Начала писать новую программу для построения идеального ДЛК 12-го порядка.
Алгоритм тот же - полный перебор, но ввела два изменения.
Первое: изменила паттерн.
Теперь паттерн содержит главную и побочную диагонали, первую и последнюю строки.
Это намного уменьшает перебор.

Второе: изменила способ заполнения квадрата с построчного на подиагональный.
Пока написала часть программы, вот что у меня построилось



Данная часть заполняется мгновенно, все условия выполняются: ассоциативность, слабая пандиагональность, различность элементов в строках и столбцах.
Имеем в данной части 10 полных правильных диагоналей, две полные правильные строки и два полных правильных столбца.
Как это будет продолжаться?
Программа не сказать, чтобы сложная, но длинная и требует колоссального внимания.
Надо дописывать, больше половины написано. Теперь уж, что получится.

В этой версии есть надежда, что программа сделает полный перебор. Будет ясно, что решения нет.
Но тут есть несколько вариантов паттернов, для каждого надо будет выполнить программу.

Сделала ещё один шажок в программе, пока всё получилось, часть квадрата заполнилась мгновенно.
Уже довольно большая часть квадрата заполнена.
Но дальше всё труднее, потому что начинают проверяться много жёстких условий, надо все их удовлетворить.
Завтра продолжу, сейчас уже мозги, как ёжик в тумане :)

С утра ещё один шажок написала в программе.
И вот иллюстрация



Удивительно, но пока это строится мгновенно.
А заполнено уже много, осталось заполнить 28 ячеек из 144.
Имеем в данной части ДЛК 4 полные правильные строки, 4 полных правильных столбца и 10 полных правильных диагоналей.

Неужели он не получится???

Вчера написала ещё немножко. Заполнено уже 126 ячеек из 144.
Пока квадрат строится довольно быстро, хотя уже не мгновенно.
Оставшиеся 18 ячеек самые трудные, скоро процесс построения начнёт замедляться.
Будет ли полный перебор за реальное время?
Будет ли решение?

Программу пишу очень медленно, проверяю каждую строчку тщательно, ошибаться никак нельзя.

А всё-таки очень интересно: известен ли сообществу математиков идеальный ДЛК 12-го порядка?
Может быть, я мучительно изобретаю велосипед :) И такое возможно.
Надо спросить у Harry White, может быть, он что-то знает.

Текущий ДЛК (в не заполненных ячейках стоит х)

0 2 1 4 3 6 7 5 9 8 11 10
2 1 4 11 10 x x 6 5 0 8 3
5 4 2 9 7 11 10 3 1 6 0 8
9 10 0 3 1 8 11 2 4 5 6 7
x 6 8 5 4 3 9 0 11 2 x x
x x 7 8 0 5 2 9 10 1 x x
x x 10 1 2 9 6 11 3 4 x x
x x 9 0 11 2 8 7 6 3 5 x
4 5 6 7 9 0 3 10 8 11 1 2
3 11 5 10 8 1 0 4 2 9 7 6
8 3 11 6 5 x x 1 0 7 10 9
1 0 3 2 6 4 5 8 7 10 9 11

Напомню: в первой версии программы был построен такой частично заполненный ДЛК



Здесь всего 8 ячеек осталось заполнить (окрашены в голубой цвет). И... на этом всё застопорилось, ни одну ячейку из этих 8 заполнить не удалось.
Программа уходит в бесконечную задумчивость; полный перебор в этой версии огромный и выполнить его за реальное время вряд ли получится.

Как уже отмечалось, в новой версии программы взяла другой паттерн с целью уменьшить перебор.

Написала ещё один шажок: перебор очередного элемента.
Шажок оказался критическим, программа работает уже 2 часа и квадрата пока не выдала.
Этот шажок должен заполнить 4 ячейки и дать ещё две полные правильные строки и два полных правильных столбца.
Похоже, и эта версия программы ничего не даст.
Пусть поищет немного, потом прерву; полный перебор и тут вряд ли выполнится, слишком много.

Да, не хочет задача решаться :(
А существует ли искомый идеальный ДЛК?
Начинаю склоняться к мысли, что не существует. Но это пока не доказанный факт.

PS. Перед критическим шагом был ещё один шаг, который прекрасно выполнился; тут заполнились только две ячейки дополнительно к показанному выше частичному квадрату; вот что получено

0 2 1 4 3 6 7 5 9 8 11 10
2 1 10 11 9 x x 3 5 0 8 6
11 4 2 9 7 10 0 1 3 6 5 8
10 9 0 3 2 8 11 6 4 7 1 5
x 5 8 10 4 1 9 0 6 2 3 x
x x 6 1 0 5 2 10 11 4 x x
x x 7 0 1 9 6 11 10 5 x x
x 8 9 5 11 2 10 7 1 3 6 x
6 10 4 7 5 0 3 9 8 11 2 1
3 6 5 8 10 11 1 4 2 9 7 0
5 3 11 6 8 x x 2 0 1 10 9
1 0 3 2 6 4 5 8 7 10 9 11

Этот шаг дал ещё две полные правильные диагонали.
Строился этот квадрат 4 минуты.

Программа квадрат (неполный) выдала!!
Сейчас проверю и покажу иллюстрацию.

Вот он



Перебор ушёл довольно далеко, но до полного ещё о-ч-е-н-ь далеко.
В этом неполном ДЛК имеется 8 полных правильных строк, 8 полных правильных столбцов, 14 полных правильных диагоналей, то есть удовлетворяющих свойству слабой пандиагональности.
И 12 не заполненных ячеек.
Все полные строки, столбцы и диагонали проверила, ошибок не нашла.

Надежда опять ожила :)

Тэк-с, а что же дальше делать с этим недостроем? :)
Наверное, надо попробовать сначала заполнить оставшиеся 12 ячеек только с условием ассоциативности.
Если проверять все диагонали (условие слабой пандиагональности), опять увязнуть можно о-ч-е-н-ь надолго.

Рассуждение: если оставшиеся ячейки не заполнятся только с условием ассоциативности, тем более они не заполнятся при условиях ассоциативности и слабой пандиагональности.
Далее: если решения с заполненными по ассоциативности ячейками будут найдены, и при этом существует идеальный ДЛК, он обязательно будет среди найденных решений.
Наконец, не забудем, что надо будет выполнить программу для всех возможных паттернов.

Господа!
Приглашаю подумать над задачкой. Идеи подбросить :)
А может, кто-то и решение готовое нашёл на просторах Интернета.
Сообщите, пожалуйста.
У меня не получается найти готовое решение в Интернете.
Если идеальный ДЛК 12-го порядка известен, он как-то не "светится" в Интернете.
Или я просто искать не умею.

Вчера вечером написала и выполнила ещё один шажок - заполнение двух очередных ячеек.
Вот что построилось

0 2 1 4 3 6 7 5 9 8 11 10
4 1 7 11 9 2 10 3 5 0 8 6
11 7 2 10 5 8 0 4 3 6 1 9
9 6 0 3 2 10 11 1 4 5 7 8
x 5 10 9 4 7 8 0 6 2 3 x
x 9 4 1 0 5 2 10 11 3 x x
x x 8 0 1 9 6 11 10 7 2 x
x 8 9 5 11 3 4 7 2 1 6 x
3 4 6 7 10 0 1 9 8 11 5 2
2 10 5 8 7 11 3 6 1 9 4 0
5 3 11 6 8 1 9 2 0 4 10 7
1 0 3 2 6 4 5 8 7 10 9 11

Сейчас написала заполнение следующих двух ячеек и запустила программу.
Программа думает уже примерно час.
Пока она думает, покажу полный шаблон искомого ДЛК



Ячейки, в которых стоят числа, - это исходный паттерн.
y(i)=11-x(i) для всех i (свойство ассоциативности).
Переменных x(i) 50 штук (i = 12 - 61), из них 41 свободные и 9 зависимые.

Программа всё думает

I12= 4

Y(57)= 1
Y(55)= 9
I12= 5

Y(57)= 2
Y(55)= 9
Y(55)= 6

Здесь выводится состояние самого внешнего цикла по переменной I12, эта переменная изменяется от 2 до 11.
Как видим, пока всё ещё в самом начале (I12 = 5), до окончания перебора далеко.
Каждый новый шаг я уже начинаю выполнять с того значения I12, на котором программа остановилась на предыдущем шаге.
Технология полного перебора мне хорошо знакома.

Ну, и текущие переменные выводятся, чтобы видеть, что они считаются, хотя и не проходят при проверке условий.

Ура! Этот шажок тоже выполнен, построено

0 2 1 4 3 6 7 5 9 8 11 10
6 1 11 9 7 10 4 2 3 5 8 0
7 4 2 11 10 8 0 9 1 6 5 3
2 5 10 3 8 0 9 6 4 11 1 7
Ñ… 11 9 5 4 1 8 0 10 7 2 Ñ…
Ñ… 8 7 6 0 5 2 10 11 3 4 Ñ…
Ñ… 7 8 0 1 9 6 11 5 4 3 Ñ…
Ñ… 9 4 1 11 3 10 7 6 2 0 Ñ…
4 10 0 7 5 2 11 3 8 1 6 9
8 6 5 10 2 11 3 1 0 9 7 4
11 3 6 8 9 7 1 4 2 0 10 5
1 0 3 2 6 4 5 8 7 10 9 11

В этом полуфабрикате имеется: 8 полных правильных строк, 10 полных правильных столбцов, 14 полных правильных диагоналей.
И осталось заполнить всего 8 ячеек из 144!
Напомню: буду заполнять оставшиеся ячейки только проверяя свойство ассоциативности; свойство слабой пандиагональности пока не буду проверять. Смотрите рассуждения об этом выше.
Если будут найдены такие решения (подобные показанному полуфабрикату и полностью ассоциативные), уже хорошо. Есть надежда, что может быть и идеальный ДЛК.

Заполнены ещё 4 ячейки!
Построено

0 2 1 4 3 6 7 5 9 8 11 10
6 1 11 9 7 10 4 2 3 5 8 0
7 4 2 11 10 8 0 9 1 6 5 3
2 5 10 3 8 0 9 6 4 11 1 7
3 11 9 5 4 1 8 0 10 7 2 6
x 8 7 6 0 5 2 10 11 3 4 x
x 7 8 0 1 9 6 11 5 4 3 x
5 9 4 1 11 3 10 7 6 2 0 8
4 10 0 7 5 2 11 3 8 1 6 9
8 6 5 10 2 11 3 1 0 9 7 4
11 3 6 8 9 7 1 4 2 0 10 5
1 0 3 2 6 4 5 8 7 10 9 11

В этом полуфабрикате 10 полных правильных строк, 10 полных правильных столбцов, 14 полных правильных диагоналей.
И остались не заполненными всего 4 ячейки.

Сейчас напишу заполнение оставшихся 4-х ячеек и запущу программу.

Программа выполнила полный перебор и не нашла ни одного решения.
Остаётся проверка всех возможных паттернов.

Ещё бы знать точно, что в программе нет скрытых ошибок, которые не видно сразу.
Но проверять всю программу снова нет никаких сил.
В общем, пока нет результата.

Похоже, я напрасно ищу идеальный ДЛК 12-го порядка.
Сейчас открыла эту статью

Special Matrices
Volume 6: Issue 1
Existence of strongly symmetrical weakly pandiagonal graeco-latin squares
Yong Zhang 1 , Kejun Chen 2 , and Wen Li 3
1 School of Mathematics and Statistics, Yancheng Teachers University,, Jiangsu, P. R., China
2 School of Mathematics and Information Science, Nanjing Normal University of Special Education, Nanjing,, Jiangsu, P. R., China
3 School of Science, Xichang University,, Sichuan, P. R., China
DOI:
https://doi.org/10.1515/spma-2018-0013

Вот что там написано

As a result, it is proved that there exists a pair of strongly symmetrical weakly pandiagonal orthogonal latin sauare of order n if and only if n > 4 and n ≡ 0, 1, 3 (mod 4) with only one possible exception for n = 12.

Хотя сказано как-то расплывчато: "с одним возможным исключением для n = 12".
Похоже, авторы статьи тоже не смогли найти решение для n = 12.

Замечание: "strongly symmetrical" означает "ассоциативный" в нашей терминологии.

Интересно: в статье приведён пример ортогональной пары ассоциативных слабо падиагональных ЛК 9-го порядка

6 3 7 4 1 5 2 8 0
7 4 1 5 2 8 0 6 3
1 5 2 8 0 6 3 7 4
2 8 0 6 3 7 4 1 5
0 6 3 7 4 1 5 2 8
3 7 4 1 5 2 8 0 6
4 1 5 2 8 0 6 3 7
5 2 8 0 6 3 7 4 1
8 0 6 3 7 4 1 5 2

0 8 2 5 1 4 7 3 6
3 6 0 8 2 5 1 4 7
4 7 3 6 0 8 2 5 1
5 1 4 7 3 6 0 8 2
8 2 5 1 4 7 3 6 0
6 0 8 2 5 1 4 7 3
7 3 6 0 8 2 5 1 4
1 4 7 3 6 0 8 2 5
2 5 1 4 7 3 6 0 8

Ну, у меня пример лучше: я нашла ортогональную пару ассоциативных слабо пандиагональных (то есть идеальных) ДЛК 9-го порядка.
Смотрите сообщение
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=126&postid=1520

3 5 4 6 8 7 0 2 1
0 2 1 3 5 4 6 8 7
6 8 7 0 2 1 3 5 4
5 4 3 8 7 6 2 1 0
2 1 0 5 4 3 8 7 6
8 7 6 2 1 0 5 4 3
4 3 5 7 6 8 1 0 2
1 0 2 4 3 5 7 6 8
7 6 8 1 0 2 4 3 5

3 0 6 5 2 8 4 1 7
5 2 8 4 1 7 3 0 6
4 1 7 3 0 6 5 2 8
6 3 0 8 5 2 7 4 1
8 5 2 7 4 1 6 3 0
7 4 1 6 3 0 8 5 2
0 6 3 2 8 5 1 7 4
2 8 5 1 7 4 0 6 3
1 7 4 0 6 3 2 8 5

Проверка свойств этих ДЛК утилитой Harry White

Order? 9

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_15.txt

Counts
------
         2 diagonal Latin
         2 associative
         2 weakly pandiagonal
         2 ultramagic
         1 orthogonal pair
         2 self-orthogonal

Эта ортогональная пара построена программой Harry White для SODLS.

А вот какой пример приведён в статье для ортогональной пары ассоциативных слабо пандиагональных ЛК 24-го порядка, показываю только первый ЛК ортогональной пары

0 6 2 11 5 9 15 13 16 20 22 19 21 23 17 14 12 18 8 10 7 3 1 4
6 2 0 5 9 11 13 16 15 22 19 20 23 17 21 12 18 14 10 7 8 1 4 3
2 0 6 9 11 5 16 15 13 19 20 22 17 21 23 18 14 12 7 8 10 4 3 1
3 1 4 8 10 7 14 12 18 21 23 17 20 22 19 15 13 16 11 5 9 0 6 2
1 4 3 10 7 8 12 18 14 23 17 21 22 19 20 13 16 15 5 9 11 6 2 0
4 3 1 7 8 10 18 14 12 17 21 23 19 20 22 16 15 13 9 11 5 2 0 6
20 22 19 15 13 16 11 5 9 0 6 2 3 1 4 8 10 7 14 12 18 21 23 17
22 19 20 13 16 15 5 9 11 6 2 0 1 4 3 10 7 8 12 18 14 23 17 21
19 20 22 16 15 13 9 11 5 2 0 6 4 3 1 7 8 10 18 14 12 17 21 23
21 23 17 14 12 18 8 10 7 3 1 4 0 6 2 11 5 9 15 13 16 20 22 19
23 17 21 12 18 14 10 7 8 1 4 3 6 2 0 5 9 11 13 16 15 22 19 20
17 21 23 18 14 12 7 8 10 4 3 1 2 0 6 9 11 5 16 15 13 19 20 22
1 3 4 10 8 7 18 12 14 17 23 21 22 20 19 13 15 16 11 9 5 0 2 6
3 4 1 8 7 10 12 14 18 23 21 17 20 19 22 15 16 13 9 5 11 2 6 0
4 1 3 7 10 8 14 18 12 21 17 23 19 22 20 16 13 15 5 11 9 6 0 2
0 2 6 11 9 5 13 15 16 22 20 19 17 23 21 18 12 14 10 8 7 1 3 4
2 6 0 9 5 11 15 16 13 20 19 22 23 21 17 12 14 18 8 7 10 3 4 1
6 0 2 5 11 9 16 13 15 19 22 20 21 17 23 14 18 12 7 10 8 4 1 3
17 23 21 18 12 14 10 8 7 1 3 4 0 2 6 11 9 5 13 15 16 22 20 19
23 21 17 12 14 18 8 7 10 3 4 1 2 6 0 9 5 11 15 16 13 20 19 22
21 17 23 14 18 12 7 10 8 4 1 3 6 0 2 5 11 9 16 13 15 19 22 20
22 20 19 13 15 16 11 9 5 0 2 6 1 3 4 10 8 7 18 12 14 17 23 21
20 19 22 15 16 13 9 5 11 2 6 0 3 4 1 8 7 10 12 14 18 23 21 17
19 22 20 16 13 15 5 11 9 6 0 2 4 1 3 7 10 8 14 18 12 21 17 23

Этот квадрат они называют латинским квадратом? Странно!
Этот квадрат не является латинским - по определению.
Это обобщённый латинский квадрат.
Кстати, утилита Harry White этот квадрат латинским не называет (и правильно!)

Order? 24

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_21.txt

Counts
------
         1 other magic

Если рассматривать обобщённые ЛК, тогда и для порядка 12 существует ортогональная пара ассоциативных слабо пандиагональных ЛК.
Такую ортогональную пару можно получить, например, из этого идеального магического квадрата

Идеальный магический квадрат 24-го порядка мной тоже был построен.
Смотрите статью
МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ ПОРЯДКА n=8k



Разложите этот магический квадрат на ортогональную пару, и вы получите два ортогональных обобщённых ЛК - ассоциативных и слабо пандиагональных.

Вернёмся к идеальным ДЛК.
Идеальный ДЛК 12-го порядка мне построить не удалось.
Даже не знаю, существует ли он.
Дальше идёт проблемный порядок 15.
Пока не имею алгоритма построения идеального ДЛК 15-го порядка. О существовании такого ДЛК тоже пока ничего не знаю.

В своей статье МЕТОД КАЧЕЛЕЙ ПЛЮС ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ
Часть I
нашла такой ЛК 15-го порядка (в статье он изображён на рис. 2)

6 4 3 7 11 10 8 1 9 12 14 0 2 5 13
9 12 14 0 2 5 13 6 4 3 7 11 10 8 1
4 3 7 11 10 8 1 9 12 14 0 2 5 13 6
12 14 0 2 5 13 6 4 3 7 11 10 8 1 9
3 7 11 10 8 1 9 12 14 0 2 5 13 6 4
14 0 2 5 13 6 4 3 7 11 10 8 1 9 12
7 11 10 8 1 9 12 14 0 2 5 13 6 4 3
0 2 5 13 6 4 3 7 11 10 8 1 9 12 14
11 10 8 1 9 12 14 0 2 5 13 6 4 3 7
2 5 13 6 4 3 7 11 10 8 1 9 12 14 0
10 8 1 9 12 14 0 2 5 13 6 4 3 7 11
5 13 6 4 3 7 11 10 8 1 9 12 14 0 2
8 1 9 12 14 0 2 5 13 6 4 3 7 11 10
13 6 4 3 7 11 10 8 1 9 12 14 0 2 5
1 9 12 14 0 2 5 13 6 4 3 7 11 10 8

Странно, что утилита Harry White не признаёт этот ЛК ассоциативным, а признаёт центрально-симметричным, хотя он является ассоциативным

Order? 15

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_28.txt

Counts
------
         1 Latin
         1 weakly pandiagonal
         1 center symmetric

ЛК ассоциативный и слабо пандиагональный, следовательно, идеальный.
Но он, увы, не является ДЛК.

Интересно: ЛК построен методом циклического сдвига.

Кстати, в статье написано, что показанный ЛК 15-го порядка имеет ортогональный ЛК, который получается отражением относительно горизонтальной оси симметрии.
Сейчас покажу эту ортогональную пару ЛК.

Вот

6 4 3 7 11 10 8 1 9 12 14 0 2 5 13
9 12 14 0 2 5 13 6 4 3 7 11 10 8 1
4 3 7 11 10 8 1 9 12 14 0 2 5 13 6
12 14 0 2 5 13 6 4 3 7 11 10 8 1 9
3 7 11 10 8 1 9 12 14 0 2 5 13 6 4
14 0 2 5 13 6 4 3 7 11 10 8 1 9 12
7 11 10 8 1 9 12 14 0 2 5 13 6 4 3
0 2 5 13 6 4 3 7 11 10 8 1 9 12 14
11 10 8 1 9 12 14 0 2 5 13 6 4 3 7
2 5 13 6 4 3 7 11 10 8 1 9 12 14 0
10 8 1 9 12 14 0 2 5 13 6 4 3 7 11
5 13 6 4 3 7 11 10 8 1 9 12 14 0 2
8 1 9 12 14 0 2 5 13 6 4 3 7 11 10
13 6 4 3 7 11 10 8 1 9 12 14 0 2 5
1 9 12 14 0 2 5 13 6 4 3 7 11 10 8

1 9 12 14 0 2 5 13 6 4 3 7 11 10 8
13 6 4 3 7 11 10 8 1 9 12 14 0 2 5
8 1 9 12 14 0 2 5 13 6 4 3 7 11 10
5 13 6 4 3 7 11 10 8 1 9 12 14 0 2
10 8 1 9 12 14 0 2 5 13 6 4 3 7 11
2 5 13 6 4 3 7 11 10 8 1 9 12 14 0
11 10 8 1 9 12 14 0 2 5 13 6 4 3 7
0 2 5 13 6 4 3 7 11 10 8 1 9 12 14
7 11 10 8 1 9 12 14 0 2 5 13 6 4 3
14 0 2 5 13 6 4 3 7 11 10 8 1 9 12
3 7 11 10 8 1 9 12 14 0 2 5 13 6 4
12 14 0 2 5 13 6 4 3 7 11 10 8 1 9
4 3 7 11 10 8 1 9 12 14 0 2 5 13 6
9 12 14 0 2 5 13 6 4 3 7 11 10 8 1
6 4 3 7 11 10 8 1 9 12 14 0 2 5 13

Проверка ЛК этой ортогональной пары утилитой Harry White

Order? 15

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_5.txt

Counts
------
         2 Latin
         2 weakly pandiagonal
         2 center symmetric
         1 orthogonal pair

Оба ЛК утилита считает центрально-симметричными, хотя они ассоциативные.

Из этой ортогональной пары можно построить методом латинских квадратов идеальный магический квадрат, из которого эта ортогональная пара и была получена в статье.