С группами MOLS и MODLS 12-го порядка немного поработала.
Получила неплохой результат.
Смотрите тему "MOLS and MODLS of order 12"
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=120

Для порядка 13 известна полная система MOLS, состоящая из 12 взаимно ортогональных ЛК, 10 из которых являются ДЛК, то есть образуют группу MODLS.
Я думаю, что группа MODLS 13-го порядка не может содержать более 10 взаимно ортогональных ДЛК.
Для порядка 9 у меня была гипотеза по этому поводу. Теперь это уже не гипотеза, а доказанный факт.
Впрочем, гипотеза моя была доказана и доказана правильно, по моему мнению.
Были другие мнения. Теперь их уже не может быть, потому что господин Ватутин алгоритмом грубой силы доказал, что группа MODLS 9-го порядка не может содержать более 6 взаимно ортогональных ДЛК.

Ну, для порядка 13 (а также и для всех других порядков, являющихся простым числом) пусть это будет гипотеза, потому что такого доказательства, как для порядка 9, у меня нет.
Проверять этот порядок алгоритмом грубой силы - занятие не для моего ПК, думаю, что и вообще не для ПК. Тут нужны ресурсы посолиднее.

А теперь займусь группами MOLS и MODLS порядка 14.
Дублирую сообщение
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=120&postid=2482

Программа SageMath выдаёт такую группу MOLS 14-го порядка, состоящую из четырёх взаимно ортогональных ЛК

[ 1  9  8  7  6 10  4  2  0 11 13  5 12  3]
[ 5  2 10  9  1  7 11  4  3  8 12  0  6 13]
[12  6  3 11 10  2  1  0  5  4  9 13  8  7]
[ 2 13  7  4 12 11  3  1  8  6  5 10  0  9]
[ 4  3  0  1  5 13 12 10  2  9  7  6 11  8]
[13  5  4  8  2  6  0  9 11  3 10  1  7 12]
[ 8  0  6  5  9  3  7 13 10 12  4 11  2  1]
[ 3 11 13 10  4  0  5  8 12  7  2  9  1  6]
[ 6  4 12  0 11  5  8  7  9 13  1  3 10  2]
[ 9  7  5 13  8 12  6  3  1 10  0  2  4 11]
[ 7 10  1  6  0  9 13 12  4  2 11  8  3  5]
[ 0  1 11  2  7  8 10  6 13  5  3 12  9  4]
[11  8  2 12  3  1  9  5  7  0  6  4 13 10]
[10 12  9  3 13  4  2 11  6  1  8  7  5  0],

[ 1  5 12  2  4 13  8  3  6  9  7  0 11 10]
[ 9  2  6 13  3  5  0 11  4  7 10  1  8 12]
[ 8 10  3  7  0  4  6 13 12  5  1 11  2  9]
[ 7  9 11  4  1  8  5 10  0 13  6  2 12  3]
[ 6  1 10 12  5  2  9  4 11  8  0  7  3 13]
[10  7  2 11 13  6  3  0  5 12  9  8  1  4]
[ 4 11  1  3 12  0  7  5  8  6 13 10  9  2]
[ 2  4  0  1 10  9 13  8  7  3 12  6  5 11]
[ 0  3  5  8  2 11 10 12  9  1  4 13  7  6]
[11  8  4  6  9  3 12  7 13 10  2  5  0  1]
[13 12  9  5  7 10  4  2  1  0 11  3  6  8]
[ 5  0 13 10  6  1 11  9  3  2  8 12  4  7]
[12  6  8  0 11  7  2  1 10  4  3  9 13  5]
[ 3 13  7  9  8 12  1  6  2 11  5  4 10  0],

[ 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13  0]
[ 6 13 10  9  3 12  8  2 11  1  7  0  4  5]
[11  8  5  7  1  9  4 12 10  0 13  6  2  3]
[ 3  0 11 12  6 13  1  9  4  7  2  5  8 10]
[13  9  2  0  4  8  5  7  1  3  6 10 12 11]
[12  5  1 10  2  3 11  0  6 13  9  8  7  4]
[ 0  4 12 13  7 10  9  3  2  8  5  1 11  6]
[ 7  3 13  8 10  1  0  6 12  2  4 11  5  9]
[ 2  6  9  5 11  7 13  1  8  4 10  3  0 12]
[ 5 10  8  1 12  0  6  4 13 11  3  7  9  2]
[ 8 12  7 11 13  4  2 10  3  5  0  9  6  1]
[10 11  4  6  0  5  3 13  7  9 12  2  1  8]
[ 9  7  0  3  8  2 12 11  5  6  1  4 10 13]
[ 4  1  6  2  9 11 10  5  0 12  8 13  3  7],

[ 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13  0]
[ 9  5 11  7 13 10  0  4  2 12  6  3  8  1]
[ 4 12 10  3  9  1  6  5 13 11  8  0  7  2]
[ 0 13  8  6  7 12  5 11 10  1  3  2  4  9]
[10  4  1  2  0  9  8 12  3  6  5  7 11 13]
[ 2  6 13  5 11  4 12  1  8  7  0 10  9  3]
[ 8 11  0  1 10  3 13  7  5  2  9  4  6 12]
[11  9  6 13  8  7  4  2  1  0 12  5  3 10]
[13  3 12  0  1  2  9  6 11  5  4  8 10  7]
[12  1  7  8  4  5 11  9  0  3 10 13  2  6]
[ 3  8  5  9  2 13 10  0 12  4  7  6  1 11]
[ 6  7  2 10 12 11  1  3  4  8 13  9  0  5]
[ 5  0  9 11  6  8  3 10  7 13  2  1 12  4]
[ 7 10  4 12  3  0  2 13  6  9  1 11  5  8]

Надо поэкспериментировать с этой группой.

Уже чуть-чуть поэкспериментировала.
Но пока расскажу о другой группе.
Это ортогональная пара ДЛК 14-го порядка, построенная мной очень давно по известному алгоритму.
Смотрите далее.

Цитата

Далее рекомендую очень интересную статью о построении ортогональных пар ЛК и ДЛК 14-го порядка
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ДИАГОНАЛЬНЫЕ ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ
http://www.natalimak1.narod.ru/diagon.htm

Я использовала для этого построения алгоритм, изложенный в статье
“ORTOGONAL DIAGONAL LATIN SQUARES OF ORDER FOURTEEN” (L. Zhu, 1982 г.)
Снова квази-разностная матрица!
Построив по этому алгоритму ортогональную пару ЛК, я затем превратила её в ортогональную пару ДЛК и не одну!
Это была счастливая находка. Ведь ортогональная пара ДЛК сразу даёт магический квадрат, а для меня тогда главным во всех ортогональных парах ЛК была возможность построить с их помощью магические квадраты.

Показываю эту очень красивую ортогональную пару ДЛК 14-го порядка



И снова вопрос: можно ли расширить эту ортогональную пару до группы MODLS хотя бы из трёх ОДЛК?
То есть существует ли третий ДЛК 14-го порядка, который ортогонален обоим показанным ДЛК?

Как видите, вопрос расширения этой минимальной группы MODLS 14-го порядка интересовал меня давно.
Группа MODLS 14-го порядка, состоящая из трёх ортогональных ДЛК, до сих пор не найдена, насколько мне известно.
Во всяком случае, в статье OEIS о такой группе не сообщается.

С этой ортогональной парой я сейчас достаточно много поработала.
Алгоритм тот же самый, который применялся при поиске группы MODLS 12-го порядка: перестановка строк и столбцов.
Этот алгоритм хорошо известен, однако я придумала несколько интересных программных реализаций, которые позволяют очень быстро переставлять строки и столбцы.

О результатах расскажу далее.

Нашла набор, состоящий из 304 ЛК и ДЛК.
В результате проверки программой GetOrthogonal получена следующая таблица ортогональных пар

1: [53,111,152],
2: [185,211,281],
6: [46,227,229],
7: [131,189,290],
11: [66,144,216],
28: [71,72,228],
29: [107,146,186],
31: [67,112,193],
32: [85,114,210],
33: [79,224,299],
46: [6,227,229],
47: [117,130,194],
53: [1,111,152],
64: [147,192,279],
65: [104,205,241],
66: [11,144,216],
67: [31,112,193],
71: [28,72,228],
72: [28,71,228],
73: [129,280,301],
79: [33,224,299],
80: [135,236,289],
85: [32,114,210],
104: [65,205,241],
107: [29,146,186],
110: [121,287,291],
111: [1,53,152],
112: [31,67,193],
114: [32,85,210],
117: [47,130,194],
121: [110,287,291],
129: [73,280,301],
130: [47,117,194],
131: [7,189,290],
135: [80,236,289],
142: [195],
144: [11,66,216],
146: [29,107,186],
147: [64,192,279],
151: [199],
152: [1,53,111],
185: [2,211,281],
186: [29,107,146],
189: [7,131,290],
192: [64,147,279],
193: [31,67,112],
194: [47,117,130],
195: [142],
196: [226],
197: [286],
198: [285],
199: [151],
200: [225],
205: [65,104,241],
206: [300],
207: [298],
210: [32,85,114],
211: [2,185,281],
216: [11,66,144],
224: [33,79,299],
225: [200],
226: [196],
227: [6,46,229],
228: [28,71,72],
229: [6,46,227],
236: [80,135,289],
241: [65,104,205],
279: [64,147,192],
280: [73,129,301],
281: [2,185,211],
285: [198],
286: [197],
287: [110,121,291],
289: [80,135,236],
290: [7,131,189],
291: [110,121,287],
298: [207],
299: [33,79,224],
300: [206],
301: [73,129,280]

Поискала в программе SageMath максимальные клики в этом графе.
И они найдены!
Программа SageMath выдала 16 клик размера 4. Отлично!

[[11, 66, 144, 216],
 [28, 71, 72, 228],
 [29, 107, 146, 186],
 [31, 67, 112, 193],
 [32, 85, 114, 210],
 [33, 79, 224, 299],
 [46, 227, 229, 6],
 [47, 117, 130, 194],
 [53, 111, 152, 1],
 [64, 147, 192, 279],
 [65, 104, 205, 241],
 [73, 129, 280, 301],
 [80, 135, 236, 289],
 [110, 121, 287, 291],
 [131, 189, 290, 7],
 [185, 211, 281, 2]]

Таким образом, исходная ортогональная пара расширена до групп MOLS, состоящих из четырёх ЛК (максимально известное количество ЛК в группе MOLS 14-го порядка на данный момент).

Интересно: в каждой найденной группе есть один ДЛК.
Я отметила в каждой группе ДЛК буквой Д

[[11, 66, 144, 216Д],
 [28, 71Д, 72, 228],
 [29, 107Д, 146, 186],
 [31, 67, 112Д, 193],
 [32Д, 85, 114, 210],
 [33Д, 79, 224, 299],
 [46, 227Д, 229, 6],
 [47Д, 117, 130, 194],
 [53, 111, 152Д, 1],
 [64, 147, 192Д, 279],
 [65, 104, 205Д, 241],
 [73Д, 129, 280, 301],
 [80, 135, 236, 289Д],
 [110, 121Д, 287, 291],
 [131Д, 189, 290, 7],
 [185, 211Д, 281, 2]]

Далее покажу одну из этих групп MOLS 14-го порядка.

Показываю эту группу MOLS 14-го порядка
[53, 111, 152Д, 1]

квадрат 1 - ЛК

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
 1  2 12 11  9  7  8  3 13  0  5  6  4 10
 5  9  7  0 13 10  4  8 12  6  2  3 11  1
 6  0  4  8  2 12 10  5  1 13 11  7  9  3
11  7  1  4  6 13  5  0  9  3 12  8 10  2
 8  6  3 13  5  1 12 10  4 11  0  2  7  9
 3  4  5 10 11  0  7  9  2 12  8 13  1  6
 4  5 11  6  7  2  3 12 10  8  1  9 13  0
 2 11 10  9  0  8  1 13  6  7  4  5  3 12
10  3  8  7  1  9 13  4  5  2  6 12  0 11
 9 10 13 12  8  6  0 11  3  1  7  4  2  5
12 13  6  2 10  3 11  1  7  5  9  0  8  4
13  8  0  5 12  4  9  2 11 10  3  1  6  7
 7 12  9  1  3 11  2  6  0  4 13 10  5  8

квадрат 53 - ЛК

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
 3  0  4  2  8  1  5 10  6 13 12  7  9 11
11  7 13  9  2  6 12  3  0 10  1  5  4  8
 9  2  5  6 11  8  0 13  4 12  3 10  1  7
10  4 11 13  3  0  7  1 12  8  6  2  5  9
 7 11 12 10  9 13  3  4  2  1  5  8  0  6
13  8  0  1 12  3  2  5 10  7 11  9  6  4
 1 10  6  8  5  7  4  9 13  0  2  3 11 12
12 13  3  0  6  4  9  8  5 11  7  1  2 10
 8  6  9 12 10  2  1 11  3  4  0 13  7  5
 4  9  7 11 13 12 10  0  1  5  8  6  3  2
 2  3  1  5  7 11  8 12  9  6 13  4 10  0
 5 12  8  4  1 10 11  6  7  2  9  0 13  3
 6  5 10  7  0  9 13  2 11  3  4 12  8  1

квадрат 111 - ЛК

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
 5  9  6 13  1  0  7  8 12 11  3  2 10  4
 2  6  3  7 10 11  0 13  5  4  8  9  1 12
 1  5 12  4  0  7  8  9  3  6  2 13 11 10
 6 11  8  1 12  3  4 10  7  2  9  0 13  5
12  7 13  0  6 10 11  2  9  5  1  3  4  8
 7 13 10 12  9  6  1  4 11  3  5  8  2  0
 3 12  7 11  8 13  5  0  6  1  4 10  9  2
 4  8  0  2  3  9 13  5 10 12 11  7  6  1
 9  0 11  5  7 12  2  6  1 10 13  4  8  3
13  3  1 10  2  8  9 12  4  0  6  5  7 11
 8  4  9  6  5  1 10 11  2 13  0 12  3  7
11 10  4  8 13  2  3  1  0  7 12  6  5  9
10  2  5  9 11  4 12  3 13  8  7  1  0  6

квадрат 152 - ДЛК

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
 7 13  5  6  0  3 12  1  9 10 11  4  2  8
12  3  8 11  5  1 13  2  6  0  7 10  9  4
 8  9  3  5  6 13  2  0 10  7  1 12  4 11
13  6  0 12 11  4  9  8  2  5  3  1  7 10
10  5  4  8  1  6  0  3  7  2 13  9 11 12
 9 11  7  0  8 12 10  6  5  1  4  3 13  2
 5  2 10  7  9  0  8  4 11  3 12 13  1  6
 3  4  9 10  2 11  5 12  1 13  8  6  0  7
 6  7 13  1  3  8 11 10  4 12  9  2  5  0
 1 12  6  9  7 10  4  5 13 11  2  0  8  3
11 10 12  4 13  2  3  9  0  8  5  7  6  1
 2  0  1 13 10  9  7 11 12  4  6  8  3  5
 4  8 11  2 12  7  1 13  3  6  0  5 10  9

Проверка программой GetOrthogonal

Order? 14

Enter the name of the squares file: inp14
Choose 1 - get counts and maximun pairs, or 2 - get pairs for one square: 1
..output file inp14-orthCounts.txt
..output file inp14-orthNos.txt
squares 4 total orthogonal pairs 6
Maximum pairs for square 1: 3
There are 3 other squares with this maximum number of pairs.
..output file inp14-1orths.txt
Pairs for square 1: 3

Всё верно.
Таблица ортогональных пар

1: [2,3,4],
2: [1,3,4],
3: [1,2,4],
4: [1,2,3]

Однако группа MODLS 14-го порядка, состоящая из трёх взаимно ортогональных ДЛК, пока не найдена.
Группа MOLS данного порядка, состоящая из пяти взаимно ортогональных ЛК, тоже пока не найдена.
Существует ли такая в природе? Математикам она пока неизвестна.

Итак, я нашла 16 альтернативных групп MOLS 14-го порядка из четырёх взаимно ортогональных ЛК, каждая из которых содержит один ДЛК.

Продолжаю эксперимент.

Работаю с группой MOLS 14-го порядка из четырёх ЛК, показанной в стартовом посте.
Нормализовала ЛК этой группы, мне с нормализованными ЛК удобнее работать

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
11  7  5  1  0  3  9  6 13  2 12  8  4 10
12  4 13  9  5  7  0  8 11  6  1 10  2  3
 7 10  3  6 12  9 13  0  2  4 11  5  8  1
 6 13  8  0 11 10 12  5  7  1  3  4  9  2
10 11  6  2  7  4  8  1  9 13  5  0  3 12
 2  8  4 11  1 13  3 10  5 12  6  9  7  0
13  9 10  5  6  8 11  2 12  3  7  1  0  4
 4  6 12  8  9 11  2  3  1 10  0 13  5  7
 1  3 11 10  2 12  4 13  0  5  8  7  6  9
 3  5  0  4  8  1 10 12  6  7  9  2 13 11
 8  0  9  7  3  2  5  4 10 11 13 12  1  6
 9  2  7 12 13  0  1 11  3  8  4  6 10  5
 5 12  1 13 10  6  7  9  4  0  2  3 11  8

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
 9  3  8  5  7  1 11 12  4 10 13  0  6  2
 6 13  7 10 11  4  8  5  2  1  0 12  3  9
10  9 12  4  0  6  1 13 11  5  8  3  2  7
 8  0 13  2  1  3  9  4 12  6 11 10  7  5
13 10  3 12  5  8  7 11  1  2  9  6  0  4
 4 12  0  7  2 11 10  1  6  8  5 13  9  3
 3  4 11  0 13  9  5  6 10  7  2  8  1 12
11  7  1  6  3 12 13  2  9  0  4  5 10  8
12  6  4  8  9  7  2 10  5 13  3  1 11  0
 5  2  9  1 10 13  4  3  0 11 12  7  8  6
 1 11  5 13  8  0 12  9  7  3  6  2  4 10
 2  8  6 11 12 10  3  0 13  4  7  9  5  1
 7  5 10  9  6  2  0  8  3 12  1  4 13 11

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
 5 12  9  8  2 11  7  1 10  0  6 13  3  4
10  7  4  6  0  8  3 11  9 13 12  5  1  2
 2 13 10 11  5 12  0  8  3  6  1  4  7  9
12  8  1 13  3  7  4  6  0  2  5  9 11 10
11  4  0  9  1  2 10 13  5 12  8  7  6  3
13  3 11 12  6  9  8  2  1  7  4  0 10  5
 6  2 12  7  9  0 13  5 11  1  3 10  4  8
 1  5  8  4 10  6 12  0  7  3  9  2 13 11
 4  9  7  0 11 13  5  3 12 10  2  6  8  1
 7 11  6 10 12  3  1  9  2  4 13  8  5  0
 9 10  3  5 13  4  2 12  6  8 11  1  0  7
 8  6 13  2  7  1 11 10  4  5  0  3  9 12
 3  0  5  1  8 10  9  4 13 11  7 12  2  6

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
 8  4 10  6 12  9 13  3  1 11  5  2  7  0
 3 11  9  2  8  0  5  4 12 10  7 13  6  1
13 12  7  5  6 11  4 10  9  0  2  1  3  8
 9  3  0  1 13  8  7 11  2  5  4  6 10 12
 1  5 12  4 10  3 11  0  7  6 13  9  8  2
 7 10 13  0  9  2 12  6  4  1  8  3  5 11
10  8  5 12  7  6  3  1  0 13 11  4  2  9
12  2 11 13  0  1  8  5 10  4  3  7  9  6
11  0  6  7  3  4 10  8 13  2  9 12  1  5
 2  7  4  8  1 12  9 13 11  3  6  5  0 10
 5  6  1  9 11 10  0  2  3  7 12  8 13  4
 4 13  8 10  5  7  2  9  6 12  1  0 11  3
 6  9  3 11  2 13  1 12  5  8  0 10  4  7

Интересны свойства этих ЛК

Order? 14

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_5.txt

Counts
------
         4 Latin
         4 nfr
         3 orthogonal pair
         4 self-orthogonal

Все ЛК являются SOLK. Это полезное свойство.

Затем поискала ДЛК перестановками строк и столбцов в каждом ЛК данной группы.
Этим способом удалось получить несколько групп MOLS, содержащие один ДЛК и три ЛК.
Именно такую группу я получила на первом этапе, работая с группой MOLS 12-го порядка.

Показываю таблицу ортогональных пар от полученного набора ЛК и ДЛК

1: [13,27,39],
2: [40,48,58],
3: [11,51,53],
4: [34,42,61],
5: [16,36,49],
6: [18,19,52],
7: [25,37,41],
8: [17,28,44],
9: [23,29,47],
10: [21,50,63],
11: [3,51,53],
12: [30,33,45],
13: [1,27,39],
14: [38,43,56],
15: [24,46,55],
16: [5,36,49],
17: [8,28,44],
18: [6,19,52],
19: [6,18,52],
20: [32,57,64],
21: [10,50,63],
22: [35,54,60],
23: [9,29,47],
24: [15,46,55],
25: [7,37,41],
26: [31,59,62],
27: [1,13,39],
28: [8,17,44],
29: [9,23,47],
30: [12,33,45],
31: [26,59,62],
32: [20,57,64],
33: [12,30,45],
34: [4,42,61],
35: [22,54,60],
36: [5,16,49],
37: [7,25,41],
38: [14,43,56],
39: [1,13,27],
40: [2,48,58],
41: [7,25,37],
42: [4,34,61],
43: [14,38,56],
44: [8,17,28],
45: [12,30,33],
46: [15,24,55],
47: [9,23,29],
48: [2,40,58],
49: [5,16,36],
50: [10,21,63],
51: [3,11,53],
52: [6,18,19],
53: [3,11,51],
54: [22,35,60],
55: [15,24,46],
56: [14,38,43],
57: [20,32,64],
58: [2,40,48],
59: [26,31,62],
60: [22,35,54],
61: [4,34,42],
62: [26,31,59],
63: [10,21,50],
64: [20,32,57]

Каждый ЛК в наборе имеет три ОЛК.
Программой SageMath нашла клики размера 4.

Покажу одну из полученных групп MOLS 14-го порядка, содержащих один ДЛК и три ЛК

ДЛК

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
10 13  8 11 12  0  1  2  6  4  7  5  9  3
 2  3 11  4  9  7  8 12  0 13  5 10  6  1
 1  9  0  7  3  8 12 13 10 11  6  2  4  5
11  8  9 12  5  1  7 10  3  2  4  6 13  0
12  7  1  8 10  2 13 11  4  0  9  3  5  6
 3 12  5  0  2  6 10  8 13  7  1  9 11  4
 9  2  7  6  8 11  0  4  5 10 13  1  3 12
 5 11 13  9  0  3  2  6 12  1  8  4  7 10
 4  0 10  2 11  9  5  3  1  6 12 13  8  7
13  4  6  1  7 10 11  0  9  5  3 12  2  8
 6 10 12 13  1  4  9  5  7  3 11  8  0  2
 8  5  4 10  6 13  3  9  2 12  0  7  1 11
 7  6  3  5 13 12  4  1 11  8  2  0 10  9

ЛК

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
 1  5 12 10  0  7  9  4 11  3  2  8 13  6
 9  4  6  8 10 12  0 13  5 11  1  7  3  2
 8  3  1 11  5 13  4  6  9  7  0 10  2 12
13  6  8  7  9  0  1  5 10 12 11  2  4  3
10  9 11  5  2  3  8 12  7 13  4  0  6  1
 7 11  4  9  6 10  3  2 12  8 13  5  1  0
 2  0  5 13 11  4 10  1  3  6  7 12  9  8
11  8 10  6 12  1  7  9  2  5  3 13  0  4
12  2  0  1  3 11 13  8  6  4  5  9  7 10
 3 10  7  4 13  8  2 11  1  0 12  6  5  9
 5 13  3  0  7  6 12 10  4  2  9  1  8 11
 4  7  9 12  8  2 11  0 13  1  6  3 10  5
 6 12 13  2  1  9  5  3  0 10  8  4 11  7

ЛК

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
 2  8  1  4  7  9 11  6 10  0 13  3  5 12
 3 13 10  1  8  4  9 11  7 12  6  0  2  5
12 11  5  2  0  3 10  4  1  6  8 13  9  7
 7  2  4  8 12 13  0  9 11 10  5  1  3  6
 9  6  7 10  3  8  5 13 12  1  2  4  0 11
 5  3  9 13  1 12  7  0  2 11  4  6  8 10
10  5 12  9  6  1  2  3  4 13 11  8  7  0
13  9  0  7 11 10  4  5  6  3 12  2  1  8
 6  4 11 12  5  0  8  2  9  7  1 10 13  3
 1  7  3  0 10  6 12  8 13  2  9  5 11  4
 4 12 13  6  2 11  3  1  5  8  0  7 10  9
11 10  8  5 13  7  1 12  0  4  3  9  6  2
 8  0  6 11  9  2 13 10  3  5  7 12  4  1

ЛК

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
11  0  5  6 13  2  8  3  7  1 12  9  4 10
12  5  4 10  1 13  7  0  3  2  8  6  9 11
 4  2  9  0 12 11  1  8 13 10  5  7  3  6
 1  3 12 11  7  6  2  4  9  8 13  0 10  5
 5 11 10  2  8  4  3  9  0  6  7  1 13 12
 8  6  0  4 11  3 12 10  1  5  2 13  7  9
 6 10  1  8  9 12 13  5 11  0  4  3  2  7
 3 13 11  5 10  0  9  1  4  7  6 12  8  2
 2  7  3 13  0  8 10  6 12 11  9  5  1  4
 7  8 13  9  3  1  5 12 10  4 11  2  6  0
10  9  8 12  5  7  0  2  6 13  3  4 11  1
13 12  6  7  2  9  4 11  5  3  1 10  0  8
 9  4  7  1  6 10 11 13  2 12  0  8  5  3

Теперь нашла расширенный набор ДЛК и ЛК, 135336 штук вместе - тех и других.
Запустила обработку набора программой GetOrthogonal

Order? 14

Enter the name of the squares file: inp14
Choose 1 - get counts and maximun pairs, or 2 - get pairs for one square: 1
..output file inp14-orthCounts.txt
..output file inp14-orthNos.txt
    .. increasing LS store to     100,000
    .. increasing LS store to     200,000
squares 135336

Программа пыхтит :) Жду результат.

Программа завершилась.
Результат

Order? 14

Enter the name of the squares file: inp14
Choose 1 - get counts and maximun pairs, or 2 - get pairs for one square: 1
..output file inp14-orthCounts.txt
..output file inp14-orthNos.txt
    .. increasing LS store to     100,000
    .. increasing LS store to     200,000
squares 135336 total orthogonal pairs 96
Maximum pairs for square 1: 3
There are 63 other squares with this maximum number of pairs.
..output file inp14-1orths.txt
Pairs for square 1: 3

elapsed time 2:57:26

К сожалению, ничего нового не добавилось.

PS. Получила ещё один расширенный набор ДЛК и ЛК, который содержит более 500 тысяч квадратов.
Этот набор я не смогу обработать программой GetOrthogonal.
И даже если его обработать этой программой, проверить потом на максимальную клику вряд ли удастся.
Мы с помощником уже столкнулись с такой проблемой для набора ДЛК и ЛК 12-го порядка.
Попробовать, конечно, можно.
Для порядка 14 будет меньше ортогональных пар, нежели для порядка 12.
Вдруг и получится.

Представлю свою давнишнюю статью (2009 год)
"ПОСТРОЕНИЕ ГРУПП MOLS ЧЕТЫРНАДЦАТОГО ПОРЯДКА"
http://www.natalimak1.narod.ru/mols14.htm

Статья написана в то время, когда я только начинала заниматься ЛК/ДЛК/ОДЛК.
В то время были известны только MOLS 14-го порядка из трёх взаимно ортогональных ЛК.
Некоторые из этих групп MOLS я рассмотрела в своей статье.

Ну вот, прогресс за прошедшие 12 лет есть у математиков: найдена группа MOLS 14-го порядка, состоящая из четырёх взаимно ортогональных ЛК.

Пару групп из этой статьи я уже проверила раньше на предмет группы MODLS 14-го порядка, состоящей из трёх взаимно ортогональных ДЛК. Не найдена такая группа.
Сейчас посмотрю другие группы в статье.

Например, первая группа MOLS 14-го порядка из указанной статьи

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2 1 6 10 4 13 8 12 14 5 7 9 11 3
3 4 1 7 11 5 14 9 13 2 6 8 10 12
4 13 5 1 8 12 6 2 10 14 3 7 9 11
5 12 14 6 1 9 13 7 3 11 2 4 8 10
6 11 13 2 7 1 10 14 8 4 12 3 5 9
7 10 12 14 3 8 1 11 2 9 5 13 4 6
8 7 11 13 2 4 9 1 12 3 10 6 14 5
9 6 8 12 14 3 5 10 1 13 4 11 7 2
10 3 7 9 13 2 4 6 11 1 14 5 12 8
11 9 4 8 10 14 3 5 7 12 1 2 6 13
12 14 10 5 9 11 2 4 6 8 13 1 3 7
13 8 2 11 6 10 12 3 5 7 9 14 1 4
14 5 9 3 12 7 11 13 4 6 8 10 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
4 10 7 1 3 8 12 2 6 11 14 5 9 13
5 14 11 8 1 4 9 13 3 7 12 2 6 10
6 11 2 12 9 1 5 10 14 4 8 13 3 7
7 8 12 3 13 10 1 6 11 2 5 9 14 4
8 5 9 13 4 14 11 1 7 12 3 6 10 2
9 3 6 10 14 5 2 12 1 8 13 4 7 11
10 12 4 7 11 2 6 3 13 1 9 14 5 8
11 9 13 5 8 12 3 7 4 14 1 10 2 6
12 7 10 14 6 9 13 4 8 5 2 1 11 3
13 4 8 11 2 7 10 14 5 9 6 3 1 12
14 13 5 9 12 3 8 11 2 6 10 7 4 1
2 1 14 6 10 13 4 9 12 3 7 11 8 5
3 6 1 2 7 11 14 5 10 13 4 8 12 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
14 3 11 13 8 10 6 5 2 12 9 4 7 1
2 1 4 12 14 9 11 7 6 3 13 10 5 8
3 9 1 5 13 2 10 12 8 7 4 14 11 6
4 7 10 1 6 14 3 11 13 9 8 5 2 12
5 13 8 11 1 7 2 4 12 14 10 9 6 3
6 4 14 9 12 1 8 3 5 13 2 11 10 7
7 8 5 2 10 13 1 9 4 6 14 3 12 11
8 12 9 6 3 11 14 1 10 5 7 2 4 13
9 14 13 10 7 4 12 2 1 11 6 8 3 5
10 6 2 14 11 8 5 13 3 1 12 7 9 4
11 5 7 3 2 12 9 6 14 4 1 13 8 10
12 11 6 8 4 3 13 10 7 2 5 1 14 9
13 10 12 7 9 5 4 14 11 8 3 6 1 2

ЛК приведены в нетрадиционной форме.
Чтобы привести их к традиционной форме, надо все элементы уменьшить на 1.

Превратила ЛК в традиционную форму

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
 1  0  5  9  3 12  7 11 13  4  6  8 10  2
 2  3  0  6 10  4 13  8 12  1  5  7  9 11
 3 12  4  0  7 11  5  1  9 13  2  6  8 10
 4 11 13  5  0  8 12  6  2 10  1  3  7  9
 5 10 12  1  6  0  9 13  7  3 11  2  4  8
 6  9 11 13  2  7  0 10  1  8  4 12  3  5
 7  6 10 12  1  3  8  0 11  2  9  5 13  4
 8  5  7 11 13  2  4  9  0 12  3 10  6  1
 9  2  6  8 12  1  3  5 10  0 13  4 11  7
10  8  3  7  9 13  2  4  6 11  0  1  5 12
11 13  9  4  8 10  1  3  5  7 12  0  2  6
12  7  1 10  5  9 11  2  4  6  8 13  0  3
13  4  8  2 11  6 10 12  3  5  7  9  1  0

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
 3  9  6  0  2  7 11  1  5 10 13  4  8 12
 4 13 10  7  0  3  8 12  2  6 11  1  5  9
 5 10  1 11  8  0  4  9 13  3  7 12  2  6
 6  7 11  2 12  9  0  5 10  1  4  8 13  3
 7  4  8 12  3 13 10  0  6 11  2  5  9  1
 8  2  5  9 13  4  1 11  0  7 12  3  6 10
 9 11  3  6 10  1  5  2 12  0  8 13  4  7
10  8 12  4  7 11  2  6  3 13  0  9  1  5
11  6  9 13  5  8 12  3  7  4  1  0 10  2
12  3  7 10  1  6  9 13  4  8  5  2  0 11
13 12  4  8 11  2  7 10  1  5  9  6  3  0
 1  0 13  5  9 12  3  8 11  2  6 10  7  4
 2  5  0  1  6 10 13  4  9 12  3  7 11  8

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
13  2 10 12  7  9  5  4  1 11  8  3  6  0
 1  0  3 11 13  8 10  6  5  2 12  9  4  7
 2  8  0  4 12  1  9 11  7  6  3 13 10  5
 3  6  9  0  5 13  2 10 12  8  7  4  1 11
 4 12  7 10  0  6  1  3 11 13  9  8  5  2
 5  3 13  8 11  0  7  2  4 12  1 10  9  6
 6  7  4  1  9 12  0  8  3  5 13  2 11 10
 7 11  8  5  2 10 13  0  9  4  6  1  3 12
 8 13 12  9  6  3 11  1  0 10  5  7  2  4
 9  5  1 13 10  7  4 12  2  0 11  6  8  3
10  4  6  2  1 11  8  5 13  3  0 12  7  9
11 10  5  7  3  2 12  9  6  1  4  0 13  8
12  9 11  6  8  4  3 13 10  7  2  5  0  1

ЛК нормализованные.
Можно начинать с ними работать.
Группу MODLS я уже искала от данной группы MOLS, а группу MOLS побольше ещё не искала.

Проверила показанную выше группу MOLS из трёх взаимно ортогональных ЛК на расширение.
Нашла набор из 61921 нормализованных ЛК.
Проверила набор на ортогональные пары.
Таблица ортогональных пар

1: [12682,61921],
444: [61895],
12682: [1,61921],
26432: [59631],
59631: [26432],
61895: [444],
61921: [1,12682]

Очевидно, что клика размера 3 тут всего одна
[1, 12682, 61921].
Это исходная группа MOLS.

Ой, соблазн расширения набора ЛК (от перестановок строк и столбцов) очень велик :)
Вот составила другой набор, проверила его на ортогональные пары, такая таблица ортогональных пар получилась

1: [15120,55211],
15119: [53016,53017],
15120: [1,55211],
15178: [51834],
40549: [66869],
51834: [15178],
53016: [15119,53017],
53017: [15119,53016],
55211: [1,15120],
66869: [40549]

Кажется, тут две клики размера 3
[1, 15120, 55211]
[15119, 53016, 53017]

Это уже интересно: получилась ещё одна группа MOLS из трёх взаимно ортогональных ЛК.
Может быть, ЛК этой группы изоморфны ЛК исходной группы.
Я сейчас покажу эти группы MOLS.

В моей давнишней статье написано, что по одной квази-разностной матрице можно составить много групп MOLS.
Ну вот, отсюда, видимо, и полученная новая группа MOLS у меня в эксперименте.

Показываю две группы MOLS.

Первая группа

квадрат 1

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
 1  0  5  9  3 12  7 11 13  4  6  8 10  2
 2  3  0  6 10  4 13  8 12  1  5  7  9 11
 3 12  4  0  7 11  5  1  9 13  2  6  8 10
 4 11 13  5  0  8 12  6  2 10  1  3  7  9
 5 10 12  1  6  0  9 13  7  3 11  2  4  8
 6  9 11 13  2  7  0 10  1  8  4 12  3  5
 7  6 10 12  1  3  8  0 11  2  9  5 13  4
 8  5  7 11 13  2  4  9  0 12  3 10  6  1
 9  2  6  8 12  1  3  5 10  0 13  4 11  7
10  8  3  7  9 13  2  4  6 11  0  1  5 12
11 13  9  4  8 10  1  3  5  7 12  0  2  6
12  7  1 10  5  9 11  2  4  6  8 13  0  3
13  4  8  2 11  6 10 12  3  5  7  9  1  0

квадрат 15120

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
 3  9  6  0  2  7 11  1  5 10 13  4  8 12
 4 13 10  7  0  3  8 12  2  6 11  1  5  9
 5 10  1 11  8  0  4  9 13  3  7 12  2  6
 6  7 11  2 12  9  0  5 10  1  4  8 13  3
 7  4  8 12  3 13 10  0  6 11  2  5  9  1
 8  2  5  9 13  4  1 11  0  7 12  3  6 10
 9 11  3  6 10  1  5  2 12  0  8 13  4  7
10  8 12  4  7 11  2  6  3 13  0  9  1  5
11  6  9 13  5  8 12  3  7  4  1  0 10  2
12  3  7 10  1  6  9 13  4  8  5  2  0 11
13 12  4  8 11  2  7 10  1  5  9  6  3  0
 1  0 13  5  9 12  3  8 11  2  6 10  7  4
 2  5  0  1  6 10 13  4  9 12  3  7 11  8

квадрат 55211

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
13  2 10 12  7  9  5  4  1 11  8  3  6  0
 1  0  3 11 13  8 10  6  5  2 12  9  4  7
 2  8  0  4 12  1  9 11  7  6  3 13 10  5
 3  6  9  0  5 13  2 10 12  8  7  4  1 11
 4 12  7 10  0  6  1  3 11 13  9  8  5  2
 5  3 13  8 11  0  7  2  4 12  1 10  9  6
 6  7  4  1  9 12  0  8  3  5 13  2 11 10
 7 11  8  5  2 10 13  0  9  4  6  1  3 12
 8 13 12  9  6  3 11  1  0 10  5  7  2  4
 9  5  1 13 10  7  4 12  2  0 11  6  8  3
10  4  6  2  1 11  8  5 13  3  0 12  7  9
11 10  5  7  3  2 12  9  6  1  4  0 13  8
12  9 11  6  8  4  3 13 10  7  2  5  0  1

Очевидно, что это исходная группа.

Вторая группа

квадрат 15119

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
 3  2  8  7 12  1  5  9  0  6  4 13 10 11
 1  7  6 11  0  4  8 12  5  3 13  9  2 10
 6  5 10 12  3  7 11  4  2 13  8  1  0  9
 4  9 11  2  6 10  3  1 13  7  0 12  5  8
 8 10  1  5  9  2  0 13  6 12 11  4  3  7
 9  0  4  8  1 12 13  5 11 10  3  2  7  6
12  3  7  0 11 13  4 10  9  2  1  6  8  5
 2  6 12 10 13  3  9  8  1  0  5  7 11  4
 5 11  9 13  2  8  7  0 12  4  6 10  1  3
10  8 13  1  7  6 12 11  3  5  9  0  4  2
 7 13  0  6  5 11 10  2  4  8 12  3  9  1
13 12  5  4 10  9  1  3  7 11  2  8  6  0
11  4  3  9  8  0  2  6 10  1  7  5 13 12

квадрат 53016

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
 9  6  0  5 11  8  7  4  3  2  1 10 13 12
 5 12  4 10  7  6  3  2  1  0  9 13  8 11
11  3  9  6  5  2  1  0 12  8 13  7  4 10
 2  8  5  4  1  0 12 11  7 13  6  3 10  9
 7  4  3  0 12 11 10  6 13  5  2  9  1  8
 3  2 12 11 10  9  5 13  4  1  8  0  6  7
 1 11 10  9  8  4 13  3  0  7 12  5  2  6
10  9  8  7  3 13  2 12  6 11  4  1  0  5
 8  7  6  2 13  1 11  5 10  3  0 12  9  4
 6  5  1 13  0 10  4  9  2 12 11  8  7  3
 4  0 13 12  9  3  8  1 11 10  7  6  5  2
12 13 11  8  2  7  0 10  9  6  5  4  3  1
13 10  7  1  6 12  9  8  5  4  3  2 11  0

квадрат 53017

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
10 13  3 12  9  7  4  0 11  8  5  2  6  1
13  2 11  8  6  3 12 10  7  4  1  5  9  0
 1 10  7  5  2 11  9  6  3  0  4  8 13 12
 9  6  4  1 10  8  5  2 12  3  7 13  0 11
 5  3  0  9  7  4  1 11  2  6 13 12  8 10
 2 12  8  6  3  0 10  1  5 13 11  7  4  9
11  7  5  2 12  9  0  4 13 10  6  3  1  8
 6  4  1 11  8 12  3 13  9  5  2  0 10  7
 3  0 10  7 11  2 13  8  4  1 12  9  5  6
12  9  6 10  1 13  7  3  0 11  8  4  2  5
 8  5  9  0 13  6  2 12 10  7  3  1 11  4
 4  8 12 13  5  1 11  9  6  2  0 10  7  3
 7 11 13  4  0 10  8  5  1 12  9  6  3  2

Да, ЛК этой группы изоморфны ЛК исходной группы.
Интересно, а что там от варьирования квази-разностной матрицы получается. Может быть, тоже изоморфы? Сейчас не помню этот момент.

Так что, пока ничего нового от этой группы MOLS не получено.

Есть у меня и ещё один расширенный набор для проверяемой группы MOLS, состоящий из 133785 нормализованных ЛК.
Но проверять его не буду программой GetOrthogonal, потому что это слишком долго.
А результата хорошего не ожидается.
Ну, даже если и расширится группа до четырёх взаимно ортогональных ЛК, так ведь такие группы MOLS уже известны.
Вряд ли расширится до пяти взаимно ортогональных ЛК.

Отмечу, что для порядка 14 есть хорошая особенность: ортогональных пар при обработке программой GetOrthogonal получается мало (по сравнению с порядком 12).
Поэтому здесь будет легче искать клику максимального размера, граф будет не сильно большой.

Можно поработать с другими группами MOLS 14-го порядка из статьи
http://www.natalimak1.narod.ru/mols14.htm

Но... очень жарко... Черепашка пыхтит с трудом. А я тем более :)

Пока понятно, что алгоритм перестановки строк и столбцов работает хорошо, тем более, с моими эвристиками.
Хочу ещё поработать с группой MOLS из четырёх взаимно ортогональных ЛК.
Там есть уже небольшой результат: получены группы MOLS, содержащие один ДЛК и три ЛК.
Есть и большой расширенный набор ЛК, полученный от этой группы, который, конечно, я не обработала программой GetOrthogonal.
Надо ещё поработать над этим расширенным набором ЛК и выложить его для проверки.

Это минимальный набор ЛК, полученный от группы MOLS из четырёх взаимно ортогональных ЛК, состоит из 33826 нормализованных ЛК (тут только ЛК, ДЛК нет).
При обработке программой GetOrthogonal набор даёт

Order? 14

Enter the name of the squares file: inp14
Choose 1 - get counts and maximun pairs, or 2 - get pairs for one square: 1
..output file inp14-orthCounts.txt
..output file inp14-orthNos.txt
squares 33826 total orthogonal pairs 12
Maximum pairs for square 1: 3
There are 7 other squares with this maximum number of pairs.
..output file inp14-1orths.txt
Pairs for square 1: 3

Как видим, ортогональных пар совсем мало - всего 12.
Ну, на клику тут проверить очень просто: малюсенький граф.
Можно даже и без помощи программы SageMath проверить.
Таблица ортогональных пар (граф)

1: [2,3,4],
2: [1,3,4],
3: [1,2,4],
4: [1,2,3],
5: [6,7,8],
6: [5,7,8],
7: [5,6,8],
8: [5,6,7]

Очевидно, что здесь две клики размера 4
[1, 2, 3, 4]
[5, 6, 7, 8]

Одна из клик соответствует исходной группе MOLS, вторая содержит изоморфные ЛК.
Это был минимальный набор ЛК (без ДЛК), полученный от исходной группы MOLS, состоящей из четырёх взаимно ортогональных ЛК.
Далее я этот набор расширяла, расширяла...
В конце концов, расширенный набор удалила (он содержал более 500 тысяч нормализованных ДЛК и ЛК), и сейчас буду расширять снова :)

К счастью, не удалила набор ДЛК, полученных от этой группы MOLS.
Сейчас объединила первый минимальный набор ЛК с набором ДЛК, получила набор из 33998 нормализованных ДЛК и ЛК.
Запустила обработку программой GetOrthogonal.
Жду результат.

Результат получился неплохой

Order? 14

Enter the name of the squares file: inp14
Choose 1 - get counts and maximun pairs, or 2 - get pairs for one square: 1
..output file inp14-orthCounts_1.txt
..output file inp14-orthNos_1.txt
squares 33898 total orthogonal pairs 120
Maximum pairs for square 1: 3
There are 79 other squares with this maximum number of pairs.
..output file inp14-1orths_1.txt
Pairs for square 1: 3

elapsed time 0:11:02

Это пока быстро обработалось, всего 11 минут.
Образовано 120 ортогональных пар, уже кое-что.
Найдено 80 троек.
Ну, и клики поищу, конечно, программой SageMath.
Для программы это легко, граф маленький.
Понятно, что здесь есть группы MOLS, состоящие из одного ДЛК и трёх ЛК, о которых я уже писала выше.

А вот и клики размера 4, выданные программой SageMath, - 20 штук

[[70, 2841, 25577, 25579],
 [71, 18007, 33893, 6017],
 [72, 5730, 22127, 10153],
 [73, 5733, 5735, 25578],
 [3328, 21860, 6013, 6016],
 [5728, 28831, 10409, 21857],
 [5729, 5978, 21928, 25581],
 [5731, 33896, 28829, 21861],
 [5732, 2837, 5983, 21859],
 [5734, 33898, 28830, 2840],
 [5736, 33897, 28832, 6015],
 [5806, 2838, 6011, 21929],
 [12532, 3329, 5982, 1],
 [17987, 69, 28833, 21930],
 [17988, 2836, 5979, 10154],
 [28828, 17184, 21858, 6012],
 [33490, 12531, 5950, 5980],
 [33891, 33894, 5981, 6014],
 [33892, 5805, 6018, 25580],
 [33895, 5804, 2839, 22995]]

Например, группа MOLS, выданная программой GetOrthogonal, от квадрата 1; среди клик этой группе соответствует клика
[12532, 3329, 5982, 1]

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
 1  2 12 11  9  7  8  3 13  0  5  6  4 10
 5  9  7  0 13 10  4  8 12  6  2  3 11  1
 6  0  4  8  2 12 10  5  1 13 11  7  9  3
11  7  1  4  6 13  5  0  9  3 12  8 10  2
 8  6  3 13  5  1 12 10  4 11  0  2  7  9
 3  4  5 10 11  0  7  9  2 12  8 13  1  6
 4  5 11  6  7  2  3 12 10  8  1  9 13  0
 2 11 10  9  0  8  1 13  6  7  4  5  3 12
10  3  8  7  1  9 13  4  5  2  6 12  0 11
 9 10 13 12  8  6  0 11  3  1  7  4  2  5
12 13  6  2 10  3 11  1  7  5  9  0  8  4
13  8  0  5 12  4  9  2 11 10  3  1  6  7
 7 12  9  1  3 11  2  6  0  4 13 10  5  8

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
 3  0  4  2  8  1  5 10  6 13 12  7  9 11
11  7 13  9  2  6 12  3  0 10  1  5  4  8
 9  2  5  6 11  8  0 13  4 12  3 10  1  7
10  4 11 13  3  0  7  1 12  8  6  2  5  9
 7 11 12 10  9 13  3  4  2  1  5  8  0  6
13  8  0  1 12  3  2  5 10  7 11  9  6  4
 1 10  6  8  5  7  4  9 13  0  2  3 11 12
12 13  3  0  6  4  9  8  5 11  7  1  2 10
 8  6  9 12 10  2  1 11  3  4  0 13  7  5
 4  9  7 11 13 12 10  0  1  5  8  6  3  2
 2  3  1  5  7 11  8 12  9  6 13  4 10  0
 5 12  8  4  1 10 11  6  7  2  9  0 13  3
 6  5 10  7  0  9 13  2 11  3  4 12  8  1

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
 5  9  6 13  1  0  7  8 12 11  3  2 10  4
 2  6  3  7 10 11  0 13  5  4  8  9  1 12
 1  5 12  4  0  7  8  9  3  6  2 13 11 10
 6 11  8  1 12  3  4 10  7  2  9  0 13  5
12  7 13  0  6 10 11  2  9  5  1  3  4  8
 7 13 10 12  9  6  1  4 11  3  5  8  2  0
 3 12  7 11  8 13  5  0  6  1  4 10  9  2
 4  8  0  2  3  9 13  5 10 12 11  7  6  1
 9  0 11  5  7 12  2  6  1 10 13  4  8  3
13  3  1 10  2  8  9 12  4  0  6  5  7 11
 8  4  9  6  5  1 10 11  2 13  0 12  3  7
11 10  4  8 13  2  3  1  0  7 12  6  5  9
10  2  5  9 11  4 12  3 13  8  7  1  0  6

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13
 7 13  5  6  0  3 12  1  9 10 11  4  2  8
12  3  8 11  5  1 13  2  6  0  7 10  9  4
 8  9  3  5  6 13  2  0 10  7  1 12  4 11
13  6  0 12 11  4  9  8  2  5  3  1  7 10
10  5  4  8  1  6  0  3  7  2 13  9 11 12
 9 11  7  0  8 12 10  6  5  1  4  3 13  2
 5  2 10  7  9  0  8  4 11  3 12 13  1  6
 3  4  9 10  2 11  5 12  1 13  8  6  0  7
 6  7 13  1  3  8 11 10  4 12  9  2  5  0
 1 12  6  9  7 10  4  5 13 11  2  0  8  3
11 10 12  4 13  2  3  9  0  8  5  7  6  1
 2  0  1 13 10  9  7 11 12  4  6  8  3  5
 4  8 11  2 12  7  1 13  3  6  0  5 10  9

Проверяю свойства утилитой GetType1

Order? 14

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_6.txt

Counts
------
         3 Latin
         1 diagonal Latin
         4 nfr
         3 orthogonal pair

В группе один ДЛК и три ЛК.
Всё замечательно.

Тэк-с, теперь всё, что было, собрала. Буду дальше расширять набор ДЛК/ЛК.
Главное - опять не удалить, что собрала :)
Дурная голова черепашке покоя не даёт!

В проверенном наборе из 33998 ДЛК и ЛК содержится 16 ДЛК, все они входят в найденные группы MOLS; пометила их в кликах буквой Д

[[70, 2841, 25577Д, 25579],
 [71, 18007, 33893, 6017Д],
 [72, 5730, 22127Д, 10153],
 [73, 5733Д, 5735, 25578],
 [3328Д, 21860, 6013, 6016],
 [5728, 28831, 10409, 21857Д],
 [5729, 5978, 21928Д, 25581],
 [5731, 33896, 28829, 21861],
 [5732, 2837, 5983Д, 21859],
 [5734, 33898, 28830, 2840],
 [5736Д, 33897, 28832, 6015],
 [5806, 2838Д, 6011, 21929],
 [12532Д, 3329, 5982, 1],
 [17987, 69, 28833, 21930Д],
 [17988, 2836, 5979Д, 10154],
 [28828, 17184, 21858, 6012],
 [33490, 12531, 5950, 5980],
 [33891, 33894, 5981, 6014Д],
 [33892Д, 5805, 6018, 25580],
 [33895, 5804, 2839Д, 22995]]

Значит, 16 групп MOLS содержат один ДЛК и три ЛК, остальные четыре группы MOLS состоят из ЛК. Понятно, что одна из них - исходная группа MOLS.

Расширила набор, получила только 270624 нормализованных ДЛК и ЛК.
Совершенно не помню, как у меня раньше получилось более 500 тысяч, может быть, я их забыла нормализовать и удалить дубликаты.
Ну и ладно, выложила новый набор на Яндекс.Диск
https://disk.yandex.ru/d/66OjkP6Zi0_e6g
текстовый файл сжат, 13 МБ.

Вы можете проверить этот набор, господа.
Сначала обработка программой GetOrthogonal. Этот этап трудный для черепашки - несколько часов займёт.
Затем полученный граф (таблицу ортогональных пар) надо проверить на максимальную клику в программе SageMath.
Это должно быть просто, поскольку граф получается маленький.

Вероятность получения клики размера 5 в этом наборе очень мала, но проверить надо.

Пришла в голову ещё одна эвристика - для расширения этого набора.
Завтра попробую реализовать.