Thread 'Complete systems MOLS of order 8'

Message boards : Science : Complete systems MOLS of order 8
Message board moderation

To post messages, you must log in.

AuthorMessage
ProfileNatalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 22 Oct 17
Posts: 3091
Credit: 0
RAC: 0
Message 1553 - Posted: 26 Feb 2021, 7:18:44 UTC
Last modified: 26 Feb 2021, 7:24:31 UTC

Самая первая полная система MOLS 8-го порядка была прислана мне очень давно М. Алексеевым, эта система построена в матпакете Maple.
Вот она



В этой полной системе MOLS содержатся 6 ДЛК.
Свойства этих ДЛК, выданные утилитой Harry White

Order? 8

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_12.txt

Counts
------
         6 diagonal Latin
         2 weakly pandiagonal
         6 double axial symmetric
         6 center symmetric
         6 nfr
         5 orthogonal pair
         6 self-orthogonal

Здесь ДЛК представлены в нормализованном виде.
ID: 1553 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
ProfileNatalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 22 Oct 17
Posts: 3091
Credit: 0
RAC: 0
Message 1554 - Posted: 26 Feb 2021, 7:31:04 UTC
Last modified: 26 Feb 2021, 8:04:39 UTC

Сейчас получила полную систему MOLS программой SageMath, в режиме
https://sagecell.sagemath.org/

Команда для построения данной системы
sage: designs.mutually_orthogonal_latin_squares(7,8)

Система получена такая

[0 2 3 4 5 6 7 1]  [0 3 4 5 6 7 1 2]  [0 4 5 6 7 1 2 3]
[4 1 6 0 7 3 5 2]  [7 1 5 4 2 0 3 6]  [2 1 3 7 6 4 0 5]
[5 3 2 7 0 1 4 6]  [1 7 2 6 5 3 0 4]  [3 6 2 4 1 7 5 0]
[6 7 4 3 1 0 2 5]  [2 5 1 3 7 6 4 0]  [4 0 7 3 5 2 1 6]
[7 6 1 5 4 2 0 3]  [3 0 6 2 4 1 7 5]  [5 7 0 1 4 6 3 2]
[1 4 7 2 6 5 3 0]  [4 6 0 7 3 5 2 1]  [6 3 1 0 2 5 7 4]
[2 0 5 1 3 7 6 4]  [5 2 7 0 1 4 6 3]  [7 5 4 2 0 3 6 1]
[3 5 0 6 2 4 1 7], [6 4 3 1 0 2 5 7], [1 2 6 5 3 0 4 7],

[0 5 6 7 1 2 3 4]  [0 6 7 1 2 3 4 5]  [0 7 1 2 3 4 5 6]
[6 1 0 2 5 7 4 3]  [5 1 4 6 3 2 7 0]  [3 1 7 5 0 6 2 4]
[7 4 2 0 3 6 1 5]  [6 0 2 5 7 4 3 1]  [4 5 2 1 6 0 7 3]
[1 6 5 3 0 4 7 2]  [7 2 0 3 6 1 5 4]  [5 4 6 3 2 7 0 1]
[2 3 7 6 4 0 5 1]  [1 5 3 0 4 7 2 6]  [6 2 5 7 4 3 1 0]
[3 2 4 1 7 5 0 6]  [2 7 6 4 0 5 1 3]  [7 0 3 6 1 5 4 2]
[4 7 3 5 2 1 6 0]  [3 4 1 7 5 0 6 2]  [1 3 0 4 7 2 6 5]
[5 0 1 4 6 3 2 7], [4 3 5 2 1 6 0 7], [2 6 4 0 5 1 3 7],

[0 7 1 2 3 4 5 6]
[7 0 3 6 1 5 4 2]
[1 3 0 4 7 2 6 5]
[2 6 4 0 5 1 3 7]
[3 1 7 5 0 6 2 4]
[4 5 2 1 6 0 7 3]
[5 4 6 3 2 7 0 1]
[6 2 5 7 4 3 1 0]

Интересно: в этой системе нет ни одного ДЛК!
Смотрим свойства ЛК этой полной системы утилитой Harry White

Order? 8

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_14.txt

Counts
------
         7 Latin
         6 natural \diagonal
         1 self-transpose
         6 orthogonal pair
         6 self-orthogonal

Вот такая альтернативная полная система MOLS 8-го порядка.

При исследовании полных систем MOLS 9-го порядка я нашла статью, в которой приведено, кажется, 19 различных полных систем MOLS данного порядка.
Проанализировала эту статью, рассмотрела каждую систему MOLS.
Там тоже приведены полные системы MOLS, состоящие только из ЛК, то есть не содержащие ни одного ДЛК.
Смотрите тему "Группы MODLS порядка 9"
ID: 1554 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
ProfileNatalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 22 Oct 17
Posts: 3091
Credit: 0
RAC: 0
Message 1555 - Posted: 26 Feb 2021, 8:12:34 UTC

Покажу ЛК полной системы MOLS, составленной программой SageMath, в удобном для исследования числовом формате

0 2 3 4 5 6 7 1
4 1 6 0 7 3 5 2
5 3 2 7 0 1 4 6
6 7 4 3 1 0 2 5
7 6 1 5 4 2 0 3
1 4 7 2 6 5 3 0
2 0 5 1 3 7 6 4
3 5 0 6 2 4 1 7

0 3 4 5 6 7 1 2
7 1 5 4 2 0 3 6
1 7 2 6 5 3 0 4
2 5 1 3 7 6 4 0
3 0 6 2 4 1 7 5
4 6 0 7 3 5 2 1
5 2 7 0 1 4 6 3
6 4 3 1 0 2 5 7

0 4 5 6 7 1 2 3
2 1 3 7 6 4 0 5
3 6 2 4 1 7 5 0
4 0 7 3 5 2 1 6
5 7 0 1 4 6 3 2
6 3 1 0 2 5 7 4
7 5 4 2 0 3 6 1
1 2 6 5 3 0 4 7

0 5 6 7 1 2 3 4
6 1 0 2 5 7 4 3
7 4 2 0 3 6 1 5
1 6 5 3 0 4 7 2
2 3 7 6 4 0 5 1
3 2 4 1 7 5 0 6
4 7 3 5 2 1 6 0
5 0 1 4 6 3 2 7

0 6 7 1 2 3 4 5
5 1 4 6 3 2 7 0
6 0 2 5 7 4 3 1
7 2 0 3 6 1 5 4
1 5 3 0 4 7 2 6
2 7 6 4 0 5 1 3
3 4 1 7 5 0 6 2
4 3 5 2 1 6 0 7

0 7 1 2 3 4 5 6
3 1 7 5 0 6 2 4
4 5 2 1 6 0 7 3
5 4 6 3 2 7 0 1
6 2 5 7 4 3 1 0
7 0 3 6 1 5 4 2
1 3 0 4 7 2 6 5
2 6 4 0 5 1 3 7

0 7 1 2 3 4 5 6
7 0 3 6 1 5 4 2
1 3 0 4 7 2 6 5
2 6 4 0 5 1 3 7
3 1 7 5 0 6 2 4
4 5 2 1 6 0 7 3
5 4 6 3 2 7 0 1
6 2 5 7 4 3 1 0

Как проверить изоморфность этих ЛК?
Ну, посчитаю сейчас трансверсали в этих ЛК.

Интересно: все ЛК имеют одинаковое количество трансверсалей

         1        384
         2        384
         3        384
         4        384
         5        384
         6        384
         7        384

Ну, это не значит, что все они изоморфные.
Как ещё можно проверить на изоморфность эти ЛК?
ID: 1555 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
ProfileNatalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 22 Oct 17
Posts: 3091
Credit: 0
RAC: 0
Message 1556 - Posted: 26 Feb 2021, 8:26:17 UTC

А теперь смотрим мою давнюю статью
ОРИГИНАЛЬНЫЕ ГРУППЫ MOLS ВОСЬМОГО ПОРЯДКА
http://www.natalimak1.narod.ru/mols8.htm

В этой статье я составила новые полные системы MOLS 8-го порядка, используя квази-разностную матрицу.
Вот одна из составленных систем


0 1 2 3 4 5 6 7
1 0 4 6 2 7 3 5
6 3 5 1 7 2 0 4
2 4 0 7 1 6 5 3
3 6 7 0 5 4 1 2
5 7 6 4 3 0 2 1
7 5 3 2 6 1 4 0
4 2 1 5 0 3 7 6

0 1 2 3 4 5 6 7
6 3 5 1 7 2 0 4
2 4 0 7 1 6 5 3
3 6 7 0 5 4 1 2
5 7 6 4 3 0 2 1
7 5 3 2 6 1 4 0
4 2 1 5 0 3 7 6
1 0 4 6 2 7 3 5

0 1 2 3 4 5 6 7
2 4 0 7 1 6 5 3
3 6 7 0 5 4 1 2
5 7 6 4 3 0 2 1
7 5 3 2 6 1 4 0
4 2 1 5 0 3 7 6
1 0 4 6 2 7 3 5
6 3 5 1 7 2 0 4

0 1 2 3 4 5 6 7
3 6 7 0 5 4 1 2
5 7 6 4 3 0 2 1
7 5 3 2 6 1 4 0
4 2 1 5 0 3 7 6
1 0 4 6 2 7 3 5
6 3 5 1 7 2 0 4
2 4 0 7 1 6 5 3

0 1 2 3 4 5 6 7
5 7 6 4 3 0 2 1
7 5 3 2 6 1 4 0
4 2 1 5 0 3 7 6
1 0 4 6 2 7 3 5
6 3 5 1 7 2 0 4
2 4 0 7 1 6 5 3
3 6 7 0 5 4 1 2

0 1 2 3 4 5 6 7
7 5 3 2 6 1 4 0
4 2 1 5 0 3 7 6
1 0 4 6 2 7 3 5
6 3 5 1 7 2 0 4
2 4 0 7 1 6 5 3
3 6 7 0 5 4 1 2
5 7 6 4 3 0 2 1

0 1 2 3 4 5 6 7
4 2 1 5 0 3 7 6
1 0 4 6 2 7 3 5
6 3 5 1 7 2 0 4
2 4 0 7 1 6 5 3
3 6 7 0 5 4 1 2
5 7 6 4 3 0 2 1
7 5 3 2 6 1 4 0

Смотрим свойства этих ЛК

Order? 8

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_15.txt

Counts
------
         7 Latin
         7 nfr
         6 orthogonal pair

Никаких свойств не обнаружено.
Проверила на взаимную ортогональность эти ЛК

Order? 8

Enter the name of the squares file: inp
..output file inpPairs_15.txt
..output file inpPairNos_9.txt
squares 7 orthogonal pairs 21

Всё в порядке, ЛК образуют 21 ортогональную пару.
Вот таблица ортогональных пар

2:  1
3:  1 2
4:  1 2 3
5:  1 2 3 4
6:  1 2 3 4 5
7:  1 2 3 4 5 6

В этой системе все ЛК получаются друг из друга перестановкой строк. Поэтому, естественно, все они изоморфные.
Сейчас посчитаю в этих ЛК количество трансверсалей.
ID: 1556 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
ProfileNatalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 22 Oct 17
Posts: 3091
Credit: 0
RAC: 0
Message 1557 - Posted: 26 Feb 2021, 8:32:57 UTC
Last modified: 26 Feb 2021, 8:44:53 UTC

Готово!
Все ЛК имеют одинаковое количество трансверсалей

         1        384
         2        384
         3        384
         4        384
         5        384
         6        384
         7        384

Очень интересный вопрос: изоморфна ли составленная мной в статье полная система MOLS полной системе MOLS, составленной программой SageMath?
И следующий интересный вопрос: изоморфны ли эти две полные системы MOLS (состоящие только из ЛК) полной системе MOLS, составленной в матпакете Maple?
ID: 1557 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
ProfileNatalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 22 Oct 17
Posts: 3091
Credit: 0
RAC: 0
Message 1558 - Posted: 26 Feb 2021, 8:38:36 UTC
Last modified: 26 Feb 2021, 9:05:31 UTC

Посчитала количество трансверсалей в ДЛК и ЛК полной системы MOLS, составленной в матпакете Maple, рассматривая все квадраты как ЛК.
Вот что получилось

         1        384
         2        384
         3        384
         4        384
         5        384
         6        384
         7        384

Очень интересно!
Похоже, полная система MOLS 8-го порядка одна с точностью до изоморфизма.

Когда я писала указанную статью (а было это 1-2 апреля 2009 г.), была уверена в том, что составленные мной полные системы MOLS не изоморфны полной системе MOLS, составленной в матпакете Maple.

Да, увидеть изоморфизм, переводящий одну систему в другую, непросто, он не очевиден.
Но, кажется, этот изоморфизм есть.

Приведу цитату из своей статьи
А теперь преобразую все латинские квадраты построенной группы. Сначала переставлю строки (одновременно во всех квадратах), первую строку помещу между седьмой и восьмой строками. Затем поверну все квадраты вокруг центра на 90 градусов против часовой стрелки. В результате таких преобразований получается группа MOLS, состоящая из нормализованных квадратов, получающихся друг из друга перестановкой строк. Точно так, как в стандартной группе MOLS.

Да, было правильно замечено, что в стандартной полной системе MOLS (то есть составленной в пакете Maple) все квадраты получаются друг из друга перестановкой строк (как и в составленной мной системе).
Следовательно, все квадраты этой системы, как ЛК, изоморфны.
ID: 1558 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
ProfileNatalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 22 Oct 17
Posts: 3091
Credit: 0
RAC: 0
Message 1559 - Posted: 26 Feb 2021, 9:11:36 UTC

А вот в полной системе MOLS, составленной программой SageMath

0 2 3 4 5 6 7 1
4 1 6 0 7 3 5 2
5 3 2 7 0 1 4 6
6 7 4 3 1 0 2 5
7 6 1 5 4 2 0 3
1 4 7 2 6 5 3 0
2 0 5 1 3 7 6 4
3 5 0 6 2 4 1 7

0 3 4 5 6 7 1 2
7 1 5 4 2 0 3 6
1 7 2 6 5 3 0 4
2 5 1 3 7 6 4 0
3 0 6 2 4 1 7 5
4 6 0 7 3 5 2 1
5 2 7 0 1 4 6 3
6 4 3 1 0 2 5 7

0 4 5 6 7 1 2 3
2 1 3 7 6 4 0 5
3 6 2 4 1 7 5 0
4 0 7 3 5 2 1 6
5 7 0 1 4 6 3 2
6 3 1 0 2 5 7 4
7 5 4 2 0 3 6 1
1 2 6 5 3 0 4 7

0 5 6 7 1 2 3 4
6 1 0 2 5 7 4 3
7 4 2 0 3 6 1 5
1 6 5 3 0 4 7 2
2 3 7 6 4 0 5 1
3 2 4 1 7 5 0 6
4 7 3 5 2 1 6 0
5 0 1 4 6 3 2 7

0 6 7 1 2 3 4 5
5 1 4 6 3 2 7 0
6 0 2 5 7 4 3 1
7 2 0 3 6 1 5 4
1 5 3 0 4 7 2 6
2 7 6 4 0 5 1 3
3 4 1 7 5 0 6 2
4 3 5 2 1 6 0 7

0 7 1 2 3 4 5 6
3 1 7 5 0 6 2 4
4 5 2 1 6 0 7 3
5 4 6 3 2 7 0 1
6 2 5 7 4 3 1 0
7 0 3 6 1 5 4 2
1 3 0 4 7 2 6 5
2 6 4 0 5 1 3 7

0 7 1 2 3 4 5 6
7 0 3 6 1 5 4 2
1 3 0 4 7 2 6 5
2 6 4 0 5 1 3 7
3 1 7 5 0 6 2 4
4 5 2 1 6 0 7 3
5 4 6 3 2 7 0 1
6 2 5 7 4 3 1 0

ЛК не получаются друг из друга перестановкой строк.
Поэтому изоморфность этих ЛК не очевидна.
ID: 1559 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
ProfileNatalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 22 Oct 17
Posts: 3091
Credit: 0
RAC: 0
Message 1560 - Posted: 26 Feb 2021, 9:16:18 UTC
Last modified: 26 Feb 2021, 9:59:26 UTC

Нормализовала ЛК этой системы

0 1 2 3 4 5 6 7
3 7 5 0 6 2 4 1
4 2 1 6 0 7 3 5
5 6 3 2 7 0 1 4
6 5 7 4 3 1 0 2
7 3 6 1 5 4 2 0
1 0 4 7 2 6 5 3
2 4 0 5 1 3 7 6

0 1 2 3 4 5 6 7
5 6 3 2 7 0 1 4
6 5 7 4 3 1 0 2
7 3 6 1 5 4 2 0
1 0 4 7 2 6 5 3
2 4 0 5 1 3 7 6
3 7 5 0 6 2 4 1
4 2 1 6 0 7 3 5

0 1 2 3 4 5 6 7
6 5 7 4 3 1 0 2
7 3 6 1 5 4 2 0
1 0 4 7 2 6 5 3
2 4 0 5 1 3 7 6
3 7 5 0 6 2 4 1
4 2 1 6 0 7 3 5
5 6 3 2 7 0 1 4

0 1 2 3 4 5 6 7
2 4 0 5 1 3 7 6
3 7 5 0 6 2 4 1
4 2 1 6 0 7 3 5
5 6 3 2 7 0 1 4
6 5 7 4 3 1 0 2
7 3 6 1 5 4 2 0
1 0 4 7 2 6 5 3

0 1 2 3 4 5 6 7
7 3 6 1 5 4 2 0
1 0 4 7 2 6 5 3
2 4 0 5 1 3 7 6
3 7 5 0 6 2 4 1
4 2 1 6 0 7 3 5
5 6 3 2 7 0 1 4
6 5 7 4 3 1 0 2

0 1 2 3 4 5 6 7
4 2 1 6 0 7 3 5
5 6 3 2 7 0 1 4
6 5 7 4 3 1 0 2
7 3 6 1 5 4 2 0
1 0 4 7 2 6 5 3
2 4 0 5 1 3 7 6
3 7 5 0 6 2 4 1

0 1 2 3 4 5 6 7
1 0 4 7 2 6 5 3
2 4 0 5 1 3 7 6
3 7 5 0 6 2 4 1
4 2 1 6 0 7 3 5
5 6 3 2 7 0 1 4
6 5 7 4 3 1 0 2
7 3 6 1 5 4 2 0

и... теперь ЛК получаются друг из друга перестановкой строк.
Стало очевидно, что все эти ЛК изоморфны.
ID: 1560 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote

Message boards : Science : Complete systems MOLS of order 8

©2026 ©2024 Progger & Stefano Tognon (ice00) & Reese