Интересно: чемпион по интеркалятам имеет 98 Д-трансверсалей и при этом является "пустышкой", то есть не имеет ортогональных диагональных соквадратов.
Однако, как известно, поворот блоков (интеркалятов) может привести к появлению ортогональных диагональных соквадратов.
В этом и состоит ценность интеркалятов.
На этом была основана теория Белышева о ЛК блочной структуры 10-го порядка, и на основе этой теории организован поиск ОДЛК от семейств ЛК блочной структуры.
Было найдено много уникальных ОДЛК 10-го порядка.

Смотрите тему "ЛК блочной структуры"
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=41&postid=762#762

Вот иллюстрация из моего рабочего файла, поиск интеркалятов в ДЛК, интеркаляты раскрашены



На каждой картинке отдельно поиск интеркалятов одного типа.
На первой картинке раскрашены интеркаляты типа {0,9}, их 5 штук.

Алгоритм поиска интеркалятов в ЛК очень простой, программа несложная, и выполняться должна быстро.

Покажу список всех 93 интеркалятов, найденных в показанном ДЛК, вместе с количеством интеркалятов каждого типа

{0,9} - 5
{0,5} - 5
{0,8} - 5
{0,2} - 5
{0,6} - 5
{4,9} - 5
{3,9} - 5
{4,5} - 5
{1,8} - 5
{6,7} - 5
{2,3} - 5
{2,8} - 2
{1,5} - 5
{1,3} - 2
{2,7} - 5
{3,6} - 5
{4,7} - 2
{4,8} - 5
{5,6} - 2
{7,9} - 5
{1,9} - 5

Замечание: программу поиска интеркалятов в ДЛК надо сделать без срезов (у Белышева со срезами).
Надо найти интеркаляты прямо в заданном ДЛК, как показано в моём примере.

В этом ДЛК 12-го порядка



я насчитала вручную 108 интеркалятов (блоков). На иллюстрации раскрашены 36 интеркалятов.

По моей просьбе Harry White сделал программу поворота блоков в ДЛК 12-го порядка.
Смотрите об этом тему "Поворот блоков в квадрозавре".
При повороте блоков в этом ДЛК получается преогромное количество ДЛК.
Это притом, что Harry задействовал для поворота только 72 блока.
Конечно, среди полученных ДЛК есть изоморфные.
Мы получили отличный генератор ДЛК 12-го порядка с приличным количеством Д-трансверсалей, который можно использовать при составлении БД КФ ОДЛК 12-го порядка.

Показанный ДЛК 12-го порядка является чемпионом по Д-трансверсалям, по общим трансверсалям и по ОДЛК (на данный момент).
Мой помощник назвал этот ДЛК квадрозавром :)
Он обсчитывал его на ОДЛК.
Вычисления выполнялись три недели в несколько потоков программой Tomas Brada (поиск ОДЛК по частям).
Представьте: этот ДЛК имеет 1764493860 ортогональных диагональных соквадратов!
Покажу иллюстрацию, на которой вы видите квадрозавр в другой раскраске, это ещё 36 интеркалятов



В этой раскраске хорошо видна двойная осевая симметрия - горизонтальная и вертикальная (симметрия по Гергели/Брауну).
Свойства квадрозавра, выданные утилитой Harry White GetType1

Order? 12

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_4.txt

Counts
------
         1 diagonal Latin
         1 associative
         1 double axial symmetric
         1 natural \diagonal
         1 axial parity 1-way

В сообщении
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=138&postid=2679
показано третье разбиение квадрозавра на интеркаляты, это ещё 36 интеркалятов.

О КФ DSODLS 12-го порядка, найденных в пятой области, сообщу позже.
Забегая вперёд: с самого раннего утра запустила поиск в шестой области, программа работает уже часа три и... ни одного решения не найдено

Tuesday 2021-08-03 06:02:51 Iineianeia a?aiy (ceia)

SODLS order? 12

Make SSSOLDS, y (yes) or n (no)? y
.. writing SODLS to file SSSODLS12_4.txt
First /diagonal value, (1..10)? 6

Сейчас прерву и попробую поиск в седьмой области.

В седьмой области за час не найдено ни одного решения

Tuesday 2021-08-03 09:49:49 Iineianeia a?aiy (ceia)

SODLS order? 12

Make SSSOLDS, y (yes) or n (no)? y
.. writing SODLS to file SSSODLS12_4.txt
First /diagonal value, (1..10)? 7

Странно!
Прерываю тоже.
Попробую в восьмой области поиск.

Tuesday 2021-08-03 10:49:14 Iineianeia a?aiy (ceia)

SODLS order? 12

Make SSSOLDS, y (yes) or n (no)? y
.. writing SODLS to file SSSODLS12_4.txt
First /diagonal value, (1..10)? 8

В восьмой области тоже не находит решений.
Что-то сломалось в программе. Или просто в этих областях решений нет.
Или они есть, но их очень мало и дождаться не могу.

В пятой области вчера нашла 1015 ассоциативных SODLS 12-го порядка (до прерывания программы).
Они дали 1001 КФ DSODLS.
Канонизирую эту порцию КФ с ранее найденной порцией (3152 КФ) и получаю

Order? 12
Format, (1: first row or 2: \diagonal)? 2
File name? a
.. writing DLS to file output12CF2_4.txt
number of DLS 4153 CFs 3152

Ни одной новой КФ не найдено.

А области 6, 7 и далее почему-то вообще не дают решений (смотрите предыдущий пост).
Таким образом, в последовательности OEIS
пока имею такую оценку для порядка 12
a(12) >= 3152.

Спросила Harry, почему в 6 - 10 областях ассоциативные SODLS 12-го порядка не находятся.
Получила ответ, цитирую

I’ll look into it. But it doesn’t matter.
These will be the same squares as made from first /diagonal values
5 to 1, followed by “rotate 7”: http://budshaw.ca/Download.html#rotate

Замечательно! Можно в этих областях не искать ассоциативные SODLS 12-го порядка.

Кстати, в цитате ссылка на утилиту Harry Rotate.
Полезная утилита! Я очень давно ею пользуюсь.

Запостила на форуме Math Help Planet задачу о подсчёте интеркалятов в ДЛК.
Что из этого получилось, смотрите в сообщении
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=21&postid=7398

По моей просьбе Harry White сделал программу поиска ассоциативных SODLS по частям.
Программу можно скачать здесь
http://budshaw.ca/temp/SSSODLS.zip

Теперь пробую поиск ассоциативных SODLS 12-го порядка с начала, с первой области.
Ранее я нашла в этой области всего 825 ассоциативных SODLS - до прерывания программы.
Теперь поиск будет по 1000 SODLS. Как 1000 SODLS будут найдены, программа остановится и запомнит последний найденный SODLS.
Далее при запуске программы поиск можно начать с этого последнего найденного квадрата.
Такая тактика поиска по частям используется в нескольких программах Harry White, сделанных по моей просьбе.

Большая благодарность Harry!

Интересно, много ли ассоциативных SODLS 12-го порядка найдётся во всех областях.
Пока ищу в первой области.
Первые 825 SODLS будут повторены (они у меня уже были найдены раньше), а дальше пойдут новые квадратики.

Черепашка кричит
- Готово!

. . . . 
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999

elapsed time 7:13:32
Number of SODLS 1000

Continue? y (yes) or n (no) or the SODLS order:

В-о-о-о-т! В первой области найдена первая 1000 ассоциативных SODLS 12-го порядка.
Ура! Ура!
В рабочий день это вполне укладывается, пока.
Теперь найду новые квадратики к тем, что были найдены раньше.
А вторую 1000 квадратов буду искать завтра.

Канонизировала найденные сегодня 1000 ассоциативных SODLS 12-го порядка

Order? 12
Format, (1: first row or 2: \diagonal)? 2
File name? sssodls12
.. writing DLS to file output12CF2.txt
number of DLS 1000 CFs 442

Новых КФ они не дали.
Интересно, что будет дальше.

Вторую тысячу ассоциативных SODLS 12-го порядка в первой области нашла.
От неё получено 424 новых КФ DSODLS.
Итог: 3576 КФ DSODLS.

Запустила поиск третьей тысячи в первой области.

О трансверсалях

я писала Harry White просьбу исправить программу подсчёта трансверсалей.
Сейчас получила ответ, цитирую

I changed the count to unsigned integer and added a check for overflow.
Also, added a 64-bit version. Console attached.

http://budshaw.ca/Download.html#transversals
http://budshaw.ca/Download.html#transversals64

Замечательно! Спасибо!
Теперь можно продолжить подсчёт общих трансверсалей.
А также попробовать и подсчёт Д-трансверсалей. Мы с помощником остановились на ДЛК 22-го порядка, подсчитывали Д-трансверсали программой Tomas Brada.

В ДЛК 18-го порядка Harry подсчитал и Д-трансверсали, и общие трансверсали.
Я вставила это в сообщение
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=138&postid=2731

Третья тысяча ассоциативных SODLS 12-го порядка в первой области найдена.
Она дала 105 новых КФ DSODLS.
Итог: 3681 КФ DSODLS.

Четвёртую тысячу буду искать завтра. Сегодня две тысячи удалось найти.

Черепашка пошла за четвёртой тысячей ассоциативных SODLS 12-го порядка (в первой области)

SODLS order? 12
Continue from last SSSODLS? y
.. writing SODLS to file SSSODLS12_3.txt
1
2
3

Она очень старается :)

О! Пока писала сообщение, черепашка уже нашла 50 квадратов :)

Черепашка кричит
- Готово!

. . . . 
992
993
994
995
996
997
998
999

elapsed time 2:33:49
Number of SODLS 1000

Continue? y (yes) or n (no) or the SODLS order:

Быстро!
Продолжу поиск, будет пятая тысяча в первой области.
Пятая тысяча найдена!

. . . . 
994
995
996
997
998
999

elapsed time 0:21:33
Number of SODLS 1000

Continue? y (yes) or n (no) or the SODLS order:

Продолжаю, ищем шестую тысячу в первой области.
После шестой тысячи проверю найденные квадраты, вдруг все пошли изоморфные.

Так, шестая тысяча уже найдена

. . . . . 
995
996
997
998
999

elapsed time 0:40:13
Number of SODLS 1000

Continue? y (yes) or n (no) or the SODLS order:

Сейчас проверю найденные квадраты, что-то они очень быстро ищутся.

Потом продолжу поиск.

Проверила найденные 3000 ассоциативных SODLS 12-го порядка.
Они дали 2213 новых КФ DSODLS. Замечательно!
Итог: 5894 КФ DSODLS.

Продолжаем поиск в первой области.

Вчера было найдено ещё 9000 ассоциативных SODLS 12-го порядка в первой области.
После канонизации вместе с полученными ранее КФ DSODLS получено 9252 КФ DSODLS.

Мы с черепашкой продолжаем поиск в первой области.
Интересно: в начале области поиск шёл туго, в час по чайной ложке.
За день удавалось найти 1000 квадратов.
А сейчас квадраты находятся быстро. Вчера за день было найдено 15000 квадратов.

Проверка найденных КФ DSODLS утилитой Harry White GetType1

Order? 12

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_6.txt

Counts
------
      9252 diagonal Latin
      9252 associative
      2440 double axial symmetric
      9252 natural \diagonal
      9252 self-orthogonal
      2526 axial parity 1-way

Интересные квадраты!
2440 ДЛК обладают двойной осевой симметрией (симметрия по Гергели/Брауну).
Ещё есть свойство axial parity 1-way; я не знаю, что оно означает.
Жаль, что утилита Harry не отмечает свойство DSODLS.
Все эти ДЛК являются SODLS и DSODLS.

Проверила КФ DSODLS 12-го порядка на Д-трансверсали.
У нас есть постоянная задача - побить рекорд квадрозавра по Д-трансвесалям.
Вопреки ожиданиям КФ DSODLS дали очень маленькие количества Д-трансверсалей

Протокол работы программы Harry White GetTransversals

order? 12
Type of transversals, 1 all or 2 diagonal? 2
File name? inp
1024
2048
3072
4096
5120
6144
7168
8192
9216
.. writing counts to file 12Transversals.txt
square 8360 max transversals 6816
square 8476 max transversals 6816

Вот такой малюсенький максимум!

Напомню: наш квадрозавр имеет 28496 Д-трансверсалей.
Побить этот рекорд пока не удаётся.
Я постоянно проверяю новые порции КФ ОДЛК 12-го порядка на Д-трансверсали (конечно, не слишком большие порции, потому что программа Harry White GetTransversals работает медленно).
Надежда на дважды симметричные по Гергели/Брауну КФ DSODLS 12-го порядка была большая. Но увы! Они дали очень маленький максимум по Д-трансверсалям.

Нового квадрозавра у нас пока нет!
Может быть, у команды "НАС-РАТЬ" есть новый квадрозавр.
Господин Ватутин недавно сообщил, что в проекте Gerasim@Home запущен на обсчёт по ОДЛК новый интересный ДЛК 12-го порядка.
Цитата

В подпроект Graph Coloring добавлена первая партия WU'шек, направленная на подсчет числа ОДЛК для еще одного интересного ДЛК порядка 12.
. . . . .
Считаем и с нетерпением ждем результатов... :)

отсюда
https://boinc.ru/forum/topic/proekt-gerasimhome/?part=102#postid-4440

Однако ДЛК этот пока держится в секрете.
И правильно: вдруг мой помощник обсчитает его быстрее, чем BOINC-проект :)))

Вчера было найдено 15000 ассоциативных SODLS 12-го порядка.
Они дали 1111 новых КФ DSODLS.
Текущий итог: 10363 КФ DSODLS.

Продолжаем поиск в первой области.

За два прошедших дня найдено 23000 ассоциативных SODLS 12-го порядка в первой области.
К сожалению, они не дали ни одной новой КФ.
Нет никакой гарантии, что уникальные ассоциативные SODLS в первой области закончились.
Однако начала поиск во второй области. Два дня потрачены на поиск изоморфных квадратов.