Программа SageMath знает группу MOLS 84-го порядка, состоящую из 6 взаимно ортогональных ЛК.
ДЛК в этой группе нет.

Для порядка 84 замечательно работает метод составных квадратов, причём в двух вариантах: 7*12 и 4*21.
Для построения группы MODLS, конечно, надо использовать первый вариант.
И тут очень пригодилась недавно найденная мной группа MODLS 12-го порядка, состоящая из четырёх взаимно ортогональных ДЛК.
Смотрите тему
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=120

Группа MODLS 7-го порядка, состоящая из четырёх взаимно ортогональных ДЛК, хорошо известна, она содержится в полной системе MOLS данного порядка.
Смотрите сообщение
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=117&postid=1109

Замечательная база для построения MODLS 84-го порядка!

Построила все возможные ортогональные пары.
Проверила все ДЛК набора программой GetOrthogonal.
Получила следующую таблицу ортогональных пар

1: [2,3,4,7,8,9,10,11,12],
2: [1,6,8,9,11,12,14],
3: [1,5,7,9,10,12,14],
4: [1,5,6,7,8,10,11,14],
5: [3,4,8,9,11,12,13,14],
6: [2,4,7,9,10,12,13,14],
7: [1,3,4,6,11,12,13],
8: [1,2,4,5,10,12,13],
9: [1,2,3,5,6,10,11,13],
10: [1,3,4,6,8,9,13,14],
11: [1,2,4,5,7,9,13,14],
12: [1,2,3,5,6,7,8,13,14],
13: [5,6,7,8,9,10,11,12],
14: [2,3,4,5,6,10,11,12]

Ну, о клике максимального размера, конечно, спросила у программы SageMath.
Код

sage: d = {1: [2,3,4,7,8,9,10,11,12],
2: [1,6,8,9,11,12,14],
3: [1,5,7,9,10,12,14],
4: [1,5,6,7,8,10,11,14],
5: [3,4,8,9,11,12,13,14],
6: [2,4,7,9,10,12,13,14],
7: [1,3,4,6,11,12,13],
8: [1,2,4,5,10,12,13],
9: [1,2,3,5,6,10,11,13],
10: [1,3,4,6,8,9,13,14],
11: [1,2,4,5,7,9,13,14],
12: [1,2,3,5,6,7,8,13,14],
13: [5,6,7,8,9,10,11,12],
14: [2,3,4,5,6,10,11,12]}
sage: g = Graph (d)
sage: g.show ()
sage: g.cliques_maximum ()

И прекрасный результат!



Да! Клики размера 4 здесь есть.
И группа MODLS 84-го порядка, состоящая из четырёх взаимно ортогональных ДЛК, получена.
Даже не одна. Возможно, есть изоморфные.

Сейчас покажу самую первую группу MODLS, выданную программой SageMath
[1, 2, 8, 12].

Встречайте - группа MODLS 84-го порядка, состоящая из четырёх взаимно ортогональных ДЛК,
построена методом составных квадратов

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83
1 3 5 0 9 7 4 2 11 6 8 10 13 15 17 12 21 19 16 14 23 18 20 22 25 27 29 24 33 31 28 26 35 30 32 34 37 39 41 36 45 43 40 38 47 42 44 46 49 51 53 48 57 55 52 50 59 54 56 58 61 63 65 60 69 67 64 62 71 66 68 70 73 75 77 72 81 79 76 74 83 78 80 82
4 9 8 6 1 11 0 10 5 3 2 7 16 21 20 18 13 23 12 22 17 15 14 19 28 33 32 30 25 35 24 34 29 27 26 31 40 45 44 42 37 47 36 46 41 39 38 43 52 57 56 54 49 59 48 58 53 51 50 55 64 69 68 66 61 71 60 70 65 63 62 67 76 81 80 78 73 83 72 82 77 75 74 79
5 7 1 2 11 3 8 0 9 10 4 6 17 19 13 14 23 15 20 12 21 22 16 18 29 31 25 26 35 27 32 24 33 34 28 30 41 43 37 38 47 39 44 36 45 46 40 42 53 55 49 50 59 51 56 48 57 58 52 54 65 67 61 62 71 63 68 60 69 70 64 66 77 79 73 74 83 75 80 72 81 82 76 78
7 2 3 5 10 0 11 1 6 8 9 4 19 14 15 17 22 12 23 13 18 20 21 16 31 26 27 29 34 24 35 25 30 32 33 28 43 38 39 41 46 36 47 37 42 44 45 40 55 50 51 53 58 48 59 49 54 56 57 52 67 62 63 65 70 60 71 61 66 68 69 64 79 74 75 77 82 72 83 73 78 80 81 76
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72
3 0 7 1 6 2 9 5 10 4 11 8 15 12 19 13 18 14 21 17 22 16 23 20 27 24 31 25 30 26 33 29 34 28 35 32 39 36 43 37 42 38 45 41 46 40 47 44 51 48 55 49 54 50 57 53 58 52 59 56 63 60 67 61 66 62 69 65 70 64 71 68 75 72 79 73 78 74 81 77 82 76 83 80
6 4 10 9 0 8 3 11 2 1 7 5 18 16 22 21 12 20 15 23 14 13 19 17 30 28 34 33 24 32 27 35 26 25 31 29 42 40 46 45 36 44 39 47 38 37 43 41 54 52 58 57 48 56 51 59 50 49 55 53 66 64 70 69 60 68 63 71 62 61 67 65 78 76 82 81 72 80 75 83 74 73 79 77
2 5 0 7 8 1 10 3 4 11 6 9 14 17 12 19 20 13 22 15 16 23 18 21 26 29 24 31 32 25 34 27 28 35 30 33 38 41 36 43 44 37 46 39 40 47 42 45 50 53 48 55 56 49 58 51 52 59 54 57 62 65 60 67 68 61 70 63 64 71 66 69 74 77 72 79 80 73 82 75 76 83 78 81
8 11 4 10 5 9 2 6 1 7 0 3 20 23 16 22 17 21 14 18 13 19 12 15 32 35 28 34 29 33 26 30 25 31 24 27 44 47 40 46 41 45 38 42 37 43 36 39 56 59 52 58 53 57 50 54 49 55 48 51 68 71 64 70 65 69 62 66 61 67 60 63 80 83 76 82 77 81 74 78 73 79 72 75
9 6 11 4 3 10 1 8 7 0 5 2 21 18 23 16 15 22 13 20 19 12 17 14 33 30 35 28 27 34 25 32 31 24 29 26 45 42 47 40 39 46 37 44 43 36 41 38 57 54 59 52 51 58 49 56 55 48 53 50 69 66 71 64 63 70 61 68 67 60 65 62 81 78 83 76 75 82 73 80 79 72 77 74
10 8 6 11 2 4 7 9 0 5 3 1 22 20 18 23 14 16 19 21 12 17 15 13 34 32 30 35 26 28 31 33 24 29 27 25 46 44 42 47 38 40 43 45 36 41 39 37 58 56 54 59 50 52 55 57 48 53 51 49 70 68 66 71 62 64 67 69 60 65 63 61 82 80 78 83 74 76 79 81 72 77 75 73
24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
25 27 29 24 33 31 28 26 35 30 32 34 37 39 41 36 45 43 40 38 47 42 44 46 49 51 53 48 57 55 52 50 59 54 56 58 61 63 65 60 69 67 64 62 71 66 68 70 73 75 77 72 81 79 76 74 83 78 80 82 1 3 5 0 9 7 4 2 11 6 8 10 13 15 17 12 21 19 16 14 23 18 20 22
28 33 32 30 25 35 24 34 29 27 26 31 40 45 44 42 37 47 36 46 41 39 38 43 52 57 56 54 49 59 48 58 53 51 50 55 64 69 68 66 61 71 60 70 65 63 62 67 76 81 80 78 73 83 72 82 77 75 74 79 4 9 8 6 1 11 0 10 5 3 2 7 16 21 20 18 13 23 12 22 17 15 14 19
29 31 25 26 35 27 32 24 33 34 28 30 41 43 37 38 47 39 44 36 45 46 40 42 53 55 49 50 59 51 56 48 57 58 52 54 65 67 61 62 71 63 68 60 69 70 64 66 77 79 73 74 83 75 80 72 81 82 76 78 5 7 1 2 11 3 8 0 9 10 4 6 17 19 13 14 23 15 20 12 21 22 16 18
31 26 27 29 34 24 35 25 30 32 33 28 43 38 39 41 46 36 47 37 42 44 45 40 55 50 51 53 58 48 59 49 54 56 57 52 67 62 63 65 70 60 71 61 66 68 69 64 79 74 75 77 82 72 83 73 78 80 81 76 7 2 3 5 10 0 11 1 6 8 9 4 19 14 15 17 22 12 23 13 18 20 21 16
35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12
27 24 31 25 30 26 33 29 34 28 35 32 39 36 43 37 42 38 45 41 46 40 47 44 51 48 55 49 54 50 57 53 58 52 59 56 63 60 67 61 66 62 69 65 70 64 71 68 75 72 79 73 78 74 81 77 82 76 83 80 3 0 7 1 6 2 9 5 10 4 11 8 15 12 19 13 18 14 21 17 22 16 23 20
30 28 34 33 24 32 27 35 26 25 31 29 42 40 46 45 36 44 39 47 38 37 43 41 54 52 58 57 48 56 51 59 50 49 55 53 66 64 70 69 60 68 63 71 62 61 67 65 78 76 82 81 72 80 75 83 74 73 79 77 6 4 10 9 0 8 3 11 2 1 7 5 18 16 22 21 12 20 15 23 14 13 19 17
26 29 24 31 32 25 34 27 28 35 30 33 38 41 36 43 44 37 46 39 40 47 42 45 50 53 48 55 56 49 58 51 52 59 54 57 62 65 60 67 68 61 70 63 64 71 66 69 74 77 72 79 80 73 82 75 76 83 78 81 2 5 0 7 8 1 10 3 4 11 6 9 14 17 12 19 20 13 22 15 16 23 18 21
32 35 28 34 29 33 26 30 25 31 24 27 44 47 40 46 41 45 38 42 37 43 36 39 56 59 52 58 53 57 50 54 49 55 48 51 68 71 64 70 65 69 62 66 61 67 60 63 80 83 76 82 77 81 74 78 73 79 72 75 8 11 4 10 5 9 2 6 1 7 0 3 20 23 16 22 17 21 14 18 13 19 12 15
33 30 35 28 27 34 25 32 31 24 29 26 45 42 47 40 39 46 37 44 43 36 41 38 57 54 59 52 51 58 49 56 55 48 53 50 69 66 71 64 63 70 61 68 67 60 65 62 81 78 83 76 75 82 73 80 79 72 77 74 9 6 11 4 3 10 1 8 7 0 5 2 21 18 23 16 15 22 13 20 19 12 17 14
34 32 30 35 26 28 31 33 24 29 27 25 46 44 42 47 38 40 43 45 36 41 39 37 58 56 54 59 50 52 55 57 48 53 51 49 70 68 66 71 62 64 67 69 60 65 63 61 82 80 78 83 74 76 79 81 72 77 75 73 10 8 6 11 2 4 7 9 0 5 3 1 22 20 18 23 14 16 19 21 12 17 15 13
48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
49 51 53 48 57 55 52 50 59 54 56 58 61 63 65 60 69 67 64 62 71 66 68 70 73 75 77 72 81 79 76 74 83 78 80 82 1 3 5 0 9 7 4 2 11 6 8 10 13 15 17 12 21 19 16 14 23 18 20 22 25 27 29 24 33 31 28 26 35 30 32 34 37 39 41 36 45 43 40 38 47 42 44 46
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Четвёртый квадрат в следующем посте.

Окончание (четвёртый квадрат группы)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83
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30 28 34 33 24 32 27 35 26 25 31 29 42 40 46 45 36 44 39 47 38 37 43 41 54 52 58 57 48 56 51 59 50 49 55 53 66 64 70 69 60 68 63 71 62 61 67 65 78 76 82 81 72 80 75 83 74 73 79 77 6 4 10 9 0 8 3 11 2 1 7 5 18 16 22 21 12 20 15 23 14 13 19 17
26 29 24 31 32 25 34 27 28 35 30 33 38 41 36 43 44 37 46 39 40 47 42 45 50 53 48 55 56 49 58 51 52 59 54 57 62 65 60 67 68 61 70 63 64 71 66 69 74 77 72 79 80 73 82 75 76 83 78 81 2 5 0 7 8 1 10 3 4 11 6 9 14 17 12 19 20 13 22 15 16 23 18 21

Квадраты большие, трудно рассмотреть визуально, но не удивлюсь, если все ДЛК показанной группы MODLS 84-го порядка получаются друг из друга перестановкой строк.
Таким свойством обладают ДЛК обеих базовых MODLS - и 7-го, и 12-го порядка.

Точно так же можно построить группу MODLS 96-го порядка, состоящую из четырёх взаимно ортогональных ДЛК, на базе MODLS порядков 8 и 12.
И так далее: для порядков n = 12k, если порядок k такой, что для него существует группа MODLS, содержащая не менее четырёх взаимно ортогональных ДЛК.