Перенос на торе выполнила, свойства полученных пандиагональных ДЛК проверила

Order? 13

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_44.txt

Counts
------
     35152 diagonal Latin
        16 associative
     35152 pandiagonal
        16 ultramagic
      2688 center symmetric
       208 nfr

Квадратики нормальные.
Осталось нормализовать их и выбросить дубликаты.

Увы, ничего нового не получено.
Итак, пока имеем 208 нормализованных не циклических пандиагональных ДЛК 13-го порядка.
До 10816 ДЛК, объявленных в статье OEIS A338620, очень далеко.

Посмотрела, как не циклические пандиагональные ДЛК 13-го порядка вступают в отношение ортогональности внутри одного набора из 208 ДЛК.
Программа Harry White GetOrthogonal сообщает

Order? 13

Enter the name of the squares file: inp
..output file inpPairs.txt
..output file inpPairNos_7.txt
squares 208 orthogonal pairs 104

104 ортогональные пары!
Интересная таблица ортогональных пар

27:  12
28:  13
29:  1
30:  2
31:  3
32:  4
33:  5
34:  6
35:  7
36:  8
37:  9
38:  10
39:  11
40:  25
41:  26
42:  14
43:  15
44:  16
45:  17
46:  18
47:  19
48:  20
49:  21
50:  22
51:  23
52:  24
79:  60
80:  61
81:  62
82:  63
83:  64
84:  65
85:  53
86:  54
87:  55
88:  56
89:  57
90:  58
91:  59
92:  76
93:  77
94:  78
95:  66
96:  67
97:  68
98:  69
99:  70
100:  71
101:  72
102:  73
103:  74
104:  75
131:  116
132:  117
133:  105
134:  106
135:  107
136:  108
137:  109
138:  110
139:  111
140:  112
141:  113
142:  114
143:  115
144:  129
145:  130
146:  118
147:  119
148:  120
149:  121
150:  122
151:  123
152:  124
153:  125
154:  126
155:  127
156:  128
183:  164
184:  165
185:  166
186:  167
187:  168
188:  169
189:  157
190:  158
191:  159
192:  160
193:  161
194:  162
195:  163
196:  180
197:  181
198:  182
199:  170
200:  171
201:  172
202:  173
203:  174
204:  175
205:  176
206:  177
207:  178
208:  179

Нет ни одного квадратика, который имел бы два ортогональных ДЛК в этом наборе.

Я квадратики перед проверкой на ортогональные пары превратила в СН ДЛК, чтобы иметь идеальные ДЛК.
И вот первая ортогональная пара из таблицы ортогональности

27:  12

Оба эти ДЛК идеальные!
Чудесно!
Сейчас я их покажу.

Вот они

0 2 9 6 10 12 1 8 3 5 11 7 4
5 1 3 11 7 8 4 2 9 12 6 0 10
4 11 2 10 12 0 5 1 6 3 7 8 9
1 6 8 3 5 7 2 9 11 10 12 4 0
9 3 11 12 4 6 0 10 1 7 8 5 2
6 10 7 8 0 5 9 3 4 11 2 12 1
7 9 12 4 2 1 6 11 10 8 0 3 5
11 0 10 1 8 9 3 7 12 4 5 2 6
10 7 4 5 11 2 12 6 8 0 1 9 3
12 8 0 2 1 3 10 5 7 9 4 6 11
3 4 5 9 6 11 7 12 0 2 10 1 8
2 12 6 0 3 10 8 4 5 1 9 11 7
8 5 1 7 9 4 11 0 2 6 3 10 12

0 5 4 2 8 7 11 9 12 6 3 10 1
12 1 6 9 3 10 8 0 5 2 7 4 11
5 10 2 4 6 11 7 12 1 0 9 3 8
7 12 0 3 1 8 10 11 2 5 4 6 9
10 11 7 5 4 9 12 6 0 1 2 8 3
8 0 12 1 2 5 3 10 7 4 11 9 6
2 7 11 0 9 4 6 8 3 12 1 5 10
6 3 1 8 5 2 9 7 10 11 0 12 4
9 4 10 11 12 6 0 3 8 7 5 1 2
3 6 8 7 10 1 2 4 11 9 12 0 5
4 9 3 12 11 0 5 1 6 8 10 2 7
1 8 5 10 7 12 4 2 9 3 6 11 0
11 2 9 6 0 3 1 5 4 10 8 7 12

Утилита Harry White сообщает об этих ДЛК

Order? 13

Enter the name of the squares file: inp1
.. writing type information to file inp1TypeDetail_10.txt

Counts
------
         2 diagonal Latin
         2 associative
         2 pandiagonal
         2 ultramagic
         2 natural \diagonal
         1 orthogonal pair

Отлично!
Ортогональная пара идеальных (не циклических) ДЛК 13-го порядка.
Вот теперь можно построить принципиально новый идеальный магический квадрат методом латинских квадратов, используя эту ортогональную пару.

Вот он какой красивый!



Принципиально новый идеальный магический квадрат 13-го порядка.
Сравните с идеальным магическим квадратом, в котором классическая начальная цепочка "ход конём"

Теперь поработаю с не циклическими пандиагональными ДЛК 13-го порядка по тому же алгоритму, как с полуциклическими.
Взяла найденный мной идеальный ДЛК, который является не циклическим пандиагональным

 0  2  9  6 10 12  1  8  3  5 11  7  4
 5  1  3 11  7  8  4  2  9 12  6  0 10
 4 11  2 10 12  0  5  1  6  3  7  8  9
 1  6  8  3  5  7  2  9 11 10 12  4  0
 9  3 11 12  4  6  0 10  1  7  8  5  2
 6 10  7  8  0  5  9  3  4 11  2 12  1
 7  9 12  4  2  1  6 11 10  8  0  3  5
11  0 10  1  8  9  3  7 12  4  5  2  6
10  7  4  5 11  2 12  6  8  0  1  9  3
12  8  0  2  1  3 10  5  7  9  4  6 11
 3  4  5  9  6 11  7 12  0  2 10  1  8
 2 12  6  0  3 10  8  4  5  1  9 11  7
 8  5  1  7  9  4 11  0  2  6  3 10 12

и переобозначением элементов преобразовала его в следующий идеальный ДЛК

10  4  1  6  8  2  5  9 11 12  7  0  3
12  5 11  7  0  9  3  4  1  2  6 10  8
 3  7  4  8  2 10 12  5  6 11  0  9  1
 5  6  9 11 12  0  4  1  7  8  2  3 10
 1 11  7  2  3  6 10  8  5  0  9 12  4
 6  8  0  9 10 12  1 11  3  7  4  2  5
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
 7 10  8  5  9  1 11  0  2  3 12  4  6
 8  0  3 12  7  4  2  6  9 10  5  1 11
 2  9 10  4  5 11  8 12  0  1  3  6  7
11  3 12  1  6  7  0  2 10  4  8  5  9
 4  2  6 10 11  8  9  3 12  5  1  7  0
 9 12  5  0  1  3  7 10  4  6 11  8  2

Аналогию видно, да?
Сейчас я паттерн покажу, совсем хорошо будет видно.

Паттерн



ДЛК должны быть идеальные и при этом не циклические пандиагональные.
Много ли таких квадратиков?
Программу завтра буду писать.

Напомню: на данный момент у нас (с форумчанином с форума Math Help Planet) имеется 208 нормализованных не циклических пандиагональных ДЛК 13-го порядка.
104 из этих ДЛК показаны в сообщении
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=128&postid=1852
Я удвоила этот набор с помощью поворота 104 ДЛК на 90 градусов.
Ещё: нормализованных не циклических пандиагональных ДЛК 13-го порядка согласно данным в статье OEIS A338620 должно быть 10816.

Надеюсь, что предложенный сейчас алгоритм что-нибудь добавит к имеющемуся набору не циклических пандиагональных ДЛК 13-го порядка.

Да-а-а-а, как-то я не подумала над показанным выше паттерном.
Перебор-то будет не хилый, мой Бейсик его и не потянет вообще.
Тогда решила немного изменить паттерн.
В найденном наборе из 208 не циклических пандиагональных ДЛК 13-го порядка есть 16 идеальных ДЛК.
Я выудила их все из набора и преобразовала к формату паттерна.
Показываю эти 16 идеальных не циклических ДЛК уже в преобразованном виде, то есть в формате показанного паттерна

10  4  1  6  8  2  5  9 11 12  7  0  3
12  5 11  7  0  9  3  4  1  2  6 10  8
 3  7  4  8  2 10 12  5  6 11  0  9  1
 5  6  9 11 12  0  4  1  7  8  2  3 10
 1 11  7  2  3  6 10  8  5  0  9 12  4
 6  8  0  9 10 12  1 11  3  7  4  2  5
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
 7 10  8  5  9  1 11  0  2  3 12  4  6
 8  0  3 12  7  4  2  6  9 10  5  1 11
 2  9 10  4  5 11  8 12  0  1  3  6  7
11  3 12  1  6  7  0  2 10  4  8  5  9
 4  2  6 10 11  8  9  3 12  5  1  7  0
 9 12  5  0  1  3  7 10  4  6 11  8  2

 9 12  5  0  1  3  7 10  4  6 11  8  2
 4  2  6 10 11  8  9  3 12  5  1  7  0
11  3 12  1  6  7  0  2 10  4  8  5  9
 2  9 10  4  5 11  8 12  0  1  3  6  7
 8  0  3 12  7  4  2  6  9 10  5  1 11
 7 10  8  5  9  1 11  0  2  3 12  4  6
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
 6  8  0  9 10 12  1 11  3  7  4  2  5
 1 11  7  2  3  6 10  8  5  0  9 12  4
 5  6  9 11 12  0  4  1  7  8  2  3 10
 3  7  4  8  2 10 12  5  6 11  0  9  1
12  5 11  7  0  9  3  4  1  2  6 10  8
10  4  1  6  8  2  5  9 11 12  7  0  3

 3 11  5  0  7  1  2  4  9  6  8 12 10
 9 10  6  4  8 12  7  3 11  0  1  5  2
11 12  0  5  6  2  1  9 10  3  4  8  7
 1  9  3  8 10  7 12  2  0 11  5  6  4
12  2  1 11  5  4  9  6  3 10  0  7  8
 7  3  9 10  0 11  8 12  1  5  2  4  6
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
 6  8 10  7 11  0  4  1 12  2  3  9  5
 4  5 12  2  9  6  3  8  7  1 11 10  0
 8  6  7  1 12 10  0  5  2  4  9  3 11
 5  4  8  9  2  3 11 10  6  7 12  0  1
10  7 11 12  1  9  5  0  4  8  6  2  3
 2  0  4  6  3  8 10 11  5 12  7  1  9

 2  0  4  6  3  8 10 11  5 12  7  1  9
10  7 11 12  1  9  5  0  4  8  6  2  3
 5  4  8  9  2  3 11 10  6  7 12  0  1
 8  6  7  1 12 10  0  5  2  4  9  3 11
 4  5 12  2  9  6  3  8  7  1 11 10  0
 6  8 10  7 11  0  4  1 12  2  3  9  5
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
 7  3  9 10  0 11  8 12  1  5  2  4  6
12  2  1 11  5  4  9  6  3 10  0  7  8
 1  9  3  8 10  7 12  2  0 11  5  6  4
11 12  0  5  6  2  1  9 10  3  4  8  7
 9 10  6  4  8 12  7  3 11  0  1  5  2
 3 11  5  0  7  1  2  4  9  6  8 12 10

 1  3 12 11  2  0  8  5  9  4  7  6 10
 7  4  0  1 10  9 12 11  6  3  8  5  2
 3  8  9  6  7  4  5 10  1  2 11 12  0
 4 12 11  5  8  3  2  6  7  0  9 10  1
 5  9 10  2  0 12 11  1  3  8  4  7  6
 8 11  6  7  1 10  9  4  0 12  5  2  3
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
 9 10  7  0 12  8  3  2 11  5  6  1  4
 6  5  8  4  9 11  1  0 12 10  2  3  7
11  2  3 12  5  6 10  9  4  7  1  0  8
12  0  1 10 11  2  7  8  5  6  3  4  9
10  7  4  9  6  1  0  3  2 11 12  8  5
 2  6  5  8  3  7  4 12 10  1  0  9 11

 8 10  7 12  2  0 11  5  6  4  1  9  3
 7 12  0  1  5  4  8  9  2  3 11 10  6
 1 11  5  4  9  6  3 10  0  7  8 12  2
 4  8  6  2  3 10  7 11 12  1  9  5  0
 3  9 10  0 11  8 12  1  5  2  4  6  7
11  5 12  7  1  9  2  0  4  6  3  8 10
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
 2  4  9  6  8 12 10  3 11  5  0  7  1
 5  6  8 10  7 11  0  4  1 12  2  3  9
12  7  3 11  0  1  5  2  9 10  6  4  8
10  0  4  5 12  2  9  6  3  8  7  1 11
 6  2  1  9 10  3  4  8  7 11 12  0  5
 9  3 11  8  6  7  1 12 10  0  5  2  4

 4 12 10  1  0  9 11  2  6  5  8  3  7
 1  0  3  2 11 12  8  5 10  7  4  9  6
11  2  7  8  5  6  3  4  9 12  0  1 10
12  5  6 10  9  4  7  1  0  8 11  2  3
 8  4  9 11  1  0 12 10  2  3  7  6  5
10  7  0 12  8  3  2 11  5  6  1  4  9
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
 3  8 11  6  7  1 10  9  4  0 12  5  2
 7  6  5  9 10  2  0 12 11  1  3  8  4
 9 10  1  4 12 11  5  8  3  2  6  7  0
 2 11 12  0  3  8  9  6  7  4  5 10  1
 6  3  8  5  2  7  4  0  1 10  9 12 11
 5  9  4  7  6 10  1  3 12 11  2  0  8

11 12  0  4  1  7  8  2  3 10  5  6  9
 4  8  5  9 11  3 12  1  6  7  0  2 10
 7  2  3  6 10  8  5  0  9 12  4  1 11
12  5  1  7  0  4  2  6 10 11  8  9  3
 8  0  9 10 12  1 11  3  7  4  2  5  6
10  4  6 11  8  2  9 12  5  0  1  3  7
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
 5  9 11 12  7  0  3 10  4  1  6  8  2
 6  7 10  8  5  9  1 11  0  2  3 12  4
 9  3  4  1  2  6 10  8 12  5 11  7  0
 1 11  8  0  3 12  7  4  2  6  9 10  5
 2 10 12  5  6 11  0  9  1  3  7  4  8
 3  6  7  2  9 10  4  5 11  8 12  0  1

 1  9  5  4  3  0  2  6  7 12 11 10  8
10  4 11  1  2  8  7  3  5  6  0 12  9
12  6 10  8 11  3  4  2  0  1  9  5  7
 2  8  7  9 10 12 11  1  4  5  3  0  6
 7  5  6 12  0  1  9  8 11 10  4  2  3
11  3  0  5  9  7 12 10  6  2  8  1  4
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
 8 11  4 10  6  2  0  5  3  7 12  9  1
 9 10  8  2  1  4  3 11 12  0  6  7  5
 6 12  9  7  8 11  1  0  2  3  5  4 10
 5  7  3 11 12 10  8  9  1  4  2  6  0
 3  0 12  6  7  9  5  4 10 11  1  8  2
 4  2  1  0  5  6 10 12  9  8  7  3 11

 4  2  1  0  5  6 10 12  9  8  7  3 11
 3  0 12  6  7  9  5  4 10 11  1  8  2
 5  7  3 11 12 10  8  9  1  4  2  6  0
 6 12  9  7  8 11  1  0  2  3  5  4 10
 9 10  8  2  1  4  3 11 12  0  6  7  5
 8 11  4 10  6  2  0  5  3  7 12  9  1
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
11  3  0  5  9  7 12 10  6  2  8  1  4
 7  5  6 12  0  1  9  8 11 10  4  2  3
 2  8  7  9 10 12 11  1  4  5  3  0  6
12  6 10  8 11  3  4  2  0  1  9  5  7
10  4 11  1  2  8  7  3  5  6  0 12  9
 1  9  5  4  3  0  2  6  7 12 11 10  8

12  0  1  7  5  6  3 11  9 10  2  8  4
 3 11  5  6  1  7 10  4 12  8  9  0  2
 5  2  7 11  9  0 12  8 10  4  3  6  1
 6  9  8 10 12 11  4  0  2  7  1  5  3
 4 10 12  9  8  2  5  3  1  0  6  7 11
 7  8  4  0  6  3  1  2  5 11 12  9 10
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
 2  3  0  1  7 10 11  9  6 12  8  4  5
 1  5  6 12 11  9  7 10  4  3  0  2  8
 9  7 11  5 10 12  8  1  0  2  4  3  6
11  6  9  8  2  4  0 12  3  1  5 10  7
10 12  3  4  0  8  2  5 11  6  7  1  9
 8  4 10  2  3  1  9  6  7  5 11 12  0

 8  4 10  2  3  1  9  6  7  5 11 12  0
10 12  3  4  0  8  2  5 11  6  7  1  9
11  6  9  8  2  4  0 12  3  1  5 10  7
 9  7 11  5 10 12  8  1  0  2  4  3  6
 1  5  6 12 11  9  7 10  4  3  0  2  8
 2  3  0  1  7 10 11  9  6 12  8  4  5
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
 7  8  4  0  6  3  1  2  5 11 12  9 10
 4 10 12  9  8  2  5  3  1  0  6  7 11
 6  9  8 10 12 11  4  0  2  7  1  5  3
 5  2  7 11  9  0 12  8 10  4  3  6  1
 3 11  5  6  1  7 10  4 12  8  9  0  2
12  0  1  7  5  6  3 11  9 10  2  8  4

 9  3 11  8  6  7  1 12 10  0  5  2  4
 6  2  1  9 10  3  4  8  7 11 12  0  5
10  0  4  5 12  2  9  6  3  8  7  1 11
12  7  3 11  0  1  5  2  9 10  6  4  8
 5  6  8 10  7 11  0  4  1 12  2  3  9
 2  4  9  6  8 12 10  3 11  5  0  7  1
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
11  5 12  7  1  9  2  0  4  6  3  8 10
 3  9 10  0 11  8 12  1  5  2  4  6  7
 4  8  6  2  3 10  7 11 12  1  9  5  0
 1 11  5  4  9  6  3 10  0  7  8 12  2
 7 12  0  1  5  4  8  9  2  3 11 10  6
 8 10  7 12  2  0 11  5  6  4  1  9  3

 2  6  5  8  3  7  4 12 10  1  0  9 11
10  7  4  9  6  1  0  3  2 11 12  8  5
12  0  1 10 11  2  7  8  5  6  3  4  9
11  2  3 12  5  6 10  9  4  7  1  0  8
 6  5  8  4  9 11  1  0 12 10  2  3  7
 9 10  7  0 12  8  3  2 11  5  6  1  4
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
 8 11  6  7  1 10  9  4  0 12  5  2  3
 5  9 10  2  0 12 11  1  3  8  4  7  6
 4 12 11  5  8  3  2  6  7  0  9 10  1
 3  8  9  6  7  4  5 10  1  2 11 12  0
 7  4  0  1 10  9 12 11  6  3  8  5  2
 1  3 12 11  2  0  8  5  9  4  7  6 10

 3  6  7  2  9 10  4  5 11  8 12  0  1
 2 10 12  5  6 11  0  9  1  3  7  4  8
 1 11  8  0  3 12  7  4  2  6  9 10  5
 9  3  4  1  2  6 10  8 12  5 11  7  0
 6  7 10  8  5  9  1 11  0  2  3 12  4
 5  9 11 12  7  0  3 10  4  1  6  8  2
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
10  4  6 11  8  2  9 12  5  0  1  3  7
 8  0  9 10 12  1 11  3  7  4  2  5  6
12  5  1  7  0  4  2  6 10 11  8  9  3
 7  2  3  6 10  8  5  0  9 12  4  1 11
 4  8  5  9 11  3 12  1  6  7  0  2 10
11 12  0  4  1  7  8  2  3 10  5  6  9

 5  9  4  7  6 10  1  3 12 11  2  0  8
 6  3  8  5  2  7  4  0  1 10  9 12 11
 2 11 12  0  3  8  9  6  7  4  5 10  1
 9 10  1  4 12 11  5  8  3  2  6  7  0
 7  6  5  9 10  2  0 12 11  1  3  8  4
 3  8 11  6  7  1 10  9  4  0 12  5  2
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
10  7  0 12  8  3  2 11  5  6  1  4  9
 8  4  9 11  1  0 12 10  2  3  7  6  5
12  5  6 10  9  4  7  1  0  8 11  2  3
11  2  7  8  5  6  3  4  9 12  0  1 10
 1  0  3  2 11 12  8  5 10  7  4  9  6
 4 12 10  1  0  9 11  2  6  5  8  3  7

Проверила свойства этих ДЛК утилитой Harry White

[code]Order? 13

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_7.txt

Counts
------
16 diagonal Latin
16 associative
16 pandiagonal
16 ultramagic[/code]
Таким образом, представим, что мы написали программу полного перебора для построения идеальных не циклических ДЛК 13-го порядка по показанному выше паттерну.
Программа должна выдать эти 16 идеальных не циклических ДЛК.
То есть это решения. Но! Это ведь наверняка не все решения!
А нам нужны все. Как их найти?

Решила включить в паттерн две известные строки - первую и последнюю. Это, конечно, сильно уменьшит перебор.
Можно сделать программку, которая определит все потенциальные пары строк в таких ДЛК, но пока воспользуюсь уже известными парами.
Беру самый первый из представленных 16 идеальных не циклических ДЛК и включаю в паттерн две строки из него - первую и последнюю.
Паттерн теперь приобретает следующий вид

[code]10 4 1 6 8 2 5 9 11 12 7 0 3
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13
x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25 x26
x27 x28 x29 x30 x31 x32 x33 x34 x35 x36 x37 x38 x39
x40 x41 x42 x43 x44 x45 x46 x47 x48 x49 x50 x51 x52
x53 x54 x55 x56 x57 x58 x59 x60 x61 x62 x63 x64 x65
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y65 y64 y63 y62 y61 y60 y59 y58 y57 y56 y55 y54 y53
y52 y51 y50 y49 y48 y47 y46 y45 y44 y43 y42 y41 y40
y39 y38 y37 y36 y35 y34 y33 y32 y31 y30 y29 y28 y27
y26 y25 y24 y23 y22 y21 y20 y19 y18 y17 y16 y15 y14
y13 y12 y11 y10 y9 y8 y7 y6 y5 y4 y3 y2 y1
9 12 5 0 1 3 7 10 4 6 11 8 2[/code]
Существуют ли другие решения, соответствующие данному паттерну?
Условия Ñ12 11 6 3 8 5 2
1 3 12 11 2 0 8 5 9 4 7 6 10

3 6 7 2 9 10 4 5 11 8 12 0 1
2 10 12 5 6 11 0 9 1 3 7 4 8
1 11 8 0 3 12 7 4 2 6 9 10 5
9 3 4 1 2 6 10 8 12 5 11 7 0
6 7 10 8 5 9 1 11 0 2 3 12 4
5 9 11 12 7 0 3 10 4 1 6 8 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
10 4 6 11 8 2 9 12 5 0 1 3 7
8 0 9 10 12 1 11 3 7 4 2 5 6
12 5 1 7 0 4 2 6 10 11 8 9 3
7 2 3 6 10 8 5 0 9 12 4 1 11
4 8 5 9 11 3 12 1 6 7 0 2 10
11 12 0 4 1 7 8 2 3 10 5 6 9

5 9 4 7 6 10 1 3 12 11 2 0 8
6 3 8 5 2 7 4 0 1 10 9 12 11
2 11 12 0 3 8 9 6 7 4 5 10 1
9 10 1 4 12 11 5 8 3 2 6 7 0
7 6 5 9 10 2 0 12 11 1 3 8 4
3 8 11 6 7 1 10 9 4 0 12 5 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
10 7 0 12 8 3 2 11 5 6 1 4 9
8 4 9 11 1 0 12 10 2 3 7 6 5
12 5 6 10 9 4 7 1 0 8 11 2 3
11 2 7 8 5 6 3 4 9 12 0 1 10
1 0 3 2 11 12 8 5 10 7 4 9 6
4 12 10 1 0 9 11 2 6 5 8 3 7
[/code]
Проверила свойства этих ДЛК утилитой Harry White

[code]Order? 13

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_7.txt

Counts
------
16 diagonal Latin
16 associative
16 pandiagonal
16 ultramagic[/code]
Таким образом, представим, что мы написали программу полного перебора для построения идеальных не циклических ДЛК 13-го порядка по показанному выше паттерну.
Программа должна выдать эти 16 идеальных не циклических ДЛК.
То есть это решения. Но! Это ведь наверняка не все решения!
А нам нужны все. Как их найти?

Решила включить в паттерн две известные строки - первую и последнюю. Это, конечно, сильно уменьшит перебор.
Можно сделать программку, которая определит все потенциальные пары строк в таких ДЛК, но пока воспользуюсь уже известными парами.
Беру самый первый из представленных 16 идеальных не циклических ДЛК и включаю в паттерн две строки из него - первую и последнюю.
Паттерн теперь приобретает следующий вид

[code]10 4 1 6 8 2 5 9 11 12 7 0 3
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13
x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25 x26
x27 x28 x29 x30 x31 x32 x33 x34 x35 x36 x37 x38 x39
x40 x41 x42 x43 x44 x45 x46 x47 x48 x49 x50 x51 x52
x53 x54 x55 x56 x57 x58 x59 x60 x61 x62 x63 x64 x65
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y65 y64 y63 y62 y61 y60 y59 y58 y57 y56 y55 y54 y53
y52 y51 y50 y49 y48 y47 y46 y45 y44 y43 y42 y41 y40
y39 y38 y37 y36 y35 y34 y33 y32 y31 y30 y29 y28 y27
y26 y25 y24 y23 y22 y21 y20 y19 y18 y17 y16 y15 y14
y13 y12 y11 y10 y9 y8 y7 y6 y5 y4 y3 y2 y1
9 12 5 0 1 3 7 10 4 6 11 8 2[/code]
Существуют ли другие решения, соответствующие данному паттерну?
Условия составления квадрата очень жёсткие: идеальность означает ассоциативность и пандиагональность, причём не циклическую пандиагональность.

Ну вот и задача. Супер-задача!
Вчера начала писать программу. Программа пишется дьявольски медленно, приходится проверять каждый шаг, чтобы не ошибиться.
Далее покажу, как я решила начать составление квадрата.

Показываю иллюстрацию, как пишу программу



Решила попробовать диагональное заполнение.
Вчера почти сделала три диагонали: главную и две параллельные ей разломанные.
Чуть-чуть осталось дописать в этих диагоналях.
Для всех yi выполняется условие

yi = 12 - xi

Это условие ассоциативности ДЛК. Кроме того, должно выполняться условие пандиагональности ДЛК.

Этот паттерн, понятно, имеет решение.
Вот оно

10  4  1  6  8  2  5  9 11 12  7  0  3
12  5 11  7  0  9  3  4  1  2  6 10  8
 3  7  4  8  2 10 12  5  6 11  0  9  1
 5  6  9 11 12  0  4  1  7  8  2  3 10
 1 11  7  2  3  6 10  8  5  0  9 12  4
 6  8  0  9 10 12  1 11  3  7  4  2  5
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
 7 10  8  5  9  1 11  0  2  3 12  4  6
 8  0  3 12  7  4  2  6  9 10  5  1 11
 2  9 10  4  5 11  8 12  0  1  3  6  7
11  3 12  1  6  7  0  2 10  4  8  5  9
 4  2  6 10 11  8  9  3 12  5  1  7  0
 9 12  5  0  1  3  7 10  4  6 11  8  2

Единственное ли это решение???
При очень жёстких условиях на заполнение квадрата не удивлюсь, если решение окажется единственным.
Но лучше бы оно было не единственное.

PS. Разумеется, я пишу программу для пары строк (первой и последней) в общем виде, то есть для любой заданной пары строк программа будет работать.
Сейчас у нас есть 16 известных пар строк, но наверняка их будет больше.
Паттерн в общем виде

z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 z9 z10 z11 z12 z13
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13
x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25 x26
x27 x28 x29 x30 x31 x32 x33 x34 x35 x36 x37 x38 x39
x40 x41 x42 x43 x44 x45 x46 x47 x48 x49 x50 x51 x52
x53 x54 x55 x56 x57 x58 x59 x60 x61 x62 x63 x64 x65
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y65 y64 y63 y62 y61 y60 y59 y58 y57 y56 y55 y54 y53
y52 y51 y50 y49 y48 y47 y46 y45 y44 y43 y42 y41 y40
y39 y38 y37 y36 y35 y34 y33 y32 y31 y30 y29 y28 y27
y26 y25 y24 y23 y22 y21 y20 y19 y18 y17 y16 y15 y14
y13 y12 y11 y10 y9 y8 y7 y6 y5 y4 y3 y2 y1
v13 v12 v11 v10 v9 v8 v7 v6 v5 v4 v3 v2 v1

Первая строка {zi} вводится в программу, последняя строка {vi} получается из первой по свойству ассоциативности:

vi = 12 - zi

Уф!
Дописала заполнение двух разломанных диагоналей, они заполняются параллельно - по ассоциативности.
Вот что имею



Вроде не наврала.
Это ж надо каждый элемент проверить, чтобы он не повторился ни в строке, ни в столбце, ни в диагоналях.
Нельзя сказать, что программа очень сложная, но она длинная и требует колоссального внимания. Один символ неправильно написан - и всё летит собаке под хвост.
А потом попробуй-ка найти этот неправильный символ.
Но тут есть хотя бы возможность полной верификации программы, потому что есть известное решение.

В общем, осталось начать и кончить :)
Три диагонали заполнила, осталось заполнить 10. Все эти диагонали покроют весь квадрат.

Господа!
Вы можете мне помочь.
Вот много писали на форуме boinc.ru о некоем программисте Даниэле из Польши.
Все программы он модифицирует.
Но ко мне в темы почему-то не приходит.
Не знает о них?
Кто знает контакт этого Даниэля, пожалуйста, передайте ему моё приглашение.
Может быть, его заинтересуют и мои программы.

Раньше мне очень много помогал коллега из Канады Harry White; он написал десятки программ по моим алгоритмам.
Но он явно устал.
Потому что я неиссякаемый генератор алгоритмов :)
Это надо писать и писать программы непрерывно по 24 часа в сутки, чтобы все мои алгоритмы реализовать.
Я бесконечно благодарна ему за оказанную помощь.
Он сделал много замечательных инструментов для работы с ДЛК/ОДЛК.

Вчера программу не писала, дела домашние, бытовые...
Сегодня начала с раннего утречка.
Посмотрите на процесс



Идёт заполнение зелёненьких разломанных диагоналей. Как я уже говорила, заполняются они параллельно - по ассоциативности.
Пока вроде всё правильно.
Если где-то уже наврала, пожалуйста, сообщите нам с черепашкой.
Ох и трудно за всеми этими элементами уследить! :)
А мы будем продолжать.
Трудная работа, но делать надо.
Пока программа не тормозит; это понятно, пока перебор-то небольшой.
А чем дальше, тем будет сложнее.
Опасаюсь, что в какой-то момент программа уйдёт в глубокую задумчивость, и дождаться от неё решения будет проблематично.
Ну, посмотрим.

Да, напомню, зачем мне нужны все идеальные ДЛК такого вида.
Я потом применю к ним (ко всем!) преобразование параллельного переноса на торе и получу ещё сколько-то не циклических пандиагональных ДЛК 13-го порядка.
Кстати, с известными 16 идеальными ДЛК такого вида я это проделала (для проверки).
И да - получены те самые 208 нормализованных не циклических пандиагональных ДЛК.
Этот набор и дал известные 16 идеальных ДЛК.
Связь тут очевидная.

Посмотрите, что черепашка сотворила



Есть ошибки у черепашки?
Пожалуйста, проверьте, господа.
На мой взгляд пока всё верно.

Уф!
Ну я дико устала.
Осталось заполнить 8 разломанных диагоналей, всего 4 пары, то есть ещё 4 шага.
Да, интересно: на данный момент в переборе приняли участие 23 элемента, 5 элементов при заполнении главной диагонали и по 9 элементов на пару разломанных диагоналей.
Вот они - вложенные циклы

956 NEXT J14
958 NEXT J28
960 NEXT J42
962 NEXT J56
964 NEXT I60
966 NEXT I46
968 NEXT I32
970 NEXT I18
972 NEXT I4
974 NEXT J17
976 NEXT J31
978 NEXT I45
980 NEXT J59
982 NEXT I57
984 NEXT I43
986 NEXT I29
988 NEXT I15
990 NEXT I1
992 NEXT I58
994 NEXT I44
996 NEXT I30
998 NEXT I16
1000 NEXT I2

Этот этап выполняется мгновенно, то есть перебрать 23 элемента программа не затрудняется.

У нас ещё дождичек, дождичек... спать хочется... мозги плохо работают :)
Черепашка-то герой, готова и дальше в бой, а я не готова.
Надо сделать перерыв.

Господа, черепашка показывает свой новый результат



Выполнено ещё полшага, и осталось 3,5 шага.
Я проверяю картинку после каждого элемента, чтобы визуально отследить ошибки.
Иногда ошибка сразу видна, а иногда - не очень-то разглядишь ошибку визуально.
Поэтому мы с черепашкой просим вас проверить этот промежуточный результат.
Понятно, что программа сама всё проверяет, но... в программе могут быть ошибки.
Программа будет делать, что ей написали, а написать можно неправильно.

На данный момент в переборе приняли участие 28 элементов.
Пока программа выполняется мгновенно.

Так, настраиваюсь ещё на полшага :)
Напомню: один шаг - это заполнение двух параллельных разломанных диагоналей.
Полшага - заполнение двух параллельных разломанных диагоналей наполовину.

Не нашли ошибок на предыдущей картинке?

У нас с черепашкой новая картинка готова



Полностью заполнена ещё одна пара разломанных диагоналей.
Осталось заполнить всего 6 диагоналей из 13. Прогресс! Более 50% работы сделано.
На данном этапе в переборе участвуют 32 элемента.
Пока программа не тормозит, мгновенно выполняется.

Уже раскрасила следующую пару разломанных диагоналей.
Замечательный процесс. Вот так - по шажочкам строить этот идеальный квадратик.
Хорошо, если удастся получить новые решения дополнительно к 16 известным.

Кстати, тут алгоритм грубой силы в чистом виде.
Но! Это только для идеальных ДЛК.
Если отбросить свойство ассоциативности (и оставить только свойство пандиагональности), перебор сильно увеличится, и программа безусловно захлебнётся.
Я и для идеальных ДЛК волнуюсь - не захлебнулась бы.

Цитата

PS. Разумеется, я пишу программу для пары строк (первой и последней) в общем виде, то есть для любой заданной пары строк программа будет работать.
Сейчас у нас есть 16 известных пар строк, но наверняка их будет больше.
Паттерн в общем виде

z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 z9 z10 z11 z12 z13
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13
x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25 x26
x27 x28 x29 x30 x31 x32 x33 x34 x35 x36 x37 x38 x39
x40 x41 x42 x43 x44 x45 x46 x47 x48 x49 x50 x51 x52
x53 x54 x55 x56 x57 x58 x59 x60 x61 x62 x63 x64 x65
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y65 y64 y63 y62 y61 y60 y59 y58 y57 y56 y55 y54 y53
y52 y51 y50 y49 y48 y47 y46 y45 y44 y43 y42 y41 y40
y39 y38 y37 y36 y35 y34 y33 y32 y31 y30 y29 y28 y27
y26 y25 y24 y23 y22 y21 y20 y19 y18 y17 y16 y15 y14
y13 y12 y11 y10 y9 y8 y7 y6 y5 y4 y3 y2 y1
v13 v12 v11 v10 v9 v8 v7 v6 v5 v4 v3 v2 v1

Первая строка {zi} вводится в программу, последняя строка {vi} получается из первой по свойству ассоциативности:

vi = 12 - zi

Черепашка присоветовала: "Давай попробуем для другого варианта паттерна".
Умница моя черепашка :)

Ввожу в программу другую пару строк (первую и последнюю) из 16 известных пар.
Первая строка

Z(1)=1:Z(2)=3:Z(3)=12:Z(4)=11:Z(5)=2:Z(6)=0:Z(7)=8:Z(8)=5:Z(9)=9:Z(10)=4:Z(11)=7:Z(12)=6:Z(13)=10

Последняя строка получается из первой по свойству ассоциативности

vi = 12 - zi

Запускаю программу и мгновенно получаю такой квадратик (полузаполненный)



Всё работает и для этой пары строк.

Эх, ну где же этот великий оптимизатор Даниэль? :)
Прямо очень нужен он.
Вот как бы это мою программу оптимизировать, чтобы вжик-вжик - и готово.
А мне ещё дописывать её надо очень долго. Конечно, ковыряюсь я на своём Бейсике, как в каменном веке.
А помочь все стесняются :)

На второй картинке нет ли ошибок?
Я пристально не проверила, за что черепашка меня отругала :)

Мы ползём, бугорки обнимаем,
кочки тискаем...
© В. Высоцкий

Да, мы ползём, медленно, но настойчиво.
Выполнено ещё полшага, вот что получилось



Ошибок не вижу пока.
Черепашка ругается: "Смотри лучше! Потом будет труднее искать ошибки".
Ну, стараюсь смотреть лучше :)

На данном этапе в переборе участвуют 37 элементов. Уже немало, но пока программа не тормозит, 2-3 секунды задумчивости и результат готов.

Осталось текущие две разломанные диагонали заполнить, а потом ещё два шага останется.
Однако... квадрат начинает очень сильно быть похожим на известное решение.
Сравните с этим известным решением

10  4  1  6  8  2  5  9 11 12  7  0  3
12  5 11  7  0  9  3  4  1  2  6 10  8
 3  7  4  8  2 10 12  5  6 11  0  9  1
 5  6  9 11 12  0  4  1  7  8  2  3 10
 1 11  7  2  3  6 10  8  5  0  9 12  4
 6  8  0  9 10 12  1 11  3  7  4  2  5
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
 7 10  8  5  9  1 11  0  2  3 12  4  6
 8  0  3 12  7  4  2  6  9 10  5  1 11
 2  9 10  4  5 11  8 12  0  1  3  6  7
11  3 12  1  6  7  0  2 10  4  8  5  9
 4  2  6 10 11  8  9  3 12  5  1  7  0
 9 12  5  0  1  3  7 10  4  6 11  8  2

Главная диагональ уже один к одному выстроилась.
Вот прямо очень сильно подозреваю, что решение будет единственное, чего очень не хотелось бы.
Ну, тогда вся надежда на другие варианты паттернов.

Всё! Приползли! К известному решению.



Уже раскрасила две новые разломанные диагонали и собралась писать дальше.
Но... сравнила полученное решение с известным решением

10  4  1  6  8  2  5  9 11 12  7  0  3
12  5 11  7  0  9  3  4  1  2  6 10  8
 3  7  4  8  2 10 12  5  6 11  0  9  1
 5  6  9 11 12  0  4  1  7  8  2  3 10
 1 11  7  2  3  6 10  8  5  0  9 12  4
 6  8  0  9 10 12  1 11  3  7  4  2  5
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
 7 10  8  5  9  1 11  0  2  3 12  4  6
 8  0  3 12  7  4  2  6  9 10  5  1 11
 2  9 10  4  5 11  8 12  0  1  3  6  7
11  3 12  1  6  7  0  2 10  4  8  5  9
 4  2  6 10 11  8  9  3 12  5  1  7  0
 9 12  5  0  1  3  7 10  4  6 11  8  2

и вижу, что дальше можно не писать.
Решение уже выстроилось, других вариантов программа не находит для данного варианта паттерна; программа делает полный перебор до конца.
Решение единственное, чего я и опасалась.

Теперь надо проверить остальные 15 известных вариантов паттерна.
Если для них тоже нет новых решений, тогда надо написать программку и определить все возможные варианты паттернов, то есть варианты первой и последней строк в идеальном ДЛК.
Думаю, что их должно быть всё-таки больше известных 16.

Начала проверять известные 16 вариантов двух строк.
Пару вариантов проверила - одно решение выдала программа.
А вот для этого варианта программа выдала два решения (на данном этапе)



В красных ячейках показаны отличия.
Ох! Придётся дальше писать программу.
Подозреваю, что окончательное решение будет опять-таки одно.
Но надо убедиться в этом, а для этого надо дописать программу до конца.

Для следующего варианта строк программа выдала аж 4 решения на данном этапе

 8  10  7  12  2  0  11  5  6  4  1  9  3 
 7  12  0  1  5  4  0  0  0  0  11  8  6 
 1  11  5  4  9  6  3  0  0  0  0  12  2 
 4  8  6  2  3  10  7  11  0  0  0  0  0 
 3  9  10  0  11  2  12  1  5  0  0  0  0 
 0  5  12  7  1  3  8  0  2  6  0  0  0 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 0  0  0  6  10  12  4  9  11  5  0  7  0 
 0  0  0  0  7  11  0  10  1  12  2  3  9 
 12  0  0  0  0  1  5  2  9  10  6  4  8 
 10  0  0  0  0  0  9  6  3  8  7  1  11 
 6  4  1  0  0  0  0  8  7  11  12  0  5 
 9  3  11  8  6  7  1  12  10  0  5  2  4 

 8  10  7  12  2  0  11  5  6  4  1  9  3 
 7  12  0  1  5  4  0  0  0  0  11  10  6 
 1  11  5  4  9  6  3  0  0  0  0  12  2 
 4  8  6  2  3  10  7  11  0  0  0  0  0 
 3  9  10  0  11  8  12  1  5  0  0  0  0 
 0  5  12  7  1  3  2  0  4  6  0  0  0 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 0  0  0  6  8  12  10  9  11  5  0  7  0 
 0  0  0  0  7  11  0  4  1  12  2  3  9 
 12  0  0  0  0  1  5  2  9  10  6  4  8 
 10  0  0  0  0  0  9  6  3  8  7  1  11 
 6  2  1  0  0  0  0  8  7  11  12  0  5 
 9  3  11  8  6  7  1  12  10  0  5  2  4 

 8  10  7  12  2  0  11  5  6  4  1  9  3 
 7  12  0  1  5  4  0  0  0  0  11  8  6 
 1  11  5  4  9  6  3  0  0  0  0  12  2 
 4  8  6  2  3  10  7  11  0  0  0  0  0 
 3  9  10  0  11  2  12  1  5  0  0  0  0 
 0  5  12  7  1  9  8  0  2  6  0  0  0 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 0  0  0  6  10  12  4  3  11  5  0  7  0 
 0  0  0  0  7  11  0  10  1  12  2  3  9 
 12  0  0  0  0  1  5  2  9  10  6  4  8 
 10  0  0  0  0  0  9  6  3  8  7  1  11 
 6  4  1  0  0  0  0  8  7  11  12  0  5 
 9  3  11  8  6  7  1  12  10  0  5  2  4 

 8  10  7  12  2  0  11  5  6  4  1  9  3 
 7  12  0  1  5  4  0  0  0  0  11  10  6 
 1  11  5  4  9  6  3  0  0  0  0  12  2 
 4  8  6  2  3  10  7  11  0  0  0  0  0 
 3  9  10  0  11  8  12  1  5  0  0  0  0 
 0  5  12  7  1  9  2  0  4  6  0  0  0 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 
 0  0  0  6  8  12  10  3  11  5  0  7  0 
 0  0  0  0  7  11  0  4  1  12  2  3  9 
 12  0  0  0  0  1  5  2  9  10  6  4  8 
 10  0  0  0  0  0  9  6  3  8  7  1  11 
 6  2  1  0  0  0  0  8  7  11  12  0  5 
 9  3  11  8  6  7  1  12  10  0  5  2  4 

Три полуфабриката дальше отсеются, скорее всего, и останется одно решение.
Посмотрим.

Итак, пишу заполнение следующей пары разломанных диагоналей, они уже раскрашены на иллюстрации.
Программу всё равно надо дописать. Вдруг найдутся новые варианты двух строк, надо будет их проверять.

Программа дописывается тяжело.
Скоро покажу новую картинку от черепашки.
Уже достигли такого этапа, когда два варианта решения превратились в один вариант для проверяемых двух строк (в предыдущем посте показаны два полуфабриката рядом).

Ну вот и картинка



И это уже полностью совпадает с известным решением.
То есть решение опять же единственное для этого варианта паттерна.

Теперь проверять дальше и дописывать уже программу до конца.
Ужасно долго это пишется, чем дальше, тем больше проверок для каждого элемента.
Но надо уже добивать.

Для данного этапа заполнения квадрата проверила все 16 вариантов паттернов.
Полный перебор программа выполняет за 3-5 секунд; решение для всех вариантов паттерна найдено единственное.
Кажется, ошибок больше нет в программе. Было несколько подводных камней, долго пришлось их выискивать.
Может, и ещё остались, но на известных решениях они не проявляются.
Это очень трудно выявить, когда ошибки проявляются не на всех решениях.

Однако пора заняться дописыванием программы :)
Осталось написать поиск 12 элементов квадрата, остальные 12 элементов определятся по свойству ассоциативности.
На данном этапе в переборе участвуют 43 элемента квадрата; вот вложенные циклы

916 NEXT I21
918 NEXT I7
920 NEXT J25
922 NEXT J39
924 NEXT J40
926 NEXT J54
928 NEXT I62
930 NEXT I48
932 NEXT I34
934 NEXT I20
936 NEXT I6
938 NEXT J26
940 NEXT J27
942 NEXT J41
944 NEXT J55
946 NEXT I61
948 NEXT I47
950 NEXT I33
952 NEXT I19
954 NEXT I5
956 NEXT J14
958 NEXT J28
960 NEXT J42
962 NEXT J56
964 NEXT I60
966 NEXT I46
968 NEXT I32
970 NEXT I18
972 NEXT I4
974 NEXT J17
976 NEXT J31
978 NEXT I45
980 NEXT J59
982 NEXT I57
984 NEXT I43
986 NEXT I29
988 NEXT I15
990 NEXT I1
992 NEXT I58
994 NEXT I44
996 NEXT I30
998 NEXT I16
1000 NEXT I2

Из 12 оставшихся элементов не все будут свободными (то есть перебираться).

Дублирую сообщение
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=132&postid=2168

Ну как, господа, вы разглядели цикличность в этом пандиагональном ДЛК 13-го порядка?

   0 11  1  7  5  9  3 10  4  8  6 12  2
   9  7  0  3  1 12  2  8  6 10  4 11  5
  11  5 12  6 10  8  1  4  2  0  3  9  7
   1  4 10  8 12  6  0  7 11  9  2  5  3
  10  3  6  4  2  5 11  9  0  7  1  8 12
   8  2  9  0 11  4  7  5  3  6 12 10  1
   7  0 11  2  9  3 10  1 12  5  8  6  4
   6  9  7  5  8  1 12  3 10  4 11  2  0
   5 12  3  1  7 10  8  6  9  2  0  4 11
   3  1  5 12  6  0  4  2  8 11  9  7 10
  12 10  8 11  4  2  6  0  7  1  5  3  9
   2  6  4 10  0 11  9 12  5  3  7  1  8
   4  8  2  9  3  7  5 11  1 12 10  0  6

Сейчас покажу иллюстрацию и расскажу про эту цикличность в направлении (1,4).

Иллюстрация



Раскраской показана цикличность в четырёх первых строках (сверху).
Числа в каждой следующей строке сдвигаются относительно предыдущей строки на 4 ячейки вправо. При этом все числа увеличиваются на 1 (по модулю 13).
Вот и вся цикличность.

Тэк-с, на торе я этот квадратик прокатила; это дало мне 13 полуциклических пандиагональных ДЛК в направлении (1,4).
Ну, я так думаю :)
Если неправильно думаю, эксперты поправят.
Что бы такое ещё с этим квадратиком сделать?
Преобразование "строки-диагонали" тут ничего не даст.
Есть ещё одна идейка, надо опробовать.

А у вас есть идеи, господа?

Буду обсуждать эксперимент с этим квадратом дальше.

Применив у этому ДЛК преобразование переноса на торе, я получила 13 нормализованных полуциклических ДЛК с цикличностью в направлении (1,4).
Покажу их все

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
 2  3  0  1  7 10 11  9  6 12  8  4  5
 1  5  6 12 11  9  7 10  4  3  0  2  8
 9  7 11  5 10 12  8  1  0  2  4  3  6
11  6  9  8  2  4  0 12  3  1  5 10  7
10 12  3  4  0  8  2  5 11  6  7  1  9
 8  4 10  2  3  1  9  6  7  5 11 12  0
12  0  1  7  5  6  3 11  9 10  2  8  4
 3 11  5  6  1  7 10  4 12  8  9  0  2
 5  2  7 11  9  0 12  8 10  4  3  6  1
 6  9  8 10 12 11  4  0  2  7  1  5  3
 4 10 12  9  8  2  5  3  1  0  6  7 11
 7  8  4  0  6  3  1  2  5 11 12  9 10

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
 2 12  0  6  9 10  8  5 11  7  3  4  1
 4  5 11 10  8  6  9  3  2 12  1  7  0
 6 10  4  9 11  7  0 12  1  3  2  5  8
 5  8  7  1  3 12 11  2  0  4  9  6 10
11  2  3 12  7  1  4 10  5  6  0  8  9
 3  9  1  2  0  8  5  6  4 10 11 12  7
12  0  6  4  5  2 10  8  9  1  7  3 11
10  4  5  0  6  9  3 11  7  8 12  1  2
 1  6 10  8 12 11  7  9  3  2  5  0  4
 8  7  9 11 10  3 12  1  6  0  4  2  5
 9 11  8  7  1  4  2  0 12  5  6 10  3
 7  3 12  5  2  0  1  4 10 11  8  9  6

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
 2 12  5  1 10 11  8  9  6  7  0  3  4
 3 10  9  6  8  1  7 11 12  5  4  2  0
 7  6  8 10  9 12  2  0  4 11  3  5  1
 5  9  7 11  3  0  4 12  2  1  8 10  6
11  4 12  0  7  2  3  5  9 10  6  1  8
12  0 11  4  5  6  1 10  3  8  9  7  2
 4  2  3  8  1 10  5  6  7  0 11 12  9
10  5  1  2  6  8  9  4 11 12  7  0  3
 1  3 10  9 12  7 11  8  0  4  2  6  5
 6  8  0  7 11  9 12  2  1  3  5  4 10
 9  7  6 12  0  4 10  3  5  2  1  8 11
 8 11  4  5  2  3  0  1 10  6 12  9  7

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
 3  6  7  5  2  8  4  0  1 11 12  9 10
 7  5  3  6  0 12  9 11  4 10  1  2  8
 6  8  4 10  9 11  0 12  2  5  3  7  1
11  0  9  8 12 10  1  6  3  7  2  5  4
 9  4 11  1  7  2  3 10  5  6  8 12  0
12 10  5  2  3  1  7  8  9  4  0  6 11
 1  2 12  7  5  6 11  4  0  8  9 10  3
10  3  6  0  8  4  5  9 11 12  7  1  2
 5  9  8  4  6  0 12  2 10  1 11  3  7
 8  7  0  9 11  3 10  1 12  2  5  4  6
 4 11  1 12 10  9  2  3  7  0  6  8  5
 2 12 10 11  1  7  8  5  6  3  4  0  9

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
 3 12  8  9  6  7  4  5 11  1  2  0 10
 7  4  6 12  5  9 10  3  2  0 11  1  8
 6  8  7 10  0 11  2  9  1  3 12  5  4
 5  9  1 11  2 10  0 12  6  8  4  3  7
10 11  5  0  1  3  7  8  4 12  6  9  2
 9  2  3  4 12  8  1  6  7  5  0 10 11
 1  6 12  8  3  4  5 11  9 10  7  2  0
12  0  4  6  7  2  9 10  5 11  1  8  3
 8  7 10  5  9  6 11  2  0  4  3 12  1
11  5  9  7 10  0 12  1  3  2  8  4  6
 4 10 11  2  8  1  3  0 12  6  9  7  5
 2  3  0  1 11 12  8  4 10  7  5  6  9

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
 5  3  0  6  2 11 12  9 10  7  8  1  4
 1  4 11 10  7  9  2  8 12  0  6  5  3
 2  8  7  9 11 10  0  3  1  5 12  4  6
 7  6 10  8 12  4  1  5  0  3  2  9 11
 9 12  5  0  1  8  3  4  6 10 11  7  2
 3  0  1 12  5  6  7  2 11  4  9 10  8
10  5  3  4  9  2 11  6  7  8  1 12  0
 4 11  6  2  3  7  9 10  5 12  0  8  1
 6  2  4 11 10  0  8 12  9  1  5  3  7
11  7  9  1  8 12 10  0  3  2  4  6  5
12 10  8  7  0  1  5 11  4  6  3  2  9
 8  9 12  5  6  3  4  1  2 11  7  0 10

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
 5  6  4  1  7  3 12  0 10 11  8  9  2
 4  2  5 12 11  8 10  3  9  0  1  7  6
 7  3  9  8 10 12 11  1  4  2  6  0  5
12  8  7 11  9  0  5  2  6  1  4  3 10
 3 10  0  6  1  2  9  4  5  7 11 12  8
 9  4  1  2  0  6  7  8  3 12  5 10 11
 1 11  6  4  5 10  3 12  7  8  9  2  0
 2  5 12  7  3  4  8 10 11  6  0  1  9
 8  7  3  5 12 11  1  9  0 10  2  6  4
 6 12  8 10  2  9  0 11  1  4  3  5  7
10  0 11  9  8  1  2  6 12  5  7  4  3
11  9 10  0  6  7  4  5  2  3 12  8  1

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
 6  3  4  1  2  8 11 12 10  7  0  9  5
 9  2  6  7  0 12 10  8 11  5  4  1  3
 7 10  8 12  6 11  0  9  2  1  3  5  4
 8 12  7 10  9  3  5  1  0  4  2  6 11
10 11  0  4  5  1  9  3  6 12  7  8  2
 1  9  5 11  3  4  2 10  7  8  6 12  0
 5  0  1  2  8  6  7  4 12 10 11  3  9
 3  4 12  6  7  2  8 11  5  0  9 10  1
 2  6  3  8 12 10  1  0  9 11  5  4  7
 4  7 10  9 11  0 12  5  1  3  8  2  6
12  5 11  0 10  9  3  6  4  2  1  7  8
11  8  9  5  1  7  4  2  3  6 12  0 10

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
 6  7  4  5  2  3  9 12  0 11  8  1 10
 4 10  3  7  8  1  0 11  9 12  6  5  2
 5  8 11  9  0  7 12  1 10  3  2  4  6
12  9  0  8 11 10  4  6  2  1  5  3  7
 3 11 12  1  5  6  2 10  4  7  0  8  9
 1  2 10  6 12  4  5  3 11  8  9  7  0
10  6  1  2  3  9  7  8  5  0 11 12  4
 2  4  5  0  7  8  3  9 12  6  1 10 11
 8  3  7  4  9  0 11  2  1 10 12  6  5
 7  5  8 11 10 12  1  0  6  2  4  9  3
 9  0  6 12  1 11 10  4  7  5  3  2  8
11 12  9 10  6  2  8  5  3  4  7  0  1

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
11  4  0  9 10  7  8  5  6 12  2  3  1
 9  8  5  7  0  6 10 11  4  3  1 12  2
 5  7  9  8 11  1 12  3 10  2  4  0  6
 8  6 10  2 12  3 11  1  0  7  9  5  4
 3 11 12  6  1  2  4  8  9  5  0  7 10
12 10  3  4  5  0  9  2  7  8  6  1 11
 1  2  7  0  9  4  5  6 12 10 11  8  3
 4  0  1  5  7  8  3 10 11  6 12  2  9
 2  9  8 11  6 10  7 12  3  1  5  4  0
 7 12  6 10  8 11  1  0  2  4  3  9  5
 6  5 11 12  3  9  2  4  1  0  7 10  8
10  3  4  1  2 12  0  9  5 11  8  6  7

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
11  4  7  8  6  3  9  5  1  2 12  0 10
 9  8  6  4  7  1  0 10 12  5 11  2  3
 2  7  9  5 11 10 12  1  0  3  6  4  8
 5 12  1 10  9  0 11  2  7  4  8  3  6
 1 10  5 12  2  8  3  4 11  6  7  9  0
12  0 11  6  3  4  2  8  9 10  5  1  7
 4  2  3  0  8  6  7 12  5  1  9 10 11
 3 11  4  7  1  9  5  6 10 12  0  8  2
 8  6 10  9  5  7  1  0  3 11  2 12  4
 7  9  8  1 10 12  4 11  2  0  3  6  5
 6  5 12  2  0 11 10  3  4  8  1  7  9
10  3  0 11 12  2  8  9  6  7  4  5  1

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
11  7  8  5  6  3  4 10  0  1 12  9  2
 3  5 11  4  8  9  2  1 12 10  0  7  6
 7  6  9 12 10  1  8  0  2 11  4  3  5
 8  0 10  1  9 12 11  5  7  3  2  6  4
10  4 12  0  2  6  7  3 11  5  8  1  9
 1  2  3 11  7  0  5  6  4 12  9 10  8
 5 11  7  2  3  4 10  8  9  6  1 12  0
12  3  5  6  1  8  9  4 10  0  7  2 11
 6  9  4  8  5 10  1 12  3  2 11  0  7
 4  8  6  9 12 11  0  2  1  7  3  5 10
 9 10  1  7  0  2 12 11  5  8  6  4  3
 2 12  0 10 11  7  3  9  6  4  5  8  1

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
11 12  5  8  9  7  4 10  6  2  3  0  1
 4 10  9  7  5  8  2  1 11  0  6 12  3
 9  3  8 10  6 12 11  0  2  1  4  7  5
 7  6  0  2 11 10  1 12  3  8  5  9  4
 1  2 11  6  0  3  9  4  5 12  7  8 10
 8  0  1 12  7  4  5  3  9 10 11  6  2
12  5  3  4  1  9  7  8  0  6  2 10 11
 3  4 12  5  8  2 10  6  7 11  0  1  9
 5  9  7 11 10  6  8  2  1  4 12  3  0
 6  8 10  9  2 11  0  5 12  3  1  4  7
10  7  6  0  3  1 12 11  4  5  9  2  8
 2 11  4  1 12  0  3  9 10  7  8  5  6

Отмечу, что после нормализации никакой цикличности вообще не видно в ДЛК.
ДЛК, конечно, пандиагональные.
Можно ли считать их полуциклическими в направлении (1,4)?
Будем считать, что можно.
Итак найдены 13 полуциклических пандиагональынх ДЛК 13-го порядка, которые не являются полуциклическими с цикличностью в строках, в столбцах и в диагоналях в смысле, рассмотренном ранее.
Таким образом, вроде бы это 13 полуциклических пандиагональных ДЛК из недостающих 208.

Интересное продолжение.
Попросила Harry White написать программу построения пандиагональных ДЛК с цикличностью в направлении (1,4).
Он написал. Его программа нашла 338 таких ДЛК.
Показываю несколько первых ДЛК

 0  1  8  7  9  3 10 12 11  5  6  4  2
 6  7  5  3  1  2  9  8 10  4 11  0 12
 5 12  1  0  7  8  6  4  2  3 10  9 11
 4 11 10 12  6  0  2  1  8  9  7  5  3
10  8  6  4  5 12 11  0  7  1  3  2  9
 2  4  3 10 11  9  7  5  6  0 12  1  8
 1  0  2  9  3  5  4 11 12 10  8  6  7
11  9  7  8  2  1  3 10  4  6  5 12  0
 7  6  0  1 12 10  8  9  3  2  4 11  5
 3  5 12  6  8  7  1  2  0 11  9 10  4
12 10 11  5  4  6  0  7  9  8  2  3  1
 9  3  4  2  0 11 12  6  5  7  1  8 10
 8  2  9 11 10  4  5  3  1 12  0  7  6

 0  1 12 10  8  9  3  2  4 11  5  7  6
12  6  8  7  1  2  0 11  9 10  4  3  5
11  5  4  6  0  7  9  8  2  3  1 12 10
 4  2  0 11 12  6  5  7  1  8 10  9  3
 9 11 10  4  5  3  1 12  0  7  6  8  2
 8  7  9  3 10 12 11  5  6  4  2  0  1
 5  3  1  2  9  8 10  4 11  0 12  6  7
 1  0  7  8  6  4  2  3 10  9 11  5 12
10 12  6  0  2  1  8  9  7  5  3  4 11
 6  4  5 12 11  0  7  1  3  2  9 10  8
 3 10 11  9  7  5  6  0 12  1  8  2  4
 2  9  3  5  4 11 12 10  8  6  7  1  0
 7  8  2  1  3 10  4  6  5 12  0 11  9

 0  2  1  8  9  7  5  3  4 11 10 12  6
12 11  0  7  1  3  2  9 10  8  6  4  5
 9  7  5  6  0 12  1  8  2  4  3 10 11
 5  4 11 12 10  8  6  7  1  0  2  9  3
 1  3 10  4  6  5 12  0 11  9  7  8  2
10  8  9  3  2  4 11  5  7  6  0  1 12
 7  1  2  0 11  9 10  4  3  5 12  6  8
 6  0  7  9  8  2  3  1 12 10 11  5  4
11 12  6  5  7  1  8 10  9  3  4  2  0
 4  5  3  1 12  0  7  6  8  2  9 11 10
 3 10 12 11  5  6  4  2  0  1  8  7  9
 2  9  8 10  4 11  0 12  6  7  5  3  1
 8  6  4  2  3 10  9 11  5 12  1  0  7

 0  2  9  3  5  4 11 12 10  8  6  7  1
 9  7  8  2  1  3 10  4  6  5 12  0 11
 6  0  1 12 10  8  9  3  2  4 11  5  7
 5 12  6  8  7  1  2  0 11  9 10  4  3
10 11  5  4  6  0  7  9  8  2  3  1 12
 3  4  2  0 11 12  6  5  7  1  8 10  9
 2  9 11 10  4  5  3  1 12  0  7  6  8
 1  8  7  9  3 10 12 11  5  6  4  2  0
 7  5  3  1  2  9  8 10  4 11  0 12  6
12  1  0  7  8  6  4  2  3 10  9 11  5
11 10 12  6  0  2  1  8  9  7  5  3  4
 8  6  4  5 12 11  0  7  1  3  2  9 10
 4  3 10 11  9  7  5  6  0 12  1  8  2

 0  3  1 12  2  8  6 10  4 11  5  9  7
12  6 10  8  1  4  2  0  3  9  7 11  5
10  8 12  6  0  7 11  9  2  5  3  1  4
 6  4  2  5 11  9  0  7  1  8 12 10  3
 9  0 11  4  7  5  3  6 12 10  1  8  2
11  2  9  3 10  1 12  5  8  6  4  7  0
 7  5  8  1 12  3 10  4 11  2  0  6  9
 3  1  7 10  8  6  9  2  0  4 11  5 12
 5 12  6  0  4  2  8 11  9  7 10  3  1
 8 11  4  2  6  0  7  1  5  3  9 12 10
 4 10  0 11  9 12  5  3  7  1  8  2  6
 2  9  3  7  5 11  1 12 10  0  6  4  8
 1  7  5  9  3 10  4  8  6 12  2  0 11

Смотрим внимательно.
В ДЛК есть указанная цикличность в направлении (1,4), если, конечно, я правильно её поняла.
Но почему ДЛК так много?
Наверное, надо рассматривать только нормализованные ДЛК (?)
Нормализую ДЛК этой порции, удаляю дубликаты и... получаю 26 нормализованных ДЛК.
Фокус-покус!!
То есть есть уже две порции по 13.
Остаётся найти ещё 14 порций по 13, и недостающие 208 полуциклических пандиагональных ДЛК будут в кармане.
Но как искать другие порции?

Кстати: порция, полученная Harry (26 ДЛК), содержит порцию, полученную мной (13 ДЛК).
Таким образом, у нас есть пока только две порции по 13, всего 26 полуциклических пандиагональных ДЛК 13-го порядка с цикличностью в направлении (1,4).
Существую ли какие-то другие подобные направления? Например, (1,5), (1,6)?
Или, может быть, увеличивать числа можно не только на 1, а, скажем, на 2, на 3.
Ну, что-то же надо придумать, чтобы найти недостающие полуциклические пандиагональные ДЛК 13-го порядка.
А недостающих сейчас: 208 - 26 = 182, то есть 14 порций по 13.
Фантастическая задача!
Я фантазирую :)
Некто приводит в OEIS количество 1560 и его совершенно не заботит, как эти 1560 "живых" квадратов найти.
И это уже в двух статьях OEIS!
Это совсем свежая статья
https://oeis.org/A343867

Number of semicyclic pandiagonal Latin squares of order 2*n+1 with the first row in ascending order.
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1560, 0, 34000, 175104, 0, 22417824

Приведён единственный квадрат из известной статьи

  0 11  1  7  5  9  3 10  4  8  6 12  2
  9  7  0  3  1 12  2  8  6 10  4 11  5
  11  5 12  6 10  8  1  4  2  0  3  9  7
  1  4 10  8 12  6  0  7 11  9  2  5  3
  10  3  6  4  2  5 11  9  0  7  1  8 12
   8  2  9  0 11  4  7  5  3  6 12 10  1
   7  0 11  2  9  3 10  1 12  5  8  6  4
   6  9  7  5  8  1 12  3 10  4 11  2  0
   5 12  3  1  7 10  8  6  9  2  0  4 11
   3  1  5 12  6  0  4  2  8 11  9  7 10
  12 10  8 11  4  2  6  0  7  1  5  3  9
   2  6  4 10  0 11  9 12  5  3  7  1  8
   4  8  2  9  3  7  5 11  1 12 10  0  6

и на этом всё.
Как найти эти 1560 полуциклических пандиагональных ДЛК 13-го порядка с первой строкой в возрастающем порядке, одному Богу известно.
Впрочем, может быть, автор статьи это знает. Но... где в статье хоть какой-нибудь намёк на алгоритм поиска???
Да, есть алгоритм поиска полуциклических пандиагональных ДЛК с цикличностью в строках. А с другими видами цикличности где алгоритм поиска?

Всё-таки на мой необразованный взгляд статья должна писаться так, чтобы было понятно, что за объекты приведены в статье и как их можно найти.
Я нашла 4 порции нормализованных полуциклических пандиагональных ДЛК 13-го порядка (338*4=1352) по своему алгоритму и пыталась добавить их в OEIS (дважды!).
Не пропустили! Не нужны, потому что не комплект

Tue May 25 11:57
Andrew Howroyd: If you have question regarding A343867/A343868 rather send me an email via wiki. There is no point adding a incomplete list of squares even to those sequences.

Ёлки-палки! Так выложите уже, наконец, комплект!!!

Мне говорят: в OEIS не нужны квадраты, нужны только количества.
"Мы индекс", - говорит редактор.
И что делать с этим индексом? Кому-то интересен голый индекс???