Цитата

PS. Программа GetOrthogonal сообщает, что максимальное количество ОДЛК от одного ДЛК равно 14.
Посмотрим на таблицу ортогональных пар. Квадрату 1 ортогональны 15 ДЛК, если мне не врут глаза.

Похоже, глаза мне пока не врут :)
Делаю финт, рекомендованный Harry: перемещаю квадрат 1 в конец массива ДЛК.
Проверяю теперь на ортогональные пары программой GetOrthogonal

Order? 56

Enter the name of the squares file: out
..output file outPairs.txt
..output file outPairNos.txt
squares 22 Total orthogonal pairs 151
Maximum pairs for LS 22: 15
This is the only LS with this maximum number of pairs.
..output file outMaxPairs.txt

Теперь программа сообщает, что максимальное количество ОДЛК у квадрата 22 и оно равно 15.
Квадрат 22 сейчас - это бывший квадрат 1.
Таким образом, квадрат 1 имеет-таки 15 ортогональных ДЛК.
Почему программа не заметила этого, когда квадрат 1 стоял на своём месте?

Ну, оценка a(56) >= 15 не актуальна, как я уже отметила выше.

Итак, квадрат 1, который показан в сообщении
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=133&postid=2065
как DLK, имеет 15 ортогональных ДЛК.
В этой 15-ке находится и группа MODLS, состоящая из 4-х взаимно ортогональных ДЛК 56-го порядка
[1, 2, 8, 12]

Эх, покрутить что ли квадратики? :)
Хотя ничего нового не ожидается. А вдруг...

Покрутила 22 квадратика 56-го порядка программой Rotate; получила 176 ДЛК, нормализовала их и проверила программой Harry на дубликаты.
Программа сообщает

Order? 56

Enter the name of the squares file: inp
total allocated 0,100,122,048 bytes

.. reading square numbers as unsigned shorts

Sort: 1 ascending or 2 descending? 1
.. sorting squares
.. writing squares to file inpSortedA.txt

Number of squares 176 minus 152 duplicates: 24.
.. freeing squares

Очень интересно: добавилось два новеньких квадратика.
Дадут ли они новые ортогональные пары?
Сейчас проверю.

Программа GetOrthogonal сообщает

Order? 56

Enter the name of the squares file: inp1
..output file inp1Pairs.txt
..output file inp1PairNos.txt
squares 24 Total orthogonal pairs 180
Maximum pairs for LS 21: 15
There are 3 other LS with this maximum number of pairs.
..output file inp1MaxPairs.txt

Добавились новые ортогональные пары.
Максимальное количество ОДЛК от одного ДЛК здесь показывается 15.
Посмотрим на таблицу ортогональных пар

5:  2 3 4
6:  1 3 4
7:  1 2 4
8:  1 2 3
9:  2 3 4 6 7 8
10:  1 3 4 5 7 8
11:  1 2 4 5 6 8
12:  1 2 3 5 6 7
13:  2 3 4 6 7 8 10 11 12
14:  1 3 4 5 7 8 9 11 12
15:  1 2 4 5 6 8 9 10 12
16:  1 2 3 5 6 7 9 10 11
17:  2 3 4 6 7 8 10 11 12 14
 15 16
18:  1 3 4 5 7 8 9 11 12 13
 15 16
19:  1 2 4 5 6 8 9 10 12 13
 14 16
20:  1 2 3 5 6 7 9 10 11 13
 14 15
21:  2 3 4 6 7 8 10 11 12 14
 15 16 18 19 20
22:  1 3 4 5 7 8 9 11 12 13
 15 16 17 19 20
23:  1 2 4 5 6 8 9 10 12 13
 14 16 17 18 20
24:  1 2 3 5 6 7 9 10 11 13
 14 15 17 18 19

Да, визуально я не вижу ОДЛК больше 15 от одного ДЛК.

Выкладываю эту 15-ку 56-го порядка прямо в том виде, с каком её выдала программа GetOrthogonal
https://disk.yandex.ru/d/IQ2icCHSBMoo4Q
Яндекс.Диск, 147 КБ, текстовый файл не сжат.

Первый квадрат - основной ДЛК 15-ки, далее следуют 15 ортогональных ДЛК.

Интересно: ОДЛК этой 15-ки образуют 75 ортогональных пар

Enter the name of the squares file: inp
..output file inpPairs.txt
..output file inpPairNos_1.txt
squares 16 orthogonal pairs 75

Таблица ортогональных пар

2:  1
3:  1
4:  1
5:  1 3 4
6:  1 2 4
7:  1 2 3
8:  1 3 4 6 7
9:  1 2 4 5 7
10:  1 2 3 5 6
11:  1 3 4 6 7 9 10
12:  1 2 4 5 7 8 10
13:  1 2 3 5 6 8 9
14:  1 3 4 6 7 9 10 12 13
15:  1 2 4 5 7 8 10 11 13
16:  1 2 3 5 6 8 9 11 12

Такая вот 15-ка 56-го порядка - очень симпатичная.

А на картинке ещё симпатичнее :) С детства люблю рисовать, хотя художник из меня получился никудышный.
Но наглядность мне нравится во всех случаях.

Рисует программа SageMath.
Код

sage: d = {2: [1],
3: [1],
4: [1],
5: [1,3,4],
6: [1,2,4],
7: [1,2,3],
8: [1,3,4,6,7],
9: [1,2,4,5,7],
10: [1,2,3,5,6],
11: [1,3,4,6,7,9,10],
12: [1,2,4,5,7,8,10],
13: [1,2,3,5,6,8,9],
14: [1,3,4,6,7,9,10,12,13],
15: [1,2,4,5,7,8,10,11,13],
16: [1,2,3,5,6,8,9,11,12]}
sage: g = Graph (d)
sage: g.show ()
sage: g.cliques_maximum ()

Картинка

В этой группе ортогональных пар поменьше, поэтому граф более прозрачный, лучше рассматриваются все рёбра.
Максимальные клики по-прежнему размера 4.

При проверке свойств 22 ДЛК 56-го порядка вижу

. . . . . 
11 ...
diagonal Latin, weakly pandiagonal, center symmetric, nfr, self-orthogonal
diagonal Latin, weakly pandiagonal, center symmetric, nfr, self-orthogonal
diagonal Latin, weakly pandiagonal, center symmetric, nfr, orthogonal pair, self-orthogonal
diagonal Latin, weakly pandiagonal, center symmetric, nfr, self-orthogonal
diagonal Latin, weakly pandiagonal, center symmetric, nfr, self-orthogonal
diagonal Latin, center symmetric, nfr, orthogonal pair, self-orthogonal
diagonal Latin, center symmetric, nfr, self-orthogonal
diagonal Latin, center symmetric, nfr, self-orthogonal
diagonal Latin, center symmetric, nfr, orthogonal pair, self-orthogonal
diagonal Latin, center symmetric, nfr, self-orthogonal
. . . . . . 

Очень интересная пара ДЛК

diagonal Latin, weakly pandiagonal, center symmetric, nfr, self-orthogonal
diagonal Latin, weakly pandiagonal, center symmetric, nfr, orthogonal pair, self-orthogonal

Эти ДЛК образуют ортогональную пару, они центрально-симметричные и слабо пандиагональные, оба являются SODLS и DSODLS.
Превратятся ли они в идеальные (ассоциативные и слабо пандиагональные) при превращении в СН ДЛК?
Сейчас проверю.

В ассоциативные эти ДЛК превратились, но... исчезла слабая пандиагональность

Order? 56

Enter the name of the squares file: inp1
.. writing type information to file inp1TypeDetail_5.txt

Counts
------
         2 diagonal Latin
         2 associative
         2 natural \diagonal
         1 orthogonal pair
         2 self-orthogonal

Жаль! Ортогональных идеальных ДЛК 56-го порядка не получилось.

Смотрим ещё раз на последовательность OEIS
https://oeis.org/A287695
Maximum number of normalized diagonal Latin squares that can be orthogonal to the same diagonal Latin square of order n.
В опубликованной версии есть такие оценки:

a(11) >= 32462. - Eduard I. Vatutin from T. Brada, Mar 11 2021
From Eduard I. Vatutin, Mar 29 2021: (Start)
a(n) >= A328873(n) - 1.
a(12) >= 655, a(13) >= 9, a(14) >= 1, a(15) >= 3, a(16) >= 13, a(17) >= 13, a(18) >= 1, a(19) >= 15, a(20) >= 1. (End)
a(12) >= 6640729, a(13) >= 248703, a(14) >= 295309, a(17) >= 421. The result for a(12) was calculated by a volunteer. Found a new lower bound a(12) >= 1764493860. An independent confirmation of this result is required. - Natalia Makarova, Tomáš Brada, Apr 29 2021

Я добавила ещё несколько оценок, но это пока висит в черновике:

COMMENTS a(21) >= 1, a(22) >= 1, a(23) >= 19, a(24) >= 824, a(25) >= 21, a(26) >= 1, a(27) >= 23, a(28) >= 1, a(29) >= 25, a(30) >= 1. - Natalia Makarova, Alex Chernov, May 10 2021

Оценка для порядка 28 уже улучшена: a(28) >= 3.
Также улучшена оценка для порядков 14, 18 и 20.

Надо собрать все полученные в теме оценки в одно место, чтобы не искать их по всей теме.
Завтра с утречка займусь этим.

А дальше хочу попробовать метод Пелегрино-Ланселотти для порядка 42.
Базовые ортогоналные пары ДЛК 14-го порядка буду брать от ДЛК, построенного методом Гергели.
Одна ортогональная пара ДЛК 42-го порядка была построена в показанном ранее примере; базовая ортогональная пара ДЛК 14-го порядка взята от ДЛК Гергели.
Неизвестно, будут ли хорошо другие ортогональные пары строиться, метод Пелегрино-Ланселотти капризный: базовые ортогональные пары ДЛК порядка k не всегда дают ортогональную пару ДЛК порядка 3k.

Нашла пример построения ортогональной пары ДЛК 42-го порядка методом Пелегрино-Ланселотти
Цитата

Порядок 42 проблемный для ортогональных пар ДЛК, а для ортогональных пар ЛК - нет, так как 42=3*14.

Отлично сработал метод Пелегрино-Ланселотти по программе Чернова.
Только было трудно найти хорошую ортогональную пару ДЛК 14-го порядка.
Нашла её среди ортогональных пар для ДЛК Гергели.
Вот эта ортогональная пара

1 9 3 4 5 6 7 0 13 12 11 10 2 8
2 3 11 5 6 7 1 8 0 13 12 4 10 9
3 4 5 13 7 1 2 9 8 0 6 12 11 10
4 5 6 7 8 2 3 10 9 1 0 13 12 11
5 6 7 1 2 10 4 11 3 9 8 0 13 12
6 7 1 2 3 4 12 5 11 10 9 8 0 13
0 1 2 3 4 5 6 13 12 11 10 9 8 7
13 0 8 9 10 11 5 12 4 3 2 1 7 6
12 13 0 8 9 3 11 4 10 2 1 7 6 5
11 12 13 0 1 9 10 3 2 8 7 6 5 4
10 11 12 6 0 8 9 2 1 7 13 5 4 3
9 10 4 12 13 0 8 1 7 6 5 11 3 2
8 2 10 11 12 13 0 7 6 5 4 3 9 1
7 8 9 10 11 12 13 6 5 4 3 2 1 0

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13 
 3  6  0  5  10  4  13  9  2  7  12  1  8  11 
 8  0  10  11  12  9  5  2  4  13  3  6  7  1 
 9  7  8  1  6  10  11  13  12  2  0  5  4  3 
 6  9  13  7  2  0  8  11  10  4  1  12  3  5 
 11  8  3  4  13  7  0  12  9  10  5  2  1  6 
 5  4  1  9  11  13  12  10  7  8  6  3  0  2 
 2  10  5  0  9  6  1  3  13  12  7  8  11  4 
 1  12  9  8  7  3  2  4  5  6  11  10  13  0 
 12  13  4  6  5  8  3  1  0  11  9  7  2  10 
 4  5  11  2  3  12  10  8  1  0  13  9  6  7 
 13  2  12  10  0  11  7  6  3  1  8  4  5  9 
 10  11  7  13  8  1  4  5  6  3  2  0  9  12 
 7  3  6  12  1  2  9  0  11  5  4  13  10  8 

Первый ДЛК - построенный методом Гергели, второй ДЛК - ортогональный ему.
Для этой пары ортогональная пара ДЛК 42-го порядка построилась мгновенно.
Далее покажу её.

Смотрите сообщение
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=162&postid=5812
И в следующем сообщении показана построенная ортогональная пара ДЛК 42-го порядка.

Ну, теперь, как говорится, дело техники.
У ДЛК Гергели уйма ортогональных ДЛК, то есть ортогональных пар имеется вагон и маленькая тележка.
Запускаем построение ортогональных пар и смотрим, как они будут строиться.

Квадрат Гергели построен мной в статье
http://www.natalimak1.narod.ru/dlk.htm
(смотрите рис. 16)
Очень хороший квадрат! Д-трансверсалей содержит 364252, ОДЛК имеет много (при этом среди ОДЛК почти нет изоморфных).

Вот ещё иллюстрация этого симпатичного квадратика



Здесь и выше в цитате ДЛК показан в том виде, как он был построен в статье.
Покажу и иллюстрацию этого ДЛК в нормализованном виде



Для эксперимента возьму не нормализованный вариант, потому что с ним уже одна ортогональная пара построена. Так и продолжу.

Собрала результаты (нижняя граница для максимального количества нормализованных ОДЛК от одного ДЛК порядка n)

a(10) >= 10
a(11) >= 32462
a(12) >= 3855983322
a(13) >= 248703
a(14) >= 307662
a(15) >= 3
a(16) >= 1658880
a(17) >= 2453352
a(18) >= 96
a(19) >= 1383
a(20) >= 995328
a(21) >= 995328
a(22) >= 432000
a(23) >= 525
a(24) >= 345600
a(25) >= 345600
a(26) >= 48
a(27) >= 345600
a(28) >= 663552
a(29) >= 663552
a(30) >= 40320
a(31) >= 58
a(32) >= 10000
a(33) >= 20000
a(34) >= 20000
a(35) >= 1875
a(36) >= 10000
a(37) >= 10000
a(38) >= 20000
a(39) >= 2344
a(40) >= 10000
a(41) >= 20000
a(42) >= 10000
a(43) >= 39
a(44) >= 32462
a(45) >= 1000000
a(46) >= 10000
a(47) >= 43
a(48) >= 3855983322
a(49) >= 10000
a(50) >= 15000
a(51) >= 1000000
a(52) >= 248703
a(53) >= 10000
a(54) >= 1560
a(55) >= 32462
a(56) >= 307662
a(57) >= 5760
a(58) >= 10000
a(59) >= 55
a(60) >= 3855983322
a(61) >= 10000
a(62) >= 1728
a(63) >= 10000
a(64) >= 1658880
a(65) >= 248703
a(66) >= 10000
a(67) >= 63
a(68) >= 2453352
a(69) >= 2926
a(70) >= 307662
a(71) >= 10000
a(72) >= 8000
a(73) >= 8000
a(74) >= 10000
a(75) >= 960
a(76) >= 1383
a(77) >= 32462
a(78) >= 10000
a(79) >= 75
a(80) >= 1658880
a(81) >= 10000
a(82) >= 10000
a(83) >= 79
a(84) >= 995328
a(85) >= 2453352
a(86) >= 85
a(87) >= 120
a(88) >= 432000
a(89) >= 85
a(90) >= 96
a(91) >= 248703
a(92) >= 525
a(93) >= 361
a(94) >= 328
a(95) >= 1383
a(96) >= 345600
a(97) >= 93
a(98) >= 307662
a(99) >= 32462
a(100) >= 345600

Красным цветом выделены улучшенные оценки для уже опубликованных в статье OEIS.

Результаты получены мной и Harry White.
Некоторые результаты получены с использованием программы Алексея Чернова.
Смотрите данную тему и тему
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=136

Цитата из сообщения
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=133&postid=2061

Отличная новость!
Harry White нашёл в моём наборе ДЛК, у которого 684 ОДЛК!
Цитирую его письмо

Enter the name of the squares file: inp1
..output file inp1Pairs.txt
..output file inp1PairNos.txt
squares 36138 Total orthogonal pairs 40024
Maximum pairs for LS 36138: 684
This is the only LS with this maximum number of pairs.
..output file inp1MaxPairs.txt

elapsed time 0:07:54

Это квадрат 28030, показываю его
. . .

Здорово!
Таким образом, оценка для порядка 36 ещё чуть-чуть улучшена
a(36) >= 684

Выложила этот интересный результат
https://disk.yandex.ru/d/XWv7ttV2vQpzBA
Яндекс.Диск, текстовый файл сжат, 137 КБ.

А тем временем мы перешли на третью страницу.
Страницу 2 скопировала, сейчас положу на Яндекс.Диск.

Готово!
https://disk.yandex.ru/d/dIK60e4RoZNyQQ
формат html, 723 КБ.

Копия страницы 1 тут
https://disk.yandex.ru/d/ozQ84tVSEQbmRQ

Возвращаюсь к эксперименту с квадратом Гергели и методом Пелегрино-Ланселотти.
Мой помощник немного обсчитывал ДЛК Гергели (в эксперименте с поиском ядра БД КФ ОДЛК 14-го порядка).
Например, решения из 7600-й части

# in: FZ6P2fxvxqsd3GrUPmTuqQRE6BCU383vKyutP7TR7G8whx 7600
# num_dtrans: 364252
FWyFRZFi89xuHKFEQbR73cgYVZpsZFGmPmNqjGZRhQB6SEn
FXVgh9QmXbegd1Lo7evjknAoSr5S9YrajsbLz37hCfZpUhN
FHUpTVdWNvcskJbnsnQiyMgZcYAnYRDwLyQosTmJnVmUvAX3
F2SDYHJyzbbFg6jPihMBsXxR9edNSY5RoviaLebqEnzaL1G
FihmDbM84vUH7JM6Qv4o3f8Z7rUv3g4VrYKkKpzAWpt5g7E
F6y2KfiaEfsXsfXkE1oEtfXDHYhpb2fGXX7SnfFY1Rv3K2J
F77LbegT9BQJ52k9BFGVtpi7YRHbUcdGNwkLBNGfEtcHdK8
FFiiP9nFfn8TC1RjcTBPtYCqrgwLDdVhf6P3ncydQ3vZJkQ
Fmr23x6tzv2BfcBjH3TPZZ6zzRjvVFaEDxkxyfKZwG66oLA
FWLuNtDPsrJMG1XRVCULGFg4hwS5vLbdGoV8a1cuMBLVC8M6
Fv2FuouiMn42GWMgBy226w3azkYUsUNJKSkY1pS6WBkDAD6
Fq9xz3cc6a6AXdv3h7Gefz1XakFUMefQqewV2TtGRwTqjd3
FhNwnjfugWqABoc2nWE4eKMFTBMYHvyCrEbd5DpmDf7iFNU5
FifTCQLSETAUFcCR4EQwnzxhUB3AsHNbbeMhnhhGA3hRsPY
Fw4r1ryDARRfa6fXhkryDys5RWnZLK6N89xyagJXTeShFRi6
FENJ76R5hLL6gHyPHpZTCq4KPEC3h8oL7mEWFiEYA5dEZn2
FuXWhbeULZtFPfgzjhKvr19ZScNoLMNcvf826TEBWoBytdP3
Fw1DSH5xKMGpjb1FUhZvz4gaEL5gY5UKULDkovv8AAhbt555
F4qV5ScoTw5cVNQmTfH76hEN8w3oLmsAijo3ckdj9ysC5qFg
FfjNHYJpqDy9SPuJucuSa3aaiGUEHk1TqAPrHkmPjgZVuNw
FAXqkzaJZ9NUMgdmssKBarzVq9eTE6EZjc6Meq1P4DkKSvT2
FMHN1MTYdfzmxwNBK19u7bHgqjub3VktcYRxDS4wrqwzUshe
F7P6atgMb4Xg3U9kKgPUWcYTrtAoM2Bpo3cKR8ZiZkJJfyBK
F77h5h2NMZsE1dsJUom5uCvNWnJSdBQ4eYiDYhNiN71M8gR
FJqembpe5C5xyYMTdR5yEBFRYqiRiM4qFoV7ttM4titdJMq6
FwQQmEEEC8pETwo9JEvRKxmMwtmFPhS39PgcARn8uAWqmSD
FFNH7ncW6JpeVCLe1NUu2tUXnDsQKXCsq4e1Tv96gpDsikj2
FXR4yjokcWHchy3eknzneaEadhQXqnbaUvvhTUavjhumGxq5
FZzunrXTk8M53ZcwBYg9UthSUqEXQ4Yrg9cuNGRRQvHyDXcE
Fhk1trGkos1wzRQdPbpoNSd6jPd4psm6S9pu5fiNny7o8U6
FRLohV9D9oZ2XiXpmVqRSoM19A5cDa6VDAmvjde3e4YyYUR
FcyrmBMAGcuL3gohkRXMab6ZD8Yij6FeA5LHKxL7jqThsx6
F9Bcg2SKajQ1wX3RYVfWwZJ2Yha76GckCanQ3q4Z6ev1EQB
FMV4x5CzAtUu82FKZUiLpvtVHcYwTsJDP1QEDji4tLVJZpV2
. . . . . . 

Теперь надо попробовать строить ортогональные пары 42-го порядка на базе этих ортогональных пар 14-го порядка.
Будут ли строиться? Как много?

Ортогональные пары 42-го порядка методом Пелегрино-Ланселотти строятся на базе ортогональных пар ДЛК 14-го порядка, полученных от ДЛК Гергели.
Однако... в группе полученных ОДЛК нет ни одной двушки! Все однушки.
Проверила две порции.
Первая порция дала 442 нормализованных различных ОДЛК, вторая порция - 384.
Всего 826 ОДЛК, и все только однушки!

Продолжать построение ортогональных пар на базе ортогональных пар от ДЛК Гергели не буду.
Попробую другой ДЛК 14-го порядка, например, этот топовый по Д-трансверсалям

 0  2  4  6 12 11  7  9 13 10  8  5  3  1
12  1  3 11  8  7  5  4  9  6 13  2  0 10
10  0  2 13  6  9  4  5  7  8 11  3  1 12
 7 11  8  3  5  0 12 10  1  4  2  6 13  9
 9 13  6  2  4  1 10 12  0  5  3  8 11  7
 6 12  1  7 13  5  3  2  4 11  9  0 10  8
 4  9 11  1  2 12  6  8 10  3  0 13  7  5
 1  3  5  8 10 13  9  7 11 12  6  4  2  0
 2  5  7 10  0  6 13 11  8  1 12  9  4  3
13  8 10  5  7  3  1  0  2  9  4 12  6 11
 3  4  9 12  1  8 11 13  6  0 10  7  5  2
 5  7 13  0  3 10  8  6 12  2  1 11  9  4
 8 10  0  9 11  4  2  3  5 13  7  1 12  6
11  6 12  4  9  2  0  1  3  7  5 10  8 13

ДЛК немного обсчитывался помощником.
Эти результаты и попробую сейчас.

Попробовала, тот же самый результат.
Ортогональные пары строятся хорошо, получила 741 различных нормализованных ОДЛК, проверяю группу на ортогональные пары, только однушки.
Да, что-то не работает этот алгоритм для порядка 42.
Останавливаю эксперимент.

Порядок 64 интересный. Для этого порядка существует полная система MOLS, состоящая из 63 взаимно ортогональных ЛК, 62 из которых являются ДЛК и образуют группу MODLS.
Таким образом, одна оценка уже готова: a(64) >= 61.

Интересно было посмотреть, как работает метод составных квадратов: 64=8*8.
Посмотрела :)
Построила все возможные ортогональные пары, получила 34 различных нормализованных ОДЛК.
Проверка этой группы ОДЛК программой GetOrthogonal даёт

Order? 64

Enter the name of the squares file: INP1
..output file INP1Pairs.txt
..output file INP1PairNos.txt
squares 34 Total orthogonal pairs 401
Maximum pairs for LS 31: 24
There are 3 other LS with this maximum number of pairs.
..output file INP1MaxPairs.txt

Здесь максимальное количество ОДЛК от одного ДЛК показывается 24.
Смотрим таблицу ортогональных пар

2:  1
3:  1
4:  1
5:  1
6:  1
7:  3 4 5 6
8:  2 4 5 6
9:  2 3 5 6
10:  2 3 4 6
11:  1 3 4 5 6 8 9 10
12:  1 2 4 5 6 7 9 10
13:  1 2 3 5 6 7 8 10
14:  1 2 3 4 6 7 8 9
15:  1 2 3 4 5 7 8 9 10
16:  1 3 4 5 6 8 9 10 12 13
 14 15
17:  1 2 4 5 6 7 9 10 11 13
 14 15
18:  1 2 3 5 6 7 8 10 11 12
 14 15
19:  1 2 3 4 6 7 8 9 11 12
 13 15
20:  1 2 3 4 5 7 8 9 10 11
 12 13 14
21:  1 3 4 5 6 8 9 10 12 13
 14 15 17 18 19 20
22:  1 2 4 5 6 7 9 10 11 13
 14 15 16 18 19 20
23:  1 2 3 5 6 7 8 10 11 12
 14 15 16 17 19 20
24:  1 2 3 4 6 7 8 9 11 12
 13 15 16 17 18 20
25:  1 2 3 4 5 7 8 9 10 11
 12 13 14 16 17 18 19
26:  1 3 4 5 6 8 9 10 12 13
 14 15 17 18 19 20 22 23 24 25
27:  1 2 4 5 6 7 9 10 11 13
 14 15 16 18 19 20 21 23 24 25
28:  1 2 3 5 6 7 8 10 11 12
 14 15 16 17 19 20 21 22 24 25
29:  1 2 3 4 6 7 8 9 11 12
 13 15 16 17 18 20 21 22 23 25
30:  1 2 3 4 5 7 8 9 10 11
 12 13 14 16 17 18 19 21 22 23 24
31:  7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
 27 28 29 30
32:  2 3 4 5 6 7 8 9 10 16
 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
 27 28 29 30
33:  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
 12 13 14 15 21 22 23 24 25 26
 27 28 29 30
34:  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
 12 13 14 15 16 17 18 19 20 26
 27 28 29 30

В таблице ортогональных пар видим, что квадрату 1 ортогональны 25 ДЛК.
Аналогичная ситуация уже встречалась при построении ортогональных пар ДЛК 56-го порядка методом составных квадратов.
Программа почему-то не видит все ортогональные ДЛК квадрата 1.

Ну и конечно, тут должна быть клика размера 6 - по теории.
Если не ошиблась в построении ортогональных пар, должна быть такая клика.
Сейчас попытаюсь построить этот граф в программе SageMath.

Всё превосходно!
Программа SageMath рисует граф и выдаёт клики размера 6.
Код

sage: d = {2: [1],
3: [1],
4: [1],
5: [1],
6: [1],
7: [3,4,5,6],
8: [2,4,5,6],
9: [2,3,5,6],
10: [2,3,4,6],
11: [1,3,4,5,6,8,9,10],
12: [1,2,4,5,6,7,9,10],
13: [1,2,3,5,6,7,8,10],
14: [1,2,3,4,6,7,8,9],
15: [1,2,3,4,5,7,8,9,10],
16: [1,3,4,5,6,8,9,10,12,13,14,15],
17: [1,2,4,5,6,7,9,10,11,13,14,15],
18: [1,2,3,5,6,7,8,10,11,12,14,15],
19: [1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,15],
20: [1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,14],
21: [1,3,4,5,6,8,9,10,12,13,14,15,17,18,19,20],
22: [1,2,4,5,6,7,9,10,11,13,14,15,16,18,19,20],
23: [1,2,3,5,6,7,8,10,11,12,14,15,16,17,19,20],
24: [1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,15,16,17,18,20],
25: [1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,14,16,17,18,19],
26: [1,3,4,5,6,8,9,10,12,13,14,15,17,18,19,20,22,23,24,25],
27: [1,2,4,5,6,7,9,10,11,13,14,15,16,18,19,20,21,23,24,25],
28: [1,2,3,5,6,7,8,10,11,12,14,15,16,17,19,20,21,22,24,25],
29: [1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,15,16,17,18,20,21,22,23,25],
30: [1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,14,16,17,18,19,21,22,23,24],
31: [7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30],
32: [2,3,4,5,6,7,8,9,10,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30],
33: [2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30],
34: [2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,26,27,28,29,30],}
sage: g = Graph (d)
sage: g.show ()
sage: g.cliques_maximum ()

Результат



Лепота!
Практика подтверждает теорию: ОДЛК 64-го порядка, построенные методом составных квадратов (на базе ортогональных ДЛК 8-го порядка), образуют клику размера 6, то есть группу MODLS, состоящую из 6 взаимно ортогональных ДЛК.

PS. Отличная программа SageMath, очень проста в пользовании, быстро работает, хорошо справляется с изображением графов.
Спасибо создателям!

Это был просто эксперимент по методу составных квадратов.
Как уже отмечено выше, ДЛК 64-го порядка образуют группу MODLS, состоящую из 62 взаимно ортогональных ДЛК.
Полную систему MOLS данного порядка можно попробовать составить в программе SageMath.
Кому интересно, попробуйте.

А у меня такой интересный вопрос: даст ли метод составных квадратов группу ОДЛК 64-го порядка, в которой у ДЛК имеется 824 ортогональных ДЛК?
По теории должен дать.
Сейчас проверим.

Да! Это получилось! Метод составных квадратов стабильно работает.
Вот проверка полученной группы ОДЛК 64-го порядка программой GetOrthogonal

Order? 64

Enter the name of the squares file: INP1
..output file INP1Pairs.txt
..output file INP1PairNos.txt
squares 825 Total orthogonal pairs 824
Maximum pairs for LS 2: 1
There are 823 other LS with this maximum number of pairs.

Ну, "Maximum pairs for LS 2: 1" неверно, опять программа не видит ортогональные ДЛК квадрата 1.
Смотрим таблицу ортогональных пар (частично показываю, очень длинная)

2:  1
3:  1
4:  1
5:  1
6:  1
7:  1
8:  1
9:  1
10:  1
11:  1
12:  1
13:  1
14:  1
15:  1
16:  1
17:  1
18:  1
19:  1
20:  1
21:  1
22:  1
23:  1
24:  1
25:  1
26:  1
27:  1
. . . . 
800:  1
801:  1
802:  1
803:  1
804:  1
805:  1
806:  1
807:  1
808:  1
809:  1
810:  1
811:  1
812:  1
813:  1
814:  1
815:  1
816:  1
817:  1
818:  1
819:  1
820:  1
821:  1
822:  1
823:  1
824:  1
825:  1

Квадрату 1 ортогональны 824 ДЛК.

Показываю квадрат 1 - основной ДЛК этой замечательной 824-ки 64-го порядка

  0   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63
  6   7   4   5   2   3   0   1  14  15  12  13  10  11   8   9  22  23  20  21  18  19  16  17  30  31  28  29  26  27  24  25  38  39  36  37  34  35  32  33  46  47  44  45  42  43  40  41  54  55  52  53  50  51  48  49  62  63  60  61  58  59  56  57
  3   2   1   0   7   6   5   4  11  10   9   8  15  14  13  12  19  18  17  16  23  22  21  20  27  26  25  24  31  30  29  28  35  34  33  32  39  38  37  36  43  42  41  40  47  46  45  44  51  50  49  48  55  54  53  52  59  58  57  56  63  62  61  60
  5   4   7   6   1   0   3   2  13  12  15  14   9   8  11  10  21  20  23  22  17  16  19  18  29  28  31  30  25  24  27  26  37  36  39  38  33  32  35  34  45  44  47  46  41  40  43  42  53  52  55  54  49  48  51  50  61  60  63  62  57  56  59  58
  1   0   3   2   5   4   7   6   9   8  11  10  13  12  15  14  17  16  19  18  21  20  23  22  25  24  27  26  29  28  31  30  33  32  35  34  37  36  39  38  41  40  43  42  45  44  47  46  49  48  51  50  53  52  55  54  57  56  59  58  61  60  63  62
  7   6   5   4   3   2   1   0  15  14  13  12  11  10   9   8  23  22  21  20  19  18  17  16  31  30  29  28  27  26  25  24  39  38  37  36  35  34  33  32  47  46  45  44  43  42  41  40  55  54  53  52  51  50  49  48  63  62  61  60  59  58  57  56
  2   3   0   1   6   7   4   5  10  11   8   9  14  15  12  13  18  19  16  17  22  23  20  21  26  27  24  25  30  31  28  29  34  35  32  33  38  39  36  37  42  43  40  41  46  47  44  45  50  51  48  49  54  55  52  53  58  59  56  57  62  63  60  61
  4   5   6   7   0   1   2   3  12  13  14  15   8   9  10  11  20  21  22  23  16  17  18  19  28  29  30  31  24  25  26  27  36  37  38  39  32  33  34  35  44  45  46  47  40  41  42  43  52  53  54  55  48  49  50  51  60  61  62  63  56  57  58  59
 16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31   0   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14  15  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47
 22  23  20  21  18  19  16  17  30  31  28  29  26  27  24  25   6   7   4   5   2   3   0   1  14  15  12  13  10  11   8   9  54  55  52  53  50  51  48  49  62  63  60  61  58  59  56  57  38  39  36  37  34  35  32  33  46  47  44  45  42  43  40  41
 19  18  17  16  23  22  21  20  27  26  25  24  31  30  29  28   3   2   1   0   7   6   5   4  11  10   9   8  15  14  13  12  51  50  49  48  55  54  53  52  59  58  57  56  63  62  61  60  35  34  33  32  39  38  37  36  43  42  41  40  47  46  45  44
 21  20  23  22  17  16  19  18  29  28  31  30  25  24  27  26   5   4   7   6   1   0   3   2  13  12  15  14   9   8  11  10  53  52  55  54  49  48  51  50  61  60  63  62  57  56  59  58  37  36  39  38  33  32  35  34  45  44  47  46  41  40  43  42
 17  16  19  18  21  20  23  22  25  24  27  26  29  28  31  30   1   0   3   2   5   4   7   6   9   8  11  10  13  12  15  14  49  48  51  50  53  52  55  54  57  56  59  58  61  60  63  62  33  32  35  34  37  36  39  38  41  40  43  42  45  44  47  46
 23  22  21  20  19  18  17  16  31  30  29  28  27  26  25  24   7   6   5   4   3   2   1   0  15  14  13  12  11  10   9   8  55  54  53  52  51  50  49  48  63  62  61  60  59  58  57  56  39  38  37  36  35  34  33  32  47  46  45  44  43  42  41  40
 18  19  16  17  22  23  20  21  26  27  24  25  30  31  28  29   2   3   0   1   6   7   4   5  10  11   8   9  14  15  12  13  50  51  48  49  54  55  52  53  58  59  56  57  62  63  60  61  34  35  32  33  38  39  36  37  42  43  40  41  46  47  44  45
 20  21  22  23  16  17  18  19  28  29  30  31  24  25  26  27   4   5   6   7   0   1   2   3  12  13  14  15   8   9  10  11  52  53  54  55  48  49  50  51  60  61  62  63  56  57  58  59  36  37  38  39  32  33  34  35  44  45  46  47  40  41  42  43
 32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63   0   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31
 38  39  36  37  34  35  32  33  46  47  44  45  42  43  40  41  54  55  52  53  50  51  48  49  62  63  60  61  58  59  56  57   6   7   4   5   2   3   0   1  14  15  12  13  10  11   8   9  22  23  20  21  18  19  16  17  30  31  28  29  26  27  24  25
 35  34  33  32  39  38  37  36  43  42  41  40  47  46  45  44  51  50  49  48  55  54  53  52  59  58  57  56  63  62  61  60   3   2   1   0   7   6   5   4  11  10   9   8  15  14  13  12  19  18  17  16  23  22  21  20  27  26  25  24  31  30  29  28
 37  36  39  38  33  32  35  34  45  44  47  46  41  40  43  42  53  52  55  54  49  48  51  50  61  60  63  62  57  56  59  58   5   4   7   6   1   0   3   2  13  12  15  14   9   8  11  10  21  20  23  22  17  16  19  18  29  28  31  30  25  24  27  26
 33  32  35  34  37  36  39  38  41  40  43  42  45  44  47  46  49  48  51  50  53  52  55  54  57  56  59  58  61  60  63  62   1   0   3   2   5   4   7   6   9   8  11  10  13  12  15  14  17  16  19  18  21  20  23  22  25  24  27  26  29  28  31  30
 39  38  37  36  35  34  33  32  47  46  45  44  43  42  41  40  55  54  53  52  51  50  49  48  63  62  61  60  59  58  57  56   7   6   5   4   3   2   1   0  15  14  13  12  11  10   9   8  23  22  21  20  19  18  17  16  31  30  29  28  27  26  25  24
 34  35  32  33  38  39  36  37  42  43  40  41  46  47  44  45  50  51  48  49  54  55  52  53  58  59  56  57  62  63  60  61   2   3   0   1   6   7   4   5  10  11   8   9  14  15  12  13  18  19  16  17  22  23  20  21  26  27  24  25  30  31  28  29
 36  37  38  39  32  33  34  35  44  45  46  47  40  41  42  43  52  53  54  55  48  49  50  51  60  61  62  63  56  57  58  59   4   5   6   7   0   1   2   3  12  13  14  15   8   9  10  11  20  21  22  23  16  17  18  19  28  29  30  31  24  25  26  27
 48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31   0   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14  15
 54  55  52  53  50  51  48  49  62  63  60  61  58  59  56  57  38  39  36  37  34  35  32  33  46  47  44  45  42  43  40  41  22  23  20  21  18  19  16  17  30  31  28  29  26  27  24  25   6   7   4   5   2   3   0   1  14  15  12  13  10  11   8   9
 51  50  49  48  55  54  53  52  59  58  57  56  63  62  61  60  35  34  33  32  39  38  37  36  43  42  41  40  47  46  45  44  19  18  17  16  23  22  21  20  27  26  25  24  31  30  29  28   3   2   1   0   7   6   5   4  11  10   9   8  15  14  13  12
 53  52  55  54  49  48  51  50  61  60  63  62  57  56  59  58  37  36  39  38  33  32  35  34  45  44  47  46  41  40  43  42  21  20  23  22  17  16  19  18  29  28  31  30  25  24  27  26   5   4   7   6   1   0   3   2  13  12  15  14   9   8  11  10
 49  48  51  50  53  52  55  54  57  56  59  58  61  60  63  62  33  32  35  34  37  36  39  38  41  40  43  42  45  44  47  46  17  16  19  18  21  20  23  22  25  24  27  26  29  28  31  30   1   0   3   2   5   4   7   6   9   8  11  10  13  12  15  14
 55  54  53  52  51  50  49  48  63  62  61  60  59  58  57  56  39  38  37  36  35  34  33  32  47  46  45  44  43  42  41  40  23  22  21  20  19  18  17  16  31  30  29  28  27  26  25  24   7   6   5   4   3   2   1   0  15  14  13  12  11  10   9   8
 50  51  48  49  54  55  52  53  58  59  56  57  62  63  60  61  34  35  32  33  38  39  36  37  42  43  40  41  46  47  44  45  18  19  16  17  22  23  20  21  26  27  24  25  30  31  28  29   2   3   0   1   6   7   4   5  10  11   8   9  14  15  12  13
 52  53  54  55  48  49  50  51  60  61  62  63  56  57  58  59  36  37  38  39  32  33  34  35  44  45  46  47  40  41  42  43  20  21  22  23  16  17  18  19  28  29  30  31  24  25  26  27   4   5   6   7   0   1   2   3  12  13  14  15   8   9  10  11
 40  41  42  43  44  45  46  47  32  33  34  35  36  37  38  39  56  57  58  59  60  61  62  63  48  49  50  51  52  53  54  55   8   9  10  11  12  13  14  15   0   1   2   3   4   5   6   7  24  25  26  27  28  29  30  31  16  17  18  19  20  21  22  23
 46  47  44  45  42  43  40  41  38  39  36  37  34  35  32  33  62  63  60  61  58  59  56  57  54  55  52  53  50  51  48  49  14  15  12  13  10  11   8   9   6   7   4   5   2   3   0   1  30  31  28  29  26  27  24  25  22  23  20  21  18  19  16  17
 43  42  41  40  47  46  45  44  35  34  33  32  39  38  37  36  59  58  57  56  63  62  61  60  51  50  49  48  55  54  53  52  11  10   9   8  15  14  13  12   3   2   1   0   7   6   5   4  27  26  25  24  31  30  29  28  19  18  17  16  23  22  21  20
 45  44  47  46  41  40  43  42  37  36  39  38  33  32  35  34  61  60  63  62  57  56  59  58  53  52  55  54  49  48  51  50  13  12  15  14   9   8  11  10   5   4   7   6   1   0   3   2  29  28  31  30  25  24  27  26  21  20  23  22  17  16  19  18
 41  40  43  42  45  44  47  46  33  32  35  34  37  36  39  38  57  56  59  58  61  60  63  62  49  48  51  50  53  52  55  54   9   8  11  10  13  12  15  14   1   0   3   2   5   4   7   6  25  24  27  26  29  28  31  30  17  16  19  18  21  20  23  22
 47  46  45  44  43  42  41  40  39  38  37  36  35  34  33  32  63  62  61  60  59  58  57  56  55  54  53  52  51  50  49  48  15  14  13  12  11  10   9   8   7   6   5   4   3   2   1   0  31  30  29  28  27  26  25  24  23  22  21  20  19  18  17  16
 42  43  40  41  46  47  44  45  34  35  32  33  38  39  36  37  58  59  56  57  62  63  60  61  50  51  48  49  54  55  52  53  10  11   8   9  14  15  12  13   2   3   0   1   6   7   4   5  26  27  24  25  30  31  28  29  18  19  16  17  22  23  20  21
 44  45  46  47  40  41  42  43  36  37  38  39  32  33  34  35  60  61  62  63  56  57  58  59  52  53  54  55  48  49  50  51  12  13  14  15   8   9  10  11   4   5   6   7   0   1   2   3  28  29  30  31  24  25  26  27  20  21  22  23  16  17  18  19
 56  57  58  59  60  61  62  63  48  49  50  51  52  53  54  55  40  41  42  43  44  45  46  47  32  33  34  35  36  37  38  39  24  25  26  27  28  29  30  31  16  17  18  19  20  21  22  23   8   9  10  11  12  13  14  15   0   1   2   3   4   5   6   7
 62  63  60  61  58  59  56  57  54  55  52  53  50  51  48  49  46  47  44  45  42  43  40  41  38  39  36  37  34  35  32  33  30  31  28  29  26  27  24  25  22  23  20  21  18  19  16  17  14  15  12  13  10  11   8   9   6   7   4   5   2   3   0   1
 59  58  57  56  63  62  61  60  51  50  49  48  55  54  53  52  43  42  41  40  47  46  45  44  35  34  33  32  39  38  37  36  27  26  25  24  31  30  29  28  19  18  17  16  23  22  21  20  11  10   9   8  15  14  13  12   3   2   1   0   7   6   5   4
 61  60  63  62  57  56  59  58  53  52  55  54  49  48  51  50  45  44  47  46  41  40  43  42  37  36  39  38  33  32  35  34  29  28  31  30  25  24  27  26  21  20  23  22  17  16  19  18  13  12  15  14   9   8  11  10   5   4   7   6   1   0   3   2
 57  56  59  58  61  60  63  62  49  48  51  50  53  52  55  54  41  40  43  42  45  44  47  46  33  32  35  34  37  36  39  38  25  24  27  26  29  28  31  30  17  16  19  18  21  20  23  22   9   8  11  10  13  12  15  14   1   0   3   2   5   4   7   6
 63  62  61  60  59  58  57  56  55  54  53  52  51  50  49  48  47  46  45  44  43  42  41  40  39  38  37  36  35  34  33  32  31  30  29  28  27  26  25  24  23  22  21  20  19  18  17  16  15  14  13  12  11  10   9   8   7   6   5   4   3   2   1   0
 58  59  56  57  62  63  60  61  50  51  48  49  54  55  52  53  42  43  40  41  46  47  44  45  34  35  32  33  38  39  36  37  26  27  24  25  30  31  28  29  18  19  16  17  22  23  20  21  10  11   8   9  14  15  12  13   2   3   0   1   6   7   4   5
 60  61  62  63  56  57  58  59  52  53  54  55  48  49  50  51  44  45  46  47  40  41  42  43  36  37  38  39  32  33  34  35  28  29  30  31  24  25  26  27  20  21  22  23  16  17  18  19  12  13  14  15   8   9  10  11   4   5   6   7   0   1   2   3
  8   9  10  11  12  13  14  15   0   1   2   3   4   5   6   7  24  25  26  27  28  29  30  31  16  17  18  19  20  21  22  23  40  41  42  43  44  45  46  47  32  33  34  35  36  37  38  39  56  57  58  59  60  61  62  63  48  49  50  51  52  53  54  55
 14  15  12  13  10  11   8   9   6   7   4   5   2   3   0   1  30  31  28  29  26  27  24  25  22  23  20  21  18  19  16  17  46  47  44  45  42  43  40  41  38  39  36  37  34  35  32  33  62  63  60  61  58  59  56  57  54  55  52  53  50  51  48  49
 11  10   9   8  15  14  13  12   3   2   1   0   7   6   5   4  27  26  25  24  31  30  29  28  19  18  17  16  23  22  21  20  43  42  41  40  47  46  45  44  35  34  33  32  39  38  37  36  59  58  57  56  63  62  61  60  51  50  49  48  55  54  53  52
 13  12  15  14   9   8  11  10   5   4   7   6   1   0   3   2  29  28  31  30  25  24  27  26  21  20  23  22  17  16  19  18  45  44  47  46  41  40  43  42  37  36  39  38  33  32  35  34  61  60  63  62  57  56  59  58  53  52  55  54  49  48  51  50
  9   8  11  10  13  12  15  14   1   0   3   2   5   4   7   6  25  24  27  26  29  28  31  30  17  16  19  18  21  20  23  22  41  40  43  42  45  44  47  46  33  32  35  34  37  36  39  38  57  56  59  58  61  60  63  62  49  48  51  50  53  52  55  54
 15  14  13  12  11  10   9   8   7   6   5   4   3   2   1   0  31  30  29  28  27  26  25  24  23  22  21  20  19  18  17  16  47  46  45  44  43  42  41  40  39  38  37  36  35  34  33  32  63  62  61  60  59  58  57  56  55  54  53  52  51  50  49  48
 10  11   8   9  14  15  12  13   2   3   0   1   6   7   4   5  26  27  24  25  30  31  28  29  18  19  16  17  22  23  20  21  42  43  40  41  46  47  44  45  34  35  32  33  38  39  36  37  58  59  56  57  62  63  60  61  50  51  48  49  54  55  52  53
 12  13  14  15   8   9  10  11   4   5   6   7   0   1   2   3  28  29  30  31  24  25  26  27  20  21  22  23  16  17  18  19  44  45  46  47  40  41  42  43  36  37  38  39  32  33  34  35  60  61  62  63  56  57  58  59  52  53  54  55  48  49  50  51
 24  25  26  27  28  29  30  31  16  17  18  19  20  21  22  23   8   9  10  11  12  13  14  15   0   1   2   3   4   5   6   7  56  57  58  59  60  61  62  63  48  49  50  51  52  53  54  55  40  41  42  43  44  45  46  47  32  33  34  35  36  37  38  39
 30  31  28  29  26  27  24  25  22  23  20  21  18  19  16  17  14  15  12  13  10  11   8   9   6   7   4   5   2   3   0   1  62  63  60  61  58  59  56  57  54  55  52  53  50  51  48  49  46  47  44  45  42  43  40  41  38  39  36  37  34  35  32  33
 27  26  25  24  31  30  29  28  19  18  17  16  23  22  21  20  11  10   9   8  15  14  13  12   3   2   1   0   7   6   5   4  59  58  57  56  63  62  61  60  51  50  49  48  55  54  53  52  43  42  41  40  47  46  45  44  35  34  33  32  39  38  37  36
 29  28  31  30  25  24  27  26  21  20  23  22  17  16  19  18  13  12  15  14   9   8  11  10   5   4   7   6   1   0   3   2  61  60  63  62  57  56  59  58  53  52  55  54  49  48  51  50  45  44  47  46  41  40  43  42  37  36  39  38  33  32  35  34
 25  24  27  26  29  28  31  30  17  16  19  18  21  20  23  22   9   8  11  10  13  12  15  14   1   0   3   2   5   4   7   6  57  56  59  58  61  60  63  62  49  48  51  50  53  52  55  54  41  40  43  42  45  44  47  46  33  32  35  34  37  36  39  38
 31  30  29  28  27  26  25  24  23  22  21  20  19  18  17  16  15  14  13  12  11  10   9   8   7   6   5   4   3   2   1   0  63  62  61  60  59  58  57  56  55  54  53  52  51  50  49  48  47  46  45  44  43  42  41  40  39  38  37  36  35  34  33  32
 26  27  24  25  30  31  28  29  18  19  16  17  22  23  20  21  10  11   8   9  14  15  12  13   2   3   0   1   6   7   4   5  58  59  56  57  62  63  60  61  50  51  48  49  54  55  52  53  42  43  40  41  46  47  44  45  34  35  32  33  38  39  36  37
 28  29  30  31  24  25  26  27  20  21  22  23  16  17  18  19  12  13  14  15   8   9  10  11   4   5   6   7   0   1   2   3  60  61  62  63  56  57  58  59  52  53  54  55  48  49  50  51  44  45  46  47  40  41  42  43  36  37  38  39  32  33  34  35

Итак, для порядка 64 получена оценка
a(64) >= 824.

В сообщении
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=117&postid=1118
показана полная система MOLS 16-го порядка, состоящая из 15 взаимно ортогональных ЛК, 14 из которых являются ДЛК и образуют группу MODLS.
Попробовала метод Пелегрино-Ланселотти для порядка 48 на базе ортогональных пар ДЛК 16-го порядка из полной системы MOLS.
Прекрасно работает! Построились все ортогональные пары!
Построила группу ОДЛК 48-го порядка, проверяю программой GetOrthogonal (Harry White прислал сегодня новую версию этой программы!)

Order? 48

Enter the name of the squares file: inp
Choose 1 - get counts and maximun pairs, or 2 - get pairs for one square: 1
..output file inp-orthCounts.txt
..output file inp-orthNos.txt
squares 26 total orthogonal pairs 157
Maximum pairs for square 1: 13
There is 1 other square with this maximum number of pairs.
..output file inp-1orths.txt
Pairs for square 1: 13

Отличная программа!
Спасибо, Harry!

В группе ОДЛК 48-го порядка имеем максимальное количество ОДЛК от одного ДЛК равное 13 - точно так же, как в исходной группе MODLS 16-го порядка.
Показываю квадрат 1, который имеет 13 ОДЛК

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
2 19 16 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13 18 3 0 17 22 23 20 21 26 27 24 25 30 47 44 29 34 35 32 33 38 39 36 37 42 43 40 41 46 31 28 45
4 5 22 7 16 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11 20 21 6 23 0 17 18 19 28 29 30 47 24 41 26 27 36 37 38 39 32 33 34 35 44 45 46 31 40 25 42 43
6 7 4 21 2 3 16 1 14 15 12 13 10 11 8 9 22 23 20 5 18 19 0 17 30 47 28 29 42 27 24 25 38 39 36 37 34 35 32 33 46 31 44 45 26 43 40 41
8 9 10 11 28 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 24 25 26 27 12 29 30 47 0 17 18 35 20 21 22 23 40 41 42 43 44 45 46 31 32 33 34 19 36 37 38 39
10 11 8 9 14 47 12 13 2 3 16 1 6 7 4 5 26 27 24 25 30 15 28 29 18 19 32 17 22 23 20 21 42 43 40 41 46 31 44 45 34 35 0 33 38 39 36 37
12 13 14 15 8 9 26 11 4 5 6 7 16 1 2 3 28 29 30 47 24 25 10 27 20 37 22 23 0 17 18 19 44 45 46 31 40 41 42 43 36 21 38 39 32 33 34 35
14 15 12 13 10 11 8 25 6 7 4 5 2 3 16 1 30 47 28 29 26 27 24 9 38 23 20 21 18 19 0 17 46 31 44 45 42 43 40 41 22 39 36 37 34 35 32 33
3 2 1 16 7 6 5 4 27 10 9 8 15 14 13 12 19 18 17 0 23 22 21 36 11 26 25 24 47 30 29 28 35 34 33 32 39 38 37 20 43 42 41 40 31 46 45 44
1 16 3 2 5 4 7 6 9 24 11 10 13 12 15 14 17 0 19 18 21 20 39 22 25 8 27 26 29 28 47 30 33 32 35 34 37 36 23 38 41 40 43 42 45 44 31 46
7 6 5 4 3 2 1 16 15 14 29 12 11 10 9 8 23 22 21 20 19 34 17 0 47 30 13 28 27 26 25 24 39 38 37 36 35 18 33 32 31 46 45 44 43 42 41 40
5 4 7 6 1 16 3 2 13 12 15 30 9 8 11 10 21 20 23 22 33 0 19 18 29 28 47 14 25 24 27 26 37 36 39 38 17 32 35 34 45 44 31 46 41 40 43 42
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 16 23 6 5 4 27 26 25 40 47 30 29 28 19 18 17 0 7 22 21 20 43 42 41 24 31 46 45 44 35 34 33 32 39 38 37 36
9 8 11 10 13 12 15 14 1 16 3 2 5 20 7 6 25 24 43 26 29 28 47 30 17 0 19 18 21 4 23 22 41 40 27 42 45 44 31 46 33 32 35 34 37 36 39 38
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 17 16 47 46 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 1 0 31 30 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 16 3 18 45 28 47 30 25 24 27 26 21 20 23 22 17 0 19 2 29 44 31 46 41 40 43 42 37 36 39 38 33 32 35 34
18 40 0 17 22 23 20 21 26 27 24 25 30 47 28 29 41 19 11 42 45 44 31 46 33 32 35 34 37 36 39 38 9 8 43 10 13 12 15 14 1 16 3 2 5 4 7 6
43 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 47 0 42 41 8 31 46 45 44 35 34 33 32 39 38 37 36 11 10 9 40 15 14 13 12 3 2 1 16 7 6 5 4
22 23 20 46 18 19 0 17 30 47 28 29 26 27 24 25 13 44 31 21 41 40 43 42 37 36 39 38 33 32 35 34 45 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 16 3 2
20 21 45 23 0 17 18 19 28 29 30 47 24 25 26 27 31 14 22 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 15 46 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16
26 27 24 25 30 36 28 29 18 19 0 17 22 23 20 21 33 32 35 34 37 47 7 38 41 40 43 42 45 44 31 46 1 16 3 2 5 4 39 6 9 8 11 10 13 12 15 14
24 25 26 27 39 29 30 47 0 17 18 19 20 21 22 23 35 34 33 32 28 38 37 4 43 42 41 40 31 46 45 44 3 2 1 16 7 6 5 36 11 10 9 8 15 14 13 12
30 47 28 29 26 27 24 34 22 23 20 21 18 19 0 17 37 36 39 38 1 32 35 25 45 44 31 46 41 40 43 42 5 4 7 6 33 16 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
28 29 30 47 24 25 33 27 20 21 22 23 0 17 18 19 39 38 37 36 35 2 26 32 31 46 45 44 43 42 41 40 7 6 5 4 3 34 1 16 15 14 13 12 11 10 9 8
17 0 19 18 21 20 23 22 25 35 27 26 29 28 47 30 42 43 40 41 46 31 44 45 34 24 16 33 38 39 36 37 10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 32 1 6 7 4 5
19 18 17 0 23 22 21 20 32 26 25 24 47 30 29 28 40 41 42 43 44 45 46 31 27 33 34 3 36 37 38 39 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 35 4 5 6 7
21 20 23 22 17 0 19 18 29 28 47 37 25 24 27 26 46 31 44 45 42 43 40 41 6 39 36 30 34 35 32 33 14 15 12 13 10 11 8 9 38 7 4 5 2 3 16 1
23 22 21 20 19 18 17 0 47 30 38 28 27 26 25 24 44 45 46 31 40 41 42 43 36 5 29 39 32 33 34 35 12 13 14 15 8 9 10 11 4 37 6 7 16 1 2 3
25 24 27 26 29 28 47 30 17 0 19 18 21 31 23 22 34 35 32 33 38 39 36 37 42 43 40 41 46 20 12 45 2 3 16 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 44 13
27 26 25 24 47 30 29 28 19 18 17 0 44 22 21 20 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 23 45 46 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 31
29 28 47 30 25 24 27 26 21 20 23 22 17 0 19 41 38 39 36 37 34 35 32 33 46 31 44 45 10 43 40 18 6 7 4 5 2 3 16 1 14 15 12 13 42 11 8 9
47 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 42 0 36 37 38 39 32 33 34 35 44 45 46 31 40 9 17 43 4 5 6 7 16 1 2 3 12 13 14 15 8 41 10 11
38 39 36 37 34 35 32 33 46 31 44 45 42 43 40 2 29 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 16 3 41 13 28 47 30 25 24 27 26 21 20 23 22 17 0 19 18
36 37 38 39 32 33 34 35 44 45 46 31 40 41 1 43 15 30 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 42 16 47 14 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 0
34 35 32 33 38 39 36 37 42 43 40 41 46 4 44 45 9 8 27 10 13 12 15 14 1 16 3 2 5 31 7 6 25 24 11 26 29 28 47 30 17 0 19 18 21 20 23 22
32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 7 45 46 31 11 10 9 24 15 14 13 12 3 2 1 16 44 6 5 4 27 26 25 8 47 30 29 28 19 18 17 0 23 22 21 20
46 31 44 45 42 43 40 41 38 39 36 14 34 35 32 33 5 4 7 6 17 16 3 2 13 12 15 37 9 8 11 10 21 20 23 22 1 0 19 18 29 28 47 30 25 24 27 26
44 45 46 31 40 41 42 43 36 37 13 39 32 33 34 35 7 6 5 4 3 18 1 16 15 14 38 12 11 10 9 8 23 22 21 20 19 2 17 0 47 30 29 28 27 26 25 24
42 43 40 41 46 31 44 45 34 8 32 33 38 39 36 37 1 16 3 2 5 4 23 6 9 35 11 10 13 12 15 14 17 0 19 18 21 20 7 22 25 24 27 26 29 28 47 30
40 41 42 43 44 45 46 31 11 33 34 35 36 37 38 39 3 2 1 16 7 6 5 20 32 10 9 8 15 14 13 12 19 18 17 0 23 22 21 4 27 26 25 24 47 30 29 28
37 36 39 38 33 32 35 9 45 44 31 46 41 40 43 42 14 15 12 13 10 11 8 34 22 7 4 5 2 3 16 1 30 47 28 29 26 27 24 25 6 23 20 21 18 19 0 17
39 38 37 36 35 34 10 32 31 46 45 44 43 42 41 40 12 13 14 15 8 9 33 11 4 21 6 7 16 1 2 3 28 29 30 47 24 25 26 27 20 5 22 23 0 17 18 19
33 32 35 34 37 15 39 38 41 40 43 42 45 44 31 46 10 11 8 9 14 36 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5 26 27 24 25 30 47 28 29 18 19 16 17 22 23 20 21
35 34 33 32 12 38 37 36 43 42 41 40 31 46 45 44 8 9 10 11 39 13 14 15 16 1 2 19 4 5 6 7 24 25 26 27 28 29 30 47 0 17 18 3 20 21 22 23
45 44 31 5 41 40 43 42 37 36 39 38 33 32 35 34 6 7 4 46 2 3 16 1 14 15 12 13 26 11 8 9 22 23 20 21 18 19 0 17 30 47 28 29 10 27 24 25
31 46 6 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 4 5 45 7 16 1 2 3 12 13 14 15 8 25 10 11 20 21 22 23 0 17 18 19 28 29 30 47 24 9 26 27
41 3 43 42 45 44 31 46 33 32 35 34 37 36 39 38 2 40 16 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 28 13 18 19 0 17 22 23 20 21 26 27 24 25 30 47 12 29
16 42 41 40 31 46 45 44 35 34 33 32 39 38 37 36 43 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 47 0 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 15

Таблица ортогональных пар в новой версии программы выводится несколько иначе: длкаждого ДЛК выводится полный список его ортогональных соквадратов.

Для показанной группы ОДЛК 48-го порядка таблица ортогональных пар

[code]1: [3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,26],
2: [5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,26],
3: [1,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24],
4: [3,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,26],
5: [1,2,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24],
6: [3,5,9,11,13,15,17,19,21,23,25,26],
7: [1,2,4,8,10,12,14,16,18,20,22,24],
8: [3,5,7,11,13,15,17,19,21,23,25,26],
9: [1,2,4,6,10,12,14,16,18,20,22,24],
10: [3,5,7,9,13,15,17,19,21,23,25,26],
11: [1,2,4,6,8,12,14,16,18,20,22,24],
12: [3,5,7,9,11,15,17,19,21,23,25,26],
13: [1,2,4,6,8,10,14,16,18,20,22,24],
14: [3,5,7,9,11,13,17,19,21,23,25,26],
15: [1,2,4,6,8,10,12,16,18,20,22,24],
16: [3,5,7,9,11,13,15,19,21,23,25,26],
17: [1,2,4,6,8,10,12,14,18,20,22,24],
18: [3,5,7,9,11,13,15,17,21,23,25,26],
19: [1,2,4,6,8,10,12,14,16,20,22,24],
20: [3,5,7,9,11,13,15,17,19,23,25,26],
21: [1,2,4,6,8,10,12,14,16,18,22,24],
22: [3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,25,26],
23: [1,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,24],
24: [3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,26],
25: [1,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22],
26: [1,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24][/code]
Интересно: есть две 13-ки - от квадрата 1 и от квадрата 26.

Программа SageMath рисует эту группу ОДЛК 48-го порядка так



Очень симпатичная группа ОДЛК!