Порядок 13 не проблемный, для него уже построены идеальные ДЛК.
Для порядка 14 идеальные ДЛК не существуют.
Порядок 15 проблемный (от программы Harry White не смогла ничего добиться для этого порядка).
Для порядка 16 идеальные ДЛК найдены в статье (выше показаны).
Порядки 17, 19, 23, 25 не проблемные, для них уже построены идеальные ДЛК (выше показаны).
Для порядков 18, 22, 26 идеальных ДЛК не существует.
Порядки 21, 24, 27 проблемные.

Этот ДЛК 27-го порядка из полной системы MOLS центрально-симметричный и слабо пандиагональный

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
4 5 3 7 8 6 1 2 0 13 14 12 16 17 15 10 11 9 22 23 21 25 26 24 19 20 18
8 6 7 2 0 1 5 3 4 17 15 16 11 9 10 14 12 13 26 24 25 20 18 19 23 21 22
12 13 14 15 16 17 9 10 11 21 22 23 24 25 26 18 19 20 3 4 5 6 7 8 0 1 2
16 17 15 10 11 9 13 14 12 25 26 24 19 20 18 22 23 21 7 8 6 1 2 0 4 5 3
11 9 10 14 12 13 17 15 16 20 18 19 23 21 22 26 24 25 2 0 1 5 3 4 8 6 7
24 25 26 18 19 20 21 22 23 6 7 8 0 1 2 3 4 5 15 16 17 9 10 11 12 13 14
19 20 18 22 23 21 25 26 24 1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9 13 14 12 16 17 15
23 21 22 26 24 25 20 18 19 5 3 4 8 6 7 2 0 1 14 12 13 17 15 16 11 9 10
5 3 4 8 6 7 2 0 1 14 12 13 17 15 16 11 9 10 23 21 22 26 24 25 20 18 19
6 7 8 0 1 2 3 4 5 15 16 17 9 10 11 12 13 14 24 25 26 18 19 20 21 22 23
1 2 0 4 5 3 7 8 6 10 11 9 13 14 12 16 17 15 19 20 18 22 23 21 25 26 24
17 15 16 11 9 10 14 12 13 26 24 25 20 18 19 23 21 22 8 6 7 2 0 1 5 3 4
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 0 1 2 3 4 5 6 7 8
13 14 12 16 17 15 10 11 9 22 23 21 25 26 24 19 20 18 4 5 3 7 8 6 1 2 0
20 18 19 23 21 22 26 24 25 2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10 14 12 13 17 15 16
21 22 23 24 25 26 18 19 20 3 4 5 6 7 8 0 1 2 12 13 14 15 16 17 9 10 11
25 26 24 19 20 18 22 23 21 7 8 6 1 2 0 4 5 3 16 17 15 10 11 9 13 14 12
7 8 6 1 2 0 4 5 3 16 17 15 10 11 9 13 14 12 25 26 24 19 20 18 22 23 21
2 0 1 5 3 4 8 6 7 11 9 10 14 12 13 17 15 16 20 18 19 23 21 22 26 24 25
3 4 5 6 7 8 0 1 2 12 13 14 15 16 17 9 10 11 21 22 23 24 25 26 18 19 20
10 11 9 13 14 12 16 17 15 19 20 18 22 23 21 25 26 24 1 2 0 4 5 3 7 8 6
14 12 13 17 15 16 11 9 10 23 21 22 26 24 25 20 18 19 5 3 4 8 6 7 2 0 1
15 16 17 9 10 11 12 13 14 24 25 26 18 19 20 21 22 23 6 7 8 0 1 2 3 4 5
22 23 21 25 26 24 19 20 18 4 5 3 7 8 6 1 2 0 13 14 12 16 17 15 10 11 9
26 24 25 20 18 19 23 21 22 8 6 7 2 0 1 5 3 4 17 15 16 11 9 10 14 12 13
18 19 20 21 22 23 24 25 26 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Ассоциативности не хватает.
Преобразование этого ДЛК в СН ДЛК ассоциативность дало, но... исчезла слабая пандиагональность.

Не могу никак найти идеальный ДЛК 8-го порядка.
У меня в статьях очень много идеальных магических ДЛК данного порядка. но ни один не раскладывается в ортогональную пару ДЛК.
Попробовала программу Harry White LatinSquare. Задала построить 3000 пандиагональных ЛК.
Программа построила следующие ЛК

Order? 8

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_5.txt

Counts
------
      2586 Latin
       414 diagonal Latin
      3000 weakly pandiagonal
        64 axial symmetric
         8 double axial symmetric
        16 center symmetric
         8 self-orthogonal

Все 3000 ЛК слабо пандиагональные, есть 414 ДЛК, есть 16 центрально-симметричных ЛК, и нет ни одного ассоциативного ЛК!

Задала построить 10000 центрально-симметричных ДЛК.
Программа построила следующие ДЛК

Order? 8

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_6.txt

Counts
------
     10000 diagonal Latin
         2 weakly pandiagonal
       896 double axial symmetric
     10000 center symmetric
     10000 nfr
        28 self-orthogonal

Всего 2 ДЛК слабо пандиагональные, и нет ни одного ассоциативного ДЛК!

Случайно ди это? Или идеального ДЛК 8-го порядка не существует?

Ещё попытка, задала построить 100000 центрально-симметричных ДЛК, построено 22528 центрально-симметричных ДЛК

Order? 8

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_7.txt

Counts
------
     22528 diagonal Latin
        11 weakly pandiagonal
      2048 double axial symmetric
     22528 center symmetric
     22528 nfr
        64 self-orthogonal

Есть 11 слабо-пандиагональных ДЛК, нет ни одного ассоциативного ДЛК.

У-р-р-р-а-а-а-а! Нашла!
Задала программе Harry White LatinSquares построить 100000 ассоциативных ДЛК.
Программа построила следующие ассоциативные ДЛК

Order? 8

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_8.txt

Counts
------
     22528 diagonal Latin
     22528 associative
         4 weakly pandiagonal
         4 ultramagic
      2048 double axial symmetric
     22528 natural \diagonal
        64 self-orthogonal

Есть 4 идеальных ДЛК 8-го порядка!!!
Сейчас я их извлеку на свет Божий :)

Вот они - идеальные ДЛК 8-го порядка

0 2 5 7 1 3 4 6
3 1 6 4 2 0 7 5
6 5 2 1 7 4 3 0
4 7 0 3 5 6 1 2
5 6 1 2 4 7 0 3
7 4 3 0 6 5 2 1
2 0 7 5 3 1 6 4
1 3 4 6 0 2 5 7

0 2 5 7 1 3 4 6
2 1 6 5 3 0 7 4
7 5 2 0 6 4 3 1
4 7 0 3 5 6 1 2
5 6 1 2 4 7 0 3
6 4 3 1 7 5 2 0
3 0 7 4 2 1 6 5
1 3 4 6 0 2 5 7

0 2 7 4 5 6 3 1
3 1 5 6 7 4 0 2
4 6 2 1 0 3 7 5
7 5 0 3 2 1 4 6
1 3 6 5 4 7 2 0
2 0 4 7 6 5 1 3
5 7 3 0 1 2 6 4
6 4 1 2 3 0 5 7

0 2 7 4 5 6 3 1
2 1 5 7 6 4 0 3
5 6 2 0 1 3 7 4
7 5 0 3 2 1 4 6
1 3 6 5 4 7 2 0
3 0 4 6 7 5 1 2
4 7 3 1 0 2 6 5
6 4 1 2 3 0 5 7

Проверяю свойства

Order? 8

Enter the name of the squares file: inp1
.. writing type information to file inp1TypeDetail_9.txt

Counts
------
         4 diagonal Latin
         4 associative
         4 weakly pandiagonal
         4 ultramagic
         4 double axial symmetric
         4 natural \diagonal

Всё верно.
Однако готовой ортогональной пары ДЛК тут не имеется, нет SODLS.
Проверила ДЛК на изоморфность, только два уникальных ДЛК здесь есть.

Пропустила все 4 идеальных ДЛК через программу Белышева ortogon_u.
Все они имеют ОДЛК, но... идеального ДЛК среди ОДЛК нет.
Таким образом, ортогональная пара идеальных ДЛК 8-го порядка пока не найдена.
А я так хотела построить новый идеальный магический квадрат 8-го порядка!

Попробовала генерировать программой Harry White LatinSquares ассоциативные ДЛК 12-го порядка в надежде найти идеальный ДЛК.
Нет, этот финт для порядка 12 не прошёл. Ассоциативные ДЛК 12-го порядка генерируются в огромных количествах, все их сгенерировать и проверить нереально.
Вот сгенерировала полмиллиона ассоциативных ДЛК

Order? 12

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_5.txt

Counts
------
    500000 diagonal Latin
    500000 associative
    500000 natural \diagonal

Идеального ДЛК среди них нет.

Так что, идеальный ДЛК 12-го порядка пока не найден.

И точно так же для ассоциативных ДЛК порядка 15.
Вот сгенерировала 100000, идеального ДЛК среди них нет

Order? 15

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_6.txt

Counts
------
    100000 diagonal Latin
    100000 associative
    100000 natural \diagonal

Ну вот, пока всё, дальше пошли проблемные порядки.
Зато теперь можно построить идеальный ДЛК 40-го порядка методом составных квадратов (40=5*8).
Идеальный ДЛК 5-го порядка возьму из стартового поста, идеальный ДЛК 8-го порядка - один из найденных программой Harry White, например, этот

0 2 5 7 1 3 4 6
2 1 6 5 3 0 7 4
7 5 2 0 6 4 3 1
4 7 0 3 5 6 1 2
5 6 1 2 4 7 0 3
6 4 3 1 7 5 2 0
3 0 7 4 2 1 6 5
1 3 4 6 0 2 5 7

Встречайте - идеальный ДЛК 40-го порядка, построенный методом составных квадратов

0  2  5  7  1  3  4  6 32 34 37 39 33 35 36 38 24 26 29 31 25 27 28 30 16 18 21 23 17 19 20 22  8 10 13 15  9 11 12 14
2  1  6  5  3  0  7  4 34 33 38 37 35 32 39 36 26 25 30 29 27 24 31 28 18 17 22 21 19 16 23 20 10  9 14 13 11  8 15 12
7  5  2  0  6  4  3  1 39 37 34 32 38 36 35 33 31 29 26 24 30 28 27 25 23 21 18 16 22 20 19 17 15 13 10  8 14 12 11  9
4  7  0  3  5  6  1  2 36 39 32 35 37 38 33 34 28 31 24 27 29 30 25 26 20 23 16 19 21 22 17 18 12 15  8 11 13 14  9 10
5  6  1  2  4  7  0  3 37 38 33 34 36 39 32 35 29 30 25 26 28 31 24 27 21 22 17 18 20 23 16 19 13 14  9 10 12 15  8 11
6  4  3  1  7  5  2  0 38 36 35 33 39 37 34 32 30 28 27 25 31 29 26 24 22 20 19 17 23 21 18 16 14 12 11  9 15 13 10  8
3  0  7  4  2  1  6  5 35 32 39 36 34 33 38 37 27 24 31 28 26 25 30 29 19 16 23 20 18 17 22 21 11  8 15 12 10  9 14 13
1  3  4  6  0  2  5  7 33 35 36 38 32 34 37 39 25 27 28 30 24 26 29 31 17 19 20 22 16 18 21 23  9 11 12 14  8 10 13 15
16 18 21 23 17 19 20 22  8 10 13 15  9 11 12 14  0  2  5  7  1  3  4  6 32 34 37 39 33 35 36 38 24 26 29 31 25 27 28 30
18 17 22 21 19 16 23 20 10  9 14 13 11  8 15 12  2  1  6  5  3  0  7  4 34 33 38 37 35 32 39 36 26 25 30 29 27 24 31 28
23 21 18 16 22 20 19 17 15 13 10  8 14 12 11  9  7  5  2  0  6  4  3  1 39 37 34 32 38 36 35 33 31 29 26 24 30 28 27 25
20 23 16 19 21 22 17 18 12 15  8 11 13 14  9 10  4  7  0  3  5  6  1  2 36 39 32 35 37 38 33 34 28 31 24 27 29 30 25 26
21 22 17 18 20 23 16 19 13 14  9 10 12 15  8 11  5  6  1  2  4  7  0  3 37 38 33 34 36 39 32 35 29 30 25 26 28 31 24 27
22 20 19 17 23 21 18 16 14 12 11  9 15 13 10  8  6  4  3  1  7  5  2  0 38 36 35 33 39 37 34 32 30 28 27 25 31 29 26 24
19 16 23 20 18 17 22 21 11  8 15 12 10  9 14 13  3  0  7  4  2  1  6  5 35 32 39 36 34 33 38 37 27 24 31 28 26 25 30 29
17 19 20 22 16 18 21 23  9 11 12 14  8 10 13 15  1  3  4  6  0  2  5  7 33 35 36 38 32 34 37 39 25 27 28 30 24 26 29 31
32 34 37 39 33 35 36 38 24 26 29 31 25 27 28 30 16 18 21 23 17 19 20 22  8 10 13 15  9 11 12 14  0  2  5  7  1  3  4  6
34 33 38 37 35 32 39 36 26 25 30 29 27 24 31 28 18 17 22 21 19 16 23 20 10  9 14 13 11  8 15 12  2  1  6  5  3  0  7  4
39 37 34 32 38 36 35 33 31 29 26 24 30 28 27 25 23 21 18 16 22 20 19 17 15 13 10  8 14 12 11  9  7  5  2  0  6  4  3  1
36 39 32 35 37 38 33 34 28 31 24 27 29 30 25 26 20 23 16 19 21 22 17 18 12 15  8 11 13 14  9 10  4  7  0  3  5  6  1  2
37 38 33 34 36 39 32 35 29 30 25 26 28 31 24 27 21 22 17 18 20 23 16 19 13 14  9 10 12 15  8 11  5  6  1  2  4  7  0  3
38 36 35 33 39 37 34 32 30 28 27 25 31 29 26 24 22 20 19 17 23 21 18 16 14 12 11  9 15 13 10  8  6  4  3  1  7  5  2  0
35 32 39 36 34 33 38 37 27 24 31 28 26 25 30 29 19 16 23 20 18 17 22 21 11  8 15 12 10  9 14 13  3  0  7  4  2  1  6  5
33 35 36 38 32 34 37 39 25 27 28 30 24 26 29 31 17 19 20 22 16 18 21 23  9 11 12 14  8 10 13 15  1  3  4  6  0  2  5  7
8 10 13 15  9 11 12 14  0  2  5  7  1  3  4  6 32 34 37 39 33 35 36 38 24 26 29 31 25 27 28 30 16 18 21 23 17 19 20 22
10  9 14 13 11  8 15 12  2  1  6  5  3  0  7  4 34 33 38 37 35 32 39 36 26 25 30 29 27 24 31 28 18 17 22 21 19 16 23 20
15 13 10  8 14 12 11  9  7  5  2  0  6  4  3  1 39 37 34 32 38 36 35 33 31 29 26 24 30 28 27 25 23 21 18 16 22 20 19 17
12 15  8 11 13 14  9 10  4  7  0  3  5  6  1  2 36 39 32 35 37 38 33 34 28 31 24 27 29 30 25 26 20 23 16 19 21 22 17 18
13 14  9 10 12 15  8 11  5  6  1  2  4  7  0  3 37 38 33 34 36 39 32 35 29 30 25 26 28 31 24 27 21 22 17 18 20 23 16 19
14 12 11  9 15 13 10  8  6  4  3  1  7  5  2  0 38 36 35 33 39 37 34 32 30 28 27 25 31 29 26 24 22 20 19 17 23 21 18 16
11  8 15 12 10  9 14 13  3  0  7  4  2  1  6  5 35 32 39 36 34 33 38 37 27 24 31 28 26 25 30 29 19 16 23 20 18 17 22 21
9 11 12 14  8 10 13 15  1  3  4  6  0  2  5  7 33 35 36 38 32 34 37 39 25 27 28 30 24 26 29 31 17 19 20 22 16 18 21 23
24 26 29 31 25 27 28 30 16 18 21 23 17 19 20 22  8 10 13 15  9 11 12 14  0  2  5  7  1  3  4  6 32 34 37 39 33 35 36 38
26 25 30 29 27 24 31 28 18 17 22 21 19 16 23 20 10  9 14 13 11  8 15 12  2  1  6  5  3  0  7  4 34 33 38 37 35 32 39 36
31 29 26 24 30 28 27 25 23 21 18 16 22 20 19 17 15 13 10  8 14 12 11  9  7  5  2  0  6  4  3  1 39 37 34 32 38 36 35 33
28 31 24 27 29 30 25 26 20 23 16 19 21 22 17 18 12 15  8 11 13 14  9 10  4  7  0  3  5  6  1  2 36 39 32 35 37 38 33 34
29 30 25 26 28 31 24 27 21 22 17 18 20 23 16 19 13 14  9 10 12 15  8 11  5  6  1  2  4  7  0  3 37 38 33 34 36 39 32 35
30 28 27 25 31 29 26 24 22 20 19 17 23 21 18 16 14 12 11  9 15 13 10  8  6  4  3  1  7  5  2  0 38 36 35 33 39 37 34 32
27 24 31 28 26 25 30 29 19 16 23 20 18 17 22 21 11  8 15 12 10  9 14 13  3  0  7  4  2  1  6  5 35 32 39 36 34 33 38 37
25 27 28 30 24 26 29 31 17 19 20 22 16 18 21 23  9 11 12 14  8 10 13 15  1  3  4  6  0  2  5  7 33 35 36 38 32 34 37 39

Проверяю свойства ДЛК утилитой Harry White

Order? 40

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_6.txt

Counts
------
         1 diagonal Latin
         1 associative
         1 weakly pandiagonal
         1 ultramagic
         1 natural \diagonal

Всё верно. И не могло быть иначе :)

Ладно, новый идеальный магический квадрат 8-го порядка пока не могу построить.
А вот новый идеальный магический квадрат 9-го порядка могу построить!
Это найденный программой Harry White идеальный ДЛК 9-го порядка

3 5 4 6 8 7 0 2 1
0 2 1 3 5 4 6 8 7
6 8 7 0 2 1 3 5 4
5 4 3 8 7 6 2 1 0
2 1 0 5 4 3 8 7 6
8 7 6 2 1 0 5 4 3
4 3 5 7 6 8 1 0 2
1 0 2 4 3 5 7 6 8
7 6 8 1 0 2 4 3 5

Он является SODLS, значит, ортогонален своему транспонированному варианту

3 0 6 5 2 8 4 1 7
5 2 8 4 1 7 3 0 6
4 1 7 3 0 6 5 2 8
6 3 0 8 5 2 7 4 1
8 5 2 7 4 1 6 3 0
7 4 1 6 3 0 8 5 2
0 6 3 2 8 5 1 7 4
2 8 5 1 7 4 0 6 3
1 7 4 0 6 3 2 8 5

Этот ДЛК тоже идеальный.
Ортогональная пара идеальных ДЛК готова.
Идеальный магический квадрат буду строить по формуле 9А+В+1, где А - первый идеальный ДЛК, В - второй идеальный ДЛК (транспонированный вариант).

Готово!
Вот он какой красивый - новый идеальный магический квадрат 9-го порядка



Таких у меня не было.
В квадрате выделена так называемая начальная цепочка.
Сейчас какой-нибудь идеальный магических квадрат 9-го порядка покажу из тех, что я строила давным-давно.
Было разработано несколько алгоритмов построения, но ортогональной пары идеальных ДЛК у меня в то время не было и применить метод латинских квадратов я не могла в таком виде.
Хотя применялся метод латинских квадратов с использованием ортогональных пар обобщённых ЛК и обычных ЛК, не являющихся ДЛК.

Пример из статьи
ЕЩЁ РАЗ ОБ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТАХ ДЕВЯТОГО ПОРЯДКА
Идеальный магический квадрат 9-го порядка



Сравните начальную цепочку с построенным выше идеальным магическим квадратом.
Если разложить этот магический квадрат на ортогональную пару ЛК, ЛК получатся обобщёнными.

Теперь можно построить ортогональную пару идеальных ДЛК 45-го порядка на основе ортогональных пар идеальных ДЛК 5-го и 9-го порядков.
Ортогональную пару идеальных ДЛК 9-го порядка возьму показанную чуть выше.
Ортогональную пару идеальных ДЛК 5-го порядка возьму следующую

0 4 3 2 1
2 1 0 4 3
4 3 2 1 0
1 0 4 3 2
3 2 1 0 4

0 2 4 1 3
4 1 3 0 2
3 0 2 4 1
2 4 1 3 0
1 3 0 2 4

Встречайте - ортогональная пара идеальных ДЛК 45-го порядка, построенная методом составных квадратов

3  5  4  6  8  7  0  2  1 39 41 40 42 44 43 36 38 37 30 32 31 33 35 34 27 29 28 21 23 22 24 26 25 18 20 19 12 14 13 15 17 16  9 11 10
0  2  1  3  5  4  6  8  7 36 38 37 39 41 40 42 44 43 27 29 28 30 32 31 33 35 34 18 20 19 21 23 22 24 26 25  9 11 10 12 14 13 15 17 16
6  8  7  0  2  1  3  5  4 42 44 43 36 38 37 39 41 40 33 35 34 27 29 28 30 32 31 24 26 25 18 20 19 21 23 22 15 17 16  9 11 10 12 14 13
5  4  3  8  7  6  2  1  0 41 40 39 44 43 42 38 37 36 32 31 30 35 34 33 29 28 27 23 22 21 26 25 24 20 19 18 14 13 12 17 16 15 11 10  9
2  1  0  5  4  3  8  7  6 38 37 36 41 40 39 44 43 42 29 28 27 32 31 30 35 34 33 20 19 18 23 22 21 26 25 24 11 10  9 14 13 12 17 16 15
8  7  6  2  1  0  5  4  3 44 43 42 38 37 36 41 40 39 35 34 33 29 28 27 32 31 30 26 25 24 20 19 18 23 22 21 17 16 15 11 10  9 14 13 12
4  3  5  7  6  8  1  0  2 40 39 41 43 42 44 37 36 38 31 30 32 34 33 35 28 27 29 22 21 23 25 24 26 19 18 20 13 12 14 16 15 17 10  9 11
1  0  2  4  3  5  7  6  8 37 36 38 40 39 41 43 42 44 28 27 29 31 30 32 34 33 35 19 18 20 22 21 23 25 24 26 10  9 11 13 12 14 16 15 17
7  6  8  1  0  2  4  3  5 43 42 44 37 36 38 40 39 41 34 33 35 28 27 29 31 30 32 25 24 26 19 18 20 22 21 23 16 15 17 10  9 11 13 12 14
21 23 22 24 26 25 18 20 19 12 14 13 15 17 16  9 11 10  3  5  4  6  8  7  0  2  1 39 41 40 42 44 43 36 38 37 30 32 31 33 35 34 27 29 28
18 20 19 21 23 22 24 26 25  9 11 10 12 14 13 15 17 16  0  2  1  3  5  4  6  8  7 36 38 37 39 41 40 42 44 43 27 29 28 30 32 31 33 35 34
24 26 25 18 20 19 21 23 22 15 17 16  9 11 10 12 14 13  6  8  7  0  2  1  3  5  4 42 44 43 36 38 37 39 41 40 33 35 34 27 29 28 30 32 31
23 22 21 26 25 24 20 19 18 14 13 12 17 16 15 11 10  9  5  4  3  8  7  6  2  1  0 41 40 39 44 43 42 38 37 36 32 31 30 35 34 33 29 28 27
20 19 18 23 22 21 26 25 24 11 10  9 14 13 12 17 16 15  2  1  0  5  4  3  8  7  6 38 37 36 41 40 39 44 43 42 29 28 27 32 31 30 35 34 33
26 25 24 20 19 18 23 22 21 17 16 15 11 10  9 14 13 12  8  7  6  2  1  0  5  4  3 44 43 42 38 37 36 41 40 39 35 34 33 29 28 27 32 31 30
22 21 23 25 24 26 19 18 20 13 12 14 16 15 17 10  9 11  4  3  5  7  6  8  1  0  2 40 39 41 43 42 44 37 36 38 31 30 32 34 33 35 28 27 29
19 18 20 22 21 23 25 24 26 10  9 11 13 12 14 16 15 17  1  0  2  4  3  5  7  6  8 37 36 38 40 39 41 43 42 44 28 27 29 31 30 32 34 33 35
25 24 26 19 18 20 22 21 23 16 15 17 10  9 11 13 12 14  7  6  8  1  0  2  4  3  5 43 42 44 37 36 38 40 39 41 34 33 35 28 27 29 31 30 32
39 41 40 42 44 43 36 38 37 30 32 31 33 35 34 27 29 28 21 23 22 24 26 25 18 20 19 12 14 13 15 17 16  9 11 10  3  5  4  6  8  7  0  2  1
36 38 37 39 41 40 42 44 43 27 29 28 30 32 31 33 35 34 18 20 19 21 23 22 24 26 25  9 11 10 12 14 13 15 17 16  0  2  1  3  5  4  6  8  7
42 44 43 36 38 37 39 41 40 33 35 34 27 29 28 30 32 31 24 26 25 18 20 19 21 23 22 15 17 16  9 11 10 12 14 13  6  8  7  0  2  1  3  5  4
41 40 39 44 43 42 38 37 36 32 31 30 35 34 33 29 28 27 23 22 21 26 25 24 20 19 18 14 13 12 17 16 15 11 10  9  5  4  3  8  7  6  2  1  0
38 37 36 41 40 39 44 43 42 29 28 27 32 31 30 35 34 33 20 19 18 23 22 21 26 25 24 11 10  9 14 13 12 17 16 15  2  1  0  5  4  3  8  7  6
44 43 42 38 37 36 41 40 39 35 34 33 29 28 27 32 31 30 26 25 24 20 19 18 23 22 21 17 16 15 11 10  9 14 13 12  8  7  6  2  1  0  5  4  3
40 39 41 43 42 44 37 36 38 31 30 32 34 33 35 28 27 29 22 21 23 25 24 26 19 18 20 13 12 14 16 15 17 10  9 11  4  3  5  7  6  8  1  0  2
37 36 38 40 39 41 43 42 44 28 27 29 31 30 32 34 33 35 19 18 20 22 21 23 25 24 26 10  9 11 13 12 14 16 15 17  1  0  2  4  3  5  7  6  8
43 42 44 37 36 38 40 39 41 34 33 35 28 27 29 31 30 32 25 24 26 19 18 20 22 21 23 16 15 17 10  9 11 13 12 14  7  6  8  1  0  2  4  3  5
12 14 13 15 17 16  9 11 10  3  5  4  6  8  7  0  2  1 39 41 40 42 44 43 36 38 37 30 32 31 33 35 34 27 29 28 21 23 22 24 26 25 18 20 19
9 11 10 12 14 13 15 17 16  0  2  1  3  5  4  6  8  7 36 38 37 39 41 40 42 44 43 27 29 28 30 32 31 33 35 34 18 20 19 21 23 22 24 26 25
15 17 16  9 11 10 12 14 13  6  8  7  0  2  1  3  5  4 42 44 43 36 38 37 39 41 40 33 35 34 27 29 28 30 32 31 24 26 25 18 20 19 21 23 22
14 13 12 17 16 15 11 10  9  5  4  3  8  7  6  2  1  0 41 40 39 44 43 42 38 37 36 32 31 30 35 34 33 29 28 27 23 22 21 26 25 24 20 19 18
11 10  9 14 13 12 17 16 15  2  1  0  5  4  3  8  7  6 38 37 36 41 40 39 44 43 42 29 28 27 32 31 30 35 34 33 20 19 18 23 22 21 26 25 24
17 16 15 11 10  9 14 13 12  8  7  6  2  1  0  5  4  3 44 43 42 38 37 36 41 40 39 35 34 33 29 28 27 32 31 30 26 25 24 20 19 18 23 22 21
13 12 14 16 15 17 10  9 11  4  3  5  7  6  8  1  0  2 40 39 41 43 42 44 37 36 38 31 30 32 34 33 35 28 27 29 22 21 23 25 24 26 19 18 20
10  9 11 13 12 14 16 15 17  1  0  2  4  3  5  7  6  8 37 36 38 40 39 41 43 42 44 28 27 29 31 30 32 34 33 35 19 18 20 22 21 23 25 24 26
16 15 17 10  9 11 13 12 14  7  6  8  1  0  2  4  3  5 43 42 44 37 36 38 40 39 41 34 33 35 28 27 29 31 30 32 25 24 26 19 18 20 22 21 23
30 32 31 33 35 34 27 29 28 21 23 22 24 26 25 18 20 19 12 14 13 15 17 16  9 11 10  3  5  4  6  8  7  0  2  1 39 41 40 42 44 43 36 38 37
27 29 28 30 32 31 33 35 34 18 20 19 21 23 22 24 26 25  9 11 10 12 14 13 15 17 16  0  2  1  3  5  4  6  8  7 36 38 37 39 41 40 42 44 43
33 35 34 27 29 28 30 32 31 24 26 25 18 20 19 21 23 22 15 17 16  9 11 10 12 14 13  6  8  7  0  2  1  3  5  4 42 44 43 36 38 37 39 41 40
32 31 30 35 34 33 29 28 27 23 22 21 26 25 24 20 19 18 14 13 12 17 16 15 11 10  9  5  4  3  8  7  6  2  1  0 41 40 39 44 43 42 38 37 36
29 28 27 32 31 30 35 34 33 20 19 18 23 22 21 26 25 24 11 10  9 14 13 12 17 16 15  2  1  0  5  4  3  8  7  6 38 37 36 41 40 39 44 43 42
35 34 33 29 28 27 32 31 30 26 25 24 20 19 18 23 22 21 17 16 15 11 10  9 14 13 12  8  7  6  2  1  0  5  4  3 44 43 42 38 37 36 41 40 39
31 30 32 34 33 35 28 27 29 22 21 23 25 24 26 19 18 20 13 12 14 16 15 17 10  9 11  4  3  5  7  6  8  1  0  2 40 39 41 43 42 44 37 36 38
28 27 29 31 30 32 34 33 35 19 18 20 22 21 23 25 24 26 10  9 11 13 12 14 16 15 17  1  0  2  4  3  5  7  6  8 37 36 38 40 39 41 43 42 44
34 33 35 28 27 29 31 30 32 25 24 26 19 18 20 22 21 23 16 15 17 10  9 11 13 12 14  7  6  8  1  0  2  4  3  5 43 42 44 37 36 38 40 39 41

3  0  6  5  2  8  4  1  7 21 18 24 23 20 26 22 19 25 39 36 42 41 38 44 40 37 43 12  9 15 14 11 17 13 10 16 30 27 33 32 29 35 31 28 34
5  2  8  4  1  7  3  0  6 23 20 26 22 19 25 21 18 24 41 38 44 40 37 43 39 36 42 14 11 17 13 10 16 12  9 15 32 29 35 31 28 34 30 27 33
4  1  7  3  0  6  5  2  8 22 19 25 21 18 24 23 20 26 40 37 43 39 36 42 41 38 44 13 10 16 12  9 15 14 11 17 31 28 34 30 27 33 32 29 35
6  3  0  8  5  2  7  4  1 24 21 18 26 23 20 25 22 19 42 39 36 44 41 38 43 40 37 15 12  9 17 14 11 16 13 10 33 30 27 35 32 29 34 31 28
8  5  2  7  4  1  6  3  0 26 23 20 25 22 19 24 21 18 44 41 38 43 40 37 42 39 36 17 14 11 16 13 10 15 12  9 35 32 29 34 31 28 33 30 27
7  4  1  6  3  0  8  5  2 25 22 19 24 21 18 26 23 20 43 40 37 42 39 36 44 41 38 16 13 10 15 12  9 17 14 11 34 31 28 33 30 27 35 32 29
0  6  3  2  8  5  1  7  4 18 24 21 20 26 23 19 25 22 36 42 39 38 44 41 37 43 40  9 15 12 11 17 14 10 16 13 27 33 30 29 35 32 28 34 31
2  8  5  1  7  4  0  6  3 20 26 23 19 25 22 18 24 21 38 44 41 37 43 40 36 42 39 11 17 14 10 16 13  9 15 12 29 35 32 28 34 31 27 33 30
1  7  4  0  6  3  2  8  5 19 25 22 18 24 21 20 26 23 37 43 40 36 42 39 38 44 41 10 16 13  9 15 12 11 17 14 28 34 31 27 33 30 29 35 32
39 36 42 41 38 44 40 37 43 12  9 15 14 11 17 13 10 16 30 27 33 32 29 35 31 28 34  3  0  6  5  2  8  4  1  7 21 18 24 23 20 26 22 19 25
41 38 44 40 37 43 39 36 42 14 11 17 13 10 16 12  9 15 32 29 35 31 28 34 30 27 33  5  2  8  4  1  7  3  0  6 23 20 26 22 19 25 21 18 24
40 37 43 39 36 42 41 38 44 13 10 16 12  9 15 14 11 17 31 28 34 30 27 33 32 29 35  4  1  7  3  0  6  5  2  8 22 19 25 21 18 24 23 20 26
42 39 36 44 41 38 43 40 37 15 12  9 17 14 11 16 13 10 33 30 27 35 32 29 34 31 28  6  3  0  8  5  2  7  4  1 24 21 18 26 23 20 25 22 19
44 41 38 43 40 37 42 39 36 17 14 11 16 13 10 15 12  9 35 32 29 34 31 28 33 30 27  8  5  2  7  4  1  6  3  0 26 23 20 25 22 19 24 21 18
43 40 37 42 39 36 44 41 38 16 13 10 15 12  9 17 14 11 34 31 28 33 30 27 35 32 29  7  4  1  6  3  0  8  5  2 25 22 19 24 21 18 26 23 20
36 42 39 38 44 41 37 43 40  9 15 12 11 17 14 10 16 13 27 33 30 29 35 32 28 34 31  0  6  3  2  8  5  1  7  4 18 24 21 20 26 23 19 25 22
38 44 41 37 43 40 36 42 39 11 17 14 10 16 13  9 15 12 29 35 32 28 34 31 27 33 30  2  8  5  1  7  4  0  6  3 20 26 23 19 25 22 18 24 21
37 43 40 36 42 39 38 44 41 10 16 13  9 15 12 11 17 14 28 34 31 27 33 30 29 35 32  1  7  4  0  6  3  2  8  5 19 25 22 18 24 21 20 26 23
30 27 33 32 29 35 31 28 34  3  0  6  5  2  8  4  1  7 21 18 24 23 20 26 22 19 25 39 36 42 41 38 44 40 37 43 12  9 15 14 11 17 13 10 16
32 29 35 31 28 34 30 27 33  5  2  8  4  1  7  3  0  6 23 20 26 22 19 25 21 18 24 41 38 44 40 37 43 39 36 42 14 11 17 13 10 16 12  9 15
31 28 34 30 27 33 32 29 35  4  1  7  3  0  6  5  2  8 22 19 25 21 18 24 23 20 26 40 37 43 39 36 42 41 38 44 13 10 16 12  9 15 14 11 17
33 30 27 35 32 29 34 31 28  6  3  0  8  5  2  7  4  1 24 21 18 26 23 20 25 22 19 42 39 36 44 41 38 43 40 37 15 12  9 17 14 11 16 13 10
35 32 29 34 31 28 33 30 27  8  5  2  7  4  1  6  3  0 26 23 20 25 22 19 24 21 18 44 41 38 43 40 37 42 39 36 17 14 11 16 13 10 15 12  9
34 31 28 33 30 27 35 32 29  7  4  1  6  3  0  8  5  2 25 22 19 24 21 18 26 23 20 43 40 37 42 39 36 44 41 38 16 13 10 15 12  9 17 14 11
27 33 30 29 35 32 28 34 31  0  6  3  2  8  5  1  7  4 18 24 21 20 26 23 19 25 22 36 42 39 38 44 41 37 43 40  9 15 12 11 17 14 10 16 13
29 35 32 28 34 31 27 33 30  2  8  5  1  7  4  0  6  3 20 26 23 19 25 22 18 24 21 38 44 41 37 43 40 36 42 39 11 17 14 10 16 13  9 15 12
28 34 31 27 33 30 29 35 32  1  7  4  0  6  3  2  8  5 19 25 22 18 24 21 20 26 23 37 43 40 36 42 39 38 44 41 10 16 13  9 15 12 11 17 14
21 18 24 23 20 26 22 19 25 39 36 42 41 38 44 40 37 43 12  9 15 14 11 17 13 10 16 30 27 33 32 29 35 31 28 34  3  0  6  5  2  8  4  1  7
23 20 26 22 19 25 21 18 24 41 38 44 40 37 43 39 36 42 14 11 17 13 10 16 12  9 15 32 29 35 31 28 34 30 27 33  5  2  8  4  1  7  3  0  6
22 19 25 21 18 24 23 20 26 40 37 43 39 36 42 41 38 44 13 10 16 12  9 15 14 11 17 31 28 34 30 27 33 32 29 35  4  1  7  3  0  6  5  2  8
24 21 18 26 23 20 25 22 19 42 39 36 44 41 38 43 40 37 15 12  9 17 14 11 16 13 10 33 30 27 35 32 29 34 31 28  6  3  0  8  5  2  7  4  1
26 23 20 25 22 19 24 21 18 44 41 38 43 40 37 42 39 36 17 14 11 16 13 10 15 12  9 35 32 29 34 31 28 33 30 27  8  5  2  7  4  1  6  3  0
25 22 19 24 21 18 26 23 20 43 40 37 42 39 36 44 41 38 16 13 10 15 12  9 17 14 11 34 31 28 33 30 27 35 32 29  7  4  1  6  3  0  8  5  2
18 24 21 20 26 23 19 25 22 36 42 39 38 44 41 37 43 40  9 15 12 11 17 14 10 16 13 27 33 30 29 35 32 28 34 31  0  6  3  2  8  5  1  7  4
20 26 23 19 25 22 18 24 21 38 44 41 37 43 40 36 42 39 11 17 14 10 16 13  9 15 12 29 35 32 28 34 31 27 33 30  2  8  5  1  7  4  0  6  3
19 25 22 18 24 21 20 26 23 37 43 40 36 42 39 38 44 41 10 16 13  9 15 12 11 17 14 28 34 31 27 33 30 29 35 32  1  7  4  0  6  3  2  8  5
12  9 15 14 11 17 13 10 16 30 27 33 32 29 35 31 28 34  3  0  6  5  2  8  4  1  7 21 18 24 23 20 26 22 19 25 39 36 42 41 38 44 40 37 43
14 11 17 13 10 16 12  9 15 32 29 35 31 28 34 30 27 33  5  2  8  4  1  7  3  0  6 23 20 26 22 19 25 21 18 24 41 38 44 40 37 43 39 36 42
13 10 16 12  9 15 14 11 17 31 28 34 30 27 33 32 29 35  4  1  7  3  0  6  5  2  8 22 19 25 21 18 24 23 20 26 40 37 43 39 36 42 41 38 44
15 12  9 17 14 11 16 13 10 33 30 27 35 32 29 34 31 28  6  3  0  8  5  2  7  4  1 24 21 18 26 23 20 25 22 19 42 39 36 44 41 38 43 40 37
17 14 11 16 13 10 15 12  9 35 32 29 34 31 28 33 30 27  8  5  2  7  4  1  6  3  0 26 23 20 25 22 19 24 21 18 44 41 38 43 40 37 42 39 36
16 13 10 15 12  9 17 14 11 34 31 28 33 30 27 35 32 29  7  4  1  6  3  0  8  5  2 25 22 19 24 21 18 26 23 20 43 40 37 42 39 36 44 41 38
9 15 12 11 17 14 10 16 13 27 33 30 29 35 32 28 34 31  0  6  3  2  8  5  1  7  4 18 24 21 20 26 23 19 25 22 36 42 39 38 44 41 37 43 40
11 17 14 10 16 13  9 15 12 29 35 32 28 34 31 27 33 30  2  8  5  1  7  4  0  6  3 20 26 23 19 25 22 18 24 21 38 44 41 37 43 40 36 42 39
10 16 13  9 15 12 11 17 14 28 34 31 27 33 30 29 35 32  1  7  4  0  6  3  2  8  5 19 25 22 18 24 21 20 26 23 37 43 40 36 42 39 38 44 41

38 43 40 37 42 39 36 17 14 11 16 13 10 15 12 9
34 31 28 33 30 27 35 32 29 7 4 1 6 3 0 8 5 2 25 22 19 24 21 18 26 23 20 43 40 37 42 39 36 44 41 38 16 13 10 15 12 9 17 14 11
27 33 30 29 35 32 28 34 31 0 6 3 2 8 5 1 7 4 18 24 21 20 26 23 19 25 22 36 42 39 38 44 41 37 43 40 9 15 12 11 17 14 10 16 13
29 35 32 28 34 31 27 33 30 2 8 5 1 7 4 0 6 3 20 26 23 19 25 22 18 24 21 38 44 41 37 43 40 36 42 39 11 17 14 10 16 13 9 15 12
28 34 31 27 33 30 29 35 32 1 7 4 0 6 3 2 8 5 19 25 22 18 24 21 20 26 23 37 43 40 36 42 39 38 44 41 10 16 13 9 15 12 11 17 14
21 18 24 23 20 26 22 19 25 39 36 42 41 38 44 40 37 43 12 9 15 14 11 17 13 10 16 30 27 33 32 29 35 31 28 34 3 0 6 5 2 8 4 1 7
23 20 26 22 19 25 21 18 24 41 38 44 40 37 43 39 36 42 14 11 17 13 10 16 12 9 15 32 29 35 31 28 34 30 27 33 5 2 8 4 1 7 3 0 6
22 19 25 21 18 24 23 20 26 40 37 43 39 36 42 41 38 44 13 10 16 12 9 15 14 11 17 31 28 34 30 27 33 32 29 35 4 1 7 3 0 6 5 2 8
24 21 18 26 23 20 25 22 19 42 39 36 44 41 38 43 40 37 15 12 9 17 14 11 16 13 10 33 30 27 35 32 29 34 31 28 6 3 0 8 5 2 7 4 1
26 23 20 25 22 19 24 21 18 44 41 38 43 40 37 42 39 36 17 14 11 16 13 10 15 12 9 35 32 29 34 31 28 33 30 27 8 5 2 7 4 1 6 3 0
25 22 19 24 21 18 26 23 20 43 40 37 42 39 36 44 41 38 16 13 10 15 12 9 17 14 11 34 31 28 33 30 27 35 32 29 7 4 1 6 3 0 8 5 2
18 24 21 20 26 23 19 25 22 36 42 39 38 44 41 37 43 40 9 15 12 11 17 14 10 16 13 27 33 30 29 35 32 28 34 31 0 6 3 2 8 5 1 7 4
20 26 23 19 25 22 18 24 21 38 44 41 37 43 40 36 42 39 11 17 14 10 16 13 9 15 12 29 35 32 28 34 31 27 33 30 2 8 5 1 7 4 0 6 3
19 25 22 18 24 21 20 26 23 37 43 40 36 42 39 38 44 41 10 16 13 9 15 12 11 17 14 28 34 31 27 33 30 29 35 32 1 7 4 0 6 3 2 8 5
12 9 15 14 11 17 13 10 16 30 27 33 32 29 35 31 28 34 3 0 6 5 2 8 4 1 7 21 18 24 23 20 26 22 19 25 39 36 42 41 38 44 40 37 43
14 11 17 13 10 16 12 9 15 32 29 35 31 28 34 30 27 33 5 2 8 4 1 7 3 0 6 23 20 26 22 19 25 21 18 24 41 38 44 40 37 43 39 36 42
13 10 16 12 9 15 14 11 17 31 28 34 30 27 33 32 29 35 4 1 7 3 0 6 5 2 8 22 19 25 21 18 24 23 20 26 40 37 43 39 36 42 41 38 44
15 12 9 17 14 11 16 13 10 33 30 27 35 32 29 34 31 28 6 3 0 8 5 2 7 4 1 24 21 18 26 23 20 25 22 19 42 39 36 44 41 38 43 40 37
17 14 11 16 13 10 15 12 9 35 32 29 34 31 28 33 30 27 8 5 2 7 4 1 6 3 0 26 23 20 25 22 19 24 21 18 44 41 38 43 40 37 42 39 36
16 13 10 15 12 9 17 14 11 34 31 28 33 30 27 35 32 29 7 4 1 6 3 0 8 5 2 25 22 19 24 21 18 26 23 20 43 40 37 42 39 36 44 41 38
9 15 12 11 17 14 10 16 13 27 33 30 29 35 32 28 34 31 0 6 3 2 8 5 1 7 4 18 24 21 20 26 23 19 25 22 36 42 39 38 44 41 37 43 40
11 17 14 10 16 13 9 15 12 29 35 32 28 34 31 27 33 30 2 8 5 1 7 4 0 6 3 20 26 23 19 25 22 18 24 21 38 44 41 37 43 40 36 42 39
10 16 13 9 15 12 11 17 14 28 34 31 27 33 30 29 35 32 1 7 4 0 6 3 2 8 5 19 25 22 18 24 21 20 26 23 37 43 40 36 42 39 38 44 41
[/code]
Проверяю свойства ДЛК этой ортогональной пары

[code]Order? 45

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_11.txt

Counts
------
2 diagonal Latin
2 associative
2 weakly pandiagonal
2 ultramagic
1 orthogonal pair
2 self-orthogonal[/code]
Всё верно. И не могло быть иначе :)
Конечно, из этой ортогональной пары ДЛК можно построить идеальный магический квадрат 45-го порядка методом латинских квадратов.
Ну, его можно построить и из готовых идеальных магических квадратов 5-го и 9-го порядков методом составных квадратов.
Наверное, я такой магический квадрат в то время построила.
Однако теперь можно взять для построения новый идеальный магический ДЛК 9-го порядка (построенный здесь), получим новый идеальный магический ДЛК 45-го порядка.

Выше было показано построение идеального ДЛК 25-го порядка.
Сейчас покажу построение ортогональной пары идеальных ДЛК 25-го порядка.
Для построения возьму следующие ортогональные пары идеальных ДЛК 5-го порядка:
первая ( как SODLS)

0 4 3 2 1
2 1 0 4 3
4 3 2 1 0
1 0 4 3 2
3 2 1 0 4

0 2 4 1 3
4 1 3 0 2
3 0 2 4 1
2 4 1 3 0
1 3 0 2 4

вторая ( как DSODLS)

4 2 0 3 1
0 3 1 4 2
1 4 2 0 3
2 0 3 1 4
3 1 4 2 0

0 4 3 2 1
2 1 0 4 3
4 3 2 1 0
1 0 4 3 2
3 2 1 0 4

Встречайте - ортогональная пара идеальных ДЛК 25-го порядка, построенная методом составных квадратов

  0   4   3   2   1  10  14  13  12  11  20  24  23  22  21   5   9   8   7   6  15  19  18  17  16
  2   1   0   4   3  12  11  10  14  13  22  21  20  24  23   7   6   5   9   8  17  16  15  19  18
  4   3   2   1   0  14  13  12  11  10  24  23  22  21  20   9   8   7   6   5  19  18  17  16  15
  1   0   4   3   2  11  10  14  13  12  21  20  24  23  22   6   5   9   8   7  16  15  19  18  17
  3   2   1   0   4  13  12  11  10  14  23  22  21  20  24   8   7   6   5   9  18  17  16  15  19
 20  24  23  22  21   5   9   8   7   6  15  19  18  17  16   0   4   3   2   1  10  14  13  12  11
 22  21  20  24  23   7   6   5   9   8  17  16  15  19  18   2   1   0   4   3  12  11  10  14  13
 24  23  22  21  20   9   8   7   6   5  19  18  17  16  15   4   3   2   1   0  14  13  12  11  10
 21  20  24  23  22   6   5   9   8   7  16  15  19  18  17   1   0   4   3   2  11  10  14  13  12
 23  22  21  20  24   8   7   6   5   9  18  17  16  15  19   3   2   1   0   4  13  12  11  10  14
 15  19  18  17  16   0   4   3   2   1  10  14  13  12  11  20  24  23  22  21   5   9   8   7   6
 17  16  15  19  18   2   1   0   4   3  12  11  10  14  13  22  21  20  24  23   7   6   5   9   8
 19  18  17  16  15   4   3   2   1   0  14  13  12  11  10  24  23  22  21  20   9   8   7   6   5
 16  15  19  18  17   1   0   4   3   2  11  10  14  13  12  21  20  24  23  22   6   5   9   8   7
 18  17  16  15  19   3   2   1   0   4  13  12  11  10  14  23  22  21  20  24   8   7   6   5   9
 10  14  13  12  11  20  24  23  22  21   5   9   8   7   6  15  19  18  17  16   0   4   3   2   1
 12  11  10  14  13  22  21  20  24  23   7   6   5   9   8  17  16  15  19  18   2   1   0   4   3
 14  13  12  11  10  24  23  22  21  20   9   8   7   6   5  19  18  17  16  15   4   3   2   1   0
 11  10  14  13  12  21  20  24  23  22   6   5   9   8   7  16  15  19  18  17   1   0   4   3   2
 13  12  11  10  14  23  22  21  20  24   8   7   6   5   9  18  17  16  15  19   3   2   1   0   4
  5   9   8   7   6  15  19  18  17  16   0   4   3   2   1  10  14  13  12  11  20  24  23  22  21
  7   6   5   9   8  17  16  15  19  18   2   1   0   4   3  12  11  10  14  13  22  21  20  24  23
  9   8   7   6   5  19  18  17  16  15   4   3   2   1   0  14  13  12  11  10  24  23  22  21  20
  6   5   9   8   7  16  15  19  18  17   1   0   4   3   2  11  10  14  13  12  21  20  24  23  22
  8   7   6   5   9  18  17  16  15  19   3   2   1   0   4  13  12  11  10  14  23  22  21  20  24

  4   2   0   3   1  24  22  20  23  21  19  17  15  18  16  14  12  10  13  11   9   7   5   8   6
  0   3   1   4   2  20  23  21  24  22  15  18  16  19  17  10  13  11  14  12   5   8   6   9   7
  1   4   2   0   3  21  24  22  20  23  16  19  17  15  18  11  14  12  10  13   6   9   7   5   8
  2   0   3   1   4  22  20  23  21  24  17  15  18  16  19  12  10  13  11  14   7   5   8   6   9
  3   1   4   2   0  23  21  24  22  20  18  16  19  17  15  13  11  14  12  10   8   6   9   7   5
 14  12  10  13  11   9   7   5   8   6   4   2   0   3   1  24  22  20  23  21  19  17  15  18  16
 10  13  11  14  12   5   8   6   9   7   0   3   1   4   2  20  23  21  24  22  15  18  16  19  17
 11  14  12  10  13   6   9   7   5   8   1   4   2   0   3  21  24  22  20  23  16  19  17  15  18
 12  10  13  11  14   7   5   8   6   9   2   0   3   1   4  22  20  23  21  24  17  15  18  16  19
 13  11  14  12  10   8   6   9   7   5   3   1   4   2   0  23  21  24  22  20  18  16  19  17  15
 24  22  20  23  21  19  17  15  18  16  14  12  10  13  11   9   7   5   8   6   4   2   0   3   1
 20  23  21  24  22  15  18  16  19  17  10  13  11  14  12   5   8   6   9   7   0   3   1   4   2
 21  24  22  20  23  16  19  17  15  18  11  14  12  10  13   6   9   7   5   8   1   4   2   0   3
 22  20  23  21  24  17  15  18  16  19  12  10  13  11  14   7   5   8   6   9   2   0   3   1   4
 23  21  24  22  20  18  16  19  17  15  13  11  14  12  10   8   6   9   7   5   3   1   4   2   0
  9   7   5   8   6   4   2   0   3   1  24  22  20  23  21  19  17  15  18  16  14  12  10  13  11
  5   8   6   9   7   0   3   1   4   2  20  23  21  24  22  15  18  16  19  17  10  13  11  14  12
  6   9   7   5   8   1   4   2   0   3  21  24  22  20  23  16  19  17  15  18  11  14  12  10  13
  7   5   8   6   9   2   0   3   1   4  22  20  23  21  24  17  15  18  16  19  12  10  13  11  14
  8   6   9   7   5   3   1   4   2   0  23  21  24  22  20  18  16  19  17  15  13  11  14  12  10
 19  17  15  18  16  14  12  10  13  11   9   7   5   8   6   4   2   0   3   1  24  22  20  23  21
 15  18  16  19  17  10  13  11  14  12   5   8   6   9   7   0   3   1   4   2  20  23  21  24  22
 16  19  17  15  18  11  14  12  10  13   6   9   7   5   8   1   4   2   0   3  21  24  22  20  23
 17  15  18  16  19  12  10  13  11  14   7   5   8   6   9   2   0   3   1   4  22  20  23  21  24
 18  16  19  17  15  13  11  14  12  10   8   6   9   7   5   3   1   4   2   0  23  21  24  22  20

Проверяю свойства утилитой Harry White

Order? 25

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_10.txt

Counts
------
         2 diagonal Latin
         2 associative
         2 pandiagonal
         2 ultramagic
         1 natural \diagonal
         1 orthogonal pair
         2 self-orthogonal

Всё верно. И не могло быть иначе :)

Интересно: сейчас посмотрю, есть ли в полной MOLS порядка 25 идеальные ДЛК.

Полная система MOLS 25-го порядка показана тут
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=117&postid=1224
Беру 22 ДЛК из этой системы MOLS и проверяю их утилитой Harry White

Order? 25

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_11.txt

Counts
------
        22 diagonal Latin
         2 pandiagonal
        12 weakly pandiagonal
        22 center symmetric
        22 nfr
        21 orthogonal pair
        22 self-orthogonal

Имеются 2 пандиагональных ДЛК, 12 слабо пандиагональных ДЛК и 22 центрально-симметричных ДЛК.
Сейчас попробую преобразовать все ДЛК в СН ДЛК.

Преобразовала и проверила свойства полученных СН ДЛК

Order? 25

Enter the name of the squares file: inp1
.. writing type information to file inp1TypeDetail_5.txt

Counts
------
        22 diagonal Latin
        22 associative
         2 pandiagonal
         2 ultramagic
        22 natural \diagonal
        21 orthogonal pair
        22 self-orthogonal

Замечательно! Два идеальных ДЛК получены, к тому же они SODLS, а также DSODLS.
Кроме того, они ортогональны!
Сейчас я их извлеку на свет Божий :) отличные квадратики нельзя не показать.

PS. Обратите внимание: после преобразования ДЛК в СН ДЛК исчезло свойство слабой пандиагональности.

Встречайте - ортогональная пара идеальных ДЛК 25-го порядка из полной системы MOLS

0 2 4 1 3 10 12 14 11 13 20 22 24 21 23 5 7 9 6 8 15 17 19 16 18
4 1 3 0 2 14 11 13 10 12 24 21 23 20 22 9 6 8 5 7 19 16 18 15 17
3 0 2 4 1 13 10 12 14 11 23 20 22 24 21 8 5 7 9 6 18 15 17 19 16
2 4 1 3 0 12 14 11 13 10 22 24 21 23 20 7 9 6 8 5 17 19 16 18 15
1 3 0 2 4 11 13 10 12 14 21 23 20 22 24 6 8 5 7 9 16 18 15 17 19
20 22 24 21 23 5 7 9 6 8 15 17 19 16 18 0 2 4 1 3 10 12 14 11 13
24 21 23 20 22 9 6 8 5 7 19 16 18 15 17 4 1 3 0 2 14 11 13 10 12
23 20 22 24 21 8 5 7 9 6 18 15 17 19 16 3 0 2 4 1 13 10 12 14 11
22 24 21 23 20 7 9 6 8 5 17 19 16 18 15 2 4 1 3 0 12 14 11 13 10
21 23 20 22 24 6 8 5 7 9 16 18 15 17 19 1 3 0 2 4 11 13 10 12 14
15 17 19 16 18 0 2 4 1 3 10 12 14 11 13 20 22 24 21 23 5 7 9 6 8
19 16 18 15 17 4 1 3 0 2 14 11 13 10 12 24 21 23 20 22 9 6 8 5 7
18 15 17 19 16 3 0 2 4 1 13 10 12 14 11 23 20 22 24 21 8 5 7 9 6
17 19 16 18 15 2 4 1 3 0 12 14 11 13 10 22 24 21 23 20 7 9 6 8 5
16 18 15 17 19 1 3 0 2 4 11 13 10 12 14 21 23 20 22 24 6 8 5 7 9
10 12 14 11 13 20 22 24 21 23 5 7 9 6 8 15 17 19 16 18 0 2 4 1 3
14 11 13 10 12 24 21 23 20 22 9 6 8 5 7 19 16 18 15 17 4 1 3 0 2
13 10 12 14 11 23 20 22 24 21 8 5 7 9 6 18 15 17 19 16 3 0 2 4 1
12 14 11 13 10 22 24 21 23 20 7 9 6 8 5 17 19 16 18 15 2 4 1 3 0
11 13 10 12 14 21 23 20 22 24 6 8 5 7 9 16 18 15 17 19 1 3 0 2 4
5 7 9 6 8 15 17 19 16 18 0 2 4 1 3 10 12 14 11 13 20 22 24 21 23
9 6 8 5 7 19 16 18 15 17 4 1 3 0 2 14 11 13 10 12 24 21 23 20 22
8 5 7 9 6 18 15 17 19 16 3 0 2 4 1 13 10 12 14 11 23 20 22 24 21
7 9 6 8 5 17 19 16 18 15 2 4 1 3 0 12 14 11 13 10 22 24 21 23 20
6 8 5 7 9 16 18 15 17 19 1 3 0 2 4 11 13 10 12 14 21 23 20 22 24

0 4 3 2 1 20 24 23 22 21 15 19 18 17 16 10 14 13 12 11 5 9 8 7 6
2 1 0 4 3 22 21 20 24 23 17 16 15 19 18 12 11 10 14 13 7 6 5 9 8
4 3 2 1 0 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5
1 0 4 3 2 21 20 24 23 22 16 15 19 18 17 11 10 14 13 12 6 5 9 8 7
3 2 1 0 4 23 22 21 20 24 18 17 16 15 19 13 12 11 10 14 8 7 6 5 9
10 14 13 12 11 5 9 8 7 6 0 4 3 2 1 20 24 23 22 21 15 19 18 17 16
12 11 10 14 13 7 6 5 9 8 2 1 0 4 3 22 21 20 24 23 17 16 15 19 18
14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15
11 10 14 13 12 6 5 9 8 7 1 0 4 3 2 21 20 24 23 22 16 15 19 18 17
13 12 11 10 14 8 7 6 5 9 3 2 1 0 4 23 22 21 20 24 18 17 16 15 19
20 24 23 22 21 15 19 18 17 16 10 14 13 12 11 5 9 8 7 6 0 4 3 2 1
22 21 20 24 23 17 16 15 19 18 12 11 10 14 13 7 6 5 9 8 2 1 0 4 3
24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
21 20 24 23 22 16 15 19 18 17 11 10 14 13 12 6 5 9 8 7 1 0 4 3 2
23 22 21 20 24 18 17 16 15 19 13 12 11 10 14 8 7 6 5 9 3 2 1 0 4
5 9 8 7 6 0 4 3 2 1 20 24 23 22 21 15 19 18 17 16 10 14 13 12 11
7 6 5 9 8 2 1 0 4 3 22 21 20 24 23 17 16 15 19 18 12 11 10 14 13
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10
6 5 9 8 7 1 0 4 3 2 21 20 24 23 22 16 15 19 18 17 11 10 14 13 12
8 7 6 5 9 3 2 1 0 4 23 22 21 20 24 18 17 16 15 19 13 12 11 10 14
15 19 18 17 16 10 14 13 12 11 5 9 8 7 6 0 4 3 2 1 20 24 23 22 21
17 16 15 19 18 12 11 10 14 13 7 6 5 9 8 2 1 0 4 3 22 21 20 24 23
19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 24 23 22 21 20
16 15 19 18 17 11 10 14 13 12 6 5 9 8 7 1 0 4 3 2 21 20 24 23 22
18 17 16 15 19 13 12 11 10 14 8 7 6 5 9 3 2 1 0 4 23 22 21 20 24

Проверила свойства этих ОДЛК

Order? 25

Enter the name of the squares file: inp1
.. writing type information to file inp1TypeDetail_6.txt

Counts
------
         2 diagonal Latin
         2 associative
         2 pandiagonal
         2 ultramagic
         2 natural \diagonal
         1 orthogonal pair
         2 self-orthogonal

А не кажется ли вам, что эти ДЛК очень похожи на ДЛК, построенные методом составных квадратов?
Мне очень сильно кажется :)
Сравните с представленной чуть выше ортогональной парой идеальных ДЛК, построенной методом составных квдаратов.

А теперь посмотрим на идеальный ДЛК 35-го порядка построенный в стартовом посте.
Он один. Построю ему ортогональный идеальный соквадрат.
Для построения возьму ортогональную пару идеальных ДЛК 7-го порядка, показанную на иллюстрации в стартовом посте, и следующую ортогональную пару идеальных ДЛК 5-го порядка

0 4 3 2 1
2 1 0 4 3
4 3 2 1 0
1 0 4 3 2
3 2 1 0 4

0 2 4 1 3
4 1 3 0 2
3 0 2 4 1
2 4 1 3 0
1 3 0 2 4

Для построения ортгональки к построенному ДЛК 35-го порядка берём вторые ДЛК в этих ортогональных парах идеальных ДЛК.

Встречайте - ортогональная пара идеальных ДЛК 35-го порядка, построенная методом составных квадратов

0  6  5  4  3  2  1 28 34 33 32 31 30 29 21 27 26 25 24 23 22 14 20 19 18 17 16 15  7 13 12 11 10  9  8
2  1  0  6  5  4  3 30 29 28 34 33 32 31 23 22 21 27 26 25 24 16 15 14 20 19 18 17  9  8  7 13 12 11 10
4  3  2  1  0  6  5 32 31 30 29 28 34 33 25 24 23 22 21 27 26 18 17 16 15 14 20 19 11 10  9  8  7 13 12
6  5  4  3  2  1  0 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10  9  8  7
1  0  6  5  4  3  2 29 28 34 33 32 31 30 22 21 27 26 25 24 23 15 14 20 19 18 17 16  8  7 13 12 11 10  9
3  2  1  0  6  5  4 31 30 29 28 34 33 32 24 23 22 21 27 26 25 17 16 15 14 20 19 18 10  9  8  7 13 12 11
5  4  3  2  1  0  6 33 32 31 30 29 28 34 26 25 24 23 22 21 27 19 18 17 16 15 14 20 12 11 10  9  8  7 13
14 20 19 18 17 16 15  7 13 12 11 10  9  8  0  6  5  4  3  2  1 28 34 33 32 31 30 29 21 27 26 25 24 23 22
16 15 14 20 19 18 17  9  8  7 13 12 11 10  2  1  0  6  5  4  3 30 29 28 34 33 32 31 23 22 21 27 26 25 24
18 17 16 15 14 20 19 11 10  9  8  7 13 12  4  3  2  1  0  6  5 32 31 30 29 28 34 33 25 24 23 22 21 27 26
20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21
15 14 20 19 18 17 16  8  7 13 12 11 10  9  1  0  6  5  4  3  2 29 28 34 33 32 31 30 22 21 27 26 25 24 23
17 16 15 14 20 19 18 10  9  8  7 13 12 11  3  2  1  0  6  5  4 31 30 29 28 34 33 32 24 23 22 21 27 26 25
19 18 17 16 15 14 20 12 11 10  9  8  7 13  5  4  3  2  1  0  6 33 32 31 30 29 28 34 26 25 24 23 22 21 27
28 34 33 32 31 30 29 21 27 26 25 24 23 22 14 20 19 18 17 16 15  7 13 12 11 10  9  8  0  6  5  4  3  2  1
30 29 28 34 33 32 31 23 22 21 27 26 25 24 16 15 14 20 19 18 17  9  8  7 13 12 11 10  2  1  0  6  5  4  3
32 31 30 29 28 34 33 25 24 23 22 21 27 26 18 17 16 15 14 20 19 11 10  9  8  7 13 12  4  3  2  1  0  6  5
34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0
29 28 34 33 32 31 30 22 21 27 26 25 24 23 15 14 20 19 18 17 16  8  7 13 12 11 10  9  1  0  6  5  4  3  2
31 30 29 28 34 33 32 24 23 22 21 27 26 25 17 16 15 14 20 19 18 10  9  8  7 13 12 11  3  2  1  0  6  5  4
33 32 31 30 29 28 34 26 25 24 23 22 21 27 19 18 17 16 15 14 20 12 11 10  9  8  7 13  5  4  3  2  1  0  6
7 13 12 11 10  9  8  0  6  5  4  3  2  1 28 34 33 32 31 30 29 21 27 26 25 24 23 22 14 20 19 18 17 16 15
9  8  7 13 12 11 10  2  1  0  6  5  4  3 30 29 28 34 33 32 31 23 22 21 27 26 25 24 16 15 14 20 19 18 17
11 10  9  8  7 13 12  4  3  2  1  0  6  5 32 31 30 29 28 34 33 25 24 23 22 21 27 26 18 17 16 15 14 20 19
13 12 11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14
8  7 13 12 11 10  9  1  0  6  5  4  3  2 29 28 34 33 32 31 30 22 21 27 26 25 24 23 15 14 20 19 18 17 16
10  9  8  7 13 12 11  3  2  1  0  6  5  4 31 30 29 28 34 33 32 24 23 22 21 27 26 25 17 16 15 14 20 19 18
12 11 10  9  8  7 13  5  4  3  2  1  0  6 33 32 31 30 29 28 34 26 25 24 23 22 21 27 19 18 17 16 15 14 20
21 27 26 25 24 23 22 14 20 19 18 17 16 15  7 13 12 11 10  9  8  0  6  5  4  3  2  1 28 34 33 32 31 30 29
23 22 21 27 26 25 24 16 15 14 20 19 18 17  9  8  7 13 12 11 10  2  1  0  6  5  4  3 30 29 28 34 33 32 31
25 24 23 22 21 27 26 18 17 16 15 14 20 19 11 10  9  8  7 13 12  4  3  2  1  0  6  5 32 31 30 29 28 34 33
27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0 34 33 32 31 30 29 28
22 21 27 26 25 24 23 15 14 20 19 18 17 16  8  7 13 12 11 10  9  1  0  6  5  4  3  2 29 28 34 33 32 31 30
24 23 22 21 27 26 25 17 16 15 14 20 19 18 10  9  8  7 13 12 11  3  2  1  0  6  5  4 31 30 29 28 34 33 32
26 25 24 23 22 21 27 19 18 17 16 15 14 20 12 11 10  9  8  7 13  5  4  3  2  1  0  6 33 32 31 30 29 28 34

5  4  3  2  1  0  6 19 18 17 16 15 14 20 33 32 31 30 29 28 34 12 11 10  9  8  7 13 26 25 24 23 22 21 27
3  2  1  0  6  5  4 17 16 15 14 20 19 18 31 30 29 28 34 33 32 10  9  8  7 13 12 11 24 23 22 21 27 26 25
1  0  6  5  4  3  2 15 14 20 19 18 17 16 29 28 34 33 32 31 30  8  7 13 12 11 10  9 22 21 27 26 25 24 23
6  5  4  3  2  1  0 20 19 18 17 16 15 14 34 33 32 31 30 29 28 13 12 11 10  9  8  7 27 26 25 24 23 22 21
4  3  2  1  0  6  5 18 17 16 15 14 20 19 32 31 30 29 28 34 33 11 10  9  8  7 13 12 25 24 23 22 21 27 26
2  1  0  6  5  4  3 16 15 14 20 19 18 17 30 29 28 34 33 32 31  9  8  7 13 12 11 10 23 22 21 27 26 25 24
0  6  5  4  3  2  1 14 20 19 18 17 16 15 28 34 33 32 31 30 29  7 13 12 11 10  9  8 21 27 26 25 24 23 22
33 32 31 30 29 28 34 12 11 10  9  8  7 13 26 25 24 23 22 21 27  5  4  3  2  1  0  6 19 18 17 16 15 14 20
31 30 29 28 34 33 32 10  9  8  7 13 12 11 24 23 22 21 27 26 25  3  2  1  0  6  5  4 17 16 15 14 20 19 18
29 28 34 33 32 31 30  8  7 13 12 11 10  9 22 21 27 26 25 24 23  1  0  6  5  4  3  2 15 14 20 19 18 17 16
34 33 32 31 30 29 28 13 12 11 10  9  8  7 27 26 25 24 23 22 21  6  5  4  3  2  1  0 20 19 18 17 16 15 14
32 31 30 29 28 34 33 11 10  9  8  7 13 12 25 24 23 22 21 27 26  4  3  2  1  0  6  5 18 17 16 15 14 20 19
30 29 28 34 33 32 31  9  8  7 13 12 11 10 23 22 21 27 26 25 24  2  1  0  6  5  4  3 16 15 14 20 19 18 17
28 34 33 32 31 30 29  7 13 12 11 10  9  8 21 27 26 25 24 23 22  0  6  5  4  3  2  1 14 20 19 18 17 16 15
26 25 24 23 22 21 27  5  4  3  2  1  0  6 19 18 17 16 15 14 20 33 32 31 30 29 28 34 12 11 10  9  8  7 13
24 23 22 21 27 26 25  3  2  1  0  6  5  4 17 16 15 14 20 19 18 31 30 29 28 34 33 32 10  9  8  7 13 12 11
22 21 27 26 25 24 23  1  0  6  5  4  3  2 15 14 20 19 18 17 16 29 28 34 33 32 31 30  8  7 13 12 11 10  9
27 26 25 24 23 22 21  6  5  4  3  2  1  0 20 19 18 17 16 15 14 34 33 32 31 30 29 28 13 12 11 10  9  8  7
25 24 23 22 21 27 26  4  3  2  1  0  6  5 18 17 16 15 14 20 19 32 31 30 29 28 34 33 11 10  9  8  7 13 12
23 22 21 27 26 25 24  2  1  0  6  5  4  3 16 15 14 20 19 18 17 30 29 28 34 33 32 31  9  8  7 13 12 11 10
21 27 26 25 24 23 22  0  6  5  4  3  2  1 14 20 19 18 17 16 15 28 34 33 32 31 30 29  7 13 12 11 10  9  8
19 18 17 16 15 14 20 33 32 31 30 29 28 34 12 11 10  9  8  7 13 26 25 24 23 22 21 27  5  4  3  2  1  0  6
17 16 15 14 20 19 18 31 30 29 28 34 33 32 10  9  8  7 13 12 11 24 23 22 21 27 26 25  3  2  1  0  6  5  4
15 14 20 19 18 17 16 29 28 34 33 32 31 30  8  7 13 12 11 10  9 22 21 27 26 25 24 23  1  0  6  5  4  3  2
20 19 18 17 16 15 14 34 33 32 31 30 29 28 13 12 11 10  9  8  7 27 26 25 24 23 22 21  6  5  4  3  2  1  0
18 17 16 15 14 20 19 32 31 30 29 28 34 33 11 10  9  8  7 13 12 25 24 23 22 21 27 26  4  3  2  1  0  6  5
16 15 14 20 19 18 17 30 29 28 34 33 32 31  9  8  7 13 12 11 10 23 22 21 27 26 25 24  2  1  0  6  5  4  3
14 20 19 18 17 16 15 28 34 33 32 31 30 29  7 13 12 11 10  9  8 21 27 26 25 24 23 22  0  6  5  4  3  2  1
12 11 10  9  8  7 13 26 25 24 23 22 21 27  5  4  3  2  1  0  6 19 18 17 16 15 14 20 33 32 31 30 29 28 34
10  9  8  7 13 12 11 24 23 22 21 27 26 25  3  2  1  0  6  5  4 17 16 15 14 20 19 18 31 30 29 28 34 33 32
8  7 13 12 11 10  9 22 21 27 26 25 24 23  1  0  6  5  4  3  2 15 14 20 19 18 17 16 29 28 34 33 32 31 30
13 12 11 10  9  8  7 27 26 25 24 23 22 21  6  5  4  3  2  1  0 20 19 18 17 16 15 14 34 33 32 31 30 29 28
11 10  9  8  7 13 12 25 24 23 22 21 27 26  4  3  2  1  0  6  5 18 17 16 15 14 20 19 32 31 30 29 28 34 33
9  8  7 13 12 11 10 23 22 21 27 26 25 24  2  1  0  6  5  4  3 16 15 14 20 19 18 17 30 29 28 34 33 32 31
7 13 12 11 10  9  8 21 27 26 25 24 23 22  0  6  5  4  3  2  1 14 20 19 18 17 16 15 28 34 33 32 31 30 29

Смотрим свойства этих ОДЛК

Order? 35

Enter the name of the squares file: inp1
.. writing type information to file inp1TypeDetail_7.txt

Counts
------
         2 diagonal Latin
         2 associative
         2 pandiagonal
         2 ultramagic
         1 natural \diagonal
         1 orthogonal pair
         2 self-orthogonal

Всё верно. И не могло быть иначе :)

Напомню: для построения ДЛК методом составных квадратов я пользуюсь программой Harry White Composite.
Вы можете найти эту программу на сайте Harry White
http://budshaw.ca/#top
А также вы можете найти на этом сайте много других полезных программ.
Некоторые из них Harry White написал по моей просьбе.

Раньше я выполняла построение методом составных квдаратов вручную; конечно, это не так быстро, как программой.

Вчера весь день искала ортогональную пару идеальных ДЛК 8-го порядка и... не нашла!
Очень удивлена.
Одиночных идеальных ДЛК нашла много, но ортогональную пару идеальных ДЛК они не дают, хотя у них есть ортогональные диагональные соквадраты, но они не идеальные.
Использовала метод перестановки строк и столбцов в известных идеальных ДЛК.
Ничего не получилось.

Цитата

Просматривала копии тем с форума ОДЛК, наткнулась на интересный пример.
Мне присылали статью
Franklinian Diagonal Latin Squares
Miguel Angel Amela (автор)
Это пример, приведённый в статье

Order? 8

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_5.txt

Counts
------
         2 diagonal Latin
         2 weakly pandiagonal
         2 double axial symmetric
         2 center symmetric
         1 orthogonal pair
         2 self-orthogonal

Здесь мы видим ортогональные пары слабо пандиагональных и центрально-симметричных ДЛК 8-го порядка.
Проверила вторую ортогональную пару, ДЛК тоже слабо пандиагональные и центрально-симметричные.

Где же искать ортогональную пару идеальных ДЛК 8-го порядка? Существует ли она???

Вот пример покажу. Взяла один из идеальных ДЛК 8-го порядка, найденных программой Harry White, и переставила в нём строки и столбцы, найдено 10240 различных ДЛК (не существенно различных! на изоморфность не проверяла ДЛК), в том числе 32 идеальных ДЛК.

Order? 8

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_6.txt

Counts
------
     10240 diagonal Latin
       512 associative
       448 weakly pandiagonal
        32 ultramagic
      6144 axial symmetric
      2048 double axial symmetric
      2560 center symmetric
         2 nfc
         2 natural \diagonal
        46 orthogonal pair

Проверила все эти идеальные ДЛК на ОДЛК, ни одной ортогональной пары, состоящей из идеальных ДЛК, не нашла.

Посмотрите: 512 ассоциативных ДЛК, 448 слабо пандиагональных ДЛК, а одновременно ассоциативных и слабо пандиагональных (ultramagic) всего 32.

И такие эксперименты выполнила для 4-х показанных выше идеальных ДЛК 8-го порядка.
Полный облом! Нет ортогональной пары идеальных ДЛК.

Покажу найденные мной в эксперименте 32 идеальных ДЛК 8-го порядка

0 2 5 7 1 3 4 6
2 1 6 5 3 0 7 4
7 5 2 0 6 4 3 1
4 7 0 3 5 6 1 2
5 6 1 2 4 7 0 3
6 4 3 1 7 5 2 0
3 0 7 4 2 1 6 5
1 3 4 6 0 2 5 7

0 2 5 7 1 3 4 6
7 5 2 0 6 4 3 1
2 1 6 5 3 0 7 4
4 7 0 3 5 6 1 2
5 6 1 2 4 7 0 3
3 0 7 4 2 1 6 5
6 4 3 1 7 5 2 0
1 3 4 6 0 2 5 7

0 5 2 7 1 4 3 6
5 1 6 2 4 0 7 3
6 3 4 1 7 2 5 0
2 6 1 5 3 7 0 4
3 7 0 4 2 6 1 5
7 2 5 0 6 3 4 1
4 0 7 3 5 1 6 2
1 4 3 6 0 5 2 7

0 5 2 7 1 4 3 6
6 3 4 1 7 2 5 0
5 1 6 2 4 0 7 3
2 6 1 5 3 7 0 4
3 7 0 4 2 6 1 5
4 0 7 3 5 1 6 2
7 2 5 0 6 3 4 1
1 4 3 6 0 5 2 7

1 3 4 6 0 2 5 7
3 0 7 4 2 1 6 5
6 4 3 1 7 5 2 0
5 6 1 2 4 7 0 3
4 7 0 3 5 6 1 2
7 5 2 0 6 4 3 1
2 1 6 5 3 0 7 4
0 2 5 7 1 3 4 6

1 3 4 6 0 2 5 7
6 4 3 1 7 5 2 0
3 0 7 4 2 1 6 5
5 6 1 2 4 7 0 3
4 7 0 3 5 6 1 2
2 1 6 5 3 0 7 4
7 5 2 0 6 4 3 1
0 2 5 7 1 3 4 6

1 4 3 6 0 5 2 7
4 0 7 3 5 1 6 2
7 2 5 0 6 3 4 1
3 7 0 4 2 6 1 5
2 6 1 5 3 7 0 4
6 3 4 1 7 2 5 0
5 1 6 2 4 0 7 3
0 5 2 7 1 4 3 6

1 4 3 6 0 5 2 7
7 2 5 0 6 3 4 1
4 0 7 3 5 1 6 2
3 7 0 4 2 6 1 5
2 6 1 5 3 7 0 4
5 1 6 2 4 0 7 3
6 3 4 1 7 2 5 0
0 5 2 7 1 4 3 6

2 1 6 5 3 0 7 4
1 3 4 6 0 2 5 7
4 7 0 3 5 6 1 2
6 4 3 1 7 5 2 0
7 5 2 0 6 4 3 1
5 6 1 2 4 7 0 3
0 2 5 7 1 3 4 6
3 0 7 4 2 1 6 5

2 1 6 5 3 0 7 4
4 7 0 3 5 6 1 2
1 3 4 6 0 2 5 7
6 4 3 1 7 5 2 0
7 5 2 0 6 4 3 1
0 2 5 7 1 3 4 6
5 6 1 2 4 7 0 3
3 0 7 4 2 1 6 5

2 6 1 5 3 7 0 4
5 1 6 2 4 0 7 3
6 3 4 1 7 2 5 0
0 5 2 7 1 4 3 6
1 4 3 6 0 5 2 7
7 2 5 0 6 3 4 1
4 0 7 3 5 1 6 2
3 7 0 4 2 6 1 5

2 6 1 5 3 7 0 4
6 3 4 1 7 2 5 0
5 1 6 2 4 0 7 3
0 5 2 7 1 4 3 6
1 4 3 6 0 5 2 7
4 0 7 3 5 1 6 2
7 2 5 0 6 3 4 1
3 7 0 4 2 6 1 5

3 0 7 4 2 1 6 5
0 2 5 7 1 3 4 6
5 6 1 2 4 7 0 3
7 5 2 0 6 4 3 1
6 4 3 1 7 5 2 0
4 7 0 3 5 6 1 2
1 3 4 6 0 2 5 7
2 1 6 5 3 0 7 4

3 0 7 4 2 1 6 5
5 6 1 2 4 7 0 3
0 2 5 7 1 3 4 6
7 5 2 0 6 4 3 1
6 4 3 1 7 5 2 0
1 3 4 6 0 2 5 7
4 7 0 3 5 6 1 2
2 1 6 5 3 0 7 4

3 7 0 4 2 6 1 5
4 0 7 3 5 1 6 2
7 2 5 0 6 3 4 1
1 4 3 6 0 5 2 7
0 5 2 7 1 4 3 6
6 3 4 1 7 2 5 0
5 1 6 2 4 0 7 3
2 6 1 5 3 7 0 4

3 7 0 4 2 6 1 5
7 2 5 0 6 3 4 1
4 0 7 3 5 1 6 2
1 4 3 6 0 5 2 7
0 5 2 7 1 4 3 6
5 1 6 2 4 0 7 3
6 3 4 1 7 2 5 0
2 6 1 5 3 7 0 4

4 0 7 3 5 1 6 2
0 5 2 7 1 4 3 6
3 7 0 4 2 6 1 5
6 3 4 1 7 2 5 0
7 2 5 0 6 3 4 1
2 6 1 5 3 7 0 4
1 4 3 6 0 5 2 7
5 1 6 2 4 0 7 3

4 0 7 3 5 1 6 2
3 7 0 4 2 6 1 5
0 5 2 7 1 4 3 6
6 3 4 1 7 2 5 0
7 2 5 0 6 3 4 1
1 4 3 6 0 5 2 7
2 6 1 5 3 7 0 4
5 1 6 2 4 0 7 3

4 7 0 3 5 6 1 2
2 1 6 5 3 0 7 4
7 5 2 0 6 4 3 1
0 2 5 7 1 3 4 6
1 3 4 6 0 2 5 7
6 4 3 1 7 5 2 0
3 0 7 4 2 1 6 5
5 6 1 2 4 7 0 3

4 7 0 3 5 6 1 2
7 5 2 0 6 4 3 1
2 1 6 5 3 0 7 4
0 2 5 7 1 3 4 6
1 3 4 6 0 2 5 7
3 0 7 4 2 1 6 5
6 4 3 1 7 5 2 0
5 6 1 2 4 7 0 3

5 1 6 2 4 0 7 3
1 4 3 6 0 5 2 7
2 6 1 5 3 7 0 4
7 2 5 0 6 3 4 1
6 3 4 1 7 2 5 0
3 7 0 4 2 6 1 5
0 5 2 7 1 4 3 6
4 0 7 3 5 1 6 2

5 1 6 2 4 0 7 3
2 6 1 5 3 7 0 4
1 4 3 6 0 5 2 7
7 2 5 0 6 3 4 1
6 3 4 1 7 2 5 0
0 5 2 7 1 4 3 6
3 7 0 4 2 6 1 5
4 0 7 3 5 1 6 2

5 6 1 2 4 7 0 3
3 0 7 4 2 1 6 5
6 4 3 1 7 5 2 0
1 3 4 6 0 2 5 7
0 2 5 7 1 3 4 6
7 5 2 0 6 4 3 1
2 1 6 5 3 0 7 4
4 7 0 3 5 6 1 2

5 6 1 2 4 7 0 3
6 4 3 1 7 5 2 0
3 0 7 4 2 1 6 5
1 3 4 6 0 2 5 7
0 2 5 7 1 3 4 6
2 1 6 5 3 0 7 4
7 5 2 0 6 4 3 1
4 7 0 3 5 6 1 2

6 3 4 1 7 2 5 0
0 5 2 7 1 4 3 6
3 7 0 4 2 6 1 5
4 0 7 3 5 1 6 2
5 1 6 2 4 0 7 3
2 6 1 5 3 7 0 4
1 4 3 6 0 5 2 7
7 2 5 0 6 3 4 1

6 3 4 1 7 2 5 0
3 7 0 4 2 6 1 5
0 5 2 7 1 4 3 6
4 0 7 3 5 1 6 2
5 1 6 2 4 0 7 3
1 4 3 6 0 5 2 7
2 6 1 5 3 7 0 4
7 2 5 0 6 3 4 1

6 4 3 1 7 5 2 0
1 3 4 6 0 2 5 7
4 7 0 3 5 6 1 2
2 1 6 5 3 0 7 4
3 0 7 4 2 1 6 5
5 6 1 2 4 7 0 3
0 2 5 7 1 3 4 6
7 5 2 0 6 4 3 1

6 4 3 1 7 5 2 0
4 7 0 3 5 6 1 2
1 3 4 6 0 2 5 7
2 1 6 5 3 0 7 4
3 0 7 4 2 1 6 5
0 2 5 7 1 3 4 6
5 6 1 2 4 7 0 3
7 5 2 0 6 4 3 1

7 2 5 0 6 3 4 1
1 4 3 6 0 5 2 7
2 6 1 5 3 7 0 4
5 1 6 2 4 0 7 3
4 0 7 3 5 1 6 2
3 7 0 4 2 6 1 5
0 5 2 7 1 4 3 6
6 3 4 1 7 2 5 0

7 2 5 0 6 3 4 1
2 6 1 5 3 7 0 4
1 4 3 6 0 5 2 7
5 1 6 2 4 0 7 3
4 0 7 3 5 1 6 2
0 5 2 7 1 4 3 6
3 7 0 4 2 6 1 5
6 3 4 1 7 2 5 0

7 5 2 0 6 4 3 1
0 2 5 7 1 3 4 6
5 6 1 2 4 7 0 3
3 0 7 4 2 1 6 5
2 1 6 5 3 0 7 4
4 7 0 3 5 6 1 2
1 3 4 6 0 2 5 7
6 4 3 1 7 5 2 0

7 5 2 0 6 4 3 1
5 6 1 2 4 7 0 3
0 2 5 7 1 3 4 6
3 0 7 4 2 1 6 5
2 1 6 5 3 0 7 4
1 3 4 6 0 2 5 7
4 7 0 3 5 6 1 2
6 4 3 1 7 5 2 0

Проверка свойств утилитой Harry White

Order? 8

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_7.txt

Counts
------
        32 diagonal Latin
        32 associative
        32 weakly pandiagonal
        32 ultramagic
        32 double axial symmetric
         1 natural \diagonal

Может быть, квадраты будут полезны в дальнейшем приске ортогональной пары идеальных ДЛК 8-го порядка.