Thread 'Semi-cyclic pandiagonal DLS of prime order n>11'

Message boards : Science : Semi-cyclic pandiagonal DLS of prime order n>11
Message board moderation

To post messages, you must log in.

1 · 2 · 3 · 4 . . . 7 · Next

AuthorMessage
ProfileNatalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 22 Oct 17
Posts: 3083
Credit: 0
RAC: 0
Message 1800 - Posted: 13 Apr 2021, 6:26:31 UTC
Last modified: 13 Apr 2021, 7:24:16 UTC

Итак, последовательность OEIS https://oeis.org/A338620 бурно обсудили, моя последняя правка повисла, то есть и не утверждена, и не отвергнута.
1560 полуциклических пандиагональных ЛК 13-го порядка так и не найдены.
По крайней мере, в статье OEIS я их не вижу.
Редактор настоятельно рекомендовал мне создать новую последовательность - о полуциклических пандиагональных ЛК.
Я с голыми числами последовательности не создаю. Мне нужны сами квадраты.

Пока я создаю тему, посвящённую полуциклическим пандиагональным ДЛК.
Сразу замечу, что все пандиагональные ЛК являются ДЛК по определению, поэтому я буду говорить "пандиагональные ДЛК", а не "пандиагональные ЛК".

Определение полуциклических пандиагональных ДЛК можно посмотреть в статье
A. O. L. Atkin, L. Hay, and R. G. Larson, Enumeration and construction of pandiagonal Latin squares of prime order, Computers & Mathematics with Applications, Volume. 9, Iss. 2, 1983, pp. 267-292.

Мне удалось найти только 1352 нормализованных полуциклических пандиагональных ДЛК 13-го порядка.
Это описано в теме Experiment (pandiagonal DLS of order 13).
Как найти остальные 208 таких ДЛК, я пока не знаю.
Попросила помощи у коллег М. Алексеева, А. Белышева и Harry White, ни одного ответа пока не получено.
Либо коллегам некогда заниматься квадратами, либо они тоже не знают, как решить эту задачу. Скорее всего, просто не хотят этим заниматься, их не интересует эта проблема.
Так что, проблема открытая, все приглашаются для обдумывания, как найти решение.

В указанной выше статье эта проблема решена; как найти все 1560 нормализованных полуциклических пандиагональных ДЛК 13-го порядка, подробно описывается.
Но у меня трудности с переводом (я не читаю по-английски), поэтому не разобралась в этой статье.
Несколько переведённых фрагментов из статьи приведены в теме Experiment (pandiagonal DLS of order 13).
Например:
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 8.2. Для n = 13 простые PL-квадраты выглядят следующим образом: (a) существует 10 = 1 x 10 классов эквивалентности из путей индекса 1; (b) существует 624 = 6 x 104 классов эквивалентности из путей внутреннего индекса 2; (c) существует 312 = 4 X 78 классов эквивалентности из путей внутреннего индекса 3; (d) существует 624 = 4 x 156 классов эквивалентности из путей внутреннего индекса 6. Следовательно, существует 1570 классов эквивалентности простых PL-квадратов.

Думаю, что в пункте (а) речь идёт о циклических пандиагональных ЛК 13-го порядка, которых 10 (нормализованных).
Остальные 1560 квадратов полуциклические пандиагональные.
ID: 1800 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
ProfileNatalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 22 Oct 17
Posts: 3083
Credit: 0
RAC: 0
Message 1801 - Posted: 13 Apr 2021, 6:45:31 UTC
Last modified: 15 Apr 2021, 5:43:19 UTC

А теперь смотрим последовательность OEIS https://oeis.org/A071607, на которую указана ссылка в последовательности https://oeis.org/a338620

A071607 Number of strong complete mappings of the cyclic group Z_{2n+1}.
1, 0, 2, 4, 0, 8, 348, 0, 8276, 43184, 0, 5602176, 78309000, 0, 20893691564

Как я понимаю, для n=13 член этой последовательности (348) даёт именно то количество ДЛК, которое мной получено при перестановке строк (оставляя первую строку на месте) в нормализованном циклическом пандиагональном ДЛК 13-го порядка.
И в этом наборе ДЛК содержатся 10 нормализованных циклических пандиагональных ДЛК. Остальные 338 ДЛК - нормализованные полуциклические пандиагональные. Эти пандиагональные ДЛК с цикличностью только в строках.
Исходный нормализованный циклический пандиагональный ДЛК 13-го порядка

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1
4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3
6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5
8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7
10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2
5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4
7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6
9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8
11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Далее точно так же я сделала перестановку столбцов в том же нормализованном циклическом пандиагональном ДЛК 13-го порядка и получила новые 338 нормализованных полуциклических пандиагональных ДЛК. Эти пандиагональные ДЛК с цикличностью только в столбцах.

Затем я применила к полученным 676 нормализованным полуциклическим пандиагональным ДЛК разработанное мной для пандиагональных магических квадратов преобразование "строки- диагонали" и получила 676 новых нормализованных полуциклических пандиагональных ДЛК (338 из них с цикличностью в диагоналях параллельных главной диагонали, а 338 - с цикличностью в диагоналях параллельных побочной диагонали).
Всего получено 1352 нормализованных полуциклических пандиагональных ДЛК 13-го порядка.

Покажу матрицу преобразования "строки-диагонали" для пандиагональных магических квадратов 13-го порядка

a11 a22 a33 a44 a55 a66 a77 a88 a99 a10,10 a11,11 a12,12 a13,13
a1,10 a2,11 a3,12 a4,13 a51 a62 a73 a84 a95 a10,6 a11,7 a12,8 a13,9
a16 a27 a38 a49 a5,10 a6,11 a7,12 a8,13 a91 a10,2 a11,3 a12,4 a13,5
a12 a23 a34 a45 a56 a67 a78 a89 a9,10 a10,11 a11,12 a12,13 a13,1
a1,11 a2,12 a3,13 a41 a52 a63 a74 a85 a96 a10,7 a11,8 a12,9 a13,10
a17 a28 a39 a4,10 a5,11 a6,12 a7,13 a81 a92 a10,3 a11,4 a12,5 a13,6
a13 a24 a35 a46 a57 a68 a79 a8,10 a9,11 a10,12 a11,13 a12,1 a13,2
a1,12 a2,13 a31 a42 a53 a64 a75 a86 a97 a10,8 a11,9 a12,10 a13,11
a18 a29 a3,10 a4,11 a5,12 a6,13 a71 a82 a93 a10,4 a11,5 a12,6 a13,7
a14 a25 a36 a47 a58 a69 a7,10 a8,11 a9,12 a10,13 a11,1 a12,2 a13,3
a1,13 a21 a32 a43 a54 a65 a76 a87 a98 a10,9 a11,10 a12,11 a13,12
a19 a2,10 a3,11 a4,12 a5,13 a61 a72 a83 a94 a10,5 a11,6 a12,7 a13,8
a15 a26 a37 a48 a59 a6,10 a7,11 a8,12 a9,13 a10,1 a11,2 a12,3 a13,4

Поскольку пандиагональные ДЛК - это вид пандиагональных магических квадратов, для них это преобразование тоже работает.

Примечание: в индексации элементов запятая не поставлена, когда оба индекса однозначные. Например: а25.
Запятая поставлена, когда один из индексов двузначный (или оба двузначные). Например: а12,3.

Теперь хочу проделать то же самое для порядка 17.
Конечно, делать полную перестановку для ДЛК 17-го порядка очень долго на моём ПК, поэтому хочу найти несколько примеров.
ID: 1801 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
ProfileNatalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 22 Oct 17
Posts: 3083
Credit: 0
RAC: 0
Message 1802 - Posted: 13 Apr 2021, 6:51:38 UTC
Last modified: 13 Apr 2021, 8:44:39 UTC

Прежде всего отмечу, что для порядка 17 существует 14 нормализованных циклических пандиагональных ДЛК.
Все эти ДЛК из полной системы MOLS данного порядка.
Покажу эти ДЛК

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5
8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7
10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6
9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8
11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5
9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8
12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6
10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4
8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7
11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3
8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7
12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6
11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5
10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4
9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8
13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4
10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2
8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7
13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5
11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3
9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8
14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6
12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5
12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6
13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1
8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7
14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2
9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8
15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3
10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4
11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6
14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3
11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0
8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7
15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4
12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1
9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8
16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5
13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2
10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7
16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6
15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5
14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4
13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3
12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2
11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1
10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0
9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0
10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1
11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2
12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3
13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4
14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5
15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6
16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2
13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5
16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1
12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4
15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0
11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3
14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4
16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3
15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2
14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1
13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0
12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1
14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3
16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0
13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2
15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0
14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1
15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2
16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1
16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0
15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0
16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1
5 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1
15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2
16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1
16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0
15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0
16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1[/code]
Проверка свойств этих ДЛК утилитой Harry White

[code]Order? 17

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_7.txt

Counts
------
14 diagonal Latin
14 pandiagonal
14 center symmetric
14 nfr
13 orthogonal pair
14 self-orthogonal[/code]
Интерсесно: все ДЛК являются SODLS.
Отмечу, что эти ДЛК образуют группу MODLS.
И ещё: данные ДЛК очень легко превратить в идеальные, для этого достаточно преобразовать их в СН ДЛК.

Следует также отметить, что для любого порядка n, являющегося простым числом, количество нормализованных циклических пандиагональных ДЛК равно (n-3).
ID: 1802 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
ProfileNatalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 22 Oct 17
Posts: 3083
Credit: 0
RAC: 0
Message 1803 - Posted: 13 Apr 2021, 7:14:24 UTC
Last modified: 13 Apr 2021, 8:45:52 UTC

Итак, член последовательности A071607 a(17)=8276 означает, что, выполнив в нормализованном циклическом пандиагональном ДЛК 17-го порядка перестановку строк (оставляя первую строку на месте), мы получим 8276 нормализованных пандиагональных ДЛК.
Можно проверить, но я не буду проверять, потому что очень долго на моём ПК.
Программу я запустила и жду, когда она найдёт несколько примеров.

При этом в полученном наборе будет содержаться 14 нормализованных циклических пандиагональных ДЛК.
Остальные 8262 квадрата будут нормализованные полуциклические пандиагональные ДЛК с цикличностью только в строках.
Примеры таких ДЛК я хочу получить.

Исходный нормализованный циклический пандиагональный ДЛК 17-го порядка, в котором делаю перестановку строк

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5
8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7
10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6
9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8
11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
ID: 1803 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
ProfileNatalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 22 Oct 17
Posts: 3083
Credit: 0
RAC: 0
Message 1804 - Posted: 13 Apr 2021, 8:32:37 UTC
Last modified: 13 Apr 2021, 9:52:34 UTC

Получены 6 нормализованных полуциклических пандиагональных ДЛК 17-го порядка с цикличностью только в строках

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
 6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5
 4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3
 7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6
16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15
 8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7
12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0
10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
 2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1
 5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4
 3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2
 9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8
11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10
13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
 4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3
 6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5
 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0
12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
 5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4
 8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7
10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14
 3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2
16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15
 2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1
 7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6
 9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8
11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10
13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14
 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0
 6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5
10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
 3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2
13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
 8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7
 4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3
14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1
16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15
 5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4
 7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6
 9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8
11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14
 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0
10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
 2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1
 6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5
 8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7
12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3
13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15
14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
 3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2
 5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4
 7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6
 9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8
11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
 4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3
 2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1
12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7
 3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2
13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
 6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5
10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14
 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0
16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15
 5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4
 7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6
 9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8
11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
 3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2
16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15
 4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3
 9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8
11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10
14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
 5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4
 7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6
 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0
13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14
 2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1
 6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5
 8  9 10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7
10 11 12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
12 13 14 15 16  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11

Как я написала выше, выполнена небольшая часть перестановки строк в нормализованном циклическом пандиагональном ДЛК 17-го порядка.
Мне интересно найти несколько примеров различных видов полуциклических пандиагональных ДЛК 17-го порядка.
Сейчас запущу программу перестановки столбцов в том же нормализованном циклическом пандиагональном ДЛК 17-го порядка.

Проверила полученные ДЛК утилитой Harry White

Order? 17

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_12.txt

Counts
------
         6 diagonal Latin
         6 pandiagonal
         6 nfr

Всё верно: нормализованные пандиагональные ДЛК. Никаких других свойств у них не имеется.
ID: 1804 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
ProfileNatalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 22 Oct 17
Posts: 3083
Credit: 0
RAC: 0
Message 1805 - Posted: 13 Apr 2021, 9:55:38 UTC
Last modified: 13 Apr 2021, 11:05:55 UTC

Пока программа пыхтит над перестановкой столбцов, я размножила полученные 6 нормализованных полуциклических пандиагональных ДЛК с помощью параллельного переноса на торе.
Получила 70 нормализованных полуциклических пандиагональных ДЛК, все они тоже с цикличностью только в строках.
В этом наборе есть идеальные ДЛК, это уже интересные квадратики.
Конечно, идеальные ДЛК в формате СН ДЛК.
Показываю один идеальный ДЛК 17-го порядка, который является полуциклическим пандиагональным (с цикличностью только в строках)

 0  6 12 11  7  1 13  8  3 15  9  5  4 10 16  2 14
 7  1 13  8  3 15  9  5  4 10 16  2 14  0  6 12 11
10 16  2 14  0  6 12 11  7  1 13  8  3 15  9  5  4
 1 13  8  3 15  9  5  4 10 16  2 14  0  6 12 11  7
 3 15  9  5  4 10 16  2 14  0  6 12 11  7  1 13  8
13  8  3 15  9  5  4 10 16  2 14  0  6 12 11  7  1
 4 10 16  2 14  0  6 12 11  7  1 13  8  3 15  9  5
16  2 14  0  6 12 11  7  1 13  8  3 15  9  5  4 10
14  0  6 12 11  7  1 13  8  3 15  9  5  4 10 16  2
 6 12 11  7  1 13  8  3 15  9  5  4 10 16  2 14  0
11  7  1 13  8  3 15  9  5  4 10 16  2 14  0  6 12
15  9  5  4 10 16  2 14  0  6 12 11  7  1 13  8  3
 8  3 15  9  5  4 10 16  2 14  0  6 12 11  7  1 13
 9  5  4 10 16  2 14  0  6 12 11  7  1 13  8  3 15
12 11  7  1 13  8  3 15  9  5  4 10 16  2 14  0  6
 5  4 10 16  2 14  0  6 12 11  7  1 13  8  3 15  9
 2 14  0  6 12 11  7  1 13  8  3 15  9  5  4 10 16

Кстати, весьма хорош ДЛК по Д-трансверсалям
num_dtrans: 204771973

Годится в топовые ДЛК 17-го порядка по Д-трансверсалям.
Текущий рекорд: 204995269 Д-трансверсалей.
ID: 1805 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
ProfileNatalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 22 Oct 17
Posts: 3083
Credit: 0
RAC: 0
Message 1808 - Posted: 13 Apr 2021, 12:48:03 UTC
Last modified: 13 Apr 2021, 12:56:48 UTC

Ой, программа закончила перестановку столбцов (частичную).
Найдено 6 пандиагональных ДЛК.
Сейчас я их преобразую и покажу.

Вот они - нормализованные полуциклические пандиагональные ДЛК 17-го порядка с цикличностью только в столбцах

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
 2 10  8 12  7 11  9  5  6  1 14 13  4 15 16  0  3
 8 14  6  4  5 13  1 11  9 10 16 15  7  0  3  2 12
 6 16  9  7 11 15 10 13  1 14  3  0  5  2 12  8  4
 9  3  1  5 13  0 14 15 10 16 12  2 11  8  4  6  7
 1 12 10 11 15  2 16  0 14  3  4  8 13  6  7  9  5
10  4 14 13  0  8  3  2 16 12  7  6 15  9  5  1 11
14  7 16 15  2  6 12  8  3  4  5  9  0  1 11 10 13
16  5  3  0  8  9  4  6 12  7 11  1  2 10 13 14 15
 3 11 12  2  6  1  7  9  4  5 13 10  8 14 15 16  0
12 13  4  8  9 10  5  1  7 11 15 14  6 16  0  3  2
 4 15  7  6  1 14 11 10  5 13  0 16  9  3  2 12  8
 7  0  5  9 10 16 13 14 11 15  2  3  1 12  8  4  6
 5  2 11  1 14  3 15 16 13  0  8 12 10  4  6  7  9
11  8 13 10 16 12  0  3 15  2  6  4 14  7  9  5  1
13  6 15 14  3  4  2 12  0  8  9  7 16  5  1 11 10
15  9  0 16 12  7  8  4  2  6  1  5  3 11 10 13 14

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
 4  5 11 13  8 12  9  0 10  3 14  7  6 15 16  2  1
 8 12  7 15 10  6  3  4 14 13 16  0  9  2  1 11  5
10  6  0  2 14  9 13  8 16 15  1  4  3 11  5  7 12
14  9  4 11 16  3 15 10  1  2  5  8 13  7 12  0  6
16  3  8  7  1 13  2 14  5 11 12 10 15  0  6  4  9
 1 13 10  0  5 15 11 16 12  7  6 14  2  4  9  8  3
 5 15 14  4 12  2  7  1  6  0  9 16 11  8  3 10 13
12  2 16  8  6 11  0  5  9  4  3  1  7 10 13 14 15
 6 11  1 10  9  7  4 12  3  8 13  5  0 14 15 16  2
 9  7  5 14  3  0  8  6 13 10 15 12  4 16  2  1 11
 3  0 12 16 13  4 10  9 15 14  2  6  8  1 11  5  7
13  4  6  1 15  8 14  3  2 16 11  9 10  5  7 12  0
15  8  9  5  2 10 16 13 11  1  7  3 14 12  0  6  4
 2 10  3 12 11 14  1 15  7  5  0 13 16  6  4  9  8
11 14 13  6  7 16  5  2  0 12  4 15  1  9  8  3 10
 7 16 15  9  0  1 12 11  4  6  8  2  5  3 10 13 14

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
 5  6  9 12  2  8  0  4 11 13  1 14  7 15 16 10  3
 8  0 13  7  9 11  5  2 14 15  6 16  4 10  3  1 12
11  5 15  4 13 14  8  9 16 10  0  3  2  1 12  6  7
14  8 10  2 15 16 11 13  3  1  5 12  9  6  7  0  4
16 11  1  9 10  3 14 15 12  6  8  7 13  0  4  5  2
 3 14  6 13  1 12 16 10  7  0 11  4 15  5  2  8  9
12 16  0 15  6  7  3  1  4  5 14  2 10  8  9 11 13
 7  3  5 10  0  4 12  6  2  8 16  9  1 11 13 14 15
 4 12  8  1  5  2  7  0  9 11  3 13  6 14 15 16 10
 2  7 11  6  8  9  4  5 13 14 12 15  0 16 10  3  1
 9  4 14  0 11 13  2  8 15 16  7 10  5  3  1 12  6
13  2 16  5 14 15  9 11 10  3  4  1  8 12  6  7  0
15  9  3  8 16 10 13 14  1 12  2  6 11  7  0  4  5
10 13 12 11  3  1 15 16  6  7  9  0 14  4  5  2  8
 1 15  7 14 12  6 10  3  0  4 13  5 16  2  8  9 11
 6 10  4 16  7  0  1 12  5  2 15  8  3  9 11 13 14

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
 7 10  4  6  8  1  0 11 12  3 14 13  5 15 16  2  9
11 14  8  0 12 10  7 13  5  6 16 15  1  2  9  4  3
13 16 12  7  5 14 11 15  1  0  9  2 10  4  3  8  6
15  9  5 11  1 16 13  2 10  7  3  4 14  8  6 12  0
 2  3  1 13 10  9 15  4 14 11  6  8 16 12  0  5  7
 4  6 10 15 14  3  2  8 16 13  0 12  9  5  7  1 11
 8  0 14  2 16  6  4 12  9 15  7  5  3  1 11 10 13
12  7 16  4  9  0  8  5  3  2 11  1  6 10 13 14 15
 5 11  9  8  3  7 12  1  6  4 13 10  0 14 15 16  2
 1 13  3 12  6 11  5 10  0  8 15 14  7 16  2  9  4
10 15  6  5  0 13  1 14  7 12  2 16 11  9  4  3  8
14  2  0  1  7 15 10 16 11  5  4  9 13  3  8  6 12
16  4  7 10 11  2 14  9 13  1  8  3 15  6 12  0  5
 9  8 11 14 13  4 16  3 15 10 12  6  2  0  5  7  1
 3 12 13 16 15  8  9  6  2 14  5  0  4  7  1 11 10
 6  5 15  9  2 12  3  0  4 16  1  7  8 11 10 13 14

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
 9  4 14 10  7  0 11 12  5 13  8  2  6 15 16  1  3
13  7 16  8 12  9  2  6  0 15  5 14 11  1  3  4 10
15 12  3  5  6 13 14 11  9  1  0 16  2  4 10  7  8
 1  6 10  0 11 15 16  2 13  4  9  3 14  7  8 12  5
 4 11  8  9  2  1  3 14 15  7 13 10 16 12  5  6  0
 7  2  5 13 14  4 10 16  1 12 15  8  3  6  0 11  9
12 14  0 15 16  7  8  3  4  6  1  5 10 11  9  2 13
 6 16  9  1  3 12  5 10  7 11  4  0  8  2 13 14 15
11  3 13  4 10  6  0  8 12  2  7  9  5 14 15 16  1
 2 10 15  7  8 11  9  5  6 14 12 13  0 16  1  3  4
14  8  1 12  5  2 13  0 11 16  6 15  9  3  4 10  7
16  5  4  6  0 14 15  9  2  3 11  1 13 10  7  8 12
 3  0  7 11  9 16  1 13 14 10  2  4 15  8 12  5  6
10  9 12  2 13  3  4 15 16  8 14  7  1  5  6  0 11
 8 13  6 14 15 10  7  1  3  5 16 12  4  0 11  9  2
 5 15 11 16  1  8 12  4 10  0  3  6  7  9  2 13 14

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
 9  7 11  6 10  8  4  5  0 13 12  3 14 15 16  2  1
13  5  3  4 12  0 10  8  9 15 14  6 16  2  1 11  7
15  8  6 10 14  9 12  0 13  2 16  4  1 11  7  3  5
 2  0  4 12 16 13 14  9 15 11  1 10  7  3  5  6  8
11  9 10 14  1 15 16 13  2  3  7 12  5  6  8  4  0
 3 13 12 16  7  2  1 15 11  6  5 14  8  4  0 10  9
 6 15 14  1  5 11  7  2  3  4  8 16  0 10  9 12 13
 4  2 16  7  8  3  5 11  6 10  0  1  9 12 13 14 15
10 11  1  5  0  6  8  3  4 12  9  7 13 14 15 16  2
12  3  7  8  9  4  0  6 10 14 13  5 15 16  2  1 11
14  6  5  0 13 10  9  4 12 16 15  8  2  1 11  7  3
16  4  8  9 15 12 13 10 14  1  2  0 11  7  3  5  6
 1 10  0 13  2 14 15 12 16  7 11  9  3  5  6  8  4
 7 12  9 15 11 16  2 14  1  5  3 13  6  8  4  0 10
 5 14 13  2  3  1 11 16  7  8  6 15  4  0 10  9 12
 8 16 15 11  6  7  3  1  5  0  4  2 10  9 12 13 14

А теперь мне нужно преобразование "строки-диагонали" для ДЛК 17-го порядка (матрица этого преобразования).
Надо сочинить.
Затем применю это преобразование к полуциклическим пандиагональным ДЛК двух полученных типов и получу ещё два типа полуциклических пандиагональных ДЛК 17-го порядка - с цикличностью в диагоналях обоих направлений.
ID: 1808 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
ProfileNatalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 22 Oct 17
Posts: 3083
Credit: 0
RAC: 0
Message 1809 - Posted: 13 Apr 2021, 14:47:17 UTC
Last modified: 13 Apr 2021, 14:47:42 UTC

Применила к первому ДЛК предыдущей порции из 6 ДЛК преобразование параллельного переноса на торе.
Нашёлся идеальный ДЛК - полуциклический пандиагональный (с цикличностью в столбцах) и ассоциативный

 0 16  6  2  7 10  5  8 11 14  9 13  4  3 15 12  1
12  1 13  8  5 15 11 14  9  3  4  2 16 10  0  7  6
 7  6  2 14 11  0  9  3  4 10 16  8  1 15 12  5 13
 5 13  8  3  9 12  4 10 16 15  1 14  6  0  7 11  2
11  2 14 10  4  7 16 15  1  0  6  3 13 12  5  9  8
 9  8  3 15 16  5  1  0  6 12 13 10  2  7 11  4 14
 4 14 10  0  1 11  6 12 13  7  2 15  8  5  9 16  3
16  3 15 12  6  9 13  7  2  5  8  0 14 11  4  1 10
 1 10  0  7 13  4  2  5  8 11 14 12  3  9 16  6 15
 6 15 12  5  2 16  8 11 14  9  3  7 10  4  1 13  0
13  0  7 11  8  1 14  9  3  4 10  5 15 16  6  2 12
 2 12  5  9 14  6  3  4 10 16 15 11  0  1 13  8  7
 8  7 11  4  3 13 10 16 15  1  0  9 12  6  2 14  5
14  5  9 16 10  2 15  1  0  6 12  4  7 13  8  3 11
 3 11  4  1 15  8  0  6 12 13  7 16  5  2 14 10  9
10  9 16  6  0 14 12 13  7  2  5  1 11  8  3 15  4
15  4  1 13 12  3  7  2  5  8 11  6  9 14 10  0 16
ID: 1809 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
ProfileNatalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 22 Oct 17
Posts: 3083
Credit: 0
RAC: 0
Message 1811 - Posted: 13 Apr 2021, 16:51:43 UTC

Открываем мою книгу «Волшебный мир магических квадратов»
https://disk.yandex.ru/d/ehakE2V6S5TzG
и видим на стр. 37 матрицу преобразования «строки-диагонали»



Матрица написана в общем виде.
Мне теперь нужно написать эту матрицу для n=17.
Конечно, можно написать программку для этого.
Но мне лучше вручную написать матрицу :)
ID: 1811 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
ProfileNatalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 22 Oct 17
Posts: 3083
Credit: 0
RAC: 0
Message 1812 - Posted: 14 Apr 2021, 3:02:44 UTC

Цитата
Как найти остальные 208 таких ДЛК, я пока не знаю.
Попросила помощи у коллег М. Алексеева, А. Белышева и Harry White, ни одного ответа пока не получено.

Сегодня получила ответ от Harry White
I looked into this before, but I couldn’t understand it either.

Такие вот дела.
ID: 1812 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
ProfileNatalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 22 Oct 17
Posts: 3083
Credit: 0
RAC: 0
Message 1813 - Posted: 14 Apr 2021, 6:46:55 UTC
Last modified: 14 Apr 2021, 7:04:12 UTC

Уже написала на бумаге матрицу преобразования "строки-диагонали" для n=17 и начала её вводить в программу, а тут и помощь подоспела
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?p=416454#p416454

"michel" wrote:
Матрица 17х17

Матрица 19х19

Это сделано в Mathcad.
Красиво. Главное - быстро.
Проверю матрицу, которую написала на бумаге, по матрице, которую выдал Mathcad.
А для n=19 не надо будет писать вручную, уже готова матрица.
ID: 1813 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
ProfileNatalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 22 Oct 17
Posts: 3083
Credit: 0
RAC: 0
Message 1814 - Posted: 14 Apr 2021, 6:48:22 UTC
Last modified: 14 Apr 2021, 7:24:42 UTC

А это программка в Mathcad

"michel" wrote:
Вот код в Mathcad, который нетрудно перевести в любую другую программную среду

Красиво!
ID: 1814 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
ProfileNatalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 22 Oct 17
Posts: 3083
Credit: 0
RAC: 0
Message 1815 - Posted: 14 Apr 2021, 10:00:10 UTC
Last modified: 14 Apr 2021, 10:19:07 UTC

Преобразование "строки-диагонали" для n=17 в программку записала.
Теперь беру 6 нормализованных полуциклических пандиагональных ДЛК 17-го порядка, показанных в сообщении
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=132&postid=1804
и применяю к ним указанное преобразование.
Полученные 6 ДЛК нормализовала и вот -
6 нормализованных полуциклических пандиагональных ДЛК 17-го порядка с цикличностью в диагоналях параллельных главной диагонали

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
13 16 12  0 10  2  3  4 11  6  8 14 15  9  7  1  5
 3  7 13  9 16 14  0 10  2 15  4  6  1  5  8 11 12
 9 10 11  7  8 13  1 16 14  0  5  2  4 12  3  6 15
 5  8 14 15 11  6  7 12 13  1 16  3  0  2  9 10  4
 2  3  6  1  5 15  4 11  9  7 12 13 10 16  0  8 14
 1  0 10  4 12  3  5  2 15  8 11  9  7 14 13 16  6
 4 12 16 14  2  9 10  3  0  5  6 15  8 11  1  7 13
 7  2  9 13  1  0  8 14 10 16  3  4  5  6 15 12 11
15 11  0  8  7 12 16  6  1 14 13 10  2  3  4  5  9
 8  5 15 16  6 11  9 13  4 12  1  7 14  0 10  2  3
10  6  3  5 13  4 15  8  7  2  9 12 11  1 16 14  0
16 14  4 10  3  7  2  5  6 11  0  8  9 15 12 13  1
12 13  1  2 14 10 11  0  3  4 15 16  6  8  5  9  7
11  9  7 12  0  1 14 15 16 10  2  5 13  4  6  3  8
 6 15  8 11  9 16 12  1  5 13 14  0  3  7  2  4 10
14  4  5  6 15  8 13  9 12  3  7  1 16 10 11  0  2

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
10  3 15 11  1  2  0  4 14  6  7  9  5 16 12  8 13
12  9  1 13  5 15 11  3  2  8  4 14  7  0 10 16  6
 4 16  7 15 12  0 13  5  1 11  6  2  8 14  3  9 10
 9  2 10 14 13 16  3 12  0 15  5  4 11  6  8  1  7
14  7 11  9  8 12 10  1 16  3 13  0  2  5  4  6 15
13  8 14  5  7  6 16  9 15 10  1 12  3 11  0  2  4
 2 12  6  8  0 14  4 10  7 13  9 15 16  1  5  3 11
 5 11 16  4  6  3  8  2  9 14 12  7 13 10 15  0  1
15  0  5 10  2  4  1  6 11  7  8 16 14 12  9 13  3
 1 13  3  0  9 11  2 15  4  5 14  6 10  8 16  7 12
16 15 12  1  3  7  5 11 13  2  0  8  4  9  6 10 14
 8 10 13 16 15  1 14  0  5 12 11  3  6  2  7  4  9
 7  6  9 12 10 13 15  8  3  0 16  5  1  4 11 14  2
11 14  4  7 16  9 12 13  6  1  3 10  0 15  2  5  8
 6  5  8  2 14 10  7 16 12  4 15  1  9  3 13 11  0
 3  4  0  6 11  8  9 14 10 16  2 13 15  7  1 12  5

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
 9  3 15  1 14  2 12  4 13  6  5 16 10  8  0 11  7
13  5 14  7 15 11  1  8  2  0  4 12  9 16  6  3 10
16  0 12 11 13  7 10 15  6  1  3  2  8  5  9  4 14
11  9  3  8 10  0 13 16  7  4 15 14  1  6 12  5  2
 1 10  5 14  6 16  3  0  9 13  2  7 11 15  4  8 12
 8 15 16 12 11  4  9 14  3  5  0  1 13 10  7  2  6
 4  6  7  9  8 10  2  5 11 14 12  3 15  0 16 13  1
15  2  4 13  5  6 16  1 12 10 11  8 14  7  3  9  0
 3  7  1  2  0 12  4  9 15  8 16 10  6 11 13 14  5
12 14 13 15  1  3  8  2  5  7  6  9 16  4 10  0 11
10  8 11  0  7 15 14  6  1 12 13  4  5  9  2 16  3
14 16  6 10  3 13  7 11  4 15  8  0  2 12  5  1  9
 5 11  9  4 16 14  0 13 10  2  7  6  3  1  8 12 15
 7 12 10  5  2  9 11  3  0 16  1 13  4 14 15  6  8
 6 13  8 16 12  1  5 10 14  3  9 15  0  2 11  7  4
 2  4  0  6  9  8 15 12 16 11 14  5  7  3  1 10 13

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
 3  7 15  1 14  2 12  4  5  6 13  8 10 16  0 11  9
13 14  5  9 15 11  1 16  2 12  4  0  6  8  3  7 10
 8  0 11 12 13  9 10 15  3  1 16  2  7  4  6 14  5
12  6  7 10 16  0 13  8  9 14 15  3  1  5  2  4 11
10 16  4  5  8  3  7  0  6 13 11  9 14 15 12  1  2
 1  8  3  2 12  6 14  5  7  4  0 10 13 11  9 16 15
 9 15  6 14  1 16  4 11 12  5  2  7  8  0 10 13  3
14 13  9  4 11 15  3  2 10 16 12  1  5  6  7  8  0
 7 11  0 13  2 10  9 14  1  8  3 16 15 12  4  5  6
 4  5 10  7  0  1  8 13 11 15  6 14  3  9 16  2 12
16  2 12  8  5  7 15  6  0 10  9  4 11 14 13  3  1
15  3  1 16  6 12  5  9  4  7  8 13  2 10 11  0 14
11  9 14 15  3  4 16 12 13  2  5  6  0  1  8 10  7
 5 10 13 11  9 14  2  3 16  0  1 12  4  7 15  6  8
 6 12  8  0 10 13 11  1 14  3  7 15 16  2  5  9  4
 2  4 16  6  7  8  0 10 15 11 14  5  9  3  1 12 13

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
13 16 11 15 12  2  1  4 10  6  8 14  0  9  7  3  5
 1  7 13  0  5  9 15 11  2 14  4  6  3 16  8 10 12
 9 11 10  7 16  1  8  5  0 15  3  2  4 12 13  6 14
 3  8  0 14 10 13 11  6  1 16  5 12 15  2  9  7  4
 2 12  6 16  3 14  7  0  4 11 13  1  9  5 15  8 10
14 15  9  4 13 12  3 10 16  2  0  7 11  8  1  5  6
 4  3  5  8  2  7  9 12 14 13 15 16 10  0  6 11  1
11  2 12  1  6 15 10  8  9  3  7  5 13 14 16  4  0
16  0 15  9 11  4  5 14  6  8 12 10  1  7  3 13  2
15 13 16  5  8  0  2  1  3  4  6  9 14 11 10 12  7
10  5  7 13  1  6 16 15 11 12  2  4  8  3  0 14  9
 8 14  1 10  7 11  4 13  5  0  9 15  2  6 12 16  3
12  6  3 11 14 10  0  2  7  1 16  8  5 15  4  9 13
 7  9  4 12  0  3 14 16 15 10 11 13  6  1  5  2  8
 6 10  8  2  9 16 12  3 13  5 14  0  7  4 11  1 15
 5  4 14  6 15  8 13  9 12  7  1  3 16 10  2  0 11

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
 8 11  0 13  1  2 16  4 10  6  7  5 15  9  3 12 14
12  6 15 11  3  0 13  8  2  5  4 10 16 14  7  1  9
 7  9  4 14 15  1 11  3  6 13 16  2  5  8 12 10  0
11 10  7  2 12 14  0 15  1  4  3  8 13 16  6  9  5
16 15  5 10 13  9 12 11 14  0  2  1  6  3  8  4  7
10  8 14 16  5  3  7  9 15 12 11 13  0  4  1  6  2
13  5  6 12  8 16  1 10  7 14  9 15  3 11  2  0  4
 2  3 16  4  9  6  8  0  5 10 12  7 14  1 15 13 11
15 13  1  8  2  7  4  6 11 16  5  9 10 12  0 14  3
 1 14  3  0  6 13 10  2  4 15  8 16  7  5  9 11 12
 9  0 12  1 11  4  3  5 13  2 14  6  8 10 16  7 15
14  7 11  9  0 15  2  1 16  3 13 12  4  6  5  8 10
 5 12 10 15  7 11 14 13  0  8  1  3  9  2  4 16  6
 4 16  9  5 14 10 15 12  3 11  6  0  1  7 13  2  8
 6  2  8  7 16 12  5 14  9  1 15  4 11  0 10  3 13
 3  4 13  6 10  8  9 16 12  7  0 14  2 15 11  5  1

Замечательные квадратики!
ID: 1815 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
ProfileNatalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 22 Oct 17
Posts: 3083
Credit: 0
RAC: 0
Message 1818 - Posted: 14 Apr 2021, 10:29:25 UTC
Last modified: 15 Apr 2021, 12:58:46 UTC

Теперь беру 6 нормализованных полуциклических пандиагональных ДЛК 17-го порядка, показанных в сообщении
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=132&postid=1808
и применяю к ним преобразование "строки-диагонали".
Посде нормализации полученных ДЛК получаю 6 нормализованных полуциклических пандиагональных ДЛК с цикличностью в диагоналях параллельных побочной диагонали

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
 3 14 12  0  2  8  4 10  5 15 16  7  9  6 11  1 13
 6  7 13 14 10  0 15  2 11  1  4  5  8 16  3  9 12
 4  9  6 15 13 11 14 16  3  0  2 10  1 12  5  7  8
 5  8 11  9 16  6  1 12 13 14 15  3  7  2  4 10  0
10 16  5  1  8  3  7  9  6 11 12  4 14  0 15 13  2
 1  2  3 10 12  4  5  8 16  7  0  6 13 11  9 14 15
14 12 15  7  0  2 10  1  4 13  8  9 16  5  6 11  3
 7 11  4 13 14 15  3  0  9 10  5  1  2  8 16 12  6
16  0  9  6 11 12 13  5 15  2  3 14 10  1  7  8  4
13  5  8 16  7  9  2 11 14 12  6 15  3  4 10  0  1
 2 10  1  4  5 14 16  6  7  8 11 12  0 15 13  3  9
15  3  0  2  6  1  8  4 10 16  7 13 11  9 12  5 14
12 13 14  8  3 10  0 15  1  4  9 16  5  7  2  6 11
 9  6 10 12 15 13 11  3  0  5  1  2  4 14  8 16  7
 8 15  7 11  9 16 12 13  2  3 14  0  6 10  1  4  5
11  4 16  5  1  7  9 14 12  6 13  8 15  3  0  2 10

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
10 15 16  7  2 14  8 13  0 12  6  5  9  3 11  4  1
11  4  8 15  3 13  9  1  5 14  2  0 16  6  7 10 12
 7 13 11 16  9  0 10  2  3 15  1  4 14  8 12  5  6
 9  6  4  0  1 12 15 16 11 10  7  3 13  5  2 14  8
14  7  1 10  5 11  4  6 12  8 16  9  2 15  3 13  0
 8 10 12  2  6  7 14  5 13  4  0 15 11 16  9  1  3
12  5 15 14  8  3  2  9  7  1 11  6  4  0 10 16 13
 2 11  3 13 16 15  0  8 10  6 14  7  1 12  4  9  5
 6 16  9  4 11  1 13 12 14  3  8 10  5  7  0  2 15
 4  0  7  6 10  9  5  3 16 13 12  2  8  1 15 11 14
 1  8 14 12  0  2 16  4  9  5 15 13 10 11  6  3  7
13  3  5  1 15  4  7  0  2 11  9 12  6 14 16  8 10
16  2 10 11  7  8  1 15  6  0  5 14  3  4 13 12  9
15 12  6  8 13 10 11 14  1  2  3 16  7  9  5  0  4
 5 14 13  9 12  6  3 10 15 16  4  8  0  2  1  7 11
 3  9  0  5 14 16 12 11  4  7 13  1 15 10  8  6  2

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
 6 13  8  5 12  3 10 15  0  2  4 16  9  1 11  7 14
 9 15 12 16  8  2 11 14 13  5  7  0  6  4 10  1  3
11 16  7 15 13  4  1  9 12 10 14  3  5  2  6  8  0
 7 10 11  9  5  6  0 16  2  1  8 12 13  3 15 14  4
 2  4  0 12  3 14  7 13  6 15 16  9  8 11  1  5 10
 5 14 16  8  1 10  9  3 11  7  0 15  4  6 12  2 13
 1  7 15  6  2  0  8  4 10 14 11  5  3 16 13  9 12
10 11  3 13 14 15  5  2  1  4 12  8  7  9  0 16  6
 4  8  9  1 11 12 13  6  5 16 15 10  0 14  7  3  2
15  0  6  4 16  9  3 12  7 11  2 14  1 10  8 13  5
14  3  5  7  0  8 16 10  4 13  1  6  2 15  9 12 11
 8 12 10 14 15  7  2  5  9  6  3 13 11  0 16  4  1
16  2  1 11 10 13 12  0  3  8  9  4 14  7  5  6 15
13  6  4  2  9 16 14  8 15  0  5  1 10 12  3 11  7
 3  5 13  0  7  1 15 11 14 12  6  2 16  8  4 10  9
12  9 14 10  6 11  4  1 16  3 13  7 15  5  2  0  8

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
13 12  8 10  2  7 15  4  5  1 16 14  9  6 11  0  3
14  4  1 12 15 11 10  2 13  0  6  5  7 16  3  8  9
10 13 14 11 16  1 12  9  3  7  2 15  0  8  4  5  6
 9  6 16  0 13 14  5  8 15 12 11  3  4 10  2  7  1
 7  0  3  9  6  2  4 11 14 16  8 10  1 12 15 13  5
 3  8  5  7 12 10 16  6  0  4  1 13 14 11  9  2 15
 4  2 15 14  1  0  7  3 10 13  9  6 16  5 12 11  8
12 11  6 13  3 15  8  1  9  5  7  0  2 14 16  4 10
16  7  9  8 11  4 13  5  2 15  3 12  6  0 10  1 14
15  5  4 16 10  9  2 12 11  8 14  7  3  1 13  6  0
 2 10  0  1  5 12 14 16  4  6 15  8 13  9  7  3 11
 1  3 13  2 14  6  0 10  7 11  4  9  5 15  8 16 12
 8  9 12  6  7  3  1 15 16 10  5  2 11  4  0 14 13
 5 14  7 15  8 13 11  0  1  2 12 16 10  3  6  9  4
 6 15 11  4  9 16  3 13 12 14  0  1  8  7  5 10  2
11 16 10  5  0  8  9 14  6  3 13  4 15  2  1 12  7

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
 6  3 13  1 14 10 15 12 16  7  5  2  9  0 11  4  8
13  9  6  0  7 11  2  4 15 14  3 16  8  5  1 12 10
16 10  8 15  5  3  1 11  0 13  4 12 14  6  2  7  9
 7 12 11 14 13  6  5  8  9  1  2  0 10  3 15 16  4
 2  5  0  9 10 14 12 16  6  3  8  7 13 11  4  1 15
14  8 16  7  0  2  4 10 13 12 15  9  5  1  6 11  3
12  4 15  8  3  1  7  9  2 11 16 14  6 10  5 13  0
 1 11 12 13  6 15 16  3  5  4  0 10  7 14  9  8  2
 5  2  9 10 11  4 13 14  1  8  7 15  0 16 12  3  6
 3 16  7  5  1  9  0  6 12 15 11  8  4  2 13 10 14
 4 15 14  6 16  8 10  2 11  5 12  1  3  9  7  0 13
11  0 10  4 12  7  3  5 14  2  6 13 16 15  8  9  1
 8  7  1  2 15 13 14  0  3 10  9  4 11 12 16  6  5
15  6  3 11  9  0  8 13  7 16  1  5  2  4 10 14 12
10 13  5 16  8 12  9 15  4  6 14  3  1  7  0  2 11
 9 14  4 12  2 16 11  1 10  0 13  6 15  8  3  5  7

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16
10 15  0  6  2  8  3 13 14  5  7  4  9 16 11  1 12
11 12  8 15 13  0  9 16  2  3  6 14  1  7 10  4  5
 4 13 11  9 12 14  1 15  0  8 16 10  3  5  6  2  7
 9  7 14  4 16 10 11 12 13  1  5  0  2  8 15  3  6
 3 16  6  1  5  7  4  9 10  2 12 15 13 11  0  8 14
 1  8 10  2  3  6 14  5 15  4 11  9  7 12 13 16  0
13  5 15  0  8 16  2 11  6  7 14  3  4  9  1 12 10
 2 11 12 13  1 15  7  8  3 16  0  6 14 10  4  5  9
 7  4  9 10 11  3 13  0  1 12  8 16  5  6  2 14 15
 6 14  5  7  0  9 12 10  4 13  1  2  8 15 16 11  3
16  2  3 12 14  4  5  6  9 10 15 13 11  1  7  0  8
15  0  4 16  6  2  8 14  5 11  9  7 10  3 12 13  1
12  6  1  8 15 13 16  2  7 14  3  5  0  4  9 10 11
 8 10 13 11  9  1 15  3 16  0  2 12  6 14  5  7  4
 5  9  7 14 10 11  0  1 12 15  4  8 16  2  3  6 13
14  3 16  5  7 12 10  4 11  6 13  1 15  0  8  9  2

Эти квадратики ещё лучше!
Вот свойства, выданные утилитой Harry Whute

Order? 17

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_20.txt

Counts
------
         6 diagonal Latin
         6 pandiagonal
         6 nfr
         6 self-orthogonal

Все 6 пандиагональных ДЛК являются SODLS.
ID: 1818 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
ProfileNatalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 22 Oct 17
Posts: 3083
Credit: 0
RAC: 0
Message 1819 - Posted: 14 Apr 2021, 10:56:11 UTC
Last modified: 14 Apr 2021, 10:57:11 UTC

Применила к первому ДЛК набора в предыдущем посте преобразование параллельного переноса на торе.
Получила прекрасный идеальный ДЛК

 0  8 12  7  1 14 16  3  5 15 11  4 13  6 10  2  9
10  1  9 16  0  2  7 14  4  3  6  5  8 12 11 13 15
16 13  2 15 11  9  0  6  7  8 14 10  1  3  5  4 12
 5 11  4  3 13 15  8  9 10  0 12 16  7 14  6  1  2
 3  6  7  5  4 10 13 12 15  1  2  9  0  8 16 11 14
 8  9 14  6 12  5  1  4 16 11 13 15 10  2  3  0  7
13  0  8  1 14 16  6  2  3  5  4 12 11  7 15  9 10
15 10 16  0  2  8 11  7 14  6  1  3  9  4 13 12  5
12  2 15 11 10  3  9  0  8 16  7 13  6  5  1 14  4
11  4  3 12  7 13 15 10  2  9  5  8 14 16  0  6  1
 6  7  1  9  5  4 12 11 13 14 10  0  2 15  8 16  3
 9 16 13 14  6  1  3  5  0 12 15 11  4 10  2  7  8
 2  5  0  8 16  7 14 15  1  4  3  6 12 11  9 10 13
14 15 10  2  9  0  4 16  6  7  8  1  3 13 12  5 11
 4 12 11 13 15  6  2  8  9 10 16  7  5  1 14  3  0
 1  3  5  4  8 11 10 13 12  2  9 14 16  0  7 15  6
 7 14  6 10  3 12  5  1 11 13  0  2 15  9  4  8 16

Свойства этого ДЛК, выданные утилитой Harry White

Order? 17

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_21.txt

Counts
------
         1 diagonal Latin
         1 associative
         1 pandiagonal
         1 ultramagic
         1 natural \diagonal
         1 self-orthogonal

Чудесно! ДЛК идеальный и является SODLS. Есть ортогональная пара, из которой можно получить идеальный магический квадрат нового типа.
ID: 1819 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
ProfileNatalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 22 Oct 17
Posts: 3083
Credit: 0
RAC: 0
Message 1820 - Posted: 14 Apr 2021, 11:02:35 UTC
Last modified: 14 Apr 2021, 11:10:39 UTC

Итак, я получила 6*4=24 нормализованных полуциклических пандиагональных ДЛК 17-го порядка.
Среди них 6 ДЛК с цикличностью в строках, 6 ДЛК с цикличностью в столбцах, 6 ДЛК с цикличностью в диагоналях параллельных главной, 6 ДЛК с цикличностью в диагоналях параллельных побочной.
Если каждый из этих типов даёт 8262 ДЛК, то всего их будет 33048.
Но если судить по полуциклическим пандиагональным ДЛК 13-го порядка, этим всё не исчерпывается, есть ещё какие-то дополнительные полуциклические пандиагональные ДЛК 17-го порядка, о которых я не имею ни малейшего понятия, как и о дополнительных 208 полуциклических пандиагональных ДЛК 13-го порядка.
Говорят, что эти ДЛК есть, но никто их не показывает.
Они, наверное, бешеных денег стоят :)

Кстати, а о пандиагональных полуциклических ДЛК 17-го порядка есть какая-нибудь статья?
Нет ли чего-нибудь об этих ДЛК в этой статье?
[3] J. Bell and B. Stevens, Constructing orthogonal pandiagonal Latin squares and panmagic squares from modular n-queens solutions, J Combin Des 15 (2007), 221–234
ID: 1820 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
ProfileNatalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 22 Oct 17
Posts: 3083
Credit: 0
RAC: 0
Message 1823 - Posted: 15 Apr 2021, 3:54:29 UTC

Цитата
Если каждый из этих типов даёт 8262 ДЛК, то всего их будет 33048.

Это легко проверить.

Редактор Andrew Howroyd писал в дискуссии
Tue Apr 06 22:21 Andrew Howroyd: I knocked up some PARI code to find A071607: This will allow you to find all semi-cyclic examples up to 1, 0, 0, 0, 2, 0, 4, 0, 0, 0, 8, 0, 348, 0, 0, 0, 8276 in about 12 mins tops.
22:22 Andrew Howroyd: Will format badly: a(n)={ local(v=vector(n)); my(accept(k, r)=for(j=1, k-1, if(k-j==(r-v[j])%n || k-j==(v[j]-r)%n, return(0))); 1); my(recurse(k, S)=if(k>n, 1, sum(i=1, #S, if(accept(k,S[i]), v[k]=S[i]; self()(k+1, setminus(S, [S[i]])))))); recurse(2, Set([1..n-1])) }

отсюда
https://oeis.org/history?seq=A338620&start=10
Как следует из этого сообщения, сделать перестановку строк для порядка n=17 и получить 8276 пандиагональных ДЛК - дело нескольких минут.
Не знаю, на PARI/GP не пробовала.
Моя программа полной перестановки строк (оставляя первую строку на месте) довольно быстро выполняется для порядка n=13.
Для порядка n=17 она выполняется уже долго; поэтому я выполнила её частично (маленькая часть), чтобы найти несколько примеров.

Если есть желающие выполнить перестановку строк (а также столбцов) для порядка n=17, я могу выложить свою программу.
ID: 1823 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
ProfileNatalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 22 Oct 17
Posts: 3083
Credit: 0
RAC: 0
Message 1824 - Posted: 15 Apr 2021, 3:59:44 UTC
Last modified: 15 Apr 2021, 8:20:21 UTC

Перехожу к полуциклическим пандиагональным ДЛК 19-го порядка.
В последовательности OEIS видим
A071607 Number of strong complete mappings of the cyclic group Z_{2n+1}.
1, 0, 2, 4, 0, 8, 348, 0, 8276, 43184, 0, 5602176, 78309000, 0, 20893691564

Если я правильно понимаю, для порядка n=19 мы получим при полной перестановке строк в нормализованном циклическом пандиагональном ДЛК (оставляя на месте первую строку) 43184 нормализованных пандиагональных ДЛК.
Среди них будет 16 нормализованных циклических пандиагональных ДЛК.
Эти 16 пандиагональных ДЛК нам известны, они из полной системы MOLS.
Вот они

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 
10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 
11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 
10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 
12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 
10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 
11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 
10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 
11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 
12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 
13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 
12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 
11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 
10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 
14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 
13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 
14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 
11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 
13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 
15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 
10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 
12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 
16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 
13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 
10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 
15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 
12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 
14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 
11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 
17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 
16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 
15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 
14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 
13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 
12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 
11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 
10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 
10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 
11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 
12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 
13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 
14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 
15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 
16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 
17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 
18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 
11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 
14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 
17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 
12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 
15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 
18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 
10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 
13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 
16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 
12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 
17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 
15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 
13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 
18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 
11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 
16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 
14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 
13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 
14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 
15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 
16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 
17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 
18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 
12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 
14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 
18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 
13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 
17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 
16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 
15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 
15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 
18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 
14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 
17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 
16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 
16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 
17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 
18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 
15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 
17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 
18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 
16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1
11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0
10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0
11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1
12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2
13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3
14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4
15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5
16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6
17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7
18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2
14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5
17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0
12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3
15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6
18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1
13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4
16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4
17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2
15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0
13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5
18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3
16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1
14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0
14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1
15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2
16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3
17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4
18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3
18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2
17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1
16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0
15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2
18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1
17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0
16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0
17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1
18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0
18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1[/code]
Проверка свойств этих ДЛК утилитой Harry White

[code]Order? 19

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_22.txt

Counts
------
16 diagonal Latin
16 pandiagonal
16 center symmetric
16 nfr
15 orthogonal pair
16 self-orthogonal[/code]
Понятно, что эти 16 ДЛК образуют группу MODLS.
ДЛК легко превратить в идеальные, для этого достаточно преобразовать их в СН ДЛК.

Текущий максимум по Д-трансверсалям принадлежит одному из этих ДЛК, покажу иллюстрацию



Раскраской показана пандиагональность ДЛК, в раскрашенных диагоналях одного направления (параллельных главной диагонали) хорошо видна цикличность.
В этом ДЛК цикличность есть во всех 4-х направлениях (в строках, в столбцах и в диагоналях обоих направлений), поэтому он и называется циклическим пандиагональным.
ID: 1824 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
ProfileNatalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 22 Oct 17
Posts: 3083
Credit: 0
RAC: 0
Message 1825 - Posted: 15 Apr 2021, 4:21:50 UTC
Last modified: 15 Apr 2021, 4:22:58 UTC

Остальные (43184 - 16 = 43168) будут нормализованными полуциклическими пандиагнальными ДЛК с цикличностью в строках.
Хочу найти примеры таких ДЛК.
Запущу программу перестановки строк, чтобы найти несколько примеров.

Исходный нормализованный циклический пандиагональный ДЛК 19-го порядка, в котором буду переставлять строки

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 
10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Надеюсь, что несколько примеров найдётся за приемлемое время.
ID: 1825 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
ProfileNatalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 22 Oct 17
Posts: 3083
Credit: 0
RAC: 0
Message 1827 - Posted: 15 Apr 2021, 13:44:37 UTC
Last modified: 15 Apr 2021, 14:18:21 UTC

Цитата
Кстати, а о пандиагональных полуциклических ДЛК 17-го порядка есть какая-нибудь статья?
Нет ли чего-нибудь об этих ДЛК в этой статье?
[3] J. Bell and B. Stevens, Constructing orthogonal pandiagonal Latin squares and panmagic squares from modular n-queens solutions, J Combin Des 15 (2007), 221–234

Нашла эту статью в поиске
https://www.researchgate.net/publication/229678179_Constructing_orthogonal_pandiagonal_Latin_squares_and_panmagic_squares_from_modular_n-queens_solutions
Полный текс статьи там недоступен, насколько я понимаю.
Пишут, что его можно запросить напрямую у авторов.

Здесь пишут, что доступ к статье можно получить за деньги
https://onlinelibrary.wiley.com/doi/epdf/10.1002/jcd.20143
ID: 1827 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
1 · 2 · 3 · 4 . . . 7 · Next

Message boards : Science : Semi-cyclic pandiagonal DLS of prime order n>11

©2024 ©2024 Progger & Stefano Tognon (ice00) & Reese