Заинтересовали свойства полученных 348 пандиагональных ДЛК, выданные утилитой Harry White

Order? 13

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_12.txt

Counts
------
       348 diagonal Latin
       348 pandiagonal
        36 center symmetric
       348 nfr
         1 orthogonal pair
        10 self-orthogonal

Есть 36 центрально-симметричных ДЛК. Не дадут ли они идеальные ДЛК? Надо проверить.
Есть 10 SODLS. А ещё есть одна ортогональная пара, интересно, из каких ДЛК она состоит.
Сейчас займусь проверкой этих интересных пандиагональных квадратиков.

Да!!
Беру один из 36 центрально-симметричных ДЛК

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 

и преобразовываю его в СН ДЛК

0 2 5 1 11 7 10 12 3 8 6 4 9
5 1 11 7 10 12 3 8 6 4 9 0 2
9 0 2 5 1 11 7 10 12 3 8 6 4
7 10 12 3 8 6 4 9 0 2 5 1 11
12 3 8 6 4 9 0 2 5 1 11 7 10
6 4 9 0 2 5 1 11 7 10 12 3 8
11 7 10 12 3 8 6 4 9 0 2 5 1
4 9 0 2 5 1 11 7 10 12 3 8 6
2 5 1 11 7 10 12 3 8 6 4 9 0
1 11 7 10 12 3 8 6 4 9 0 2 5
8 6 4 9 0 2 5 1 11 7 10 12 3
10 12 3 8 6 4 9 0 2 5 1 11 7
3 8 6 4 9 0 2 5 1 11 7 10 12

Вот и всё: идеальный ДЛК получен.
Проверка утилитой Harry White

Order? 13

Enter the name of the squares file: inp1
.. writing type information to file inp1TypeDetail_8.txt

Counts
------
         1 diagonal Latin
         1 associative
         1 pandiagonal
         1 ultramagic
         1 natural \diagonal

Такой отличный ДЛК получился: ассоциативный и полуциклический пандиагональный, то есть идеальный.
Теперь надо проверить все остальные центрально-симметричные ДЛК.

Выудила ортогональную пару

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 

Здорово: это ортогональная пара полуциклических пандиагональных ДЛК 13-го порядка.
Можно построить оригинальный пандиагональный магический квадрат с помощью этой ортогональной пары.
Такого у меня ещё не было :)

Хотя построение пандиагональных магических квадратов 13-го порядка не является проблемой, покажу всё-таки принципиально новый пандиагональный магический квадрат, построенный с помощью показанной выше ортогональной пары полуциклических пандиагональных ДЛК методом латинских квадратов



Обратите внимание на начальную цепочку магического квадрата, она выделена более тёмным цветом.

Итак, если полуциклические пандиагональные ДЛК 13-го порядка я правильно понимаю, можно попытаться их все найти.
А далее непонятно, как найти все не циклические пандиагональные ДЛК, коих много.
Цитирую статью OEIS

For order n=13 this is not true and exists 12386 inequivalent squares; of these 10 are cyclic (in all directions) and 1560 are semi-cyclic (cyclic in a single direction).

10 циклических пандиагональных уже найдены, 1560 полуциклических можно найти, если я правильно их поняла.
А вот остальных пандиагональных ДЛК, которые не циклические, имеется
12386 - 10 - 1560 = 10816
И как же их все найти???

Я уже отмечала выше, что в статье OEIS пандиагональные ЛК рассматриваются "with the first row in ascending order".
Однако пример не циклического пандиагонального ДЛК, приведённый в статье, не преобразован к такому виду.
Выше был показан преобразованный ДЛК. Повторю

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
7 3 12 10 2 0 4 9 6 11 5 8 1
12 11 1 0 8 9 10 3 4 2 6 7 5
4 5 8 11 10 12 0 2 1 7 3 9 6
8 9 7 5 6 11 1 12 3 10 2 4 0
3 4 6 2 1 7 8 11 5 12 0 10 9
10 2 3 7 9 6 5 4 0 8 1 12 11
1 0 10 12 3 4 9 8 7 5 11 6 2
11 12 5 4 0 2 3 10 9 6 7 1 8
5 8 0 1 12 10 11 6 2 4 9 3 7
6 7 9 8 11 1 2 0 10 3 12 5 4
9 10 11 6 5 8 7 1 12 0 4 2 3
2 6 4 9 7 3 12 5 11 1 8 0 10

Понятно, что и все остальные 10815 не циклических пандиагональных ДЛК надо искать в таком же виде, то есть нормализованные.

Итак, супер-задача: найти 10815 не циклических нормализованных пандиагональных ДЛК 13-го порядка.

Напомню, что я уже нашла 5 новых не циклических пандиагональных ДЛК 13-го порядка, используя приведённый в статье OEIS ДЛК, применяя к нему комбинации преобразований.
Теперь у меня есть 6 не циклических пандиагональных ДЛК 13-го порядка, включая пример из статьи OEIS, вот они

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
6 11 0 1 8 2 10 4 12 5 3 7 9
7 9 10 6 12 0 3 1 11 2 4 8 5
12 8 3 7 11 9 5 6 0 10 1 2 4
11 2 5 4 1 8 7 12 9 6 0 3 10
1 0 9 10 2 3 4 8 7 11 12 5 6
4 12 6 11 0 10 2 5 3 1 8 9 7
8 5 7 12 6 1 11 9 10 4 2 0 3
2 3 8 9 5 4 12 0 6 7 11 10 1
10 4 1 0 3 7 8 2 5 12 9 6 11
9 7 11 2 10 6 1 3 4 8 5 12 0
5 6 12 8 9 11 0 10 1 3 7 4 2
3 10 4 5 7 12 9 11 2 0 6 1 8

0 12 3 10 6 4 9 5 11 7 8 1 2
6 1 9 0 11 12 2 10 4 3 5 7 8
11 7 2 8 5 1 0 6 12 10 4 9 3
5 4 12 3 7 9 8 1 0 11 6 2 10
8 6 10 11 4 3 7 2 9 5 1 12 0
1 2 0 6 10 5 11 12 3 8 7 4 9
7 9 1 12 2 8 6 4 10 0 11 3 5
3 8 5 4 9 0 1 7 2 6 12 10 11
12 0 11 7 3 10 5 9 8 1 2 6 4
2 10 6 1 12 11 4 3 5 9 0 8 7
9 3 8 2 0 6 12 11 7 4 10 5 1
4 5 7 9 8 2 10 0 1 12 3 11 6
10 11 4 5 1 7 3 8 6 2 9 0 12

3 10 6 4 9 5 11 7 8 1 2 0 12
9 0 11 12 2 10 4 3 5 7 8 6 1
2 8 5 1 0 6 12 10 4 9 3 11 7
12 3 7 9 8 1 0 11 6 2 10 5 4
10 11 4 3 7 2 9 5 1 12 0 8 6
0 6 10 5 11 12 3 8 7 4 9 1 2
1 12 2 8 6 4 10 0 11 3 5 7 9
5 4 9 0 1 7 2 6 12 10 11 3 8
11 7 3 10 5 9 8 1 2 6 4 12 0
6 1 12 11 4 3 5 9 0 8 7 2 10
8 2 0 6 12 11 7 4 10 5 1 9 3
7 9 8 2 10 0 1 12 3 11 6 4 5
4 5 1 7 3 8 6 2 9 0 12 10 11

0 3 7 1 9 4 10 6 5 8 12 2 11
2 1 12 0 10 11 5 9 7 6 4 8 3
8 6 2 11 12 9 1 10 4 0 3 7 5
10 11 5 3 2 8 12 0 1 7 9 4 6
5 7 6 8 4 0 3 11 12 2 1 10 9
12 9 4 7 3 5 8 2 6 10 11 0 1
4 0 10 9 1 7 6 5 11 3 2 12 8
11 12 1 2 6 10 4 7 9 5 8 3 0
3 2 11 10 0 1 9 12 8 4 6 5 7
6 8 3 5 11 12 0 4 10 9 7 1 2
7 5 9 12 8 2 11 3 0 1 10 6 4
9 4 8 6 5 3 7 1 2 12 0 11 10
1 10 0 4 7 6 2 8 3 11 5 9 12

0 2 11 1 9 6 4 5 7 8 12 3 10
5 1 10 12 11 0 9 8 4 3 6 7 2
10 3 2 0 7 8 12 1 9 11 4 5 6
9 6 7 3 12 10 0 11 2 5 1 8 4
7 8 5 6 4 3 2 10 1 12 11 9 0
1 9 4 11 2 5 7 3 6 10 0 12 8
12 11 1 5 8 4 6 9 0 7 2 10 3
2 0 12 10 1 9 8 7 5 6 3 4 11
3 10 6 9 0 11 1 12 8 4 5 2 7
6 7 0 2 10 12 3 4 11 9 8 1 5
4 5 8 7 3 2 11 0 12 1 10 6 9
8 12 3 4 6 7 5 2 10 0 9 11 1
11 4 9 8 5 1 10 6 3 2 7 0 12

0 9 7 10 8 12 2 11 5 1 6 3 4
3 1 0 12 7 11 9 8 6 10 4 5 2
8 12 2 4 0 3 7 10 9 5 11 6 1
2 5 1 3 6 10 4 12 7 0 9 8 11
7 11 6 5 4 2 3 0 1 8 12 10 9
6 10 8 11 9 5 1 2 12 4 0 7 3
12 7 9 0 1 8 6 5 11 2 3 4 10
4 0 12 8 10 9 11 7 3 6 1 2 5
1 3 4 2 12 7 10 6 8 11 5 9 0
5 2 11 7 3 0 12 4 10 9 8 1 6
11 6 3 1 2 4 5 9 0 7 10 12 8
9 8 10 6 5 1 0 3 4 12 2 11 7
10 4 5 9 11 6 8 1 2 3 7 0 12

Сейчас нормализую все эти ДЛК.

Готово!

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
6 11 0 1 8 2 10 4 12 5 3 7 9
7 9 10 6 12 0 3 1 11 2 4 8 5
12 8 3 7 11 9 5 6 0 10 1 2 4
11 2 5 4 1 8 7 12 9 6 0 3 10
1 0 9 10 2 3 4 8 7 11 12 5 6
4 12 6 11 0 10 2 5 3 1 8 9 7
8 5 7 12 6 1 11 9 10 4 2 0 3
2 3 8 9 5 4 12 0 6 7 11 10 1
10 4 1 0 3 7 8 2 5 12 9 6 11
9 7 11 2 10 6 1 3 4 8 5 12 0
5 6 12 8 9 11 0 10 1 3 7 4 2
3 10 4 5 7 12 9 11 2 0 6 1 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 11 6 0 8 1 12 3 5 2 7 9 10
8 9 12 10 7 11 0 4 1 3 5 6 2
7 5 1 2 9 6 10 11 0 8 4 12 3
10 4 3 8 5 2 9 12 6 7 11 1 0
11 12 0 4 3 7 8 1 2 10 9 5 6
9 6 11 1 12 10 4 5 3 0 8 2 7
2 10 7 5 6 0 11 9 12 4 1 3 8
1 0 8 9 2 3 7 6 10 11 12 4 5
12 3 4 11 1 8 5 2 7 6 0 10 9
6 2 10 12 0 4 1 8 9 5 3 7 11
5 7 9 6 10 12 3 0 11 1 2 8 4
3 8 5 7 11 9 2 10 4 12 6 0 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 11 6 12 10 1 3 0 5 7 8 2 9
10 8 5 9 11 2 12 1 3 4 0 6 7
12 0 7 4 8 9 11 6 2 10 1 5 3
1 6 3 0 7 10 4 5 9 12 11 8 2
11 2 1 5 6 12 0 8 7 3 4 9 10
9 12 10 8 2 3 1 11 6 0 5 7 4
5 3 4 11 9 7 10 2 12 1 6 0 8
6 7 0 1 5 4 8 9 10 2 3 12 11
2 9 12 6 3 0 5 4 11 8 7 10 1
8 10 11 2 12 6 7 3 1 5 9 4 0
7 4 8 10 1 11 9 12 0 6 2 3 5
3 5 9 7 0 8 2 10 4 11 12 1 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
11 3 10 0 6 12 8 4 2 7 5 9 1
9 7 11 12 10 4 3 6 5 0 1 2 8
6 12 8 1 11 9 10 0 3 2 4 5 7
8 2 7 9 5 0 1 12 10 11 3 6 4
10 4 5 2 1 8 9 11 7 6 12 0 3
5 0 6 4 3 2 7 8 12 1 11 10 9
12 10 3 11 7 6 5 2 4 8 9 1 0
1 11 12 6 0 3 4 10 9 5 7 8 2
7 9 1 8 12 10 0 5 6 4 2 3 11
2 8 4 10 9 11 12 1 0 3 6 7 5
4 5 9 7 8 1 2 3 11 10 0 12 6
3 6 0 5 2 7 11 9 1 12 8 4 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
7 3 12 10 2 0 4 9 6 11 5 8 1
12 11 1 0 8 9 10 3 4 2 6 7 5
4 5 8 11 10 12 0 2 1 7 3 9 6
8 9 7 5 6 11 1 12 3 10 2 4 0
3 4 6 2 1 7 8 11 5 12 0 10 9
10 2 3 7 9 6 5 4 0 8 1 12 11
1 0 10 12 3 4 9 8 7 5 11 6 2
11 12 5 4 0 2 3 10 9 6 7 1 8
5 8 0 1 12 10 11 6 2 4 9 3 7
6 7 9 8 11 1 2 0 10 3 12 5 4
9 10 11 6 5 8 7 1 12 0 4 2 3
2 6 4 9 7 3 12 5 11 1 8 0 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
11 9 0 5 2 7 1 4 10 3 12 8 6
4 5 6 12 0 11 2 3 1 8 7 10 9
6 8 9 11 10 3 12 5 2 0 1 4 7
2 7 10 8 12 6 11 0 9 4 5 3 1
10 3 4 7 1 8 9 6 5 12 0 2 11
5 2 1 0 9 4 10 8 7 6 11 12 3
12 0 5 4 3 1 7 2 11 10 9 6 8
9 11 12 6 5 2 3 10 4 7 8 1 0
8 6 7 2 11 0 5 12 3 1 4 9 10
7 10 11 9 6 12 8 1 0 2 3 5 4
1 4 3 10 8 9 0 11 12 5 6 7 2
3 12 8 1 7 10 4 9 6 11 2 0 5

Проверяю ДЛК утилитой Harry White

Order? 13

Enter the name of the squares file: inp1
.. writing type information to file inp1TypeDetail_18.txt

Counts
------
         6 diagonal Latin
         6 pandiagonal
         2 center symmetric
         6 nfr

Итак, супер-задачу я уже чуточку решила, нашла 5 новых не циклических пандиагональных ДЛК 13-го порядка.
Из 10816 существующих нам известны теперь 6.
Надо найти остальные.
Но... как искать эти остальные, я пока не знаю.
Есть статья, в которой описывается построение не циклических пандиагональных ДЛК 13-го порядка (ссылка на статью указана в OEIS, выше я её привела).
Однако разобраться в ней непросто, тем более что я не читаю по-английски.
Harry White писала про эту задачу, от ответил так же: сложно разобраться в статье (хотя он читает по-английски).

Увидела в статье OEIS ссылку ещё на одну статью.
Цитирую

A.O.L. Atkin, L. Hay, and R. G. Larson, Enumeration and construction of pandiagonal Latin squares of prime order, Computers & Mathematics with Applications, Volume. 9, Iss. 2, 1983, pp. 267-292.

Эту статью я ешё и не смотрела.

Abstract-
A complete enumeration and algebraic description is given of all pandiagonal Latin squares of order 5 13. For n = 5, 7 and 11 there are (up to equivalence) exactly the n-3 cyclic squares.
For n = 13 there are 12,386 inequivalent squares; of these 10 are cyclic (in all directions) and 1560 are semi-cyclic
(cyclic in a single direction). Systematic methods are given for constructing semi-cyclic pandiagonal Latin
squares of any prime order > 11.

Сейчас посмотрела, вижу там три пандиагональных ДЛК 13-го порядка, как мне кажется, не циклические.
Надо скопировать и посмотреть пристальнее.

Например, у этого квадрата

0 B 1 7 5 9 3 A 4 8 6 C 2 
9 7 0 3 1 C 2 8 6 A 4 B 5 
B 5 C 6 A 8 1 4 2 0 3 9 7 
1 4 A 8 C 6 0 7 B 9 2 5 3 
A 3 6 4 2 5 B 9 0 7 1 8 C 
8 2 9 0 B 4 7 5 3 6 C A 1 
7 0 B 2 9 3 A 1 C 5 8 6 4 
6 9 7 5 8 1 C 3 A 4 B 2 0 
5 C 3 1 7 A 8 6 9 2 0 4 B 
3 1 5 C 6 0 4 2 8 B 9 7 A 
C A 8 B 4 2 6 0 7 1 5 3 9 
2 6 4 A 0 B 9 C 5 3 7 1 8 
4 8 2 9 3 7 5 B 1 C A 0 6

такая подпись

Fig. I. (A = 10, B = 11, C= 12). A PL-square cyclic in the direction of (1,4): 1 down, 4 across.

Хм... "циклический в направлении (1,4)".
И чего это означает? Конечно, статью надо читать.
Но... посмотришь на этот текст, прямо страшно аж жуть. Там и знающий английский не сразу разберётся.

Как мне кажется, приведённый квадрат не циклический пандиагональный.
Но, может, я чего-то неправильно понимаю.

Преобразовала показанный пандиагональный ДЛК в числовой формат и нормализовала

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
5 3 0 6 2 11 12 9 10 7 8 1 4
1 4 11 10 7 9 2 8 12 0 6 5 3
2 8 7 9 11 10 0 3 1 5 12 4 6
7 6 10 8 12 4 1 5 0 3 2 9 11
9 12 5 0 1 8 3 4 6 10 11 7 2
3 0 1 12 5 6 7 2 11 4 9 10 8
10 5 3 4 9 2 11 6 7 8 1 12 0
4 11 6 2 3 7 9 10 5 12 0 8 1
6 2 4 11 10 0 8 12 9 1 5 3 7
11 7 9 1 8 12 10 0 3 2 4 6 5
12 10 8 7 0 1 5 11 4 6 3 2 9
8 9 12 5 6 3 4 1 2 11 7 0 10

Разве этот ДЛК не является не циклическим пандиагональным???
Я думаю, что является.
К тому же, у меня такого ещё нет.

Ещё два квадрата скопировала из статьи

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C 
7 C 0 1 B 2 8 9 A 6 5 3 4 
3 4 B 2 0 9 A 6 C 8 1 7 5 
B 5 8 9 A C 0 1 2 7 3 4 6 
8 6 7 5 3 4 B C 0 1 2 9 A 
9 A C 6 1 7 3 4 5 B 0 8 2 
C 2 1 7 8 6 5 B 3 4 9 A 0 
1 0 3 4 9 A 2 8 7 5 6 C B 
4 B 5 0 2 8 9 A 6 C 7 1 3 
5 3 4 B C 0 1 2 9 A 8 6 7 
2 7 9 A 6 B C 0 1 3 4 5 8 
A 8 6 C 5 1 7 3 4 0 B 2 9 
6 9 A 8 7 3 4 5 B 2 C 0 1

Fig. 2. (A = 10, B = 11, C = 12). T(~, together with 6 shifts of TV*, ,) and 6 shifts of TT~,,, *.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C 
A 8 C 9 1 0 2 3 5 B 6 7 4
5 2 6 A 7 C B 1 4 3 0 8 9 
4 7 0 B 5 6 A 8 9 1 C 2 3 
1 B 3 4 9 8 C 0 2 6 7 A 5 
6 C 8 1 3 2 4 A 7 5 B 9 0 
2 9 A 6 0 7 5 B 3 4 1 C 8 
B 4 7 5 2 9 1 C 6 0 8 3 A 
7 0 1 C B 3 8 9 A 2 4 5 6 
C 3 5 8 A 4 0 6 B 7 9 1 2 
9 A 4 2 6 1 7 5 C 8 3 0 B 
8 6 9 0 C B 3 2 1 A 5 4 7 
3 5 B 7 8 A 9 4 0 C 2 6 1 

Fig. 3. (A = 10, B = 11, C = 12). n(5) together with 3 shifts of T~~,~,, 3 shifts of T~~,~,, 3 shifts of T(~,,,, and 3 shifts of T,,~,~).

Эти пандиагональные ДЛК тоже, по-моему, не циклические.
Хорошо, что они уже нормализованные, только преобразовать в числовой формат.

Преобразовала два последних ДЛК в числовой формат и проверила утилитой Harry White

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
7 12 0 1 11 2 8 9 10 6 5 3 4
3 4 11 2 0 9 10 6 12 8 1 7 5
11 5 8 9 10 12 0 1 2 7 3 4 6
8 6 7 5 3 4 11 12 0 1 2 9 10
9 10 12 6 1 7 3 4 5 11 0 8 2
12 2 1 7 8 6 5 11 3 4 9 10 0
1 0 3 4 9 10 2 8 7 5 6 12 11
4 11 5 0 2 8 9 10 6 12 7 1 3
5 3 4 11 12 0 1 2 9 10 8 6 7
2 7 9 10 6 11 12 0 1 3 4 5 8
10 8 6 12 5 1 7 3 4 0 11 2 9
6 9 10 8 7 3 4 5 11 2 12 0 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
10 8 12 9 1 0 2 3 5 11 6 7 4
5 2 6 10 7 12 11 1 4 3 0 8 9
4 7 0 11 5 6 10 8 9 1 12 2 3
1 11 3 4 9 8 12 0 2 6 7 10 5
6 12 8 1 3 2 4 10 7 5 11 9 0
2 9 10 6 0 7 5 11 3 4 1 12 8
11 4 7 5 2 9 1 12 6 0 8 3 10
7 0 1 12 11 3 8 9 10 2 4 5 6
12 3 5 8 10 4 0 6 11 7 9 1 2
9 10 4 2 6 1 7 5 12 8 3 0 11
8 6 9 0 12 11 3 2 1 10 5 4 7
3 5 11 7 8 10 9 4 0 12 2 6 1

Order? 13

Enter the name of the squares file: inp1
.. writing type information to file inp1TypeDetail_21.txt

Counts
------
         2 diagonal Latin
         2 pandiagonal
         2 nfr

Всё прекрасно, ДЛК пандиагональные, причём, как я вижу, не циклические.
И таких нормализованных не циклических пандиагональных ДЛК у меня ещё не было.
Теперь можно заняться преобразованием трёх новых не циклических пандиагональных ДЛК.

Интересно, что о ДЛК с Fig.2 говорится

PROPOSITION 8.5.
There are 8112 equivalence classes of PL-squares which transform into the PL-square given
in Fig. 2.
Proof. The number of equivalence classes is the index of the stabilizer, which is
8(13*)~(13)/2 = 8112.

Это об этом ДЛК

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
7 12 0 1 11 2 8 9 10 6 5 3 4
3 4 11 2 0 9 10 6 12 8 1 7 5
11 5 8 9 10 12 0 1 2 7 3 4 6
8 6 7 5 3 4 11 12 0 1 2 9 10
9 10 12 6 1 7 3 4 5 11 0 8 2
12 2 1 7 8 6 5 11 3 4 9 10 0
1 0 3 4 9 10 2 8 7 5 6 12 11
4 11 5 0 2 8 9 10 6 12 7 1 3
5 3 4 11 12 0 1 2 9 10 8 6 7
2 7 9 10 6 11 12 0 1 3 4 5 8
10 8 6 12 5 1 7 3 4 0 11 2 9
6 9 10 8 7 3 4 5 11 2 12 0 1

Пока ничего не понимаю. Из этого ДЛК можно как-то получить 8112 пандиагональных не циклических ДЛК, причём существенно различных???

Сомнения одолевают насчёт полуциклических пандиагональных ЛК, которые я получила.
В статье OEIS говорится о неэквивалентных пандиагональных ЛК 13-го порядка

For order n=13 this is not true and exists 12386 inequivalent squares;

А ЛК, получающиеся друг из друга перестановкой строк, эквивалентны.

Решила спросить у автора статьи OEIS, какие же пандиагональные ЛК 13-го порядка относятся к полуциклическим.
Смотрите
https://oeis.org/draft/A338620
Может быть, получу какой-нибудь ответ.

Хотя... стоп!
А 10 циклических пандиагональных ЛК 13-го порядка тоже получаются друг из друга перестановкой строк. Но ведь они все считаются.
Почему же они все считаются? Они же эквивалентные!
Или в статье OEIS эквивалентность пандиагональных ЛК понимается в каком-то другом смысле???

А вот ещё одно утверждение

PROPOSITION 8.7.
There are 2704 equivalence classes of PL-squares which transform into the PL-square given
in Fig. 3.
Proof. The index of the stabilizer is 8(132)(p(13)/6 = 2704

Это о квадрате с Fig.3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
10 8 12 9 1 0 2 3 5 11 6 7 4
5 2 6 10 7 12 11 1 4 3 0 8 9
4 7 0 11 5 6 10 8 9 1 12 2 3
1 11 3 4 9 8 12 0 2 6 7 10 5
6 12 8 1 3 2 4 10 7 5 11 9 0
2 9 10 6 0 7 5 11 3 4 1 12 8
11 4 7 5 2 9 1 12 6 0 8 3 10
7 0 1 12 11 3 8 9 10 2 4 5 6
12 3 5 8 10 4 0 6 11 7 9 1 2
9 10 4 2 6 1 7 5 12 8 3 0 11
8 6 9 0 12 11 3 2 1 10 5 4 7
3 5 11 7 8 10 9 4 0 12 2 6 1

И окончательный вывод

PROPOSITION 8.8.
There are 12,386 equivalence classes of PL-squares of order 13.
Proof. By Proposition 8.2(e) there are 1570 equivalence classes of simple PL-squares, while
by Propositions 8.5 and 8.7 there are 8112 + 2704 equivalence classes of non-simple PL-squares,
for a total of 12,386.

Очень хочется в этом разобраться. Пока сплошной туман.

Ещё цитата из статьи (в переводе Google)

Программа, написанная на SNOBOL4, использовалась для генерации всех возможных нормализованных путей. Этот
была относительно простой программой возврата. Результат этой программы был исследован на
определить, какая закономерность возникла. Именно в этот момент было замечено, что все 348
нормализованные пути для n = 13 были сдвигами 36 основных нормализованных путей, описанных в разделе 6.

Обратите внимание на количество "нормализованных путей" - 348.
Это вам ничего не напоминает?
Цитата из этой темы

Взяла циклический пандиагональный ДЛК 13-го порядка (нормализованный) и применила к нему программу перестановки строк, первая строка остаётся на месте.
Программа выдала 348 пандиагональных ДЛК

. . . . . . . . . 

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 

najdeno kwadratov W= 348

Думаю, что число 348 у меня не случайно совпадает с числом 348 в статье.
Хотя абсолютно не понимаю, что определяет это число в статье.
Что оно определяет у меня, я очень хорошо понимаю.

Ещё может немного создавать рассогласование такой момент: я всё время говорю о пандиагональных ДЛК, а в статье используется только термин "пандиагональные латинские квадраты".
Но... пандиагональные ЛК все являются ДЛК по определению!

Цитата

Решила спросить у автора статьи OEIS, какие же пандиагональные ЛК 13-го порядка относятся к полуциклическим.
Смотрите
https://oeis.org/draft/A338620
Может быть, получу какой-нибудь ответ.

Пока ответа нет.
Ну, выходные, понятное дело, редакторы OEIS, а также автор статьи, отдыхают.
Так что, надо ещё недельку подождать, пока система раскачается, пока редакторы уведомят автора статьи о вопросе, пока автор статьи придумает ответ и даст его.
Хорошо, если вообще ответ будет, хотя бы через недельку.

Пока начнём сначала.
Цитирую статью OEIS

For order n=13 this is not true and exists 12386 inequivalent squares; of these 10 are cyclic (in all directions) and 1560 are semi-cyclic (cyclic in a single direction).

1. "of these 10 are cyclic (in all directions)"
10 циклических пандиагональных ЛК (ДЛК) 13-го порядка, циклические во всех направлениях, то есть в строках, в столбцах и в диагоналях обоих направлений.
Я дала в статье OEIS ссылку на эти 10 циклических пандиагональных ЛК (ДЛК)

Natalia Makarova, Ten cyclic pandiagonal Latin squares of order 13

Повторю эти пандиагональные ДЛК

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1
4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3
6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5
8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7
10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2
5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4
7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6
9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8
11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2
6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5
9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8
12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1
5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4
8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7
11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0
4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3
7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6
10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3
8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7
12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2
7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6
11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1
6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5
10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0
5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4
9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4
10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1
7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6
12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3
9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0
6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5
11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2
8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5
12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4
11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3
10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2
9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1
8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0
7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0
8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1
9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2
10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3
11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4
12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2
11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0
9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3
12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1
10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8
5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0
10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1
11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2
12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6
4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0
11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7
5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1
12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8
6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8
7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6
5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0
12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7
6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5
4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1

Обращаю внимание:
1) эти ДЛК нормализованные, что удовлетворяет условию статьи OEIS "with the first row in ascending order";
2) все эти ДЛК получаются друг из друга перестановкой строк и потому как ЛК все они изоморфные (эквивалентные);
3) если рассматривать изоморфность (эквивалентность) этих квадратов как ДЛК, то уникальных будет всего только три, как утверждает канонизатор Harry White

Order? 13
Format, (1: first row or 2: \diagonal)? 2
File name? inp
.. writing DLS to file output13CF2_4.txt
number of DLS 10 CFs 3

Возникает вопрос: о какой неэквивалентности квадратов написано в этой фразе "For order n=13 this is not true and exists 12386 inequivalent squares"?

PS. У меня такая версия ответа на вопрос: эквивалентность пандиагональных ЛК рассматривается как ДЛК (потому что все пандиагональные ЛК являются ДЛК).
Это первое.
Второе: эквивалентность ДЛК рассматривается не в смысле нашего канонизатора, который использует М-преобразования, как эквивалентные.
И тогда - да: все 10 циклических пандиагональных ДЛК 13-го порядка можно считать неэквивалентными.
И тогда полученные мной полуциклические пандиагональные ДЛК тоже можно считать неэквивалентными, хотя они получены из циклического пандиагонального ДЛК перестановкой строк.

Далее отмечу, что показанные выше 10 циклических пандиагональных ДЛК легко превратить в идеальные, для этого достаточно преобразовать их в формат СН ДЛК.
Вот они - 10 идеальных ДЛК 13-го порядка, которые циклические пандиагональные

0 9 5 1 10 6 2 11 7 3 12 8 4
5 1 10 6 2 11 7 3 12 8 4 0 9
10 6 2 11 7 3 12 8 4 0 9 5 1
2 11 7 3 12 8 4 0 9 5 1 10 6
7 3 12 8 4 0 9 5 1 10 6 2 11
12 8 4 0 9 5 1 10 6 2 11 7 3
4 0 9 5 1 10 6 2 11 7 3 12 8
9 5 1 10 6 2 11 7 3 12 8 4 0
1 10 6 2 11 7 3 12 8 4 0 9 5
6 2 11 7 3 12 8 4 0 9 5 1 10
11 7 3 12 8 4 0 9 5 1 10 6 2
3 12 8 4 0 9 5 1 10 6 2 11 7
8 4 0 9 5 1 10 6 2 11 7 3 12

0 10 7 4 1 11 8 5 2 12 9 6 3
4 1 11 8 5 2 12 9 6 3 0 10 7
8 5 2 12 9 6 3 0 10 7 4 1 11
12 9 6 3 0 10 7 4 1 11 8 5 2
3 0 10 7 4 1 11 8 5 2 12 9 6
7 4 1 11 8 5 2 12 9 6 3 0 10
11 8 5 2 12 9 6 3 0 10 7 4 1
2 12 9 6 3 0 10 7 4 1 11 8 5
6 3 0 10 7 4 1 11 8 5 2 12 9
10 7 4 1 11 8 5 2 12 9 6 3 0
1 11 8 5 2 12 9 6 3 0 10 7 4
5 2 12 9 6 3 0 10 7 4 1 11 8
9 6 3 0 10 7 4 1 11 8 5 2 12

0 8 3 11 6 1 9 4 12 7 2 10 5
6 1 9 4 12 7 2 10 5 0 8 3 11
12 7 2 10 5 0 8 3 11 6 1 9 4
5 0 8 3 11 6 1 9 4 12 7 2 10
11 6 1 9 4 12 7 2 10 5 0 8 3
4 12 7 2 10 5 0 8 3 11 6 1 9
10 5 0 8 3 11 6 1 9 4 12 7 2
3 11 6 1 9 4 12 7 2 10 5 0 8
9 4 12 7 2 10 5 0 8 3 11 6 1
2 10 5 0 8 3 11 6 1 9 4 12 7
8 3 11 6 1 9 4 12 7 2 10 5 0
1 9 4 12 7 2 10 5 0 8 3 11 6
7 2 10 5 0 8 3 11 6 1 9 4 12

0 11 9 7 5 3 1 12 10 8 6 4 2
3 1 12 10 8 6 4 2 0 11 9 7 5
6 4 2 0 11 9 7 5 3 1 12 10 8
9 7 5 3 1 12 10 8 6 4 2 0 11
12 10 8 6 4 2 0 11 9 7 5 3 1
2 0 11 9 7 5 3 1 12 10 8 6 4
5 3 1 12 10 8 6 4 2 0 11 9 7
8 6 4 2 0 11 9 7 5 3 1 12 10
11 9 7 5 3 1 12 10 8 6 4 2 0
1 12 10 8 6 4 2 0 11 9 7 5 3
4 2 0 11 9 7 5 3 1 12 10 8 6
7 5 3 1 12 10 8 6 4 2 0 11 9
10 8 6 4 2 0 11 9 7 5 3 1 12

0 2 4 6 8 10 12 1 3 5 7 9 11
12 1 3 5 7 9 11 0 2 4 6 8 10
11 0 2 4 6 8 10 12 1 3 5 7 9
10 12 1 3 5 7 9 11 0 2 4 6 8
9 11 0 2 4 6 8 10 12 1 3 5 7
8 10 12 1 3 5 7 9 11 0 2 4 6
7 9 11 0 2 4 6 8 10 12 1 3 5
6 8 10 12 1 3 5 7 9 11 0 2 4
5 7 9 11 0 2 4 6 8 10 12 1 3
4 6 8 10 12 1 3 5 7 9 11 0 2
3 5 7 9 11 0 2 4 6 8 10 12 1
2 4 6 8 10 12 1 3 5 7 9 11 0
1 3 5 7 9 11 0 2 4 6 8 10 12

0 5 10 2 7 12 4 9 1 6 11 3 8
9 1 6 11 3 8 0 5 10 2 7 12 4
5 10 2 7 12 4 9 1 6 11 3 8 0
1 6 11 3 8 0 5 10 2 7 12 4 9
10 2 7 12 4 9 1 6 11 3 8 0 5
6 11 3 8 0 5 10 2 7 12 4 9 1
2 7 12 4 9 1 6 11 3 8 0 5 10
11 3 8 0 5 10 2 7 12 4 9 1 6
7 12 4 9 1 6 11 3 8 0 5 10 2
3 8 0 5 10 2 7 12 4 9 1 6 11
12 4 9 1 6 11 3 8 0 5 10 2 7
8 0 5 10 2 7 12 4 9 1 6 11 3
4 9 1 6 11 3 8 0 5 10 2 7 12

0 3 6 9 12 2 5 8 11 1 4 7 10
11 1 4 7 10 0 3 6 9 12 2 5 8
9 12 2 5 8 11 1 4 7 10 0 3 6
7 10 0 3 6 9 12 2 5 8 11 1 4
5 8 11 1 4 7 10 0 3 6 9 12 2
3 6 9 12 2 5 8 11 1 4 7 10 0
1 4 7 10 0 3 6 9 12 2 5 8 11
12 2 5 8 11 1 4 7 10 0 3 6 9
10 0 3 6 9 12 2 5 8 11 1 4 7
8 11 1 4 7 10 0 3 6 9 12 2 5
6 9 12 2 5 8 11 1 4 7 10 0 3
4 7 10 0 3 6 9 12 2 5 8 11 1
2 5 8 11 1 4 7 10 0 3 6 9 12

0 4 8 12 3 7 11 2 6 10 1 5 9
10 1 5 9 0 4 8 12 3 7 11 2 6
7 11 2 6 10 1 5 9 0 4 8 12 3
4 8 12 3 7 11 2 6 10 1 5 9 0
1 5 9 0 4 8 12 3 7 11 2 6 10
11 2 6 10 1 5 9 0 4 8 12 3 7
8 12 3 7 11 2 6 10 1 5 9 0 4
5 9 0 4 8 12 3 7 11 2 6 10 1
2 6 10 1 5 9 0 4 8 12 3 7 11
12 3 7 11 2 6 10 1 5 9 0 4 8
9 0 4 8 12 3 7 11 2 6 10 1 5
6 10 1 5 9 0 4 8 12 3 7 11 2
3 7 11 2 6 10 1 5 9 0 4 8 12

0 6 12 5 11 4 10 3 9 2 8 1 7
8 1 7 0 6 12 5 11 4 10 3 9 2
3 9 2 8 1 7 0 6 12 5 11 4 10
11 4 10 3 9 2 8 1 7 0 6 12 5
6 12 5 11 4 10 3 9 2 8 1 7 0
1 7 0 6 12 5 11 4 10 3 9 2 8
9 2 8 1 7 0 6 12 5 11 4 10 3
4 10 3 9 2 8 1 7 0 6 12 5 11
12 5 11 4 10 3 9 2 8 1 7 0 6
7 0 6 12 5 11 4 10 3 9 2 8 1
2 8 1 7 0 6 12 5 11 4 10 3 9
10 3 9 2 8 1 7 0 6 12 5 11 4
5 11 4 10 3 9 2 8 1 7 0 6 12

0 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
2 1 0 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3
4 3 2 1 0 12 11 10 9 8 7 6 5
6 5 4 3 2 1 0 12 11 10 9 8 7
8 7 6 5 4 3 2 1 0 12 11 10 9
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 12 11
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
1 0 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
3 2 1 0 12 11 10 9 8 7 6 5 4
5 4 3 2 1 0 12 11 10 9 8 7 6
7 6 5 4 3 2 1 0 12 11 10 9 8
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 12 11 10
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 12

Проверка свойств этих ДЛК утилитой Harry White

Order? 13

Enter the name of the squares file: inp1
.. writing type information to file inp1TypeDetail_7.txt

Counts
------
        10 diagonal Latin
        10 associative
        10 pandiagonal
        10 ultramagic
        10 natural \diagonal
         9 orthogonal pair
        10 self-orthogonal

Напомню, что эти ДЛК из полной системы MOLS 13-го порядка и образуют группу MODLS данного порядка.
Проверка этой группы ДЛК программой Harry White GetOrthogonal выдаёт

Order? 13

Enter the name of the squares file: inp
..output file inpPairs_16.txt
..output file inpPairNos_10.txt
squares 10 orthogonal pairs 45

45 ортогональных пар образуют эти идеальные ДЛК.

Теперь думаем над пунктом
2) "1560 are semi-cyclic (cyclic in a single direction)"

Выше я рассказала, как получила полуциклические пандиагональные ДЛК.
Взяла циклический пандиагональный ДЛК и применила к нему программу перестановки строк, оставляя на месте первую строку.
Программа выдала 348 ДЛК.
Сейчас внимательно посмотрела на эти ДЛК. Два из них циклические пандиагональные, это исходный ДЛК и ещё вот этот

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
 9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8 
 7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6 
 5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4 
 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0 
 12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5  6  7 
 6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3  4  5 
 4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1  2  3 
 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  0  1 

Все остальные ДЛК полуциклические пандиагональные.
Таким образом, я получила 346 полуциклических пандиагональных ДЛК.
Где взять остальные 1214?
Выше я писала, что надо к каждому циклическому ДЛК применить программу перестановки строк.
Сейчас поняла, что это даст те же самые 348 ДЛК, потому что все циклические пандиагональные ДЛК получаются друг из друга перестановкой строк.

Стоп, стоп!
Неправильно. Ведь все 10 циклических пандиагональных ДЛК должны быть среди этих 348 ДЛК.
Значит, полуциклических остаётся 338 ДЛК.
Где взять остальные 1222?

Пока больше ничего не придумывается, построю идеальный магический квадрат 13-го порядка методом латинских квадратов, используя этот идеальный ДЛК

0 9 5 1 10 6 2 11 7 3 12 8 4
5 1 10 6 2 11 7 3 12 8 4 0 9
10 6 2 11 7 3 12 8 4 0 9 5 1
2 11 7 3 12 8 4 0 9 5 1 10 6
7 3 12 8 4 0 9 5 1 10 6 2 11
12 8 4 0 9 5 1 10 6 2 11 7 3
4 0 9 5 1 10 6 2 11 7 3 12 8
9 5 1 10 6 2 11 7 3 12 8 4 0
1 10 6 2 11 7 3 12 8 4 0 9 5
6 2 11 7 3 12 8 4 0 9 5 1 10
11 7 3 12 8 4 0 9 5 1 10 6 2
3 12 8 4 0 9 5 1 10 6 2 11 7
8 4 0 9 5 1 10 6 2 11 7 3 12

и то, что он является SODLS (можно использовать и то, что он является DSODLS).
Транспонированный вариант этого ДЛК, конечно, тоже идеальный, вот он

 0  5 10  2  7 12  4  9  1  6 11  3  8
 9  1  6 11  3  8  0  5 10  2  7 12  4
 5 10  2  7 12  4  9  1  6 11  3  8  0
 1  6 11  3  8  0  5 10  2  7 12  4  9
10  2  7 12  4  9  1  6 11  3  8  0  5
 6 11  3  8  0  5 10  2  7 12  4  9  1
 2  7 12  4  9  1  6 11  3  8  0  5 10
11  3  8  0  5 10  2  7 12  4  9  1  6
 7 12  4  9  1  6 11  3  8  0  5 10  2
 3  8  0  5 10  2  7 12  4  9  1  6 11
12  4  9  1  6 11  3  8  0  5 10  2  7
 8  0  5 10  2  7 12  4  9  1  6 11  3
 4  9  1  6 11  3  8  0  5 10  2  7 12

Ушла строить магический квадрат :)

Вот он - красавец



Обратите внимание на начальную цепочку, стандартная начальная цепочка "ход конём".

Этот магический квадрат не является принципиально новым; такие идеальные магические квадраты я строила в своё время разработанным мной методом качелей.
Смотрите, например, статью
ИДЕАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ
Часть I