Вот какие ортогональные диагональные соквадраты имеют эти 32 идеальных ДЛК

Order? 8

Enter the name of the squares file: inp1
.. writing type information to file inp1TypeDetail_8.txt

Counts
------
       704 diagonal Latin
         8 associative
       384 axial symmetric
       320 double axial symmetric
       312 center symmetric

ОДЛК довольно много, но идеальных нет.

В последовательности OEIS
https://oeis.org/A330391
указана ссылка на полную БД КФ ОДЛК 8-го порядка

E. I. Vatutin, List of all main classes of orthogonal diagonal Latin squares of orders 1-8.

Проверяю все эти 1105 ОДЛК утилитой Harry White

Order? 8

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_8.txt

Counts
------
      1105 diagonal Latin
         4 weakly pandiagonal
       508 axial symmetric
        28 double axial symmetric
        69 center symmetric
      1105 nfr
         8 self-orthogonal

Ни одного идеального ДЛК здесь нет.
Но слабо пандиагональные и центрально-симметричные есть.

Преобразовала все ДЛК в СН ДЛК, теперь свойства выдались такие

Order? 8

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_5.txt

Counts
------
      1105 diagonal Latin
        69 associative
         2 weakly pandiagonal
         1 ultramagic
       508 axial symmetric
        28 double axial symmetric
      1105 natural \diagonal
         8 self-orthogonal

Один идеальный ДЛК получился!
Вот он

0 7 6 1 5 3 2 4
6 1 0 7 2 4 5 3
5 3 2 4 1 6 7 0
2 4 5 3 7 0 1 6
1 6 7 0 4 2 3 5
7 0 1 6 3 5 4 2
4 2 3 5 0 7 6 1
3 5 4 2 6 1 0 7

Сейчас найду ОДЛК к этому идеальному ДЛК.

Очень интересно: найденный идеальный ДЛК (в полной БД 8-го порядка) имеет всего 4 ОДЛК; идеальных среди них нет, но все они ассоциативные.
Таким образом, получаем 4 ортогональные пары ДЛК; в каждой паре один ДЛК идеальный, а второй - только ассоциативный.
Пример

0 7 6 1 5 3 2 4
6 1 0 7 2 4 5 3
5 3 2 4 1 6 7 0
2 4 5 3 7 0 1 6
1 6 7 0 4 2 3 5
7 0 1 6 3 5 4 2
4 2 3 5 0 7 6 1
3 5 4 2 6 1 0 7

0 2 4 6 3 1 7 5
3 1 7 5 0 2 4 6
6 4 2 0 5 7 1 3
5 7 1 3 6 4 2 0
7 5 3 1 4 6 0 2
4 6 0 2 7 5 3 1
1 3 5 7 2 0 6 4
2 0 6 4 1 3 5 7

Проверила свойства этих ОДЛК утилитой Harry White

Order? 8

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_9.txt

Counts
------
         2 diagonal Latin
         2 associative
         1 weakly pandiagonal
         1 ultramagic
         1 double axial symmetric
         2 natural \diagonal
         1 orthogonal pair
         1 self-orthogonal

SODLS здесь не идеальный ДЛК. Увы!

Так, где ещё поискать ортогональную пару идеальных ДЛК 8-го порядка?

Цитата

n=8

0 1 2 3 4 5 6 7
1 0 3 2 5 4 7 6
2 3 0 1 6 7 4 5
3 2 1 0 7 6 5 4
4 5 6 7 0 1 2 3
5 4 7 6 1 0 3 2
6 7 4 5 2 3 0 1
7 6 5 4 3 2 1 0

0 1 2 3 4 5 6 7
2 3 0 1 6 7 4 5
4 5 6 7 0 1 2 3
6 7 4 5 2 3 0 1
5 4 7 6 1 0 3 2
7 6 5 4 3 2 1 0
1 0 3 2 5 4 7 6
3 2 1 0 7 6 5 4

0 1 2 3 4 5 6 7
3 2 1 0 7 6 5 4
6 7 4 5 2 3 0 1
5 4 7 6 1 0 3 2
1 0 3 2 5 4 7 6
2 3 0 1 6 7 4 5
7 6 5 4 3 2 1 0
4 5 6 7 0 1 2 3

0 1 2 3 4 5 6 7
4 5 6 7 0 1 2 3
5 4 7 6 1 0 3 2
1 0 3 2 5 4 7 6
7 6 5 4 3 2 1 0
3 2 1 0 7 6 5 4
2 3 0 1 6 7 4 5
6 7 4 5 2 3 0 1

0 1 2 3 4 5 6 7
5 4 7 6 1 0 3 2
7 6 5 4 3 2 1 0
2 3 0 1 6 7 4 5
3 2 1 0 7 6 5 4
6 7 4 5 2 3 0 1
4 5 6 7 0 1 2 3
1 0 3 2 5 4 7 6

0 1 2 3 4 5 6 7
6 7 4 5 2 3 0 1
1 0 3 2 5 4 7 6
7 6 5 4 3 2 1 0
2 3 0 1 6 7 4 5
4 5 6 7 0 1 2 3
3 2 1 0 7 6 5 4
5 4 7 6 1 0 3 2

0 1 2 3 4 5 6 7
7 6 5 4 3 2 1 0
3 2 1 0 7 6 5 4
4 5 6 7 0 1 2 3
6 7 4 5 2 3 0 1
1 0 3 2 5 4 7 6
5 4 7 6 1 0 3 2
2 3 0 1 6 7 4 5

Order? 8

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_6.txt

Counts
------
         1 Latin
         6 diagonal Latin
         2 weakly pandiagonal
         7 double axial symmetric
         7 center symmetric
         7 nfr
         1 nfc
         1 nfr nfc
         1 self-transpose
         6 orthogonal pair
         6 self-orthogonal

Иллюстрация полной системы MOLS 8-го порядка

Тут искала уже ортогональную пару идеальных ДЛК 8-го порядка? Не помню.
Сейчас проверю эти взаимно-ортогональные ДЛК; видим в свойствах, что все они центрально-симметричные.

Преобразовала 6 ДЛК из полной системы MOLS 8-го порядка в СН ДЛК, получила ДЛК с такими свойствами

Order? 8

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_5.txt

Counts
------
         6 diagonal Latin
         6 associative
         6 double axial symmetric
         6 natural \diagonal
         5 orthogonal pair
         6 self-orthogonal

Все они ассоциативные, а идеальных нет.

Вот эту ортогональную пару надо прощупать на перестановку строк/столбцов

0 1 2 3 4 5 6 7
5 4 7 6 1 0 3 2
7 6 5 4 3 2 1 0
2 3 0 1 6 7 4 5
3 2 1 0 7 6 5 4
6 7 4 5 2 3 0 1
4 5 6 7 0 1 2 3
1 0 3 2 5 4 7 6

0 1 2 3 4 5 6 7
6 7 4 5 2 3 0 1
1 0 3 2 5 4 7 6
7 6 5 4 3 2 1 0
2 3 0 1 6 7 4 5
4 5 6 7 0 1 2 3
3 2 1 0 7 6 5 4
5 4 7 6 1 0 3 2

Свойства этих ОДЛК

Order? 8

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_7.txt

Counts
------
         2 diagonal Latin
         2 weakly pandiagonal
         2 double axial symmetric
         2 center symmetric
         2 nfr
         1 orthogonal pair
         2 self-orthogonal

Превращение в СН ДЛК ничего не даёт: ДЛК становятся ассоциативными, но исчезает свойство слабой пандиагональности.

Кстати, эту ортогональную пару тоже можно пощупать перестановкой строк/столбцов

0 7 6 1 5 3 2 4
6 1 0 7 2 4 5 3
5 3 2 4 1 6 7 0
2 4 5 3 7 0 1 6
1 6 7 0 4 2 3 5
7 0 1 6 3 5 4 2
4 2 3 5 0 7 6 1
3 5 4 2 6 1 0 7

0 2 4 6 3 1 7 5
3 1 7 5 0 2 4 6
6 4 2 0 5 7 1 3
5 7 1 3 6 4 2 0
7 5 3 1 4 6 0 2
4 6 0 2 7 5 3 1
1 3 5 7 2 0 6 4
2 0 6 4 1 3 5 7

Первый ДЛК в этой ортогональной паре идеальный, а второй - только ассоциативный.

Два ДЛК из этой ортогональной пары

0 1 2 3 4 5 6 7
5 4 7 6 1 0 3 2
7 6 5 4 3 2 1 0
2 3 0 1 6 7 4 5
3 2 1 0 7 6 5 4
6 7 4 5 2 3 0 1
4 5 6 7 0 1 2 3
1 0 3 2 5 4 7 6

0 1 2 3 4 5 6 7
6 7 4 5 2 3 0 1
1 0 3 2 5 4 7 6
7 6 5 4 3 2 1 0
2 3 0 1 6 7 4 5
4 5 6 7 0 1 2 3
3 2 1 0 7 6 5 4
5 4 7 6 1 0 3 2

дали при перестановке строк/столбцов 18432 различных ДЛК (не существенно различных! на изоморфность не проверяла эти ДЛК), которые обладают свойствами

Order? 8

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_9.txt

Counts
------
     18432 diagonal Latin
      3072 associative
      3904 weakly pandiagonal
       192 ultramagic
     18432 double axial symmetric
     15360 center symmetric
        48 nfr
        48 natural \diagonal
      1894 orthogonal pair
     18432 self-orthogonal

Как видим, найдено 192 идеальных ДЛК. Но будет ли хоть одна ортогональная пара идеальных ДЛК???
Все эти идеальные ДЛК наверняка имеют ОДЛК, но вот идеальных среди ОДЛК может и не быть.
Чтобы это проверить, надо выудить все 192 идеальных ДЛК из набора, в котором 18432 ДЛК.
Понятно, что для этого надо написать программку, потому что вручную выуживать очень нудно.

Хм... Постойте-ка...
Написано в свойствах, что все 18432 ДЛК набора self-orthogonal.
Так значит, и идеальные ДЛК тоже self-orthogonal, и... мы имеем ортогональные пары идеальных ДЛК!
Сейчас выужу один идеальный ДЛК и проверю.

ДА-А-А-А-А!!!
Вот она - ортогональная пара идеальных ДЛК 8-го порядка

0 1 6 7 4 5 2 3
3 2 5 4 7 6 1 0
5 4 3 2 1 0 7 6
6 7 0 1 2 3 4 5
2 3 4 5 6 7 0 1
1 0 7 6 5 4 3 2
7 6 1 0 3 2 5 4
4 5 2 3 0 1 6 7

0 3 5 6 2 1 7 4
1 2 4 7 3 0 6 5
6 5 3 0 4 7 1 2
7 4 2 1 5 6 0 3
4 7 1 2 6 5 3 0
5 6 0 3 7 4 2 1
2 1 7 4 0 3 5 6
3 0 6 5 1 2 4 7

Проверка свойств ДЛК этой ортогональной пары утилитой Harry White

Order? 8

Enter the name of the squares file: inp1
.. writing type information to file inp1TypeDetail_6.txt

Counts
------
         2 diagonal Latin
         2 associative
         2 weakly pandiagonal
         2 ultramagic
         2 double axial symmetric
         1 orthogonal pair
         2 self-orthogonal

Чудесно! Алгоритм сработал!
Итак, найдено 192 ортогональные пары идеальных ДЛК.
Кроме того, все найденные идеальные ДЛК являются DSODLS, а это ещё 192 ортогональные пары идеальных ДЛК.

Ой, теперь могу осуществить своё желание - построить новый идеальный магический квдарат 8-го порядка, используя метод латинских квадратов для найденной ортогональной пары идеальных ДЛК.
Сейчас я его построю :)
Формулу беру: С = 8*А + В +1, где А - первый ДЛК в ортогональной паре, В - второй ДЛК в ортогональной паре, С - искомый идеальный магический квадрат.

Встречайте - идеальный магический квадрат 8-го порядка, построенный методом латинских квадратов



Такого идеального магического квадрата 8-го порядка у меня ещё не было.
Обратите внимание на выделенную начальную цепочку.
Если вы посмотрите в моих статьях все построенные разными алгоритмами идеальные магические квадраты данного порядка, с такой начальной цепочкой квадрата не найдёте.
Это принципиально новый идеальный магический квадрат 8-го порядка.

Восторг и восхищение!

Выше был построен один идеальный ДЛК 40-го порядка.
Теперь можно построить ортогональную пару идеальных ДЛК 40-го порядка.
Для построения возьму только что найденную ортогональную пару идеальных ДЛК 8-го порядка и эту ортогональную пару идеальных ДЛК 5-го порядка

0 4 3 2 1
2 1 0 4 3
4 3 2 1 0
1 0 4 3 2
3 2 1 0 4

0 2 4 1 3
4 1 3 0 2
3 0 2 4 1
2 4 1 3 0
1 3 0 2 4

Встречайте - ортогональная пара идеальных ДЛК 40-го порядка, построенная методом составных квадратов

 0  1  6  7  4  5  2  3 32 33 38 39 36 37 34 35 24 25 30 31 28 29 26 27 16 17 22 23 20 21 18 19  8  9 14 15 12 13 10 11
 3  2  5  4  7  6  1  0 35 34 37 36 39 38 33 32 27 26 29 28 31 30 25 24 19 18 21 20 23 22 17 16 11 10 13 12 15 14  9  8
 5  4  3  2  1  0  7  6 37 36 35 34 33 32 39 38 29 28 27 26 25 24 31 30 21 20 19 18 17 16 23 22 13 12 11 10  9  8 15 14
 6  7  0  1  2  3  4  5 38 39 32 33 34 35 36 37 30 31 24 25 26 27 28 29 22 23 16 17 18 19 20 21 14 15  8  9 10 11 12 13
 2  3  4  5  6  7  0  1 34 35 36 37 38 39 32 33 26 27 28 29 30 31 24 25 18 19 20 21 22 23 16 17 10 11 12 13 14 15  8  9
 1  0  7  6  5  4  3  2 33 32 39 38 37 36 35 34 25 24 31 30 29 28 27 26 17 16 23 22 21 20 19 18  9  8 15 14 13 12 11 10
 7  6  1  0  3  2  5  4 39 38 33 32 35 34 37 36 31 30 25 24 27 26 29 28 23 22 17 16 19 18 21 20 15 14  9  8 11 10 13 12
 4  5  2  3  0  1  6  7 36 37 34 35 32 33 38 39 28 29 26 27 24 25 30 31 20 21 18 19 16 17 22 23 12 13 10 11  8  9 14 15
 16 17 22 23 20 21 18 19  8  9 14 15 12 13 10 11  0  1  6  7  4  5  2  3 32 33 38 39 36 37 34 35 24 25 30 31 28 29 26 27
 19 18 21 20 23 22 17 16 11 10 13 12 15 14  9  8  3  2  5  4  7  6  1  0 35 34 37 36 39 38 33 32 27 26 29 28 31 30 25 24
 21 20 19 18 17 16 23 22 13 12 11 10  9  8 15 14  5  4  3  2  1  0  7  6 37 36 35 34 33 32 39 38 29 28 27 26 25 24 31 30
 22 23 16 17 18 19 20 21 14 15  8  9 10 11 12 13  6  7  0  1  2  3  4  5 38 39 32 33 34 35 36 37 30 31 24 25 26 27 28 29
 18 19 20 21 22 23 16 17 10 11 12 13 14 15  8  9  2  3  4  5  6  7  0  1 34 35 36 37 38 39 32 33 26 27 28 29 30 31 24 25
 17 16 23 22 21 20 19 18  9  8 15 14 13 12 11 10  1  0  7  6  5  4  3  2 33 32 39 38 37 36 35 34 25 24 31 30 29 28 27 26
 23 22 17 16 19 18 21 20 15 14  9  8 11 10 13 12  7  6  1  0  3  2  5  4 39 38 33 32 35 34 37 36 31 30 25 24 27 26 29 28
 20 21 18 19 16 17 22 23 12 13 10 11  8  9 14 15  4  5  2  3  0  1  6  7 36 37 34 35 32 33 38 39 28 29 26 27 24 25 30 31
 32 33 38 39 36 37 34 35 24 25 30 31 28 29 26 27 16 17 22 23 20 21 18 19  8  9 14 15 12 13 10 11  0  1  6  7  4  5  2  3
 35 34 37 36 39 38 33 32 27 26 29 28 31 30 25 24 19 18 21 20 23 22 17 16 11 10 13 12 15 14  9  8  3  2  5  4  7  6  1  0
 37 36 35 34 33 32 39 38 29 28 27 26 25 24 31 30 21 20 19 18 17 16 23 22 13 12 11 10  9  8 15 14  5  4  3  2  1  0  7  6
 38 39 32 33 34 35 36 37 30 31 24 25 26 27 28 29 22 23 16 17 18 19 20 21 14 15  8  9 10 11 12 13  6  7  0  1  2  3  4  5
 34 35 36 37 38 39 32 33 26 27 28 29 30 31 24 25 18 19 20 21 22 23 16 17 10 11 12 13 14 15  8  9  2  3  4  5  6  7  0  1
 33 32 39 38 37 36 35 34 25 24 31 30 29 28 27 26 17 16 23 22 21 20 19 18  9  8 15 14 13 12 11 10  1  0  7  6  5  4  3  2
 39 38 33 32 35 34 37 36 31 30 25 24 27 26 29 28 23 22 17 16 19 18 21 20 15 14  9  8 11 10 13 12  7  6  1  0  3  2  5  4
 36 37 34 35 32 33 38 39 28 29 26 27 24 25 30 31 20 21 18 19 16 17 22 23 12 13 10 11  8  9 14 15  4  5  2  3  0  1  6  7
 8  9 14 15 12 13 10 11  0  1  6  7  4  5  2  3 32 33 38 39 36 37 34 35 24 25 30 31 28 29 26 27 16 17 22 23 20 21 18 19
 11 10 13 12 15 14  9  8  3  2  5  4  7  6  1  0 35 34 37 36 39 38 33 32 27 26 29 28 31 30 25 24 19 18 21 20 23 22 17 16
 13 12 11 10  9  8 15 14  5  4  3  2  1  0  7  6 37 36 35 34 33 32 39 38 29 28 27 26 25 24 31 30 21 20 19 18 17 16 23 22
 14 15  8  9 10 11 12 13  6  7  0  1  2  3  4  5 38 39 32 33 34 35 36 37 30 31 24 25 26 27 28 29 22 23 16 17 18 19 20 21
 10 11 12 13 14 15  8  9  2  3  4  5  6  7  0  1 34 35 36 37 38 39 32 33 26 27 28 29 30 31 24 25 18 19 20 21 22 23 16 17
 9  8 15 14 13 12 11 10  1  0  7  6  5  4  3  2 33 32 39 38 37 36 35 34 25 24 31 30 29 28 27 26 17 16 23 22 21 20 19 18
 15 14  9  8 11 10 13 12  7  6  1  0  3  2  5  4 39 38 33 32 35 34 37 36 31 30 25 24 27 26 29 28 23 22 17 16 19 18 21 20
 12 13 10 11  8  9 14 15  4  5  2  3  0  1  6  7 36 37 34 35 32 33 38 39 28 29 26 27 24 25 30 31 20 21 18 19 16 17 22 23
 24 25 30 31 28 29 26 27 16 17 22 23 20 21 18 19  8  9 14 15 12 13 10 11  0  1  6  7  4  5  2  3 32 33 38 39 36 37 34 35
 27 26 29 28 31 30 25 24 19 18 21 20 23 22 17 16 11 10 13 12 15 14  9  8  3  2  5  4  7  6  1  0 35 34 37 36 39 38 33 32
 29 28 27 26 25 24 31 30 21 20 19 18 17 16 23 22 13 12 11 10  9  8 15 14  5  4  3  2  1  0  7  6 37 36 35 34 33 32 39 38
 30 31 24 25 26 27 28 29 22 23 16 17 18 19 20 21 14 15  8  9 10 11 12 13  6  7  0  1  2  3  4  5 38 39 32 33 34 35 36 37
 26 27 28 29 30 31 24 25 18 19 20 21 22 23 16 17 10 11 12 13 14 15  8  9  2  3  4  5  6  7  0  1 34 35 36 37 38 39 32 33
 25 24 31 30 29 28 27 26 17 16 23 22 21 20 19 18  9  8 15 14 13 12 11 10  1  0  7  6  5  4  3  2 33 32 39 38 37 36 35 34
 31 30 25 24 27 26 29 28 23 22 17 16 19 18 21 20 15 14  9  8 11 10 13 12  7  6  1  0  3  2  5  4 39 38 33 32 35 34 37 36
 28 29 26 27 24 25 30 31 20 21 18 19 16 17 22 23 12 13 10 11  8  9 14 15  4  5  2  3  0  1  6  7 36 37 34 35 32 33 38 39

 0  3  5  6  2  1  7  4 16 19 21 22 18 17 23 20 32 35 37 38 34 33 39 36  8 11 13 14 10  9 15 12 24 27 29 30 26 25 31 28
 1  2  4  7  3  0  6  5 17 18 20 23 19 16 22 21 33 34 36 39 35 32 38 37  9 10 12 15 11  8 14 13 25 26 28 31 27 24 30 29
 6  5  3  0  4  7  1  2 22 21 19 16 20 23 17 18 38 37 35 32 36 39 33 34 14 13 11  8 12 15  9 10 30 29 27 24 28 31 25 26
 7  4  2  1  5  6  0  3 23 20 18 17 21 22 16 19 39 36 34 33 37 38 32 35 15 12 10  9 13 14  8 11 31 28 26 25 29 30 24 27
 4  7  1  2  6  5  3  0 20 23 17 18 22 21 19 16 36 39 33 34 38 37 35 32 12 15  9 10 14 13 11  8 28 31 25 26 30 29 27 24
 5  6  0  3  7  4  2  1 21 22 16 19 23 20 18 17 37 38 32 35 39 36 34 33 13 14  8 11 15 12 10  9 29 30 24 27 31 28 26 25
 2  1  7  4  0  3  5  6 18 17 23 20 16 19 21 22 34 33 39 36 32 35 37 38 10  9 15 12  8 11 13 14 26 25 31 28 24 27 29 30
 3  0  6  5  1  2  4  7 19 16 22 21 17 18 20 23 35 32 38 37 33 34 36 39 11  8 14 13  9 10 12 15 27 24 30 29 25 26 28 31
 32 35 37 38 34 33 39 36  8 11 13 14 10  9 15 12 24 27 29 30 26 25 31 28  0  3  5  6  2  1  7  4 16 19 21 22 18 17 23 20
 33 34 36 39 35 32 38 37  9 10 12 15 11  8 14 13 25 26 28 31 27 24 30 29  1  2  4  7  3  0  6  5 17 18 20 23 19 16 22 21
 38 37 35 32 36 39 33 34 14 13 11  8 12 15  9 10 30 29 27 24 28 31 25 26  6  5  3  0  4  7  1  2 22 21 19 16 20 23 17 18
 39 36 34 33 37 38 32 35 15 12 10  9 13 14  8 11 31 28 26 25 29 30 24 27  7  4  2  1  5  6  0  3 23 20 18 17 21 22 16 19
 36 39 33 34 38 37 35 32 12 15  9 10 14 13 11  8 28 31 25 26 30 29 27 24  4  7  1  2  6  5  3  0 20 23 17 18 22 21 19 16
 37 38 32 35 39 36 34 33 13 14  8 11 15 12 10  9 29 30 24 27 31 28 26 25  5  6  0  3  7  4  2  1 21 22 16 19 23 20 18 17
 34 33 39 36 32 35 37 38 10  9 15 12  8 11 13 14 26 25 31 28 24 27 29 30  2  1  7  4  0  3  5  6 18 17 23 20 16 19 21 22
 35 32 38 37 33 34 36 39 11  8 14 13  9 10 12 15 27 24 30 29 25 26 28 31  3  0  6  5  1  2  4  7 19 16 22 21 17 18 20 23
 24 27 29 30 26 25 31 28  0  3  5  6  2  1  7  4 16 19 21 22 18 17 23 20 32 35 37 38 34 33 39 36  8 11 13 14 10  9 15 12
 25 26 28 31 27 24 30 29  1  2  4  7  3  0  6  5 17 18 20 23 19 16 22 21 33 34 36 39 35 32 38 37  9 10 12 15 11  8 14 13
 30 29 27 24 28 31 25 26  6  5  3  0  4  7  1  2 22 21 19 16 20 23 17 18 38 37 35 32 36 39 33 34 14 13 11  8 12 15  9 10
 31 28 26 25 29 30 24 27  7  4  2  1  5  6  0  3 23 20 18 17 21 22 16 19 39 36 34 33 37 38 32 35 15 12 10  9 13 14  8 11
 28 31 25 26 30 29 27 24  4  7  1  2  6  5  3  0 20 23 17 18 22 21 19 16 36 39 33 34 38 37 35 32 12 15  9 10 14 13 11  8
 29 30 24 27 31 28 26 25  5  6  0  3  7  4  2  1 21 22 16 19 23 20 18 17 37 38 32 35 39 36 34 33 13 14  8 11 15 12 10  9
 26 25 31 28 24 27 29 30  2  1  7  4  0  3  5  6 18 17 23 20 16 19 21 22 34 33 39 36 32 35 37 38 10  9 15 12  8 11 13 14
 27 24 30 29 25 26 28 31  3  0  6  5  1  2  4  7 19 16 22 21 17 18 20 23 35 32 38 37 33 34 36 39 11  8 14 13  9 10 12 15
 16 19 21 22 18 17 23 20 32 35 37 38 34 33 39 36  8 11 13 14 10  9 15 12 24 27 29 30 26 25 31 28  0  3  5  6  2  1  7  4
 17 18 20 23 19 16 22 21 33 34 36 39 35 32 38 37  9 10 12 15 11  8 14 13 25 26 28 31 27 24 30 29  1  2  4  7  3  0  6  5
 22 21 19 16 20 23 17 18 38 37 35 32 36 39 33 34 14 13 11  8 12 15  9 10 30 29 27 24 28 31 25 26  6  5  3  0  4  7  1  2
 23 20 18 17 21 22 16 19 39 36 34 33 37 38 32 35 15 12 10  9 13 14  8 11 31 28 26 25 29 30 24 27  7  4  2  1  5  6  0  3
 20 23 17 18 22 21 19 16 36 39 33 34 38 37 35 32 12 15  9 10 14 13 11  8 28 31 25 26 30 29 27 24  4  7  1  2  6  5  3  0
 21 22 16 19 23 20 18 17 37 38 32 35 39 36 34 33 13 14  8 11 15 12 10  9 29 30 24 27 31 28 26 25  5  6  0  3  7  4  2  1
 18 17 23 20 16 19 21 22 34 33 39 36 32 35 37 38 10  9 15 12  8 11 13 14 26 25 31 28 24 27 29 30  2  1  7  4  0  3  5  6
 19 16 22 21 17 18 20 23 35 32 38 37 33 34 36 39 11  8 14 13  9 10 12 15 27 24 30 29 25 26 28 31  3  0  6  5  1  2  4  7
 8 11 13 14 10  9 15 12 24 27 29 30 26 25 31 28  0  3  5  6  2  1  7  4 16 19 21 22 18 17 23 20 32 35 37 38 34 33 39 36
 9 10 12 15 11  8 14 13 25 26 28 31 27 24 30 29  1  2  4  7  3  0  6  5 17 18 20 23 19 16 22 21 33 34 36 39 35 32 38 37
 14 13 11  8 12 15  9 10 30 29 27 24 28 31 25 26  6  5  3  0  4  7  1  2 22 21 19 16 20 23 17 18 38 37 35 32 36 39 33 34
 15 12 10  9 13 14  8 11 31 28 26 25 29 30 24 27  7  4  2  1  5  6  0  3 23 20 18 17 21 22 16 19 39 36 34 33 37 38 32 35
 12 15  9 10 14 13 11  8 28 31 25 26 30 29 27 24  4  7  1  2  6  5  3  0 20 23 17 18 22 21 19 16 36 39 33 34 38 37 35 32
 13 14  8 11 15 12 10  9 29 30 24 27 31 28 26 25  5  6  0  3  7  4  2  1 21 22 16 19 23 20 18 17 37 38 32 35 39 36 34 33
 10  9 15 12  8 11 13 14 26 25 31 28 24 27 29 30  2  1  7  4  0  3  5  6 18 17 23 20 16 19 21 22 34 33 39 36 32 35 37 38
 11  8 14 13  9 10 12 15 27 24 30 29 25 26 28 31  3  0  6  5  1  2  4  7 19 16 22 21 17 18 20 23 35 32 38 37 33 34 36 39

Проверяю свойства ДЛК этой ортогональной пары

Order? 40

Enter the name of the squares file: Inp
.. writing type information to file InpTypeDetail_11.txt

Counts
------
         2 diagonal Latin
         2 associative
         2 weakly pandiagonal
         2 ultramagic
         1 orthogonal pair
         2 self-orthogonal

Всё верно. И не могло быть иначе :)

Тэк-с, теперь надо найти идеальный ДЛК 12-го порядка, ежели он существует.
Пока не знаю, как его искать, программа Harry White LatinSquares не помогает.

Господа!
Предлагаю вам заняться этим вопросом.
Если есть идеи, пожалуйста, поделитесь.

Идеальных магических квадратов 12-го порядка в моих статьях построено много, но они не дают в разложении на ортогональную пару ЛК идеальных ДЛК.
Пример уже показывала выше, повторю



Разложите этот магический квадрат на ортогональную пару ЛК, вы получите обобщённые ЛК.

Найден новый идеальный ДЛК 13-го порядка!
Подробности читайте в теме "Experiment (pandiagonal DLS of order 13)"
Показываю этот идеальный ДЛК в формате СН ДЛК

0 12 3 10 6 4 9 5 11 7 8 1 2
6 1 9 0 11 12 2 10 4 3 5 7 8
11 7 2 8 5 1 0 6 12 10 4 9 3
5 4 12 3 7 9 8 1 0 11 6 2 10
8 6 10 11 4 3 7 2 9 5 1 12 0
1 2 0 6 10 5 11 12 3 8 7 4 9
7 9 1 12 2 8 6 4 10 0 11 3 5
3 8 5 4 9 0 1 7 2 6 12 10 11
12 0 11 7 3 10 5 9 8 1 2 6 4
2 10 6 1 12 11 4 3 5 9 0 8 7
9 3 8 2 0 6 12 11 7 4 10 5 1
4 5 7 9 8 2 10 0 1 12 3 11 6
10 11 4 5 1 7 3 8 6 2 9 0 12

Иллюстрация



Этот ДЛК не циклический пандиагональный и ассоциативный.
Получен мной из ДЛК, приведённого в статье OEIS, комбинацией преобразований.
Здорово работают преобразования, известные мне по работе с магическими квадратами.

Читайте мою книгу "Волшебный мир магических квадратов".
А также мои статьи; далеко не всё было включено в книгу, в статьях вы найдёте гораздо больше, нежели в книге.
К тому же, не только о магических, но и о латинских квадратах.

Найденный идеальный ДЛК не "пустышка", я уже нашла один ортогональный диагональный соквадрат к нему.
Но... этот ортогональный соквадрат не является ни пандиагональным, ни ассоциативным.
Очень интересно обсчитать этот ДЛК полностью, найдётся ли хотя бы один идеальный ортогональный соквадрат.

Код ДЛК по системе Tomas Brada

EUwk5iiQf7iUNBpDAWeGZBC71RCJazs7RxWdCS2

PS. Да, ортогональная пара идеальных ДЛК очень мне нужна.
Для построения принципиально нового идеального магического квадрата.
Такого у меня ещё не было :)
Кстати, раньше я нашла ортогональные пары идеальных ДЛК 13-го порядка, одна из них была показана.
Но это циклические пандиагональные ДЛК, они не дадут принципиально нового идеального магического квадрата.
Другое дело - идеальный ДЛК, найденный теперь, он не циклический пандиагональный.

Командная строка для запуска программы Tomas Brada

ortogonb.exe EUwk5iiQf7iUNBpDAWeGZBC71RCJazs7RxWdCS2 >out.txt

Не знаю, как будет работать: ни разу не пробовала обсчитать полностью ДЛК 13-го порядка.
Д-трансверсалей у этого ДЛК не очень много.
У меня эта программа нормально работает для ДЛК 11-го порядка.
С ДЛК 12-го порядка уже проблемы с памятью возникают, но я пробовала ДЛК с большим количеством Д-трансверсалей.

Приведу цитату

Покажу уникальную ортогональную пару ДЛК 13-го порядка





Второй ДЛК - транспонированный вариант первого ДЛК.
Оба ДЛК идеальные, рекордные по Д-трансверсалям (на данный момент).
Можно ещё составить вторую ортогональную пару: первый ДЛК и его анти-транспонированный вариант.
Анти-транспонированный ДЛК тоже идеальный и изоморфен показанным ДЛК, а значит, имеет такое же количество Д-трансверсалей.

Покажу анти-транспонированный вариант первого ДЛК в обычном числовом формате

 9  3 10  4 11  5 12  6  0  7  1  8  2
 8  2  9  3 10  4 11  5 12  6  0  7  1
 7  1  8  2  9  3 10  4 11  5 12  6  0
 6  0  7  1  8  2  9  3 10  4 11  5 12
 5 12  6  0  7  1  8  2  9  3 10  4 11
 4 11  5 12  6  0  7  1  8  2  9  3 10
 3 10  4 11  5 12  6  0  7  1  8  2  9
 2  9  3 10  4 11  5 12  6  0  7  1  8
 1  8  2  9  3 10  4 11  5 12  6  0  7
 0  7  1  8  2  9  3 10  4 11  5 12  6
12  6  0  7  1  8  2  9  3 10  4 11  5
11  5 12  6  0  7  1  8  2  9  3 10  4
10  4 11  5 12  6  0  7  1  8  2  9  3

Можно построить идеальный магический квадрат, используя эту ортогональную пару (даже две ортогональные пары), методом латинских квадратов.
Формулу напоминаю
С = 13*A + B +1
Но, как уже отмечено выше, это мало интересный идеальный магический квадрат.

Найден ещё один уникальный идеальный ДЛК 13-го порядка!

0 3 7 1 9 4 10 6 5 8 12 2 11
2 1 12 0 10 11 5 9 7 6 4 8 3
8 6 2 11 12 9 1 10 4 0 3 7 5
10 11 5 3 2 8 12 0 1 7 9 4 6
5 7 6 8 4 0 3 11 12 2 1 10 9
12 9 4 7 3 5 8 2 6 10 11 0 1
4 0 10 9 1 7 6 5 11 3 2 12 8
11 12 1 2 6 10 4 7 9 5 8 3 0
3 2 11 10 0 1 9 12 8 4 6 5 7
6 8 3 5 11 12 0 4 10 9 7 1 2
7 5 9 12 8 2 11 3 0 1 10 6 4
9 4 8 6 5 3 7 1 2 12 0 11 10
1 10 0 4 7 6 2 8 3 11 5 9 12

Смотрите сообщение
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=128&postid=1589

Проверка свойств

Order? 13

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_15.txt

Counts
------
         1 diagonal Latin
         1 associative
         1 pandiagonal
         1 ultramagic
         1 natural \diagonal

Этот идеальный ДЛК не циклический пандиагональный, как и предыдущий идеальный ДЛК.
Для него тот же вопрос: имеет ли он идеальный ортогональный диагональный соквадрат?
Надо обсчитывать.
Код этого ДЛК по системе Tomas Brada

ETsurYrh4HnfrhyvofvcPgHs7u7QrtgUi4iATH

Цитата

Тэк-с, теперь надо найти идеальный ДЛК 12-го порядка, ежели он существует.
Пока не знаю, как его искать, программа Harry White LatinSquares не помогает.

Господа!
Предлагаю вам заняться этим вопросом.
Если есть идеи, пожалуйста, поделитесь.

Идеальных магических квадратов 12-го порядка в моих статьях построено много, но они не дают в разложении на ортогональную пару ЛК идеальных ДЛК.
Пример уже показывала выше, повторю



Разложите этот магический квадрат на ортогональную пару ЛК, вы получите обобщённые ЛК.

Бьюсь над этой задачей. Пока безуспешно.
Найдено много слабо пандиагональных ДЛК, но они не хотят быть ассоциативными. 144 варианта, получаемые параллельным переносом на торе, не дают ассоциативных ДЛК.
Ортогональная пара слабо пандиагональных ДЛК 12-го порядка найдена мной давно, вот она

0 2 3 4 9 8 1 5 10 11 6 7
3 1 7 6 8 9 2 0 11 4 10 5
1 9 2 5 7 10 4 6 3 0 11 8
5 4 10 3 11 0 7 1 6 2 8 9
6 7 11 10 4 1 3 8 2 9 5 0
11 0 6 8 2 5 9 3 7 10 1 4
10 6 1 0 5 4 11 9 8 7 2 3
9 11 0 7 1 6 8 10 4 5 3 2
7 5 8 11 0 3 10 2 9 6 4 1
4 10 5 9 3 2 6 7 1 8 0 11
8 3 9 2 6 11 5 4 0 1 7 10
2 8 4 1 10 7 0 11 5 3 9 6

 0  3  1  5  6 11 10  9  7  4  8  2
 2  1  9  4  7  0  6 11  5 10  3  8
 3  7  2 10 11  6  1  0  8  5  9  4
 4  6  5  3 10  8  0  7 11  9  2  1
 9  8  7 11  4  2  5  1  0  3  6 10
 8  9 10  0  1  5  4  6  3  2 11  7
 1  2  4  7  3  9 11  8 10  6  5  0
 5  0  6  1  8  3  9 10  2  7  4 11
10 11  3  6  2  7  8  4  9  1  0  5
11  4  0  2  9 10  7  5  6  8  1  3
 6 10 11  8  5  1  2  3  4  0  7  9
 7  5  8  9  0  4  3  2  1 11 10  6

Смотрите сообщение
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=110&postid=1036
Ну, из ортогональной пары слабо пандиагональных ДЛК можно построить пандиагональный магический квадрат методом латинских квадратов.
Это будет оригинальный пандиагональный магический квадрат, таких у меня раньше не было.
Сейчас построю и покажу.

Но мне нужен идеальный ДЛК 12-го порядка, а также ортогональная пара идеальных ДЛК.
Ищем-с :)

Встречайте - принципиально новый пандиагональный магический квадрат 12-го порядка



Магический квадрат построен методом латинских квадратов с использованием ортогональной пары слабо пандиагональных ДЛК, показанной в предыдущем посте.
Обратите внимание на выделенную начальную цепочку.
Найдите принципиальное отличие этой начальной цепочки от начальной цепочки в идеальном магическом квадрате, показанном в предыдущем посте.

Теперь надо искать идеальные ДЛК 12-го порядка. Думаю, что они существуют.
А потом желательно найти ортогональную пару идеальных ДЛК и построить принципиально новый идеальный магический квадрат 12-го порядка.

PS. Начальная цепочка в магическом квадрате порядка n - это первые n элементов.

Пока об идеальном ДЛК 13-го порядка, не циклическом пандиагональном...

Цитата

Найденный идеальный ДЛК не "пустышка", я уже нашла один ортогональный диагональный соквадрат к нему.
Но... этот ортогональный соквадрат не является ни пандиагональным, ни ассоциативным.
Очень интересно обсчитать этот ДЛК полностью, найдётся ли хотя бы один идеальный ортогональный соквадрат.

Код ДЛК по системе Tomas Brada

EUwk5iiQf7iUNBpDAWeGZBC71RCJazs7RxWdCS2

Командная строка для запуска программы Tomas Brada

ortogonb.exe EUwk5iiQf7iUNBpDAWeGZBC71RCJazs7RxWdCS2 >out.txt

Не знаю, как будет работать: ни разу не пробовала обсчитать полностью ДЛК 13-го порядка.
Д-трансверсалей у этого ДЛК не очень много.
У меня эта программа нормально работает для ДЛК 11-го порядка.
С ДЛК 12-го порядка уже проблемы с памятью возникают, но я пробовала ДЛК с большим количеством Д-трансверсалей.

Конечно, лучше обсчитывать этот идеальный ДЛК программой Tomas Brada, которая берёт квадрат по частям.
Командная строка для запуска программы

ortogonbw.exe EUwk5iiQf7iUNBpDAWeGZBC71RCJazs7RxWdCS2 1 >out.txt

По этой команде программа будет проверять первую часть.
Поскольку я уже немного искала ОДЛК к этому ДЛК (программой Белышева ortogon_u), сейчас попробую запустить вторую часть.

Запустила поиск ОДЛК во второй части

C:\Users\Дом\Downloads\libr>ortogonbw.exe EUwk5iiQf7iUNBpDAWeGZBC71RCJazs7RxWdCS2 2  1>out.txt
init_trans(13) used 575 nodes
num_dtrans: 11061
init_disjoint(13) used 170 heads and 143963 nodes
L(0) c(32) 2 / 801
L(1) c(83) X / 310

Ну, квадратик не сильно крутой, всего 11061 Д-трансверсалей, 801 часть.
Однако на моём ПК обсчитать его нереально. Можно только несколько ОДЛК поискать, вдруг попадётся идеальный или хотя бы пандиагональный ОДЛК.
Сейчас посмотрю, как будут появляться ОДЛК.

А квадратик очень красивый, ещё раз покажу



Не циклический пандиагональный и ассоциативный, то есть идеальный.
Раскраской показана пандиагональность квадрата, диагонали одного направления раскрашены. Точно так же можно раскрасить диагонали второго направления.

У меня ещё и второй подобный ДЛК есть, уникальный. Выше он показан.

Хм... а ОДЛК к этому красивому идеальному ДЛК не спешат появляться, выходной файл пока пустой.
Программу Белышева крутила довольно долго, пока первый ОДЛК появился.
Вот как шла проверка в программе Белышева

Проверка ДЛК13 на марьяжность (ОДЛК)

Введено ДЛК:     1
Найдено ОДЛК:    0

Д-трансверсалей: 11061
Соквадратов:     1
Время в сек:     4650

794 102 56 31 3 1

Как первый ОДЛК появился, сразу прервала программу.

Не знаю, с какой стороны части в программе Tomas Brada считаются, как это соотносится с программой Белышева.
Программа Белышева от 801 частей дошла до 794 частей.
Можно попробовать и программой Белышева обсчитать этот квадратик.
Но нужно иметь возможность непрерывной работы несколько суток.