Кстати в приложении господина Ватутина не показан ДЛК 14-го порядка с 52484 Д-трансверсалями.
ДЛК показан тут
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=138&postid=2822
Цитирую это сообщение

Встречайте маленького :) - 52484 Д-трансверсалей, текущий минимум по Д-трансверсалям для ДЛК 14-го порядка

 0 12  4  5  6  2  3 10 11  7  8  9 13  1
13  1  5  6  2  3  4  9 10 11  7  8  0 12
 6  8  2 13  9 10  1 12  7  0  5  3 11  4
 2  7  1  3 13  8  9 11  0  6  4 12 10  5
 3 11  8  1  4 13  7  0  2  5 12 10  9  6
 4 10 11  7  1  5 13  3  6 12  9  0  8  2
 5  9 13 10 11  1  6  2 12  8  0  4  7  3
 8  4  9  0  5 12 11  7  1  2  3 13  6 10
 9  3  0  4 12  7 10 13  8  1  6  2  5 11
10  2  3 12  8 11  0  6 13  9  1  5  4  7
11  6 12  9  7  0  2  4  5 13 10  1  3  8
 7  5 10  8  0  6 12  1  3  4 13 11  2  9
 1 13  7 11 10  9  8  5  4  3  2  6 12  0
12  0  6  2  3  4  5  8  9 10 11  7  1 13

ДЛК 15-го порядка с найденным минимальным значением Д-трансверсалей в приложении тоже не показан.
ДЛК с 304818 Д-трансверсалями показан здесь
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=138&postid=2827

 0 13  6  9  2  1 10  4 14  7  3  8 11  5 12
13  1 12 14  8  3  2  5  7  4  0 10  6 11  9
 7 12  2 11 13  0  4  6  5  1  9 14 10  8  3
 6  7 11  3 10 12  1 14  2  8 13  9  0  4  5
 3 14  7 10  4  9 11 13  0 12  8  1  5  6  2
 1  4 13  7  9  5  8 12 11  0  2  6 14  3 10
10  2  5 12  7  8  6 11  1  3 14 13  4  9  0
 8  0  1  2  3  4  5  7  9 10 11 12 13 14  6
14  5 10  1  0 11 13  3  8  6  7  2  9 12  4
 4 11  0  8 12 14  3  2  6  9  5  7  1 10 13
12  8  9 13  6  2 14  1  3  5 10  4  7  0 11
 9 10 14  5  1  6 12  0 13  2  4 11  3  7  8
11  6  4  0  5 13  9  8 10 14  1  3 12  2  7
 5  3  8  4 14 10  7  9 12 11  6  0  2 13  1
 2  9  3  6 11  7  0 10  4 13 12  5  8  1 14

При этом ясно написано, откуда происходит данный ДЛК, он принадлежит найденной мной группе MODLS 15-го порядка, состоящей из четырёх взаимно ортогональных ДЛК.

Очень странно господин Ватутин представил мои решения, при этом представил их только в приложении к статье, ничего не написав об авторе в статье.
Из статьи получается, что автор всех решений господин Ватутин.
С чем его и поздравляем! :)

А-ха-ха! :))))
Как я сподвигла господина Ватутина на расширение спектра Д-трансверсалей в ДЛК 10-го порядка!!
Читайте
https://boinc.ru/forum/topic/proekt-gerasimhome/?part=121#postid-4985

Цитирую

Новая верхняя граница на минимальное число диагональных трансверсалей в ДЛК порядка 10:
a(10) <= 38 в ряду https://oeis.org/A287647
0 1 2 3 4 7 6 5 8 9
1 2 3 6 0 8 9 4 7 5
4 7 1 2 3 0 5 8 9 6
5 9 8 7 6 1 4 3 2 0
9 8 7 4 5 2 0 6 3 1
2 5 6 9 1 3 7 0 4 8
7 4 9 5 2 6 8 1 0 3
3 6 0 1 8 4 2 9 5 7
8 3 4 0 9 5 1 7 6 2
6 0 5 8 7 9 3 2 1 4

Стоп, стоп, стоп!
А как же эта оценка, которая уже присутствует в статье OEIS
a(10) <= 15?
Похоже, господин Ватутин зарапортовался от больших успехов :)

Ещё пара цитат из этого же сообщения

Полученный в результате экспериментов спектр числа диагональных трансверсалей в ДЛК порядка 10 не является непрерывным (ширина (853) > мощности (660)), как и все остальные аналогичные спектры мощностью более 1.

Может быть, корректнее сказать: в данный момент не является непрерывным?
Ведь спектр ещё не окончательный.

Над полученным спектром в перспективе можно поколдовать с использованием ряда других преобразований, но большого его расширения не ожидается...

Ой ли? :) И откуда такая уверенность?

Проверила на Д-трансверсали уже почти всю имеющуюся у нас БД КФ ОДЛК 11-го порядка.
Вот какой получился спектр Д-трансверсалей, 324 элемента

283  303  313  325  327  328  330  332  333  334  338  339  340  341  343  344  345  346  347  348  349  350  351  352  353  354  355  356  357  358  359  360  361  362  363  364  365  366  367  368  369  370  371  372  373  374  375  376  377  378  379  380  381  382  383  384  385  386  387  388  389  390  391  392  393  394  395  396  397  398  399  400  401  402  403  404  405  406  407  408  409  410  411  412  413  414  415  416  417  418  419  420  421  422  423  424  425  426  427  428  429  430  431  432  433  434  435  436  437  438  439  440  441  442  443  444  445  446  447  448  449  450  451  452  453  454  455  456  457  458  459  460  461  462  463  464  465  466  467  468  469  470  471  472  473  474  475  476  477  478  479  480  481  482  483  484  485  486  487  488  489  490  491  492  493  494  495  496  497  498  499  500  501  502  503  504  505  506  507  508  509  510  511  512  513  514  515  516  517  518  519  520  521  522  523  524  525  526  527  528  529  530  531  532  533  534  535  536  537  538  539  540  541  542  543  544  545  546  547  548  549  550  551  552  553  554  555  556  557  558  559  560  561  562  563  564  565  566  567  568  569  570  571  572  573  574  575  576  577  578  579  580  581  582  583  584  585  586  587  588  589  590  591  592  593  594  595  596  597  598  599  600  601  602  603  604  605  606  607  608  609  610  611  613  614  615  616  620  624  632  633  636  642  643  645  650  654  655  659  660  661  663  718  768  783  798  803  808  818  868  888  897  913  928  945  968  1052  1115  1138  4523  4665  4675  4813  4828

Известный Max = 4828 в спектре присутствует. ДЛК с таким количеством Д-трансверсалей нашёл Tomas Brada.
Для минимума в OEIS оценка a(11) <= 279. Этого элемента пока нет в моём спектре. У меня текущий Min = 283.
Для мощности спектра в OEIS оценка a(11) >= 353. Уже довольно близко к этой мощности мощность моего спектра.

Завтра проверю остатки БД.

Продолжаю проверку оставшихся КФ ОДЛК 11-го порядка.
Вот и малыш нашёлся

279 Д-трансверсалей

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10
 2 10  5  9  3  7  8  6  0  4  1
 3  9  4  7  0  8  1 10  2  5  6
10  3  0  2  8  6  4  9  7  1  5
 6  4  3 10  9  1  0  8  5  7  2
 9  0 10  4  2  3  7  5  1  6  8
 8  7  9  1  6  4  5  3 10  2  0
 5  2  6  8  7 10  9  1  3  0  4
 4  8  7  5  1  0 10  2  6  3  9
 7  5  1  6 10  9  2  0  4  8  3
 1  6  8  0  5  2  3  4  9 10  7

На данный момент в спектре содержится 335 элементов.
Немножко осталось проверить КФ ОДЛК.

Всё, завершила подсчёт Д-трансверсалей во всех КФ ОДЛК 11-го порядка в имеющейся у меня БД.
Это 998888 КФ ОДЛК.
Получен спектр из 342 элементов

279  283  303  313  322  323  325  327  328  330  332  333  334  338  339  340  341  342  343  344  345  346  347  348  349  350  351  352  353  354  355  356  357  358  359  360  361  362  363  364  365  366  367  368  369  370  371  372  373  374  375  376  377  378  379  380  381  382  383  384  385  386  387  388  389  390  391  392  393  394  395  396  397  398  399  400  401  402  403  404  405  406  407  408  409  410  411  412  413  414  415  416  417  418  419  420  421  422  423  424  425  426  427  428  429  430  431  432  433  434  435  436  437  438  439  440  441  442  443  444  445  446  447  448  449  450  451  452  453  454  455  456  457  458  459  460  461  462  463  464  465  466  467  468  469  470  471  472  473  474  475  476  477  478  479  480  481  482  483  484  485  486  487  488  489  490  491  492  493  494  495  496  497  498  499  500  501  502  503  504  505  506  507  508  509  510  511  512  513  514  515  516  517  518  519  520  521  522  523  524  525  526  527  528  529  530  531  532  533  534  535  536  537  538  539  540  541  542  543  544  545  546  547  548  549  550  551  552  553  554  555  556  557  558  559  560  561  562  563  564  565  566  567  568  569  570  571  572  573  574  575  576  577  578  579  580  581  582  583  584  585  586  587  588  589  590  591  592  593  594  595  596  597  598  599  600  601  602  603  604  605  606  607  608  609  610  611  612  613  614  615  616  618  620  623  624  627  628  632  633  636  642  643  645  650  653  654  655  659  660  661  663  670  674  695  718  758  768  783  798  803  808  818  868  888  897  900  913  928  945  968  993  997  1052  1115  1138  4523  4603  4665  4675  4813  4828

Минимальный и максимальный элементы, указанные на данный момент в OEIS, в спектре присутствуют.
Оценка мощности спектра в OEIS на данный момент: a(11)>=353.

Параметры спектра
Min = 279
Max = 4828
ширина спектра 4550
мощность спектра 342
коэффициент плотности спектра K = 0,075

Заниматься расширением и уплотнением этого спектра я не буду.
Пока продолжаю заниматься спектром для порядка 12.
Эксперимент по минимизации ещё не завершён.
А после попробую по этому же алгоритму максимизацию.
Выполнив эти два эксперимента, сверну работу и над этим спектром.
Полностью составить спектр Д-трансверсалей в ДЛК 12-го порядка в настоящее время нереально даже в десяти BOINC-проектах.
Частичное расширение спектра - да, интересно, например, найти новый максимум спектра, что может дать и новый максимум для количества ОДЛК от одного ДЛК.
Но особой ценности для науки не вижу в этом.
Как я уже отмечала ранее, поиск спектра Д-трансверсалей тупым перебором - задача вторичная и мало интересная.

У господина Ватутина расширяется спектр Д-трансверсалей в ДЛК 10-го порядка.
Море восклицательных знаков, дикий восторг :)))
Только недавно господин Ватутин утверждал

Spectra for orders 9 and 11 can be expanded in future, spectra for orders 10 and 12 are close to the maximum possible.

И вдруг такое бешеное расширение и уплотнение спектра :)

Коэффициент плотности спектра для порядка 10 у господина Ватутина уже близок к единице.
Ну, я для порядка 10 не высказывала гипотезу о непрерывности спектра Д-трансверсалей.
Однако... оно к тому идёт :)

И отмечу снова, что алгоритм грубой силы, который так любит господин Ватутин, для составления полного спектра Д-трансверсалей в ДЛК 10-го порядка в настоящее время применить нереально.

Смотрите, цитирую отсюда
https://boinc.ru/forum/topic/proekt-gerasimhome/?part=121#postid-4992

В результате получен спектр числа диагональных трансверсалей, объединяя который с имеющимся спектром получен результирующий спектр со следующими параметрами:
Min value = 3 (!!!), max value = 890, width = 888 (!!!), cardinality = 736 (!!!)

Море восклицательных знаков :)
Браво, браво, браво!

И далее

Полученные спектры числа трансверсалей и диагональных трансверсалей близки к идеалу: если их и можно расширить, то не особо сильно.

Ну, да "не особо сильно".
Всё как всегда "близко к идеалу" у господина Ватутина :)))
А покажите-ка нам полный спектр Д-трансверсалей в ДЛК 10-го порядка!
Мы оценим, особо сильно или не особо сильно спектр расширен.

PS. Коэффициент плотности спектра Д-трансверсалей в ДЛК 10-го порядка, полученного господином Ватутиным, K = 0,829.

Смотрим статью в OEIS
https://oeis.org/A287764
Number of main classes of diagonal Latin squares of order n.

1, 0, 0, 1, 2, 2, 972, 4873096, 3292326155394

Вот они – количества КФ ДЛК!
Ну, с чего начнём?
Думаю, что самое подходящее n=8.
Опять же голое количество! А где квадраты???
Уж 4873096 КФ ДЛК можно было сохранить и опубликовать.
Однако нигде не нашла ссылку на опубликованные квадраты.
И что же с этим голым количеством делать?

Написала письмо Harry White, спросила, нет ли у него этих квадратов.
Сначала он ответил

I don’t have them.
You can make all DLS with http://budshaw.ca/Download.html#Latin
and canonize them.

There will be 6 files of 1241264640 DLS, 159 GB each.
These will have to be split into smaller files for DLScanonizer64.

Д-а-а-а, заманчивая перспектива :)
А к вечеру пришло такое письмо

http://budshaw.ca/temp/output8CF2.zip

I copied 1/3 of the first file of DLS and ran DLScanonizer64 on that.
It found all 4873096 CFs.

Здорово! Не так страшен чёрт…
Третью часть первого файла канонизировал и ...

It found all 4873096 CFs.

Замечательно!
Господа!
Ссылка в письме на живые квадраты.
Скачайте. Это вам не голое количество, которое ничего не даёт ни для ума, ни для сердца, ни для дела.

Так, скачала. Черепашка это осилила.
Распаковала, посмотрела на живые квадратики. Хорошенькие такие, крохотные :)
А теперь дело за обсчётом этих квадратиков на Д-трансверсали.
Вот эта задача выполнимая.
Для черепашки всё равно тяжело, попрошу помощников после окончания текущего эксперимента, которым они все заняты.

Ну, а количество КФ ДЛК 9-го порядка – 3292326155394.
Господин Ватутин запустит обсчёт на Д-трансверсали в Герасиме. По его оценкам эта работа на несколько месяцев.
Положим, что это тоже реально, конечно, не на одном ПК, даже очень крутом.
А вот для порядка 10 и количества КФ ДЛК ещё не представил господин Ватутин. Недоработка! :)
Зато спектр Д-трансверсалей для ДЛК порядка 10 у него уже "близок к идеалу".

PS. Скачать квадраты торопитесь, Harry может удалить этот файл, он у него со статусом "временный".

Кстати, посчитала Д-трансверсали во всех КФ ОДЛК 8-го порядка, их в полной БД 1105 штук.
Вот какой получен спектр Д-трансверсалей

8  9  10  12  14  15  16  17  18  20  22  23  24  25  26  28  30  32  36  38  40  42  44  48  52  56  64  72  88  96  120

Спектр содержит 31 элемент.
В статье OEIS http://oeis.org/A345370 видим, что спектр Д-трансверсалей для ДЛК порядка 8 содержит 47 элементов
a(8) = 47.
Итак, осталось найти 16 элементов спектра.
Полная проверка всех КФ ДЛК (см. предыдущий пост) должна дать все эти элементы.

Здесь
http://oeis.org/A287647/a287647_3.txt
находим минимальный элемент спектра.

n=8, a(8)=0
Article: E. I. Vatutin, S. E. Kochemazov, O. S. Zaikin, S. Yu. Valyaev, Enumerating the Transversals for Diagonal Latin Squares of Small Order. CEUR Workshop Proceedings. Proceedings of the Third International Conference BOINC-based High Performance Computing: Fundamental Research and Development (BOINC:FAST 2017). Vol. 1973. Technical University of Aachen, Germany, 2017. pp. 6-14. urn:nbn:de:0074-1973-0. http://ceur-ws.org/Vol-1973/paper01.pdf
Way of finding: brute force
0 1 2 3 4 5 6 7
1 2 0 4 3 7 5 6
7 0 1 6 5 4 2 3
4 6 7 5 1 0 3 2
3 7 5 0 6 2 4 1
5 4 6 7 2 3 1 0
6 3 4 2 0 1 7 5
2 5 3 1 7 6 0 4

А здесь
http://oeis.org/A287648/a287648_4.txt
находим максимальный элемент спектра

n=8, a(8)=120
Article: E. I. Vatutin, S. E. Kochemazov, O. S. Zaikin, S. Yu. Valyaev, Enumerating the Transversals for Diagonal Latin Squares of Small Order. CEUR Workshop Proceedings. Proceedings of the Third International Conference BOINC-based High Performance Computing: Fundamental Research and Development (BOINC:FAST 2017). Vol. 1973. Technical University of Aachen, Germany, 2017. pp. 6-14. urn:nbn:de:0074-1973-0. http://ceur-ws.org/Vol-1973/paper01.pdf
Way of finding: brute force
0 1 2 3 4 5 6 7
2 3 0 1 6 7 4 5
1 5 4 0 7 3 2 6
5 4 7 6 1 0 3 2
3 7 6 2 5 1 0 4
7 6 5 4 3 2 1 0
4 0 1 5 2 6 7 3
6 2 3 7 0 4 5 1

Максимальный элемент спектра уже есть в спектре Д-трансверсалей в КФ ОДЛК.
Учитывая, что минимальный элемент спектра уже известен, остаётся найти 15 элементов спектра.

PS. Замечу, что спектр надо показывать не графически, как это делает господин Ватутин, а конкретными количествами Д-трансверсалей.
Графическое изображение тоже не помешает как дополнение для большей наглядности.

Попытка минимизации спектра Д-трансверсалей в ДЛК 12-го порядка продолжается, пока безуспешно.
Параллельно начала понемногу проверять квадрозавры по такому же алгоритму.
Вот нашёлся один новый элемент спектра в средней части

16891 Д-трансверсаль

 0 10  6  7  2  3  9 11  5  8  4  1
11  1  5  4  6  8  2  3 10  7  0  9
 4  5  2  8  9 11  1  0  6  3  7 10
 7  6  9  3  1  0 10  4  2 11  8  5
 6  3  0  9  4 10  7  5 11  1  2  8
 2 11  4  1  7  5  8  6  0 10  9  3
 3  9 10  0  5  7  6  8  1  4 11  2
 8  2  1 11 10  4  5  7  9  6  3  0
10  7  3  6 11  9  0  1  8  2  5  4
 5  8 11  2  0  1  4 10  3  9  6  7
 1  4  8  5  3  2 11  9  7  0 10  6
 9  0  7 10  8  6  3  2  4  5  1 11

Наш спектр содержит 17150 элементов.

Очень не хватает массовости проверки, то есть ДЛК преобразованиями получаю очень много, а Д-трансверсали считаю в 10-й или 20-й части от всех полученных ДЛК, потому что медленно считаются у меня Д-трансверсали.
Может быть, и ещё что-то нашлось бы, но остаётся за боротом.

Найдено 59 новых элементов в средней части спектра!
Вот они в порядке возрастания

15377  15413  15457  16259  16287  16817  16825  16829  16843  16853  16859  16871  16875  16885  16897  16899  16903  16915  16951  
16953  16955  16957  16967  16969  16971  16975  16983  16985  16988  16991  17007  17011  17017  17019  17031  17033  17039  17041  
17045  17049  17057  17061  17069  17075  17095  17127  17135  17138  17149  17198  17210  17211  17230  17255  17272  17297  17335  
17457  17495

Наш спектр содержит 17209 элементов.
Ширина спектра по прежнему равна 30078.
Коэффициент плотности спектра K = 0,572.
Спектр пока не расширился, только уплотнился.

Немного расширилась вправо непрерывная часть спектра [13994,15376], теперь она стала [13994,15394].

Нашла ещё два новых элемента в средней части спектра

15726 Д-трансверсалей

 0  2  4  6  3  9  7  8  5 10 11  1
 6  1  7  5  2  8  3 11  9  4  0 10
 9  4  2  8  0 10  1  6 11  3  5  7
 7  0  9  3 11  1  8 10  2  5  4  6
 8  7  1 11  4  6 10  5  0  2  9  3
11  3 10  0  7  5  4  9  6  1  2  8
 1  9  0 10  5  7  6  3  4 11  8  2
 2  5 11  1  6  4  0  7 10  8  3  9
 5 10  3  9  1 11  2  0  8  7  6  4
 3  6  8  2 10  0 11  4  1  9  7  5
 4 11  5  7  8  2  9  1  3  6 10  0
10  8  6  4  9  3  5  2  7  0  1 11

13993 Д-трансверсали

 0  2  6  4  7 11  9  8  5 10  3  1
 7  1  5 11  2  6 10  3  9  4  0  8
 6  9  2  0  5 10  8  4  1  3 11  7
11  5  7  3  6  0  1 10  2  8  4  9
10 11  3  1  4  8  7  5  0  2  9  6
 2  8  0  6 11  5  4  9 10  1  7  3
 8  0  4  9  3  7  6  2 11  5  1 10
 1  3 10  5  8  9 11  7  4  6  2  0
 5  7  1 10  9  2  3 11  8  0  6  4
 3 10 11  7  0  4  5  1  6  9  8  2
 4  6  9  8  1  3  2  0  7 11 10  5
 9  4  8  2 10  1  0  6  3  7  5 11

Вот он - гуляка! Я за ним очень давно охочусь. Наконец-то попался.
Это была точка разрыва между двумя большими непрерывными частями спектра: [123,13992] и [13994,15394].
Теперь эти две непрерывные части объединились в одну [123,15394].
Отлично!
Кто-то ещё сомневается в том, что полный спектр Д-трансверсалей ДЛК 12-го порядка непрерывный?
Я уже давно не сомневаюсь :)

Наш спектр содержит 17211 элементов.

Покажу графическое изображение полученного на данный момент спектра Д-трансверсалей ДЛК 12-го порядка, сделанное программой форумчанина с форума Math Help Planet Захара



Супер! Дырка, соответствующая элементу 13993, исчезла.
Теперь имеем большую непрерывную часть спектра, которая (даже визуально видно) составляет более половины всего спектра.
Мощность непрерывной части спектра равна 15272 при ширине спектра 30078.
Коэффициент плотности спектра K = 0,572 тоже больше 0,5.

Цитата

Распаковала, посмотрела на живые квадратики. Хорошенькие такие, крохотные :)
А теперь дело за обсчётом этих квадратиков на Д-трансверсали.
Вот эта задача выполнимая.
Для черепашки всё равно тяжело, попрошу помощников после окончания текущего эксперимента, которым они все заняты.

Речь идёт о подсчёте Д-трансверсалей во всех КФ ДЛК 8-го порядка.
Mynx выполнил этот подсчёт.
Он пишет, что всё посчиталось за 6 минут.
Это полный спектр Д-трансверсалей в ДЛК 8-го порядка (включила элемент 0)

0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  34  36  38  40  42  44  48  52  56  64  72  88  96  120

Мощность спектра 47, ширина спектра 121, коэффициент плотности спектра K = 0,388.

Это один из ДЛК, имеющих 0 Д-трансверсалей

0 7 6 5 3 4 2 1
6 1 3 4 2 7 0 5
7 4 2 0 5 3 1 6
1 2 7 3 6 0 5 4
5 0 1 7 4 6 3 2
3 6 4 2 1 5 7 0
4 5 0 1 7 2 6 3
2 3 5 6 0 1 4 7

Интересно, что этот ДЛК не изоморфен ДЛК, приведённому господином Ватутиным в OEIS.
Может быть, есть и ещё ДЛК, имеющие 0 Д-трансверсалей и не изоморфные двум показанным.
Не стала искать их, так как файл очень большой.

А вот КФ ДЛК, имеющая 120 Д-трансверсалей, единственная!
Вот она во втором формате (из файла Harry White)

0 5 4 2 3 6 7 1
4 1 3 5 7 2 0 6
6 0 2 7 5 3 1 4
1 7 6 3 2 4 5 0
7 3 1 6 4 0 2 5
2 6 7 0 1 5 4 3
3 4 5 1 0 7 6 2
5 2 0 4 6 1 3 7

Итак, задача составления полного спектра Д-трансверсалей в ДЛК 8-го порядка решается шутя.
Чего не скажешь об этой же задаче для порядка 9.
Выше было приведено количество КФ ДЛК 9-го порядка.
Не так просто посчитать Д-трансверсали во всех этих КФ ДЛК.
Господин Ватутин считает, что за несколько месяцев BOINC-проект Gerasim@Home эту задачу решит.

Большое спасибо Mynx за решение этой задачи.

Посмотрим на свойства ДЛК 8-го порядка, имеющего максимальное количество Д-трансверсалей (120)

0 5 4 2 3 6 7 1
4 1 3 5 7 2 0 6
6 0 2 7 5 3 1 4
1 7 6 3 2 4 5 0
7 3 1 6 4 0 2 5
2 6 7 0 1 5 4 3
3 4 5 1 0 7 6 2
5 2 0 4 6 1 3 7

Order? 8

Enter the name of the squares file: a
.. writing type information to file aTypeDetail_1.txt

Counts
------
         1 diagonal Latin
         1 axial symmetric
         1 natural \diagonal

Отмечена осевая симметрия (вертикальная симметрия по Гергели/Брауну).
ДЛК является "брауном" и имеет классическую блочную структуру.

Посчитала общие трансверсали во всех КФ ОДЛК 8-го порядка, их 1105 штук.
Такой получился спектр из 25 элементов

16  32  40  48  52  56  60  64  68  72  76  80  88  96  112  128  132  144  160  168  192  224  256  320  384

Посмотрите, как интересно

order? 8
Type of transversals, 1 all or 2 diagonal? 1
File name? a1
1024
.. writing counts to file 8Transversals_3.txt
square 83 max transversals 384
square 105 max transversals 384
square 113 max transversals 384
square 203 max transversals 384
square 341 max transversals 384
square 349 max transversals 384
square 390 max transversals 384
square 397 max transversals 384
square 423 max transversals 384
square 539 max transversals 384
square 546 max transversals 384
square 589 max transversals 384
square 606 max transversals 384
square 617 max transversals 384
square 620 max transversals 384
square 621 max transversals 384
square 636 max transversals 384
square 638 max transversals 384
square 679 max transversals 384
square 682 max transversals 384
square 686 max transversals 384
square 695 max transversals 384
square 700 max transversals 384
square 714 max transversals 384
square 715 max transversals 384
square 719 max transversals 384
square 720 max transversals 384
square 723 max transversals 384
square 724 max transversals 384
square 734 max transversals 384
square 735 max transversals 384
square 741 max transversals 384
square 757 max transversals 384
square 760 max transversals 384
square 761 max transversals 384
square 764 max transversals 384
square 767 max transversals 384
square 775 max transversals 384
square 779 max transversals 384
square 805 max transversals 384
square 811 max transversals 384
square 830 max transversals 384
square 877 max transversals 384
square 898 max transversals 384
square 913 max transversals 384
square 915 max transversals 384
square 919 max transversals 384
square 955 max transversals 384
square 962 max transversals 384
square 985 max transversals 384
square 1038 max transversals 384
square 1043 max transversals 384
square 1044 max transversals 384
square 1045 max transversals 384
square 1046 max transversals 384
square 1048 max transversals 384
square 1050 max transversals 384
square 1067 max transversals 384
square 1070 max transversals 384
square 1073 max transversals 384
square 1075 max transversals 384
square 1102 max transversals 384
square 1103 max transversals 384
square 1105 max transversals 384

В статье OEIS https://oeis.org/A287644 видим максимальное количество трансверсалей в ДЛК 8-го порядка
a(8) = 384.
В статье OEIS https://oeis.org/A287645 видим минимальное количество трансверсалей в ДЛК 8-го порядка
a(8) = 8.
Этого элемента нет в спектре, полученном от КФ ОДЛК.

Кстати, обнаружила такие две статьи в OEIS

https://oeis.org/A090741
Maximum number of transversals in a Latin square of order n.

1, 0, 3, 8, 15, 32, 133, 384, 2241

AUTHOR Richard Bean, Feb 03 2004

Обратите внимание на год создания статьи. Это уже история.
Меня заинтересовало это

EXAMPLE
a(1), a(3), a(5), a(7) are from the group tables for Z_1, Z_3, Z_5 and Z_7 (see sequence A006717); a(4) and a(8) are from Z_2 x Z_2 and the non-cyclic groups of order 8 (see Bedford).

Не знаю, что это означает. Надо читать соответствующие статьи.

a(9) = 2241 from Z_3 x Z_3.

https://oeis.org/A287644
Maximum number of transversals in a diagonal Latin square of order n.

1, 0, 0, 8, 15, 32, 133, 384, 2241

AUTHOR Eduard I. Vatutin, May 29 2017

Цитирую
EXTENSIONS

a(8) added by Eduard I. Vatutin, Oct 29 2017
a(9) added by Eduard I. Vatutin, Sep 20 2020

Ну, с a(8) всё понятно - это полный перебор.
А как господин Ватутин нашёл a(9), непонятно.
Там куча ссылок на статьи с непременным участием господина Ватутина.
Ни одну из них я не смотрела.

Поскольку ДЛК - частный случай ЛК, понятно, что в нём не может быть больше трансверсалей, чем в ЛК данного порядка.
Максимальное количество трансверсалей в ЛК 9-го порядка указано в статье https://oeis.org/A090741

Смотрим статью в OEIS
https://oeis.org/A344105
a(n) is the number of distinct numbers of transversals of order n diagonal Latin squares.

1, 0, 0, 1, 2, 1, 32, 73

AUTHOR Eduard I. Vatutin, Jun 22 2021

Свеженькая статья.
Господин Ватутин привёл даже весь спектр с соответствующими ДЛК в приложении к статье
http://evatutin.narod.ru/spectra/spectrum_dls_transversals_n8_73_items.txt

Ну, а что тут было считать-то? :)
Mynx попробовал, трансверсали во всех 4873096 КФ ДЛК 8-го порядка посчитались за 8 минут.
Получен следующий спектр трансверсалей в ДЛК 8-го порядка

8  12  16  20  24  26  28  30  32  34  36  38  40  42  44  46  48  50  52  54  56  58  60  62  64  66  68  70  72  74  76  78  80  82  84  86  88  90  92  94  96  98  100  102  104  106  108  110  112  114  116  118  120  122  124  126  128  132  136  138  140  142  
144  156  160  168  176  180  192  224  256  320  384

Мощность спектра равна 73, ширина спектра равна 377, коэффициент плотности спектра K = 0,194.
Здесь интересно: все элементы спектра чётные.

Интересный момент: в статье OEIS https://oeis.org/A309344 мы видим мощность спектра трансверсалей в ЛК 8-го порядка, она равна 74, что на единицу больше мощности спектра трансверсалей в ДЛК 8-го порядка.
То есть для какого-то одного количества трансверсалей ЛК есть, а ДЛК нет.

Кстати, интересная статья и тоже не очень давняя

AUTHOR
Alvaro R. Belmonte, Eugene Fiorini, Peterson Lenard, Froylan Maldonado, Sabrina Traver, Wing Hong Tony Wong, Jul 24 2019

В статье приведена программа, как я понимаю, для поиска трансверсалей в ЛК.

ДЛК с 8 трансверсалями из файла Harry White

0 2 3 4 6 7 5 1
5 1 4 7 3 6 0 2
1 0 2 6 7 3 4 5
6 5 7 3 2 4 1 0
2 3 1 5 4 0 7 6
7 4 6 0 1 5 2 3
3 7 5 2 0 1 6 4
4 6 0 1 5 2 3 7

PS. Нам с Mynx было любопытно посчитать Д-трансверсали и общие трансверсали во всех КФ ДЛК 8-го порядка.
Mynx посчитал, я обработала результаты.
Ну, это детская задача, для первого класса.
Уже для порядка 9 всё гораздо сложнее!
Скорость подсчёта Д-трансверсалей приличная, Mynx уже попробовал.
Но! КФ ДЛК 9-го порядка слишком много (выше это количество показано).
Не стоит бить ресурсы на этой задаче.

Найдены 9 новых элементов спектра Д-трансверсалей в ДЛК 12-го порядка.
Показываю их вместе с соответствующими ДЛК, перед ДЛК указано количество Д-трансверсалей

16121
 0  2  7  6 10  4 11  5  9  3  8  1
 8  1  4  7  5  9  3  0 11  6  2 10
 9  3  2  4  7  1  5  8 10  0 11  6
 5  8  6  3  1  7  9 10  4 11  0  2
11  6  1  2  4 10  0  9  5  8  3  7
 3  7 10  1  9  5  8 11  0  2  6  4
 2 10  9  8  0 11  6  4  3  7  1  5
 4 11  8  0  6  2 10  7  1  5  9  3
 6  4  5 10 11  0  2  3  8  1  7  9
10  0  3 11  2  6  4  1  7  9  5  8
 1  5 11  9  8  3  7  2  6  4 10  0
 7  9  0  5  3  8  1  6  2 10  4 11

16006
 0  7  5  6  8  3  4 11  2 10  9  1
11  1  6 10  5  4  3  0  9  8  2  7
 6  5  2  4  9  7  1 10 11  3  0  8
10  8  9  3  2  1  7  6  0  4 11  5
 8 10  3  9  4 11  0  5  7  2  1  6
 4  2 11  1  0  5  8  3 10  7  6  9
 9  3  7  0  1 10  6  2  5 11  8  4
 1 11 10  8  6  2  9  7  3  5  4  0
 2  4  1 11  7  6 10  9  8  0  5  3
 5  6  4  2  3  0 11  8  1  9  7 10
 3  9  0  7 11  8  5  4  6  1 10  2
 7  0  8  5 10  9  2  1  4  6  3 11

16097
 0  7  6  8 10  2  3 11  4  5  9  1
11  1 10  5  8  9  4  0  3  6  2  7
10  5  2  4  9  1  0  8 11  3  7  6
 8  6  9  3  2  7 11 10  0  4  1  5
 6  8  3  9  4  0  1  5  7  2 11 10
 2  4  7  0  1  5  8  9 10 11  6  3
 4  2  0  7 11 10  6  3  5  1  8  9
 1 11  5 10  6  3  2  7  9  8  4  0
 9  3  1 11  7  6 10  2  8  0  5  4
 5 10  4  2  3 11  7  6  1  9  0  8
 3  9 11  1  0  8  5  4  6  7 10  2
 7  0  8  6  5  4  9  1  2 10  3 11

17051 
 0 10  6  5  2  3  9 11  7  8  4  1
11  1  5 10  6  8  3  2  4  7  0  9
10  7  2  8 11  9  0  1  6  3  5  4
 7  6  9  3  1  0 10  4  2 11  8  5
 6  2  0 11  4 10  7  5  9  1  3  8
 3 11  4  0  7  5  8  6  1 10  9  2
 2  9 10  1  5  7  6  8  0  4 11  3
 8  3  1  9 10  4  5  7 11  0  2  6
 4  5  3  6  9 11  1  0  8  2  7 10
 5  8 11  2  0  1  4 10  3  9  6  7
 1  4  8  7  3  2 11  9  5  6 10  0
 9  0  7  4  8  6  2  3 10  5  1 11

17027 
 0 10  6  5  2  3 11  9  7  8  4  1
11  1  5 10  8  6  2  3  4  7  0  9
10  7  2  8  9 11  1  0  6  3  5  4
 5  6  9  3  0  1  4 10  2 11  8  7
 8  3  1  9  4 10  7  5 11  0  2  6
 2  9 10  1  7  5  8  6  0  4 11  3
 3 11  4  0  5  7  6  8  1 10  9  2
 6  2  0 11 10  4  5  7  9  1  3  8
 4  5  3  6 11  9  0  1  8  2  7 10
 7  8 11  2  1  0 10  4  3  9  6  5
 1  4  8  7  3  2  9 11  5  6 10  0
 9  0  7  4  6  8  3  2 10  5  1 11

16855 
 0 10  6  7  2  3  9 11  5  8  4  1
11  1  5  4  6  8  2  3 10  7  0  9
 4  5  2  8  9 11  1  0  6  3  7 10
 5  6  9  3  1  0 10  4  2 11  8  7
 6  3  0  9  4 10  7  5 11  1  2  8
 2 11  4  1  7  5  8  6  0 10  9  3
 3  9 10  0  5  7  6  8  1  4 11  2
 8  2  1 11 10  4  5  7  9  0  3  6
10  7  3  6 11  9  0  1  8  2  5  4
 7  8 11  2  0  1  4 10  3  9  6  5
 1  4  8  5  3  2 11  9  7  6 10  0
 9  0  7 10  8  6  3  2  4  5  1 11

16927 
 0 10  6  7  2  3  9 11  5  8  4  1
11  1  7 10  8  6  3  2  4  5  0  9
10  5  2  8  9 11  0  1  6  3  7  4
 7  6  9  3  0  1 10  4  2 11  8  5
 8  3  1  9  4 10  7  5 11  0  2  6
 3 11  4  0  7  5  8  6  1 10  9  2
 2  9 10  1  5  7  6  8  0  4 11  3
 6  2  0 11 10  4  5  7  9  1  3  8
 4  7  3  6 11  9  1  0  8  2  5 10
 5  8 11  2  1  0  4 10  3  9  6  7
 1  4  8  5  3  2 11  9  7  6 10  0
 9  0  5  4  6  8  2  3 10  7  1 11

16945 
 0 10  6  7  2  3 11  9  5  8  4  1
11  1  7 10  6  8  2  3  4  5  0  9
10  5  2  8 11  9  1  0  6  3  7  4
 5  6  9  3  1  0  4 10  2 11  8  7
 6  2  0 11  4 10  7  5  9  1  3  8
 2  9 10  1  7  5  8  6  0  4 11  3
 3 11  4  0  5  7  6  8  1 10  9  2
 8  3  1  9 10  4  5  7 11  0  2  6
 4  7  3  6  9 11  0  1  8  2  5 10
 7  8 11  2  0  1 10  4  3  9  6  5
 1  4  8  5  3  2  9 11  7  6 10  0
 9  0  5  4  8  6  3  2 10  7  1 11

17117 
 0 10  8  5  2  3  9 11  7  6  4  1
11  1  5 10  6  8  2  3  4  7  0  9
10  7  2  8 11  9  0  1  6  3  5  4
 5  8  9  3  0  1  4 10  2 11  6  7
 6  3  1 11  4 10  7  5  9  0  2  8
 2 11 10  0  7  5  8  6  1  4  9  3
 3  9  4  1  5  7  6  8  0 10 11  2
 8  2  0  9 10  4  5  7 11  1  3  6
 4  5  3  6  9 11  1  0  8  2  7 10
 7  6 11  2  1  0 10  4  3  9  8  5
 1  4  6  7  3  2 11  9  5  8 10  0
 9  0  7  4  8  6  3  2 10  5  1 11

Наш спектр содержит в данный момент 17220 элементов.
Расширение спектра пока не происходит, только уплотнение. Но это тоже отлично! Мы идём к непрерывному спектру.
Находятся всё новые и новые элементы, абсолютно ничто не мешает спектру быть непрерывным.
Я не вижу никаких препятствий к этому.

Покажу центральный фрагмент спектра, следующий за непрерывной частью [123, 15394]

... 15396  15397  15398  15399  15400  15401  15402  15403  15404  15405  15406  15407  15408  15410  15411  15412  15413  15414  15415  15416  15417  15418  15420  15422  15423  15424  15425  15426  15427  15428  15429  15430  15431  15432  15434  15435  15436  15437  15438  15439  15440  15442  15443  15444  15446  15447  15448  15449  15450  15451  15452  15454  15456  15457  15458  15460  15461  15462  15463  15464  15466  15468  15469  15470  15472  15473  15474  15476  15478  15480  15482  15483  15484  15486  15487  15488  15490  15491  15492  15494  15496  15498  15500  15502  15504  15506  15508  15509  15510  15511  15512  15514  15515  15516  15518  15520  15521  15522  15524  15525  15526  15528  15530  15532  15534  15536  15537  15538  15540  15541  15542  15544  15546  15548  15550  15551  15552  15554  15556  15558  15560  15562  15564  15565  15566  15568  15570  15572  15574  15576  15578  15580  15582  15584  15586  15588  15590  15592  15594  15595  15596  15598  15600  15601  15602  15604  15606  15608  15610  15611  15612  15614  15616  15618  15620  15622  15624  15626  15628  15630  15631  15632  15634  15636  15638  15639  15640  15643  15644  15646  15647  15648  15650  15652  15654  15656  15658  15659  15660  15662  15664  15666  15672  15674  15676  15678  15680  15682  15684  15688  15690  15692  15696  15698  15700  15702  15703  15704  15706  15708  15709  15710  15711  15712  15714  15715  15716  15718  15720  15722  15724  15726  15728  15731  15732  15734  15735  15736  15737  15738  15740  15743  15744  15746  15748  15751  15752  15754  15755  15756  15758  15760  15762  15763  15764  15767  15768  15770  15772  15774  15775  15776  15778  15780  15782  15783  15784  15786  15788  15789  15790  15791  15792  15794  15796  15797  15798  15799  15800  15802  15804  15806  15807  15808  15810  15812  15814  15815  15816  15818  15819  15820  15823  15824  15828  15829  15830  15831  15832  15835  15836  15839  15840  15842  15844  15848  15852  15853  15856  15858  15860  15862  15863  15864  15868  15870  15872  15873  15874  15875  15876  15879  15880  15881  15882  15884  15886  15888  15890  15892  15893  15896  15897  15898  15900  15901  15903  15904  15906  15908  15912  15914  15916  15920  15922  15924  15926  15928  15929  15930  15932  15936  15938  15940  15942  15944  15946  15948  15950  15952  15956  15960  15962  15963  15964  15968  15969  15972  15973  15975  15976  15979  15980  15981  15983  15984  15988  15990  15992  15996  15997  15998  16000 ...  

Здесь точек разрыва не очень много.