Brada dlkconv), получаю следующие СН ДЛК

0 6 12 1 7 13 2 8 14 3 9 15 4 10 16 5 11
12 1 7 13 2 8 14 3 9 15 4 10 16 5 11 0 6
7 13 2 8 14 3 9 15 4 10 16 5 11 0 6 12 1
2 8 14 3 9 15 4 10 16 5 11 0 6 12 1 7 13
14 3 9 15 4 10 16 5 11 0 6 12 1 7 13 2 8
9 15 4 10 16 5 11 0 6 12 1 7 13 2 8 14 3
4 10 16 5 11 0 6 12 1 7 13 2 8 14 3 9 15
16 5 11 0 6 12 1 7 13 2 8 14 3 9 15 4 10
11 0 6 12 1 7 13 2 8 14 3 9 15 4 10 16 5
6 12 1 7 13 2 8 14 3 9 15 4 10 16 5 11 0
1 7 13 2 8 14 3 9 15 4 10 16 5 11 0 6 12
13 2 8 14 3 9 15 4 10 16 5 11 0 6 12 1 7
8 14 3 9 15 4 10 16 5 11 0 6 12 1 7 13 2
3 9 15 4 10 16 5 11 0 6 12 1 7 13 2 8 14
15 4 10 16 5 11 0 6 12 1 7 13 2 8 14 3 9
10 16 5 11 0 6 12 1 7 13 2 8 14 3 9 15 4
5 11 0 6 12 1 7 13 2 8 14 3 9 15 4 10 16

0 13 9 5 1 14 10 6 2 15 11 7 3 16 12 8 4
5 1 14 10 6 2 15 11 7 3 16 12 8 4 0 13 9
10 6 2 15 11 7 3 16 12 8 4 0 13 9 5 1 14
15 11 7 3 16 12 8 4 0 13 9 5 1 14 10 6 2
3 16 12 8 4 0 13 9 5 1 14 10 6 2 15 11 7
8 4 0 13 9 5 1 14 10 6 2 15 11 7 3 16 12
13 9 5 1 14 10 6 2 15 11 7 3 16 12 8 4 0
1 14 10 6 2 15 11 7 3 16 12 8 4 0 13 9 5
6 2 15 11 7 3 16 12 8 4 0 13 9 5 1 14 10
11 7 3 16 12 8 4 0 13 9 5 1 14 10 6 2 15
16 12 8 4 0 13 9 5 1 14 10 6 2 15 11 7 3
4 0 13 9 5 1 14 10 6 2 15 11 7 3 16 12 8
9 5 1 14 10 6 2 15 11 7 3 16 12 8 4 0 13
14 10 6 2 15 11 7 3 16 12 8 4 0 13 9 5 1
2 15 11 7 3 16 12 8 4 0 13 9 5 1 14 10 6
7 3 16 12 8 4 0 13 9 5 1 14 10 6 2 15 11
12 8 4 0 13 9 5 1 14 10 6 2 15 11 7 3 16

0 7 14 4 11 1 8 15 5 12 2 9 16 6 13 3 10
11 1 8 15 5 12 2 9 16 6 13 3 10 0 7 14 4
5 12 2 9 16 6 13 3 10 0 7 14 4 11 1 8 15
16 6 13 3 10 0 7 14 4 11 1 8 15 5 12 2 9
10 0 7 14 4 11 1 8 15 5 12 2 9 16 6 13 3
4 11 1 8 15 5 12 2 9 16 6 13 3 10 0 7 14
15 5 12 2 9 16 6 13 3 10 0 7 14 4 11 1 8
9 16 6 13 3 10 0 7 14 4 11 1 8 15 5 12 2
3 10 0 7 14 4 11 1 8 15 5 12 2 9 16 6 13
14 4 11 1 8 15 5 12 2 9 16 6 13 3 10 0 7
8 15 5 12 2 9 16 6 13 3 10 0 7 14 4 11 1
2 9 16 6 13 3 10 0 7 14 4 11 1 8 15 5 12
13 3 10 0 7 14 4 11 1 8 15 5 12 2 9 16 6
7 14 4 11 1 8 15 5 12 2 9 16 6 13 3 10 0
1 8 15 5 12 2 9 16 6 13 3 10 0 7 14 4 11
12 2 9 16 6 13 3 10 0 7 14 4 11 1 8 15 5
6 13 3 10 0 7 14 4 11 1 8 15 5 12 2 9 16

0 3 6 9 12 15 1 4 7 10 13 16 2 5 8 11 14
15 1 4 7 10 13 16 2 5 8 11 14 0 3 6 9 12
13 16 2 5 8 11 14 0 3 6 9 12 15 1 4 7 10
11 14 0 3 6 9 12 15 1 4 7 10 13 16 2 5 8
9 12 15 1 4 7 10 13 16 2 5 8 11 14 0 3 6
7 10 13 16 2 5 8 11 14 0 3 6 9 12 15 1 4
5 8 11 14 0 3 6 9 12 15 1 4 7 10 13 16 2
3 6 9 12 15 1 4 7 10 13 16 2 5 8 11 14 0
1 4 7 10 13 16 2 5 8 11 14 0 3 6 9 12 15
16 2 5 8 11 14 0 3 6 9 12 15 1 4 7 10 13
14 0 3 6 9 12 15 1 4 7 10 13 16 2 5 8 11
12 15 1 4 7 10 13 16 2 5 8 11 14 0 3 6 9
10 13 16 2 5 8 11 14 0 3 6 9 12 15 1 4 7
8 11 14 0 3 6 9 12 15 1 4 7 10 13 16 2 5
6 9 12 15 1 4 7 10 13 16 2 5 8 11 14 0 3
4 7 10 13 16 2 5 8 11 14 0 3 6 9 12 15 1
2 5 8 11 14 0 3 6 9 12 15 1 4 7 10 13 16

Смотрим свойства этих ДЛК

Order? 17

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_8.txt

Counts
------
         4 diagonal Latin
         4 associative
         4 pandiagonal
         4 ultramagic
         4 natural \diagonal
         3 orthogonal pair
         4 self-orthogonal

Всё отлично! Мы получили идеальные ДЛК.
Но нельзя сказать, что это все существенно различные идеальные ДЛК 17-го порядка.
Для порядка 17, вероятно (как и для порядка 13), существуют полу-циклические и не циклические пандиагональные ДЛК.
Среди них, может быть, и ассоциативные найдутся, и это будут новые идеальные ДЛК.

Текущий максимум по Д-трансверсалям принадлежит перв�¼Ñƒ из 4-Ñ… показанных идеальных ДЛК
[code]num_dtrans: 204995269[/code]
Рекордному ДЛК положена иллюстрация :)
Сейчас изображу.
Готово!



Можно было показать раскраской ассоциативность или пандиагональность ДЛК, я показала цикличность в строках.
Этот ДЛК циклический пандиагональный.
Аналогично цикличность имеет место в столбцах и в диагоналях обоих направлений.

В полной системе MOLS 19-го порядка содержится 16 ДЛК

LNPBNdjGWMGj8q6LJcFJQDE9d3bfxZxELHinjkmjZp9FAqyy8P8Byyzks9rAa4GSffr4GSWyqqvwagd8aKGotS6KZZhYQ1KhesT4XnarJWF83MvkwohSEvKg3
LMocW1vUYvAeZ2EUrrHjD1rTh5YVCPeucSQvrpFiuKG4c7SA8RKK8SXNFJ47UQRShATg7ZMwzffnPeUNvE4pmjVf1P5GjY67SEyFPXbteV7eKxg2j7
Lk5Gt1SvxZZCCeuRUDR3Z7aRVoNSbpDyDqbW1ELDQCfHtqCXPGdydHr3Fk7GskbyXxrCohD4533tdS1CuAXYAGNC1U2DSbzNHADuLkSJK6XVgb4oonN8
LFyGwpMwERA3kjUmpw3QgvVmE3KXMDMZSfT5X2C6hRoKyn2MvhJFSKxwLKKvk8dBRzNWpVX8uWvVKXZxfMwibbVLynBBmjfh2zYTcQByepswFk3GAPTP2
LGeipKTTQKAWgRNLs5HfECkVHmjUW1Hctej7tNR2cDEBWM5N3pHT45dwJhcQVXpmFsg3iLkhqNJRdp5WTCrozp2wYVhVokxxZ2eR7ZR6
LX4vjGAztUkbjLYPB62WKwvMKEaSc6u55HeHue292EaQeqmrYJZd6k3TkrKU7bSKPyDrmf6BwVHEDSc7LXS6NmxeBShkbiWBwuWyychQM1xF9Qz
Lcj4oCcBBVdLRBCgmSoWqrSDqxai5ZJRUibbPSN7zjR6VsQWcSTwgaLTZ6Epj4HT58ff6mKPzTiPZBB6bq7o74UQYi4HMeo9uDsgk4pzaf7C
LBRLRReVhFDADbACXPM6kMidtYetBv9TbE7stzFV7kQ7NjGATqhiosc4wTRsYwi4qruAxfR9e2vZWjTbvYffLQNNxtoXW8
LCrx6CeA7EU11QNKLpdGTMvs5j2ZNRAYUCUcp7uCRhL6B7EQDN5yqrDAneNtcAfUR3cBPNofq23q9bEZZ4fLAXKuLdShPVKthWsEvokNG9hDwa8znfkrDe
Ls2XkSPE5EAmQ2zUn63iD6VLWd7gPYFyMoW1pRAnNHBqJmnxqgH7yqbprMaWSJsR1S4S3fGVXDZCdUfCraCA6dQBEBsT5g6SK1o3CCVwq1x5NYNR
LALygJKVaTt9sxSxxTbJEt8hxpNQf3cQGMUb9FkRxsQBnW26DM6cLevv7L1B8bFyCb7UbjjPDXhw7JchYAVsFTbTxd5poPJ9QCcNU7ZuM2h5
Ld8u48CyQKuq9v34TmtMb1ZvNJSwMyg9MHUEYps9SAVTmY8wiTDxsYV6CYM9wQ2bVju617riyBZnsjT7SPQ9T9U1ktDsvzHcximdQngxRNVikfJScB2
LgELmZn4hZE8TWY1UgZbavomVF3GfKHZqPoB7VfuCJSXVnJUfyaiPU7iLHsLatzRddPNsrz2Byqgd6VStBK7V5LnbhqcoepEe64PN28
LudLBmQKpcZUGE9HmCLhyPcDL92fQVLbK4WEMFcgjZFKp8idesKZoPAp1Ch4ufGPjWaDwENnSbQpmgDDCQBRsXyBKyA7fYfjj8mBN6
LUXJjnR46k7ZoLzqWwiTn3hasxJmncMVA8NfcbW5rVBiNAdr7hBQRYo5b6ARrNY8qfT7R18835amHEKgn61pCMxLyai5tRDE3h3s3vL
LM6MiG9aWn14qwX7JXNWhZ9asPTZBb4WNjQXUYA77xYFKiafXHgFsfRogaw1SN4pnYSetqBSMBeSf2rjTNQutpj5ZKB7W8

Все они циклические пандиагональные и центрально-симметричные.
Канонизатора ДЛК 19-го порядка у нас пока нет, поэтому найти среди этих ДЛК уникальные пока не могу.
Трансверсали во всех этих ДЛК посчитал мой помощник, кроме одного (первого), в котором Д-трансверсали посчитала я.
Максимум по Д-трансверсалям (на данный момент) принадлежит этому ДЛК



Но это не идеальный ДЛК, он центрально-симметричный и пандиагональный.
Выше я уже показала построенный мной идеальный ДЛК с таким же количеством Д-трансверсалей.

Совершенно аналогично все 16 ДЛК из полной системы MOLS 19-го порядка, которые являются центрально-симметричными и пандиагональными, легко преобразовать в идеальные ДЛК, просто преобразовав их в СН ДЛК.
Сколько будет в этом наборе уникальных идеальных ДЛК, пока не знаю.

Пример
показанный на иллюстации ДЛК преобразуется в следующий идеальный ДЛК

0 13 7 1 14 8 2 15 9 3 16 10 4 17 11 5 18 12 6
7 1 14 8 2 15 9 3 16 10 4 17 11 5 18 12 6 0 13
14 8 2 15 9 3 16 10 4 17 11 5 18 12 6 0 13 7 1
2 15 9 3 16 10 4 17 11 5 18 12 6 0 13 7 1 14 8
9 3 16 10 4 17 11 5 18 12 6 0 13 7 1 14 8 2 15
16 10 4 17 11 5 18 12 6 0 13 7 1 14 8 2 15 9 3
4 17 11 5 18 12 6 0 13 7 1 14 8 2 15 9 3 16 10
11 5 18 12 6 0 13 7 1 14 8 2 15 9 3 16 10 4 17
18 12 6 0 13 7 1 14 8 2 15 9 3 16 10 4 17 11 5
6 0 13 7 1 14 8 2 15 9 3 16 10 4 17 11 5 18 12
13 7 1 14 8 2 15 9 3 16 10 4 17 11 5 18 12 6 0
1 14 8 2 15 9 3 16 10 4 17 11 5 18 12 6 0 13 7
8 2 15 9 3 16 10 4 17 11 5 18 12 6 0 13 7 1 14
15 9 3 16 10 4 17 11 5 18 12 6 0 13 7 1 14 8 2
3 16 10 4 17 11 5 18 12 6 0 13 7 1 14 8 2 15 9
10 4 17 11 5 18 12 6 0 13 7 1 14 8 2 15 9 3 16
17 11 5 18 12 6 0 13 7 1 14 8 2 15 9 3 16 10 4
5 18 12 6 0 13 7 1 14 8 2 15 9 3 16 10 4 17 11
12 6 0 13 7 1 14 8 2 15 9 3 16 10 4 17 11 5 18

Этот идеальный ДЛК изоморфен ДЛК, показанному на иллюстрации, а также идеальному ДЛК, показанному здесь
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=126&postid=1487

И ещё одна иллюстрация - последний идеальный ДЛК из предыдущего поста



Раскраской показана цикличность в столбцах, ДЛК циклический пандиагональный.
Аналогичная цикличность имеет место в строках и в диагоналях обоих направлений.

Вы, вероятно, заметили, что пока рассматриваются идеальные ДЛК порядков, являющихся простыми числами: 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Для порядков n=4k+2, k=1, 2, 3, ... идеальных ДЛК не существует, так как не существует ни ассоциативных, ни пандиагональных.
Для порядков n=4k, k=1, 2, 3, ... ассоциативные ДЛК существуют, но не существует пандиагональных ДЛК, зато существуют слабо пандиагональные ДЛК.
Для прочих порядков надо разбираться конкретно.
Например, для порядка 25 очень просто построить идеальный ДЛК методом составных квадратов на основе идеального ДЛК 5-го порядка. Позже покажу этот ДЛК.
В стартовом посте показан пример построения идеального ДЛК 35-го порядка тоже методом составных квадратов.
А вот порядок 27, к примеру, пока проблемный: не знаю, существует ли идеальный ДЛК данного порядка.

Полная система MOLS 23-го порядка показана здесь
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=117&postid=1208
(получено в программе SageMath)
В системе содержится 20 ДЛК, смотрим их свойства

Order? 23

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_10.txt

Counts
------
        20 diagonal Latin
        20 associative
        20 pandiagonal
        20 ultramagic
        20 natural \diagonal
        19 orthogonal pair
        20 self-orthogonal

Замечательно! Все ДЛК идеальные.
Программа SageMath очень хорошую систему MOLS составила: ДЛК в этой системе представлены в формате СН ДЛК.
Вот - и ничего не надо преобразовывать.
Покажу один идеальный ДЛК 23-го порядка из полной системы MOLS

 0  2  4  6  8 10 12 14 16 18 20 22  1  3  5  7  9 11 13 15 17 19 21
22  1  3  5  7  9 11 13 15 17 19 21  0  2  4  6  8 10 12 14 16 18 20
21  0  2  4  6  8 10 12 14 16 18 20 22  1  3  5  7  9 11 13 15 17 19
20 22  1  3  5  7  9 11 13 15 17 19 21  0  2  4  6  8 10 12 14 16 18
19 21  0  2  4  6  8 10 12 14 16 18 20 22  1  3  5  7  9 11 13 15 17
18 20 22  1  3  5  7  9 11 13 15 17 19 21  0  2  4  6  8 10 12 14 16
17 19 21  0  2  4  6  8 10 12 14 16 18 20 22  1  3  5  7  9 11 13 15
16 18 20 22  1  3  5  7  9 11 13 15 17 19 21  0  2  4  6  8 10 12 14
15 17 19 21  0  2  4  6  8 10 12 14 16 18 20 22  1  3  5  7  9 11 13
14 16 18 20 22  1  3  5  7  9 11 13 15 17 19 21  0  2  4  6  8 10 12
13 15 17 19 21  0  2  4  6  8 10 12 14 16 18 20 22  1  3  5  7  9 11
12 14 16 18 20 22  1  3  5  7  9 11 13 15 17 19 21  0  2  4  6  8 10
11 13 15 17 19 21  0  2  4  6  8 10 12 14 16 18 20 22  1  3  5  7  9
10 12 14 16 18 20 22  1  3  5  7  9 11 13 15 17 19 21  0  2  4  6  8
 9 11 13 15 17 19 21  0  2  4  6  8 10 12 14 16 18 20 22  1  3  5  7
 8 10 12 14 16 18 20 22  1  3  5  7  9 11 13 15 17 19 21  0  2  4  6
 7  9 11 13 15 17 19 21  0  2  4  6  8 10 12 14 16 18 20 22  1  3  5
 6  8 10 12 14 16 18 20 22  1  3  5  7  9 11 13 15 17 19 21  0  2  4
 5  7  9 11 13 15 17 19 21  0  2  4  6  8 10 12 14 16 18 20 22  1  3
 4  6  8 10 12 14 16 18 20 22  1  3  5  7  9 11 13 15 17 19 21  0  2
 3  5  7  9 11 13 15 17 19 21  0  2  4  6  8 10 12 14 16 18 20 22  1
 2  4  6  8 10 12 14 16 18 20 22  1  3  5  7  9 11 13 15 17 19 21  0
 1  3  5  7  9 11 13 15 17 19 21  0  2  4  6  8 10 12 14 16 18 20 22 

Сколько среди этих 20 идеальных ДЛК уникальных, пока неизвестно.
Канонизотора для ДЛК 23-го порядка у нас нет.
Д-трансверсали в ДЛК 23-го порядка пока не считали.

Здесь
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=117&postid=1180
рассказано, как я пыталась строить полную систему MOLS 25-го порядка методом циклического сдвига.
Это у меня не получилось.
Но 10 центрально-симметричных и пандиагональных ДЛК получились.
Вот один из них

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
23 24 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
21 22 23 24 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
19 20 21 22 23 24 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
17 18 19 20 21 22 23 24 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0 1 2 3 4 5 6 7 8
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0 1 2 3 4 5 6
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0 1 2 3 4
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0
24 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
22 23 24 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
20 21 22 23 24 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
18 19 20 21 22 23 24 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
16 17 18 19 20 21 22 23 24 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0 1 2 3 4 5 6 7
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0 1 2 3 4 5
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0 1 2 3
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0 1

Свойства этого ДЛК

Order? 25

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_11.txt

Counts
------
         1 diagonal Latin
         1 pandiagonal
         1 center symmetric
         1 nfr
         1 self-orthogonal

Сейчас преобразую этот ДЛК в СН ДЛК и получу идеальный ДЛК 25-го порядка.

Готово!

0 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
2 1 0 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3
4 3 2 1 0 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5
6 5 4 3 2 1 0 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7
8 7 6 5 4 3 2 1 0 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13
14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15
16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 24 23 22 21 20 19 18 17
18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 24 23 22 21 20 19
20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 24 23 22 21
22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 24 23
24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
1 0 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
3 2 1 0 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4
5 4 3 2 1 0 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6
7 6 5 4 3 2 1 0 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12
13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 24 23 22 21 20 19 18 17 16
17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 24 23 22 21 20 19 18
19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 24 23 22 21 20
21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 24 23 22
23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 24

Смотрим свойства этого ДЛК

Order? 25

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_12.txt

Counts
------
         1 diagonal Latin
         1 associative
         1 pandiagonal
         1 ultramagic
         1 natural \diagonal
         1 self-orthogonal

Прекрасно!
Добавлю: ДЛК является также DSODLS.
Следовательно, можно составить две ортогональные пары из идеальных ДЛК 25-го порядка с участием показанного здесь идеального ДЛК.

Я обещала показать идеальный ДЛК 25-го порядка, построенный методом составных ДЛК.
Сейчас построю и покажу.
Для построения возьму идеальный ДЛК 5-го порядка из стартового поста.

Вот он - идеальный ДЛК 25-го порядка, построенный методом составных квадратов

  0   4   3   2   1  20  24  23  22  21  15  19  18  17  16  10  14  13  12  11   5   9   8   7   6
  2   1   0   4   3  22  21  20  24  23  17  16  15  19  18  12  11  10  14  13   7   6   5   9   8
  4   3   2   1   0  24  23  22  21  20  19  18  17  16  15  14  13  12  11  10   9   8   7   6   5
  1   0   4   3   2  21  20  24  23  22  16  15  19  18  17  11  10  14  13  12   6   5   9   8   7
  3   2   1   0   4  23  22  21  20  24  18  17  16  15  19  13  12  11  10  14   8   7   6   5   9
 10  14  13  12  11   5   9   8   7   6   0   4   3   2   1  20  24  23  22  21  15  19  18  17  16
 12  11  10  14  13   7   6   5   9   8   2   1   0   4   3  22  21  20  24  23  17  16  15  19  18
 14  13  12  11  10   9   8   7   6   5   4   3   2   1   0  24  23  22  21  20  19  18  17  16  15
 11  10  14  13  12   6   5   9   8   7   1   0   4   3   2  21  20  24  23  22  16  15  19  18  17
 13  12  11  10  14   8   7   6   5   9   3   2   1   0   4  23  22  21  20  24  18  17  16  15  19
 20  24  23  22  21  15  19  18  17  16  10  14  13  12  11   5   9   8   7   6   0   4   3   2   1
 22  21  20  24  23  17  16  15  19  18  12  11  10  14  13   7   6   5   9   8   2   1   0   4   3
 24  23  22  21  20  19  18  17  16  15  14  13  12  11  10   9   8   7   6   5   4   3   2   1   0
 21  20  24  23  22  16  15  19  18  17  11  10  14  13  12   6   5   9   8   7   1   0   4   3   2
 23  22  21  20  24  18  17  16  15  19  13  12  11  10  14   8   7   6   5   9   3   2   1   0   4
  5   9   8   7   6   0   4   3   2   1  20  24  23  22  21  15  19  18  17  16  10  14  13  12  11
  7   6   5   9   8   2   1   0   4   3  22  21  20  24  23  17  16  15  19  18  12  11  10  14  13
  9   8   7   6   5   4   3   2   1   0  24  23  22  21  20  19  18  17  16  15  14  13  12  11  10
  6   5   9   8   7   1   0   4   3   2  21  20  24  23  22  16  15  19  18  17  11  10  14  13  12
  8   7   6   5   9   3   2   1   0   4  23  22  21  20  24  18  17  16  15  19  13  12  11  10  14
 15  19  18  17  16  10  14  13  12  11   5   9   8   7   6   0   4   3   2   1  20  24  23  22  21
 17  16  15  19  18  12  11  10  14  13   7   6   5   9   8   2   1   0   4   3  22  21  20  24  23
 19  18  17  16  15  14  13  12  11  10   9   8   7   6   5   4   3   2   1   0  24  23  22  21  20
 16  15  19  18  17  11  10  14  13  12   6   5   9   8   7   1   0   4   3   2  21  20  24  23  22
 18  17  16  15  19  13  12  11  10  14   8   7   6   5   9   3   2   1   0   4  23  22  21  20 24

Смотрим свойства этого ДЛК

Order? 25

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_14.txt

Counts
------
         1 diagonal Latin
         1 associative
         1 pandiagonal
         1 ultramagic
         1 natural \diagonal
         1 self-orthogonal

Всё замечательно! И не могло быть иначе :)

Цитата из сообщения
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=110&postid=1040

Вот пара ортогональных слабо пандиагональных ЛК 16-го порядка из указанной выше статьи



Выписываю первый ЛК (квадрат А)

0 6 3 5 12 10 15 9 2 4 1 7 14 8 13 11
5 3 6 0 9 15 10 12 7 1 4 2 11 13 8 14
6 0 5 3 10 12 9 15 4 2 7 1 8 14 11 13
3 5 0 6 15 9 12 10 1 7 2 4 13 11 14 8
11 13 8 14 7 1 4 2 9 15 10 12 5 3 6 0
14 8 13 11 2 4 1 7 12 10 15 9 0 6 3 5
13 11 14 8 1 7 2 4 15 9 12 10 3 5 0 6
8 14 11 13 4 2 7 1 10 12 9 15 6 0 5 3
12 10 15 9 0 6 3 5 14 8 13 11 2 4 1 7
9 15 10 12 5 3 6 0 11 13 8 14 7 1 4 2
10 12 9 15 6 0 5 3 8 14 11 13 4 2 7 1
15 9 12 10 3 5 0 6 13 11 14 8 1 7 2 4
7 1 4 2 11 13 8 14 5 3 6 0 9 15 10 12
2 4 1 7 14 8 13 11 0 6 3 5 12 10 15 9
1 7 2 4 13 11 14 8 3 5 0 6 15 9 12 10
4 2 7 1 8 14 11 13 6 0 5 3 10 12 9 15

и проверяю его утилитой Harry White

Order? 16

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_5.txt

Counts
------
         1 diagonal Latin
         1 associative
         1 weakly pandiagonal
         1 ultramagic
         1 double axial symmetric
         1 self-orthogonal

Обалденный квадрат! Он является ДЛК, ассоциативный и слабо пандиагональный, дважды симметричный по Гергели/Брауну (то есть вертикально и горизонтально симметричный); кроме того, он SODLS.

Как видим, ассоциативные и слабо пандиагональные ДЛК (одновременно) утилита Harry White относит к идеальным ДЛК (ultramagic).
Будем придерживаться этой классификации.
Таким образом, идеальный ДЛК 16-го порядка мы видим.

Второй ДЛК с иллюстрации предыдущего поста (квадрат В) тоже идеальный.
Покажу его в обычном числовом формате

11 14 13 8 5 0 3 6 7 2 1 4 9 12 15 10
13 8 11 14 3 6 5 0 1 4 7 2 15 10 9 12
8 13 14 11 6 3 0 5 4 1 2 7 10 15 12 9
14 11 8 13 0 5 6 3 2 7 4 1 12 9 10 15
2 7 4 1 12 9 10 15 14 11 8 13 0 5 6 3
4 1 2 7 10 15 12 9 8 13 14 11 6 3 0 5
1 4 7 2 15 10 9 12 13 8 11 14 3 6 5 0
7 2 1 4 9 12 15 10 11 14 13 8 5 0 3 6
9 12 15 10 7 2 1 4 5 0 3 6 11 14 13 8
15 10 9 12 1 4 7 2 3 6 5 0 13 8 11 14
10 15 12 9 4 1 2 7 6 3 0 5 8 13 14 11
12 9 10 15 2 7 4 1 0 5 6 3 14 11 8 13
0 5 6 3 14 11 8 13 12 9 10 15 2 7 4 1
6 3 0 5 8 13 14 11 10 15 12 9 4 1 2 7
3 6 5 0 13 8 11 14 15 10 9 12 1 4 7 2
5 0 3 6 11 14 13 8 9 12 15 10 7 2 1 4

Смотрим свойства этого ДЛК утилитой Harry White

Order? 16

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_7.txt

Counts
------
         1 diagonal Latin
         1 associative
         1 weakly pandiagonal
         1 ultramagic
         1 double axial symmetric
         1 self-orthogonal

Таким образом, в указанной статье построена ортогональная пара идеальных ДЛК 16-го порядка.

Эх, где же были авторы этой ортогональной пары в 2008 году, когда я очень долго и трудно искала способ построения идеального магического квадрата 16-го порядка.
В конце концов, я его всё же построила; это была доработка (преобразованиями) пандиагонального квадрата Франклина.
Об этом подробно рассказано в статье
http://www.klassikpoez.narod.ru/idealch.htm

Идеальный магический квадрат у меня получился такой



Но если вы разложите этот магический квадрат на два ортогональных ЛК, у вас получатся обобщённые ЛК!

А теперь используем показанную ортогональную пару идеальных ДЛК для построения идеального магического квадрата методом латинских квадратов.
Формулы очень простые: либо 16A+B+1, либо A+16B+1.
Буду строить по первой формуле.

Вот он - идеальный магический квадрат 16-го порядка, построенный методом латинских квадратов



Я была счастлива в 2008 году, когда построила первый идеальный магический квадрат 16-го порядка.
И теперь счастлива второй раз, построив принципиально новый идеальный магический квадрат данного порядка.
На иллюстрации выделена так называемая начальная цепочка.
В построенном раньше магическом квадрате начальная цепочка тоже выделена.
Сравните расположение начальной цепочки в этих двух идеальных магических квадратах.
Вы увидите принципиальное различие в расположении начальной цепочки, что и определяет принципиальное различие самих магических квадратов.

Цитата

Формулы очень простые: либо 16A+B+1, либо A+16B+1.

Немного разверну формулу построения магического квадрата методом латинских квадратов, для тех, кто с этим методом незнаком.
Пусть квадраты А и В - ортогональные ДЛК порядка n.
Запишем эти квадраты в виде
A={a(i,j)}, B={b(i,j)}, i,j = 1, 2,..., n
то есть представим квадраты их элементами.
Тогда магический квадрат С=n*A+B+1 или С=A+n*B+1, это означает, что ДЛК в ортогональной паре можно поменять местами, они равноправны.
Умножение и сложение выполняется поэлементно, то есть
c(i,j)=n*a(i,j)+b(i,j)+1
или
c(i,j)=a(i,j)+n*b(i,j)+1
Магические квадраты по этим двум формулам, конечно, получатся разные.

Метод латинских квадратов - универсальный метод построения магических квадратов.
Именно благодаря этому методу я заинтересовалась латинскими квадратами в те далёкие времена, когда занималась магическими квадратами.

Цитата из сообщения
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=178&postid=7105

Итак, посмотрим на совершенный ДЛК 9-го порядка (показываю его в другой раскраске)



Это из моей статьи ПОСТРОЕНИЕ ДИАГОНАЛЬНЫХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ.
Очень интересный квадратик!
Кстати, имеет максимальное количество Д-трансверсалей (333), как недавно установлено в двух BOINC-проектах по составлению полной БД КФ ОДЛК порядка 9 (Rake Search и Gerasim@Home).
А также имеет немало ортогональных диагональных соквадратов (308 штук).
На всякий случай покажу вывод программы Белышева ortogon_u

[DLK(308):1]
0 3 6 1 4 7 2 5 8
1 4 7 2 5 8 0 3 6
2 5 8 0 3 6 1 4 7
6 0 3 7 1 4 8 2 5
7 1 4 8 2 5 6 0 3
8 2 5 6 0 3 7 1 4
3 6 0 4 7 1 5 8 2
4 7 1 5 8 2 3 6 0
5 8 2 3 6 0 4 7 1

Теперь проверим этот ДЛК утилитой Harry White. Утилита выдаёт

Order? 9

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_5.txt

Counts
------
         1 diagonal Latin
         1 weakly pandiagonal
         1 center symmetric
         1 self-orthogonal

Видим, что этот ДЛК центрально-симметричный и слабо пандиагональный.
ДЛК у нас представлен в произвольном формате.
Преобразовала его в СН ДЛК

0 5 7 8 1 3 4 6 2
8 1 3 4 6 2 0 5 7
4 6 2 0 5 7 8 1 3
7 0 5 3 8 1 2 4 6
3 8 1 2 4 6 7 0 5
2 4 6 7 0 5 3 8 1
5 7 0 1 3 8 6 2 4
1 3 8 6 2 4 5 7 0
6 2 4 5 7 0 1 3 8

Смотрим свойства этого ДЛК

Order? 9

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_9.txt

Counts
------
         1 diagonal Latin
         1 associative
         1 natural \diagonal
         1 self-orthogonal

ДЛК стал ассоциативным, но... исчезла слабая пандиагональность.
Получить идеальный ДЛК из совершенного ДЛК путём преобразования его в СН ДЛК не удалось.
Может быть, какое-нибудь другое преобразование способно это сделать.
Я пока не знаю такое преобразование.

Замечу, что идеальные магические квадраты 9-го порядка в своё время доставили много хлопот, очень долго они вообще не хотели строиться.
Ассоциативные получались, пандиагональные получались, а вот одновременно ассоциативные и пандиагональные никак.
В моих статьях по магическим квадратам идеальным магическим квадратам 9-го порядка уделено много внимания.
Сейчас поищу среди этих магических квадратов, может быть, найду что-нибудь подходящее :)

Вот нашла в статье ПОСТРОЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ НЕЧЁТНОГО ПОРЯДКА ИЗ ОБРАТИМЫХ КВАДРАТОВ
идеальный магический квадрат 9-го порядка

20 78 5 58 17 48 45 28 70
53 39 36 64 25 74 6 59 13
79 2 60 14 49 44 30 72 19
40 35 66 27 73 7 56 15 50
1 61 11 51 41 31 71 21 81
32 67 26 75 9 55 16 47 42
63 10 52 38 33 68 22 80 3
69 23 76 8 57 18 46 43 29
12 54 37 34 65 24 77 4 62

Смотиите рис. 16 в статье.
Разложила его на ортогональные ЛК

1 5 4 3 7 2 8 0 6
7 2 8 0 6 1 5 4 3
6 1 5 4 3 7 2 8 0
3 7 2 8 0 6 1 5 4
0 6 1 5 4 3 7 2 8
4 3 7 2 8 0 6 1 5
8 0 6 1 5 4 3 7 2
5 4 3 7 2 8 0 6 1
2 8 0 6 1 5 4 3 7

2 8 0 6 1 5 4 3 7
5 4 3 7 2 8 0 6 1
8 0 6 1 5 4 3 7 2
4 3 7 2 8 0 6 1 5
0 6 1 5 4 3 7 2 8
3 7 2 8 0 6 1 5 4
6 1 5 4 3 7 2 8 0
7 2 8 0 6 1 5 4 3
1 5 4 3 7 2 8 0 6

Увы! Это не ДЛК.

Пока не знаю, как построить идеальный ДЛК 9-го порядка. Да и существует ли такой ДЛК?

На помощь пришла программа Harry White LatinSquares.
Вот что она построила (я задала построить 100 пандиагональных ДЛК 9-го порядка)

Order? 9

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_14.txt

Counts
------
        72 diagonal Latin
         8 associative
        72 weakly pandiagonal
         8 ultramagic
        64 center symmetric
         1 nfr
         1 nfc
        72 self-orthogonal

Программа построила 72 ДЛК, все они слабо пандиагональные, а 8 из них ещё и ассоциативные!
Ура! Получили 8 идеальных ДЛК 9-го порядка.
К тому же все ДЛК являются SODLS, значит имеем готовые ортогональные пары идеальных ДЛК.
Здорово! Молодец Harry White!
Сейчас покажу один из 8 идеальных ДЛК 9-го порядка, построенных этой программой.
Вот

3 5 4 6 8 7 0 2 1
0 2 1 3 5 4 6 8 7
6 8 7 0 2 1 3 5 4
5 4 3 8 7 6 2 1 0
2 1 0 5 4 3 8 7 6
8 7 6 2 1 0 5 4 3
4 3 5 7 6 8 1 0 2
1 0 2 4 3 5 7 6 8
7 6 8 1 0 2 4 3 5

Ну, и транспонированный вариант этого ДЛК будет ему ортогонален, и он тоже будет идеальный.
Имеем ортогональную пару идеальных ДЛК, из которой моментально получаем идеальный магический квадрат методом латинских квадратов.

Эх, где же был Harry White, когда я мучилась с построением идеальных магических квадратов 9-го порядка :)

Хм... а по структуре этот идеальный ДЛК очень похож на совершенный ДЛК.
Сравните!



Более того: эти ДЛК изоморфны!
Канонизатор выдаёт для них одну КФ

0 2 7 8 6 3 5 4 1
4 1 6 0 5 2 7 8 3
6 8 2 7 1 4 3 5 0
2 5 4 3 8 6 0 1 7
3 6 0 1 4 7 8 2 5
1 7 8 2 0 5 4 3 6
8 3 5 4 7 1 6 0 2
5 0 1 6 3 8 2 7 4
7 4 3 5 2 0 1 6 8

Значит, совершенный ДЛК превращается-таки в идеальный ДЛК некоторыми эквивалентными преобразованиями.

На очереди построение идеального ДЛК 12-го порядка.
Это тоже проблемный порядок, для идеальных магических квадратов он тоже проблемный.
Но, конечно, идеальные магические квадраты данного порядка я построила в те времена.
Однако вряд ли они дадут ортогональную пару идеальных ДЛК при разложении.

Пример из статьи ПОСТРОЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ ПОРЯДКА n=4k ИЗ ОБРАТИМЫХ КВАДРАТОВ
Это идеальный магический квадрат 12-го порядка



Если разложить его на ортогональную пару ЛК, получатся обобщённые ЛК.

Пойду смотреть, умеет ли программа Harry White строить идеальные ДЛК 12-го порядка :)

Ничего не удалось от программы добиться.
Центрально-симметричные ДЛК строит, ассоциативные ДЛК строит, слабо пандиагональные ЛК строит.
А больше ничего не хочет строить :(