Покажу группу MOLS 20-го порядка, построенную в указанной выше статье







Первые два ЛК являются ДЛК.
Все три ЛК построены методом составных квадратов.
ЛК представлены в нетрадиционной форме. Для превращения в традиционную форму надо все элементы уменьшить на 1.

Обратите внимание на третий ЛК; он сконструирован не так, как я сконструировала в настоящее время.
Вчера открывала тему на форуме Math Help Planet, обратила на это внимание, когда писала 20 данных строк (для группы MOLS, построенной в данный момент)

0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17
4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11
8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12
9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3

Здорово! Просто строки записаны в порядке возрастания первого элемента. И ЛК готов!

Ещё отмечу, что в показанной группе MOLS квадраты не получаются друг из друга перестановкой строк.
В этом смысле построенная мной в настоящее время группа MOLS интереснее.

Ещё интересный момент: показанный ЛК из построенной ранее группы MOLS ортогонален также к ДЛК группы MOLS, построенной в данный момент.
Добавила этот ЛК к новой группе MOLS четвёртым квадратом и проверила полученную группу из четырёх квадратов программой GetOrthogonal.
Таблица ортогональных пар

1: [2,3,4],
2: [1,3,4],
3: [1,2],
4: [1,2]

Два ЛК (3 и 4) между собой не ортогональны, чуть-чуть не хватило до клики размера 4.
Покажу этот набор из четырёх квадратов, чтобы было ясно, о каких квадратах идёт речь

1 - ДЛК
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12

2 - ДЛК
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6

3 - ЛК
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0

4 - ЛК
0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17
4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11
8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12
9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3

Обратите внимание: все четыре квадрата в этой группе получаются друг из друга перестановкой строк.

Так, надо продолжать перестановку строк - работаю с построенной в данный момент группой MOLS, состоящей из двух ДЛК и одного ЛК.

Добавлено: очевидно, что ЛК3 и ЛК4 изоморфны. Просто в ЛК3 переставлены строки, получился ЛК в другом виде.
Заметьте: ЛК4 редуцированный.

Продолжила перестановку строк.
Ещё кучу ДЛК получила

Order? 20

Enter the name of the squares file: inp1
.. writing type information to file inp1TypeDetail_2.txt

Counts
------
    368926 diagonal Latin
      7864 weakly pandiagonal
      1078 axial symmetric
       956 center symmetric
    368926 nfr
       192 self-orthogonal
       605 axial parity 1-way
        97 symmetric parity

Да-а-а, тут уже возникают трудности даже с проверкой программой GetOrthogonal, не говоря о программе SageMath.

Общий набор получился 452875 квадратов, один из них ЛК (квадрат 3).
Интересно: опять все ДЛК набора ортогональны к ЛК

Order? 20

Enter the name of the squares file: inp13
Choose 1 - get counts and maximum pairs, or 2 - get pairs for one square: 2
    .. increasing LS store to     100,000
    .. increasing LS store to     200,000
    .. increasing LS store to     400,000
    .. increasing LS store to     800,000
squares 452875
Get pairs for square number, (1 .. 452875)? 3
..output file inp13-3orths.txt
Pairs for square 3: 452874

elapsed time 0:01:28

Ещё не закончила перестановку строк.
Ой! Не справится черепашка со всеми ДЛК в наборе.
Придётся просить помощника проверить набор программой GetOrthogonal.
Ну, а как клики максимального размера искать будем? Программа SageMath не возьмёт этот граф.

Пока абсолютный тупик с MOLS 20-го порядка.
Набор ДЛК расширила, и ещё не предел. Да что толку! Не могу проверить граф на максимальную клику.
Свела набор ДЛК к минимуму, 2240 ДЛК (это узлы графа).
Пропустила через программу GetOrthogonal, эта программа справляется быстро по полному сценарию (9 секунд).
Таблица ортогональных пар получается поразительная.
У каждого ДЛК очень много ортогональных ДЛК.
Протокол работы программы GetOrthogonal для этого набора ДЛК

Order? 20

Enter the name of the squares file: a
Choose 1 - get counts and maximum pairs, or 2 - get pairs for one square: 1
..output file a-orthCounts.txt
..output file a-orthNos.txt
squares 2240 total orthogonal pairs 350920
Maximum pairs for square 1: 1120
There are 3 other squares with this maximum number of pairs.
..output file a-1orths.txt
Pairs for square 1: 1120

elapsed time 0:00:09

И на этом всё!
Этот граф программа SageMath не берёт.
Посмотрите на счётчик ортогональных пар

                orthogonal
      square       pairs
      ------    ----------

           1         1120
           2         1120
           3          250
           4          250
           5          250
           6          250
           7          250
           8          280
           9          250
          10          250

          11          250
          12          250
          13          250
          14          280
          15          250
          16          250
          17          250
          18          250
          19          250
          20          280
. . . . . . . . 
        2221          512
        2222           37
        2223          512
        2224          640
        2225           37
        2226           37
        2227           37
        2228           37
        2229           37
        2230           37

        2231           37
        2232           37
        2233           37
        2234           37
        2235           37
        2236           37
        2237           37
        2238           37
        2239           37
        2240           37

Просто жутко любопытно: неужели при такой плотной ортогональности клики размера 3 нет.
Однако удовлетворить научное любопытство никак не удаётся.
И это ведь только минимальный набор ДЛК!
Представьте, сколько будет ортогональных пар для максимального набора ДЛК, который я получила.

Программа SageMath (онлайн версия) этот граф загружает, памяти ей хватает.
Далее начинает его обрабатывать, выдаёт вагон ошибок и до выдачи клик не доходит.
Рёбер в графе много, да, образовано 350920 ортогональных пар.
Но не так чтобы зашкаливало. Однако не справляется программа.
Предположение: если клики размера 3 нет (а такое вполне возможно), то клик размера 2 будет очень много.
Может быть, поэтому программа их не выдаёт.

Форумчанин с форума Math Help Planet писал мне, что в программе SageMath есть другие алгоритмы поиска максимальной клики.
Надо задавать разные режимы работы, чтобы использовать другие алгоритмы.
Но я ничего этого не знаю.
Кроме того, он писал, что можно по-другому задавать граф, а именно в закодированном виде. Тогда он будет занимать меньше памяти.
Как это делать, я тоже не знаю.

В общем, пока дальше группы MOLS, состоящей из двух ДЛК и одного ЛК, не продвинулась.
Группа эта интересная: все ЛК в ней получаются друг из друга перестановкой строк.
Собственно, в показанную выше закономерность данная группа MOLS 20-го порядка вписалась, как и предполагалось.

Ещё одна попытка.
Расширила набор ДЛК для MOLS 20-го порядка, состоящей из двух ДЛК и одного ЛК.
Выбрала минимально возможный набор, включила в него исходную MOLS, запустила набор в проверку программой GetOtrhogonal

Order? 20

Enter the name of the squares file: inp1
Choose 1 - get counts and maximum pairs, or 2 - get pairs for one square: 1
..output file inp1-orthCounts.txt
..output file inp1-orthNos.txt
    .. increasing LS store to     100,000
    .. increasing LS store to     200,000
squares 113921

Наверное, это долго будет проверяться.
Подожду, авось вырулит.

Вырулила

Order? 20

Enter the name of the squares file: inp1
Choose 1 - get counts and maximum pairs, or 2 - get pairs for one square: 1
..output file inp1-orthCounts.txt
..output file inp1-orthNos.txt
    .. increasing LS store to     100,000
    .. increasing LS store to     200,000
squares 113921 total orthogonal pairs 212324
Maximum pairs for square 3: 113920
This is the only square with this maximum number of pairs.
..output file inp1-3orths.txt
Pairs for square 3: 113920

elapsed time 4:06:52

Ну, а SageMath этот граф, наверное, не возьмёт.
Интересно: единственный ЛК в наборе ортогонален всем ДЛК набора.

Вчера искала в новом графе (см. предыдущий пост) клики вручную.
Ох! Хорошо, что было не очень жарко после дождичка, а то точно крыша съехала бы :)
Эх, жисть какая плохая: есть же программа для поиска максимальных клик, но она почему-то не желает обсчитывать большие графы.
Это недоработка программы, на мой взгляд.

Ну вот, нашла ПОЧТИ клику размера 4. Но ПОЧТИ, как известно, не считается.
Всё равно покажу эту клику

квадрат 1 - ЛК
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0

квадрат 2 - ДЛК
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19 
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3  19  15  16  17  18  14  10  11  12  13 
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1  17  18  19  15  16  12  13  14  10  11 
 12  13  14  10  11  17  18  19  15  16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 
 16  17  18  19  15  11  12  13  14  10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 
 18  19  15  16  17  13  14  10  11  12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 
 10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 19  15  16  17  18  14  10  11  12  13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0  16  17  18  19  15  11  12  13  14  10 
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7  13  14  10  11  12  18  19  15  16  17 
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2  18  19  15  16  17  13  14  10  11  12 
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5  11  12  13  14  10  16  17  18  19  15 
 14  10  11  12  13  19  15  16  17  18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 
 15  16  17  18  19  10  11  12  13  14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 
 13  14  10  11  12  18  19  15  16  17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 
 11  12  13  14  10  16  17  18  19  15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 
 17  18  19  15  16  12  13  14  10  11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6  12  13  14  10  11  17  18  19  15  16 
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8  14  10  11  12  13  19  15  16  17  18 
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4  15  16  17  18  19  10  11  12  13  14 

квадрат 3 - ДЛК
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19 
 17  18  19  15  16  12  13  14  10  11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4  15  16  17  18  19  10  11  12  13  14 
 18  19  15  16  17  13  14  10  11  12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0  16  17  18  19  15  11  12  13  14  10 
 12  13  14  10  11  17  18  19  15  16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 
 14  10  11  12  13  19  15  16  17  18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5  11  12  13  14  10  16  17  18  19  15 
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7  13  14  10  11  12  18  19  15  16  17 
 19  15  16  17  18  14  10  11  12  13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3  19  15  16  17  18  14  10  11  12  13 
 13  14  10  11  12  18  19  15  16  17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 
 11  12  13  14  10  16  17  18  19  15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8  14  10  11  12  13  19  15  16  17  18 
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6  12  13  14  10  11  17  18  19  15  16 
 16  17  18  19  15  11  12  13  14  10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2  18  19  15  16  17  13  14  10  11  12 
 15  16  17  18  19  10  11  12  13  14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1  17  18  19  15  16  12  13  14  10  11 
 10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 

квадрат 4 - ДЛК
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19 
 16  17  18  19  15  11  12  13  14  10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 
 18  19  15  16  17  13  14  10  11  12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 
 13  14  10  11  12  18  19  15  16  17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3  19  15  16  17  18  14  10  11  12  13 
 14  10  11  12  13  19  15  16  17  18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2  18  19  15  16  17  13  14  10  11  12 
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7  13  14  10  11  12  18  19  15  16  17 
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5  11  12  13  14  10  16  17  18  19  15 
 15  16  17  18  19  10  11  12  13  14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 
 17  18  19  15  16  12  13  14  10  11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8  14  10  11  12  13  19  15  16  17  18 
 11  12  13  14  10  16  17  18  19  15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4  15  16  17  18  19  10  11  12  13  14 
 12  13  14  10  11  17  18  19  15  16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1  17  18  19  15  16  12  13  14  10  11 
 10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0  16  17  18  19  15  11  12  13  14  10 
 19  15  16  17  18  14  10  11  12  13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6  12  13  14  10  11  17  18  19  15  16 

Таблица ортогональных пар

1: [2,3,4],
2: [1,3,4],
3: [1,2],
4: [1,2]

Не хватает только ортогональности квадратов 3 и 4. Досадно!
Такая вот псевдочетвёрка или не полная группа MOLS 20-го порядка, состоящая из трёх ДЛК и одного ЛК.

Не исключено, что такая группа MOLS 20-го порядка существует, но найти её трудно.
Ну, а клик размера 3 в этом графе вагон и маленькая тележка.
Только все они содержат один ЛК и два ДЛК.
Клики размера 3, состоящей из трёх ДЛК, вручную не найдено.

Проверка свойств ЛК псевдочетвёрки утилитой Harry White GetType1

Order? 20

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail.txt

Counts
------
         1 Latin
         3 diagonal Latin
         2 axial symmetric
         1 center symmetric
         4 nfr
         2 orthogonal pair
         1 axial parity 1-way

Обратите внимание: все ЛК псевдочетвёрки получаются друг из друга перестановкой строк.

А набор ДЛК я ещё могу расширить. Можно бы заняться этим.
Только обрабатывать новые наборы программой GetOrthogonal всё труднее, а искать в полученных графах максимальные клики вообще невозможно :(

Решила посмотреть на группу MOLS 24-го порядка.
Программа SageMath выдаёт группу MOLS, состоящую из 7 взаимно ортогональных ЛК, два из которых являются ДЛК.
Смотрите эту группу MOLS в сообщении
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=117&postid=1236

Проверяю ЛК группы утилитой Harry White

Order? 24

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_6.txt

Counts
------
         5 Latin
         2 diagonal Latin
         1 center symmetric
         6 natural \diagonal
         6 orthogonal pair
         1 self-orthogonal

Таким образом, имеем только ортогональную пару (однушку) из двух взаимно ортогональных ДЛК 24-го порядка.
Понятно, что перед нами задача поиска группы MODLS 24-го порядка, состоящей из трёх (или более) взаимно ортогональных ДЛК.
Существует ли такая группа?

Искать указанную группу MODLS я предлагаю на основе этого ЛК 24-го порядка

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
 1  2  3  4  5  0  7  8  9 10 11  6 13 14 15 16 17 12 19 20 21 22 23 18
 2  3  4  5  0  1  8  9 10 11  6  7 14 15 16 17 12 13 20 21 22 23 18 19
 3  4  5  0  1  2  9 10 11  6  7  8 15 16 17 12 13 14 21 22 23 18 19 20
 4  5  0  1  2  3 10 11  6  7  8  9 16 17 12 13 14 15 22 23 18 19 20 21
 5  0  1  2  3  4 11  6  7  8  9 10 17 12 13 14 15 16 23 18 19 20 21 22
 6  7  8  9 10 11  0  1  2  3  4  5 18 19 20 21 22 23 12 13 14 15 16 17
 7  8  9 10 11  6  1  2  3  4  5  0 19 20 21 22 23 18 13 14 15 16 17 12
 8  9 10 11  6  7  2  3  4  5  0  1 20 21 22 23 18 19 14 15 16 17 12 13
 9 10 11  6  7  8  3  4  5  0  1  2 21 22 23 18 19 20 15 16 17 12 13 14
10 11  6  7  8  9  4  5  0  1  2  3 22 23 18 19 20 21 16 17 12 13 14 15
11  6  7  8  9 10  5  0  1  2  3  4 23 18 19 20 21 22 17 12 13 14 15 16
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
13 14 15 16 17 12 19 20 21 22 23 18  1  2  3  4  5  0  7  8  9 10 11  6
14 15 16 17 12 13 20 21 22 23 18 19  2  3  4  5  0  1  8  9 10 11  6  7
15 16 17 12 13 14 21 22 23 18 19 20  3  4  5  0  1  2  9 10 11  6  7  8
16 17 12 13 14 15 22 23 18 19 20 21  4  5  0  1  2  3 10 11  6  7  8  9
17 12 13 14 15 16 23 18 19 20 21 22  5  0  1  2  3  4 11  6  7  8  9 10
18 19 20 21 22 23 12 13 14 15 16 17  6  7  8  9 10 11  0  1  2  3  4  5
19 20 21 22 23 18 13 14 15 16 17 12  7  8  9 10 11  6  1  2  3  4  5  0
20 21 22 23 18 19 14 15 16 17 12 13  8  9 10 11  6  7  2  3  4  5  0  1
21 22 23 18 19 20 15 16 17 12 13 14  9 10 11  6  7  8  3  4  5  0  1  2
22 23 18 19 20 21 16 17 12 13 14 15 10 11  6  7  8  9  4  5  0  1  2  3
23 18 19 20 21 22 17 12 13 14 15 16 11  6  7  8  9 10  5  0  1  2  3  4

Вспомним найденную мной группу MOLS 12-го порядка, состоящую из четырёх ДЛК и одного ЛК.



Смотрите сообщение
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=120&postid=2477
В этом сообщении рассказано об интересной закономерности для ДЛК и ЛК в данной группе MOLS 12-го порядка.
Все ДЛК и ЛК в этой группе получаются друг из друга перестановкой строк.
Показанный ЛК 24-го порядка я построила по аналогии с ЛК 12-го порядка из показанной группы.

Теперь надо организовать перестановку строк в этом ЛК и получить набор ДЛК.
В этом наборе искать то, что нам нужно: группу MODLS 24-го порядка.
Алгоритм понятен, однако реализовать его очень сложно.
Перестановка строк в ЛК 24-го порядка... Ну, вы представили, что это такое.

Напомню, что аналогичную задачу я решала в этой теме для порядка 20.
Смотрите сообщение
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=142&postid=2694

Это одна из найденных групп MOLS 20-го порядка, состоящая из двух ДЛК и одного ЛК

ДЛК
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12

ДЛК
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6

ЛК
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0

Дальше поиск у меня застопорился из-за того, что программа SageMath не ищет максимальные клики в тех больших графах, которые я получаю.
Не исключено, что существует подобная группа MOLS 20-го порядка, состоящая из трёх ДЛК и одного ЛК.
ЛК в этой группе MOLS построен аналогично (как для порядка 12 и для порядка 24).

Таким образом, задача-минимум - найти аналогичную группу MOLS 24-го порядка, состоящую из двух ДЛК и одного ЛК.
То есть надо найти два ДЛК, которые ортогональны показанному ЛК и ортогональны между собой.

ЛК из показанной группы можно представить и в таком виде (редуцированный)

0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17
4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11
8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12
9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3

Здесь аналогия с ЛК 24-го порядка больше видна.

Цитата

Искать указанную группу MODLS я предлагаю на основе этого ЛК 24-го порядка

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
 1  2  3  4  5  0  7  8  9 10 11  6 13 14 15 16 17 12 19 20 21 22 23 18
 2  3  4  5  0  1  8  9 10 11  6  7 14 15 16 17 12 13 20 21 22 23 18 19
 3  4  5  0  1  2  9 10 11  6  7  8 15 16 17 12 13 14 21 22 23 18 19 20
 4  5  0  1  2  3 10 11  6  7  8  9 16 17 12 13 14 15 22 23 18 19 20 21
 5  0  1  2  3  4 11  6  7  8  9 10 17 12 13 14 15 16 23 18 19 20 21 22
 6  7  8  9 10 11  0  1  2  3  4  5 18 19 20 21 22 23 12 13 14 15 16 17
 7  8  9 10 11  6  1  2  3  4  5  0 19 20 21 22 23 18 13 14 15 16 17 12
 8  9 10 11  6  7  2  3  4  5  0  1 20 21 22 23 18 19 14 15 16 17 12 13
 9 10 11  6  7  8  3  4  5  0  1  2 21 22 23 18 19 20 15 16 17 12 13 14
10 11  6  7  8  9  4  5  0  1  2  3 22 23 18 19 20 21 16 17 12 13 14 15
11  6  7  8  9 10  5  0  1  2  3  4 23 18 19 20 21 22 17 12 13 14 15 16
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
13 14 15 16 17 12 19 20 21 22 23 18  1  2  3  4  5  0  7  8  9 10 11  6
14 15 16 17 12 13 20 21 22 23 18 19  2  3  4  5  0  1  8  9 10 11  6  7
15 16 17 12 13 14 21 22 23 18 19 20  3  4  5  0  1  2  9 10 11  6  7  8
16 17 12 13 14 15 22 23 18 19 20 21  4  5  0  1  2  3 10 11  6  7  8  9
17 12 13 14 15 16 23 18 19 20 21 22  5  0  1  2  3  4 11  6  7  8  9 10
18 19 20 21 22 23 12 13 14 15 16 17  6  7  8  9 10 11  0  1  2  3  4  5
19 20 21 22 23 18 13 14 15 16 17 12  7  8  9 10 11  6  1  2  3  4  5  0
20 21 22 23 18 19 14 15 16 17 12 13  8  9 10 11  6  7  2  3  4  5  0  1
21 22 23 18 19 20 15 16 17 12 13 14  9 10 11  6  7  8  3  4  5  0  1  2
22 23 18 19 20 21 16 17 12 13 14 15 10 11  6  7  8  9  4  5  0  1  2  3
23 18 19 20 21 22 17 12 13 14 15 16 11  6  7  8  9 10  5  0  1  2  3  4

Этот ЛК я получила очень просто.
Взяла ЛК из группы MOLS 24-го порядка, выданной программой SageMath, вот этот

0 12 16  4  8 20  1 13 17  5  9 21  2 14 18  6 10 22  3 15 19  7 11 23
20  0 12 16  4  8 21  1 13 17  5  9 22  2 14 18  6 10 23  3 15 19  7 11
 8 20  0 12 16  4  9 21  1 13 17  5 10 22  2 14 18  6 11 23  3 15 19  7
 4  8 20  0 12 16  5  9 21  1 13 17  6 10 22  2 14 18  7 11 23  3 15 19
16  4  8 20  0 12 17  5  9 21  1 13 18  6 10 22  2 14 19  7 11 23  3 15
12 16  4  8 20  0 13 17  5  9 21  1 14 18  6 10 22  2 15 19  7 11 23  3
 1 13 17  5  9 21  0 12 16  4  8 20  3 15 19  7 11 23  2 14 18  6 10 22
21  1 13 17  5  9 20  0 12 16  4  8 23  3 15 19  7 11 22  2 14 18  6 10
 9 21  1 13 17  5  8 20  0 12 16  4 11 23  3 15 19  7 10 22  2 14 18  6
 5  9 21  1 13 17  4  8 20  0 12 16  7 11 23  3 15 19  6 10 22  2 14 18
17  5  9 21  1 13 16  4  8 20  0 12 19  7 11 23  3 15 18  6 10 22  2 14
13 17  5  9 21  1 12 16  4  8 20  0 15 19  7 11 23  3 14 18  6 10 22  2
 2 14 18  6 10 22  3 15 19  7 11 23  0 12 16  4  8 20  1 13 17  5  9 21
22  2 14 18  6 10 23  3 15 19  7 11 20  0 12 16  4  8 21  1 13 17  5  9
10 22  2 14 18  6 11 23  3 15 19  7  8 20  0 12 16  4  9 21  1 13 17  5
 6 10 22  2 14 18  7 11 23  3 15 19  4  8 20  0 12 16  5  9 21  1 13 17
18  6 10 22  2 14 19  7 11 23  3 15 16  4  8 20  0 12 17  5  9 21  1 13
14 18  6 10 22  2 15 19  7 11 23  3 12 16  4  8 20  0 13 17  5  9 21  1
 3 15 19  7 11 23  2 14 18  6 10 22  1 13 17  5  9 21  0 12 16  4  8 20
23  3 15 19  7 11 22  2 14 18  6 10 21  1 13 17  5  9 20  0 12 16  4  8
11 23  3 15 19  7 10 22  2 14 18  6  9 21  1 13 17  5  8 20  0 12 16  4
 7 11 23  3 15 19  6 10 22  2 14 18  5  9 21  1 13 17  4  8 20  0 12 16
19  7 11 23  3 15 18  6 10 22  2 14 17  5  9 21  1 13 16  4  8 20  0 12
15 19  7 11 23  3 14 18  6 10 22  2 13 17  5  9 21  1 12 16  4  8 20  0

(смотрите сообщение
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=117&postid=1236)
и нормализовала его, а затем переставила в нормализованном ЛК строки.
Назовём этот квадрат ЛК №1. Понятно, что этот ЛК изоморфен одному из ЛК известной группы MOLS.

Я построила ещё один подобный ЛК методом составных квадратов (24=8*3)

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
 1  0  3  2  5  4  7  6  9  8 11 10 13 12 15 14 17 16 19 18 21 20 23 22
 2  3  0  1  6  7  4  5 10 11  8  9 14 15 12 13 18 19 16 17 22 23 20 21
 3  2  1  0  7  6  5  4 11 10  9  8 15 14 13 12 19 18 17 16 23 22 21 20
 4  5  6  7  0  1  2  3 12 13 14 15  8  9 10 11 20 21 22 23 16 17 18 19
 5  4  7  6  1  0  3  2 13 12 15 14  9  8 11 10 21 20 23 22 17 16 19 18
 6  7  4  5  2  3  0  1 14 15 12 13 10 11  8  9 22 23 20 21 18 19 16 17
 7  6  5  4  3  2  1  0 15 14 13 12 11 10  9  8 23 22 21 20 19 18 17 16
 8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23  0  1  2  3  4  5  6  7
 9  8 11 10 13 12 15 14 17 16 19 18 21 20 23 22  1  0  3  2  5  4  7  6
10 11  8  9 14 15 12 13 18 19 16 17 22 23 20 21  2  3  0  1  6  7  4  5
11 10  9  8 15 14 13 12 19 18 17 16 23 22 21 20  3  2  1  0  7  6  5  4
12 13 14 15  8  9 10 11 20 21 22 23 16 17 18 19  4  5  6  7  0  1  2  3
13 12 15 14  9  8 11 10 21 20 23 22 17 16 19 18  5  4  7  6  1  0  3  2
14 15 12 13 10 11  8  9 22 23 20 21 18 19 16 17  6  7  4  5  2  3  0  1
15 14 13 12 11 10  9  8 23 22 21 20 19 18 17 16  7  6  5  4  3  2  1  0
16 17 18 19 20 21 22 23  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15
17 16 19 18 21 20 23 22  1  0  3  2  5  4  7  6  9  8 11 10 13 12 15 14
18 19 16 17 22 23 20 21  2  3  0  1  6  7  4  5 10 11  8  9 14 15 12 13
19 18 17 16 23 22 21 20  3  2  1  0  7  6  5  4 11 10  9  8 15 14 13 12
20 21 22 23 16 17 18 19  4  5  6  7  0  1  2  3 12 13 14 15  8  9 10 11
21 20 23 22 17 16 19 18  5  4  7  6  1  0  3  2 13 12 15 14  9  8 11 10
22 23 20 21 18 19 16 17  6  7  4  5  2  3  0  1 14 15 12 13 10 11  8  9
23 22 21 20 19 18 17 16  7  6  5  4  3  2  1  0 15 14 13 12 11 10  9  8

Назовём этот квадрат ЛК №2.
Можно попытаться решать задачу на основе этого ЛК.

А теперь - идея!
Возьмём два ДЛК из известной группы MOLS 24-го порядка, нормализуем их и точно так же переставим строки, как я переставила в показанном ЛК.
Что мы должны получить?
Мы должны получить группу MOLS, состоящую из двух ДЛК и одного ЛК.
Но! Квадраты этой группы MOLS не получаются друг из друга перестановкой строк.
Сейчас я проделаю это и покажу полученную группу MOLS.

Проделала.
Один ДЛК после перестановки строк остался ДЛК, а с другим - облом, он уже не является ДЛК.
Тем не менее, группа MOLS из трёх взаимно ортогональных ЛК получилась

ДЛК
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
22  9  5  1 21  2 16  3 11  7 15  8 14  4 17 12  0 19 20 10 23 18  6 13
11 21 22 23  9 18  5 15 16 17  3 12  1  0 19  2 20  4  7  6 13  8 14 10
23 18  6 11 13 15 17 12  0  5 19 21  2 20  9 10  1 22  8 14  3  4  7 16
13  8 15 14 17  6 19  2 21 20 23  0 10 11  7 22 18  9  4  5  1 16 12  3
 3 17  4  0  8 14  9 23 10  6  2 20 15 16 18 13 11  7 21 22 12 19  5  1
 7  6 16 18 23 13  1  0 22 12 17 19  9  5 21 20  2 10  3 11 15 14  8  4
 8 12 13  6 14 16  2 18 19  0 20 22 21 23 10  9  7 11 15 17  4  3  1  5
19 14  8  4 12  3 13 20  2 10 18  9  6  7 11 16 15 23  0  1  5 22 21 17
 4  3  1 19  5 20 10  9  7 13 11 14 16 15 12 17  6  8 22 21 18 23  0  2
 5 22 20 21 10  1 11 16 14 15  4  7 17 19  0  8  3 12 23 13  6  2  9 18
18 10 23  7 22 21 12  4 17  1 16 15 20  2  3  5 19  0 14  8  9 11 13  6
 9  5 21 20  2 10  3 11 15 14  8  4  7  6 16 18 23 13  1  0 22 12 17 19
21 23 10  9  7 11 15 17  4  3  1  5  8 12 13  6 14 16  2 18 19  0 20 22
 6  7 11 16 15 23  0  1  5 22 21 17 19 14  8  4 12  3 13 20  2 10 18  9
16 15 12 17  6  8 22 21 18 23  0  2  4  3  1 19  5 20 10  9  7 13 11 14
17 19  0  8  3 12 23 13  6  2  9 18  5 22 20 21 10  1 11 16 14 15  4  7
20  2  3  5 19  0 14  8  9 11 13  6 18 10 23  7 22 21 12  4 17  1 16 15
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
14  4 17 12  0 19 20 10 23 18  6 13 22  9  5  1 21  2 16  3 11  7 15  8
 1  0 19  2 20  4  7  6 13  8 14 10 11 21 22 23  9 18  5 15 16 17  3 12
 2 20  9 10  1 22  8 14  3  4  7 16 23 18  6 11 13 15 17 12  0  5 19 21
10 11  7 22 18  9  4  5  1 16 12  3 13  8 15 14 17  6 19  2 21 20 23  0
15 16 18 13 11  7 21 22 12 19  5  1  3 17  4  0  8 14  9 23 10  6  2 20

ЛК
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
16  0 13  2 23 15 22  6 19  8 17 21 18  3  7 10 14  5 12  9  1  4 20 11
15 18  0 20  7 10 21 12  6 14  1  4 13 22  8  3 23 11 19 16  2  9 17  5
11 15  9 22  8  7  5 21  3 16  2  1  4  6 13 20 17 18 10  0 19 14 23 12
 7 19  4  6 22 17  1 13 10  0 16 23 21 18  9 14 11  2 15 12  3 20  5  8
12  2 21  4 14 22 18  8 15 10 20 16 11 19  3 17  0  1  5 13  9 23  6  7
 3 12 14  0 17 16  9 18 20  6 23 22  1 15  2 13  5  4  7 21  8 19 11 10
 5  3 15 14 10 13 11  9 21 20  4 19  7  0 18 23  2 16  1  6 12 17  8 22
13  7  3  8 18 23 19  1  9  2 12 17 15 11 20  0 10 22 21  5 14  6  4 16
22 13  6 11 20 18 16 19  0  5 14 12 17  9 15  8  4  7 23  3 21  2 10  1
18 21 17  9 11  4 12 15 23  3  5 10 19  7  6  2 22 14 13  1  0  8 16 20
 1 14 19 17  2 11  7 20 13 23  8  5 22 21  0  4  3 12 16 15  6 10  9 18
14 23 12 10  0 19 20 17 18  4  6 13 16  2  1  5 21  3 22  8  7 11 15  9
20  5  8 15 12  3 14 11  2 21 18  9  0 16 23  1 13 10  6 22 17  7 19  4
23  6  7  5 13  9 17  0  1 11 19  3 10 20 16 18  8 15  4 14 22 12  2 21
21 22 23 18 19 20 15 16 17 12 13 14  9 10 11  6  7  8  3  4  5  0  1  2
 4 20 11 12  9  1 10 14  5 18  3  7  8 17 21 22  6 19  2 23 15 16  0 13
 9 17  5 19 16  2  3 23 11 13 22  8 14  1  4 21 12  6 20  7 10 15 18  0
 2 10  1 23  3 21  8  4  7 17  9 15  5 14 12 16 19  0 11 20 18 22 13  6
 8 16 20 13  1  0  2 22 14 19  7  6  3  5 10 12 15 23  9 11  4 18 21 17
10  9 18 16 15  6  4  3 12 22 21  0 23  8  5  7 20 13 17  2 11  1 14 19
19 11 10  7 21  8 13  5  4  1 15  2  6 23 22  9 18 20  0 17 16  3 12 14
17  8 22  1  6 12 23  2 16  7  0 18 20  4 19 11  9 21 14 10 13  5  3 15
 6  4 16 21  5 14  0 10 22 15 11 20  2 12 17 19  1  9  8 18 23 13  7  3

ЛК
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
 1  2  3  4  5  0  7  8  9 10 11  6 13 14 15 16 17 12 19 20 21 22 23 18
 2  3  4  5  0  1  8  9 10 11  6  7 14 15 16 17 12 13 20 21 22 23 18 19
 3  4  5  0  1  2  9 10 11  6  7  8 15 16 17 12 13 14 21 22 23 18 19 20
 4  5  0  1  2  3 10 11  6  7  8  9 16 17 12 13 14 15 22 23 18 19 20 21
 5  0  1  2  3  4 11  6  7  8  9 10 17 12 13 14 15 16 23 18 19 20 21 22
 6  7  8  9 10 11  0  1  2  3  4  5 18 19 20 21 22 23 12 13 14 15 16 17
 7  8  9 10 11  6  1  2  3  4  5  0 19 20 21 22 23 18 13 14 15 16 17 12
 8  9 10 11  6  7  2  3  4  5  0  1 20 21 22 23 18 19 14 15 16 17 12 13
 9 10 11  6  7  8  3  4  5  0  1  2 21 22 23 18 19 20 15 16 17 12 13 14
10 11  6  7  8  9  4  5  0  1  2  3 22 23 18 19 20 21 16 17 12 13 14 15
11  6  7  8  9 10  5  0  1  2  3  4 23 18 19 20 21 22 17 12 13 14 15 16
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
13 14 15 16 17 12 19 20 21 22 23 18  1  2  3  4  5  0  7  8  9 10 11  6
14 15 16 17 12 13 20 21 22 23 18 19  2  3  4  5  0  1  8  9 10 11  6  7
15 16 17 12 13 14 21 22 23 18 19 20  3  4  5  0  1  2  9 10 11  6  7  8
16 17 12 13 14 15 22 23 18 19 20 21  4  5  0  1  2  3 10 11  6  7  8  9
17 12 13 14 15 16 23 18 19 20 21 22  5  0  1  2  3  4 11  6  7  8  9 10
18 19 20 21 22 23 12 13 14 15 16 17  6  7  8  9 10 11  0  1  2  3  4  5
19 20 21 22 23 18 13 14 15 16 17 12  7  8  9 10 11  6  1  2  3  4  5  0
20 21 22 23 18 19 14 15 16 17 12 13  8  9 10 11  6  7  2  3  4  5  0  1
21 22 23 18 19 20 15 16 17 12 13 14  9 10 11  6  7  8  3  4  5  0  1  2
22 23 18 19 20 21 16 17 12 13 14 15 10 11  6  7  8  9  4  5  0  1  2  3
23 18 19 20 21 22 17 12 13 14 15 16 11  6  7  8  9 10  5  0  1  2  3  4

Таблица ортогональных пар

1: [2,3],
2: [1,3],
3: [1,2]

Ну, в этом нет ничего удивительного: просто эквивалентные преобразования исходных ЛК из известной группы MOLS.
Однако второй ДЛК хотелось бы тут получить.
Может быть, он получится, если по такой же схеме переставить строки во всех остальных нормализованных ЛК этой группы MOLS?
Сейчас попробую.

Свойства ЛК показанной группы MOLS

Order? 24

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_6.txt

Counts
------
         2 Latin
         1 diagonal Latin
         1 center symmetric
         3 nfr
         1 nfc
         1 nfr nfc
         1 self-transpose
         2 orthogonal pair
         1 symmetric parity
         1 transpose parity

Да, второй ДЛК получился, а вот третий ДЛК - увы - нет.
Показываю всю группу MOLS 24-го порядка, состоящую из семи взаимно ортогональных ЛК, полученную эквивалентными преобразованиями из известной группы MOLS.
На первом месте у меня стоит редуцированный ЛК, затем идут два ДЛК, затем остальные ЛК

1 - ЛК
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
 1  2  3  4  5  0  7  8  9 10 11  6 13 14 15 16 17 12 19 20 21 22 23 18
 2  3  4  5  0  1  8  9 10 11  6  7 14 15 16 17 12 13 20 21 22 23 18 19
 3  4  5  0  1  2  9 10 11  6  7  8 15 16 17 12 13 14 21 22 23 18 19 20
 4  5  0  1  2  3 10 11  6  7  8  9 16 17 12 13 14 15 22 23 18 19 20 21
 5  0  1  2  3  4 11  6  7  8  9 10 17 12 13 14 15 16 23 18 19 20 21 22
 6  7  8  9 10 11  0  1  2  3  4  5 18 19 20 21 22 23 12 13 14 15 16 17
 7  8  9 10 11  6  1  2  3  4  5  0 19 20 21 22 23 18 13 14 15 16 17 12
 8  9 10 11  6  7  2  3  4  5  0  1 20 21 22 23 18 19 14 15 16 17 12 13
 9 10 11  6  7  8  3  4  5  0  1  2 21 22 23 18 19 20 15 16 17 12 13 14
10 11  6  7  8  9  4  5  0  1  2  3 22 23 18 19 20 21 16 17 12 13 14 15
11  6  7  8  9 10  5  0  1  2  3  4 23 18 19 20 21 22 17 12 13 14 15 16
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
13 14 15 16 17 12 19 20 21 22 23 18  1  2  3  4  5  0  7  8  9 10 11  6
14 15 16 17 12 13 20 21 22 23 18 19  2  3  4  5  0  1  8  9 10 11  6  7
15 16 17 12 13 14 21 22 23 18 19 20  3  4  5  0  1  2  9 10 11  6  7  8
16 17 12 13 14 15 22 23 18 19 20 21  4  5  0  1  2  3 10 11  6  7  8  9
17 12 13 14 15 16 23 18 19 20 21 22  5  0  1  2  3  4 11  6  7  8  9 10
18 19 20 21 22 23 12 13 14 15 16 17  6  7  8  9 10 11  0  1  2  3  4  5
19 20 21 22 23 18 13 14 15 16 17 12  7  8  9 10 11  6  1  2  3  4  5  0
20 21 22 23 18 19 14 15 16 17 12 13  8  9 10 11  6  7  2  3  4  5  0  1
21 22 23 18 19 20 15 16 17 12 13 14  9 10 11  6  7  8  3  4  5  0  1  2
22 23 18 19 20 21 16 17 12 13 14 15 10 11  6  7  8  9  4  5  0  1  2  3
23 18 19 20 21 22 17 12 13 14 15 16 11  6  7  8  9 10  5  0  1  2  3  4

2 - ДЛК
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
22  9  5  1 21  2 16  3 11  7 15  8 14  4 17 12  0 19 20 10 23 18  6 13
11 21 22 23  9 18  5 15 16 17  3 12  1  0 19  2 20  4  7  6 13  8 14 10
23 18  6 11 13 15 17 12  0  5 19 21  2 20  9 10  1 22  8 14  3  4  7 16
13  8 15 14 17  6 19  2 21 20 23  0 10 11  7 22 18  9  4  5  1 16 12  3
 3 17  4  0  8 14  9 23 10  6  2 20 15 16 18 13 11  7 21 22 12 19  5  1
 7  6 16 18 23 13  1  0 22 12 17 19  9  5 21 20  2 10  3 11 15 14  8  4
 8 12 13  6 14 16  2 18 19  0 20 22 21 23 10  9  7 11 15 17  4  3  1  5
19 14  8  4 12  3 13 20  2 10 18  9  6  7 11 16 15 23  0  1  5 22 21 17
 4  3  1 19  5 20 10  9  7 13 11 14 16 15 12 17  6  8 22 21 18 23  0  2
 5 22 20 21 10  1 11 16 14 15  4  7 17 19  0  8  3 12 23 13  6  2  9 18
18 10 23  7 22 21 12  4 17  1 16 15 20  2  3  5 19  0 14  8  9 11 13  6
 9  5 21 20  2 10  3 11 15 14  8  4  7  6 16 18 23 13  1  0 22 12 17 19
21 23 10  9  7 11 15 17  4  3  1  5  8 12 13  6 14 16  2 18 19  0 20 22
 6  7 11 16 15 23  0  1  5 22 21 17 19 14  8  4 12  3 13 20  2 10 18  9
16 15 12 17  6  8 22 21 18 23  0  2  4  3  1 19  5 20 10  9  7 13 11 14
17 19  0  8  3 12 23 13  6  2  9 18  5 22 20 21 10  1 11 16 14 15  4  7
20  2  3  5 19  0 14  8  9 11 13  6 18 10 23  7 22 21 12  4 17  1 16 15
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
14  4 17 12  0 19 20 10 23 18  6 13 22  9  5  1 21  2 16  3 11  7 15  8
 1  0 19  2 20  4  7  6 13  8 14 10 11 21 22 23  9 18  5 15 16 17  3 12
 2 20  9 10  1 22  8 14  3  4  7 16 23 18  6 11 13 15 17 12  0  5 19 21
10 11  7 22 18  9  4  5  1 16 12  3 13  8 15 14 17  6 19  2 21 20 23  0
15 16 18 13 11  7 21 22 12 19  5  1  3 17  4  0  8 14  9 23 10  6  2 20

3 - ДЛК
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
 9 23 10 16 18 21  3 17  4 22 12 15  2  0 19 11 20  1  8  6 13  5 14  7
14 22 11  7 13  4 20 16  5  1 19 10 21  8 12  6  9 23 15  2 18  0  3 17
 5 12  3  2 16  0 11 18  9  8 22  6 17  1 15  4 14 13 23  7 21 10 20 19
 1 10 23 11 21 18  7  4 17  5 15 12  9 19 16  0  2 20  3 13 22  6  8 14
22 14 12 13  7  9 16 20 18 19  1  3  8 11 21 23  6  4  2  5 15 17  0 10
12 21  4 19  2 20 18 15 10 13  8 14  0  9 11  7 23 22  6  3  5  1 17 16
13 16  8 23  6  1 19 22  2 17  0  7  4 12  3 14  5 21 10 18  9 20 11 15
11 17 14 15  9  2  5 23 20 21  3  8  1 10  0 18 13 16  7  4  6 12 19 22
20  0 19  4 23 12 14  6 13 10 17 18 22 21  7  2 11  9 16 15  1  8  5  3
21  8 16 14  1  6 15  2 22 20  7  0 13  3 23 12  4  5 19  9 17 18 10 11
17 11  0  9 15 13 23  5  6  3 21 19 10 14  1 16 18  2  4 20  7 22 12  8
18 19 20 21 22 23 12 13 14 15 16 17  6  7  8  9 10 11  0  1  2  3  4  5
 8  6 13  5 14  7  2  0 19 11 20  1  3 17  4 22 12 15  9 23 10 16 18 21
15  2 18  0  3 17 21  8 12  6  9 23 20 16  5  1 19 10 14 22 11  7 13  4
23  7 21 10 20 19 17  1 15  4 14 13 11 18  9  8 22  6  5 12  3  2 16  0
 3 13 22  6  8 14  9 19 16  0  2 20  7  4 17  5 15 12  1 10 23 11 21 18
 2  5 15 17  0 10  8 11 21 23  6  4 16 20 18 19  1  3 22 14 12 13  7  9
 6  3  5  1 17 16  0  9 11  7 23 22 18 15 10 13  8 14 12 21  4 19  2 20
10 18  9 20 11 15  4 12  3 14  5 21 19 22  2 17  0  7 13 16  8 23  6  1
 7  4  6 12 19 22  1 10  0 18 13 16  5 23 20 21  3  8 11 17 14 15  9  2
16 15  1  8  5  3 22 21  7  2 11  9 14  6 13 10 17 18 20  0 19  4 23 12
19  9 17 18 10 11 13  3 23 12  4  5 15  2 22 20  7  0 21  8 16 14  1  6
 4 20  7 22 12  8 10 14  1 16 18  2 23  5  6  3 21 19 17 11  0  9 15 13

4 - ЛК
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
 8 15 18 19  7  9  2 21 12 13  1  3 22 23 20  0  5  4 16 17 14  6 11 10
20 10 16  2 12 21 14  4 22  8 18 15 11 17  9  7 19  6  5 23  3  1 13  0
13  0 15  4 14 17 19  6 21 10 20 23  5 12  2 16  3  1 11 18  8 22  9  7
 9 20 19 23  5 22  3 14 13 17 11 16  4 15  0 18  8  7 10 21  6 12  2  1
17 16 11  7  6 12 23 22  5  1  0 18 20  9 10 21  2 19 14  3  4 15  8 13
 4 14 17 13  0 15 10 20 23 19  6 21 16  3  1  5 12  2 22  9  7 11 18  8
23  5 22  9 20 19 17 11 16  3 14 13 18  8  7  4 15  0 12  2  1 10 21  6
 7  6 12 17 16 11  1  0 18 23 22  5 21  2 19 20  9 10 15  8 13 14  3  4
 3  4  5  0  1  2  9 10 11  6  7  8 15 16 17 12 13 14 21 22 23 18 19 20
19  7  9  8 15 18 13  1  3  2 21 12  0  5  4 22 23 20  6 11 10 16 17 14
 2 12 21 20 10 16  8 18 15 14  4 22  7 19  6 11 17  9  1 13  0  5 23  3
11  2  0 22 21  3  5  8  6 16 15  9 14  4 13 17  1 18 20 10 19 23  7 12
15  9  6 14 18  1 21  3  0 20 12  7 19 22  5  8 10 23 13 16 11  2  4 17
12  3 23 10  8 20 18  9 17  4  2 14  6  7 21 13 11 16  0  1 15 19  5 22
18 11 13 21 17  4 12  5 19 15 23 10  2 14 22  1  0  3  8 20 16  7  6  9
 1 22 14  5 19 10  7 16 20 11 13  4 23  6  8  9 18 15 17  0  2  3 12 21
 6 23  7 16 13  8  0 17  1 22 19  2  3 21 12 10 20 11  9 15 18  4 14  5
21 17  4 18 11 13 15 23 10 12  5 19  1  0  3  2 14 22  7  6  9  8 20 16
 5 19 10  1 22 14 11 13  4  7 16 20  9 18 15 23  6  8  3 12 21 17  0  2
16 13  8  6 23  7 22 19  2  0 17  1 10 20 11  3 21 12  4 14  5  9 15 18
22 21  3 11  2  0 16 15  9  5  8  6 17  1 18 14  4 13 23  7 12 20 10 19
14 18  1 15  9  6 20 12  7 21  3  0  8 10 23 19 22  5  2  4 17 13 16 11
10  8 20 12  3 23  4  2 14 18  9 17 13 11 16  6  7 21 19  5 22  0  1 15

5 - ЛК
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
18 10 16 17 14 11 12  4 22 23 20  5  9 21  1  2 13  6  3 15  7  8 19  0
23  2 13 21 20  0 17  8 19 15 14  6  7 18 10  9  5 22  1 12  4  3 11 16
10  9  7 15 11 19  4  3  1 21  5 13  0 23 22 14  8 12  6 17 16 20  2 18
22 12  1 20  3 23 16 18  7 14  9 17 19  8 21  4  6 11 13  2 15 10  0  5
 6 18 15 16 19  8  0 12 21 22 13  2  4  7 17  5 20  3 10  1 23 11 14  9
13  4 21  5  1  3 19 10 15 11  7  9 23  0 16  8 14 18 17  6 22  2 20 12
17  7 14 18 16  9 23  1 20 12 22  3 11  2  4 21  0 19  5  8 10 15  6 13
12 21  0  2 22 13 18 15  6  8 16 19 10 17  7 11  3 20  4 23  1  5  9 14
 7 11 10  8  9  6  1  5  4  2  3  0 13 12 20 16 15 23 19 18 14 22 21 17
20 23  4 22  5 12 14 17 10 16 11 18  6 15  2  1 19  9  0 21  8  7 13  3
19 17  8 14  6 15 13 23  2 20  0 21  1 10 18  3 22  5  7  4 12  9 16 11
16 15 23 13 12 20 22 21 17 19 18 14  8  9  6  7 11 10  2  3  0  1  5  4
 1 19  9  6 15  2  7 13  3  0 21  8 22  5 12 20 23  4 16 11 18 14 17 10
 3 22  5  1 10 18  9 16 11  7  4 12 14  6 15 19 17  8 20  0 21 13 23  2
 8 14 18 23  0 16  2 20 12 17  6 22  5  1  3 13  4 21 11  7  9 19 10 15
21  0 19 11  2  4 15  6 13  5  8 10 18 16  9 17  7 14 12 22  3 23  1 20
11  3 20 10 17  7  5  9 14  4 23  1  2 22 13 12 21  0  8 16 19 18 15  6
14  8 12  0 23 22 20  2 18  6 17 16 15 11 19 10  9  7 21  5 13  4  3  1
 4  6 11 19  8 21 10  0  5 13  2 15 20  3 23 22 12  1 14  9 17 16 18  7
 5 20  3  4  7 17 11 14  9 10  1 23 16 19  8  6 18 15 22 13  2  0 12 21
15 16 17 12 13 14 21 22 23 18 19 20  3  4  5  0  1  2  9 10 11  6  7  8
 2 13  6  9 21  1  8 19  0  3 15  7 17 14 11 18 10 16 23 20  5 12  4 22
 9  5 22  7 18 10  3 11 16  1 12  4 21 20  0 23  2 13 15 14  6 17  8 19

6 - ЛК
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
12 17  8 21  6 16 18 23  2 15  0 22  4  7 13  5  3 14 10  1 19 11  9 20
 3 23 19 22  5 14  9 17 13 16 11 20 18  4  6  8  7 21 12 10  0  2  1 15
 9 10 11  6  7  8  3  4  5  0  1  2 21 22 23 18 19 20 15 16 17 12 13 14
15  0 22 18 23  2 21  6 16 12 17  8 11  9 20 10  1 19  5  3 14  4  7 13
16 11 20  9 17 13 22  5 14  3 23 19  2  1 15 12 10  0  8  7 21 18  4  6
18  5 15  4  3  1 12 11 21 10  9  7  6 17 22  2 20 13  0 23 16  8 14 19
 6 13 21  8 12 20  0 19 15  2 18 14  3 11 17  1  4 22  9  5 23  7 10 16
 4 19 23 14  1 22 10 13 17 20  7 16  0  3 12 21 11  8  6  9 18 15  5  2
10  9  7 12 11 21  4  3  1 18  5 15  8 14 19  0 23 16  2 20 13  6 17 22
 2 18 14  0 19 15  8 12 20  6 13 21  7 10 16  9  5 23  1  4 22  3 11 17
20  7 16 10 13 17 14  1 22  4 19 23 15  5  2  6  9 18 21 11  8  0  3 12
13 12  4  1  9  6 19 18 10  7  3  0 23 15  5 22 14  2 17 21 11 16 20  8
14 21 12  2 22  4 20 15 18  8 16 10 13  6 11  7 17  9 19  0  5  1 23  3
19 14 17 11 21  7 13 20 23  5 15  1 22  0 18  3  2  4 16  6 12  9  8 10
 7  3  0 19 18 10  1  9  6 13 12  4 16 20  8 17 21 11 22 14  2 23 15  5
 8 16 10 20 15 18  2 22  4 14 21 12  1 23  3 19  0  5  7 17  9 13  6 11
 5 15  1 13 20 23 11 21  7 19 14 17  9  8 10 16  6 12  3  2  4 22  0 18
17  6  3  5 10 12 23  0  9 11  4 18 19  2  1 14 22 15 13  8  7 20 16 21
22  8  6 15 14  3 16  2  0 21 20  9 17 12  7 11 13 10 23 18  1  5 19  4
23 22 13  7  8 11 17 16 19  1  2  5 14 18  0  4 15  3 20 12  6 10 21  9
11  4 18 23  0  9  5 10 12 17  6  3 20 16 21 13  8  7 14 22 15 19  2  1
21 20  9 16  2  0 15 14  3 22  8  6  5 19  4 23 18  1 11 13 10 17 12  7
 1  2  5 17 16 19  7  8 11 23 22 13 10 21  9 20 12  6  4 15  3 14 18  0

7 - ЛК
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
16  0 13  2 23 15 22  6 19  8 17 21 18  3  7 10 14  5 12  9  1  4 20 11
15 18  0 20  7 10 21 12  6 14  1  4 13 22  8  3 23 11 19 16  2  9 17  5
11 15  9 22  8  7  5 21  3 16  2  1  4  6 13 20 17 18 10  0 19 14 23 12
 7 19  4  6 22 17  1 13 10  0 16 23 21 18  9 14 11  2 15 12  3 20  5  8
12  2 21  4 14 22 18  8 15 10 20 16 11 19  3 17  0  1  5 13  9 23  6  7
 3 12 14  0 17 16  9 18 20  6 23 22  1 15  2 13  5  4  7 21  8 19 11 10
 5  3 15 14 10 13 11  9 21 20  4 19  7  0 18 23  2 16  1  6 12 17  8 22
13  7  3  8 18 23 19  1  9  2 12 17 15 11 20  0 10 22 21  5 14  6  4 16
22 13  6 11 20 18 16 19  0  5 14 12 17  9 15  8  4  7 23  3 21  2 10  1
18 21 17  9 11  4 12 15 23  3  5 10 19  7  6  2 22 14 13  1  0  8 16 20
 1 14 19 17  2 11  7 20 13 23  8  5 22 21  0  4  3 12 16 15  6 10  9 18
14 23 12 10  0 19 20 17 18  4  6 13 16  2  1  5 21  3 22  8  7 11 15  9
20  5  8 15 12  3 14 11  2 21 18  9  0 16 23  1 13 10  6 22 17  7 19  4
23  6  7  5 13  9 17  0  1 11 19  3 10 20 16 18  8 15  4 14 22 12  2 21
21 22 23 18 19 20 15 16 17 12 13 14  9 10 11  6  7  8  3  4  5  0  1  2
 4 20 11 12  9  1 10 14  5 18  3  7  8 17 21 22  6 19  2 23 15 16  0 13
 9 17  5 19 16  2  3 23 11 13 22  8 14  1  4 21 12  6 20  7 10 15 18  0
 2 10  1 23  3 21  8  4  7 17  9 15  5 14 12 16 19  0 11 20 18 22 13  6
 8 16 20 13  1  0  2 22 14 19  7  6  3  5 10 12 15 23  9 11  4 18 21 17
10  9 18 16 15  6  4  3 12 22 21  0 23  8  5  7 20 13 17  2 11  1 14 19
19 11 10  7 21  8 13  5  4  1 15  2  6 23 22  9 18 20  0 17 16  3 12 14
17  8 22  1  6 12 23  2 16  7  0 18 20  4 19 11  9 21 14 10 13  5  3 15
 6  4 16 21  5 14  0 10 22 15 11 20  2 12 17 19  1  9  8 18 23 13  7  3

Хорошая группа MOLS 24-го порядка изоморфная известной группе MOLS.

Проверила эту группу MOLS программой Harry White GetOrthogonal.
Таблица ортогональных пар

1: [2,3,4,5,6,7],
2: [1,3,4,5,6,7],
3: [1,2,4,5,6,7],
4: [1,2,3,5,6,7],
5: [1,2,3,4,6,7],
6: [1,2,3,4,5,7],
7: [1,2,3,4,5,6]

Всё верно.

Написала программу перестановки строк в ЛК 24-го порядка. Применила некоторые эвристики.
Поскольку для порядка 24 программа выполняется очень долго и протестировать её очень трудно, вернулась к ЛК 20-го порядка.
Для порядка 20 это всё-таки побыстрее выполняется, удалось чуть-чуть потестировать.
Вот что получилось



Красиво!
Квадрат 1 здесь ЛК (покажу его), все остальные квадраты ДЛК.
Клики только размера 3, пока. Может быть, если развернуть алгоритм в полную силу, найдётся и клика размера 4.

Квадрат 1 - ЛК вот он

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3

Интересно, что все ДЛК ортогональны этому ЛК.
То есть ортогональность ДЛК к ЛК не проблема, проблема найти ортогональные между собой ДЛК.
Покажу таблицу ортогональных пар

1: [2,3,4,5,6,7,8,9,10,11],
1: [12,13,14,15,16,17,18,19],
2: [1,3,4,5,10,11,12,13,16,17],
3: [1,2,6,7,8,9,14,15,18,19],
4: [1,2],
5: [1,2],
6: [1,3],
7: [1,3],
8: [1,3],
9: [1,3],
10: [1,2],
11: [1,2],
12: [1,2],
13: [1,2],
14: [1,3],
15: [1,3],
16: [1,2],
17: [1,2],
18: [1,3],
19: [1,3]

Как видите, здесь набор ДЛК очень маленький, это был просто небольшой тест.
Ну, а развернуть этот алгоритм для порядка 24 ещё сложнее. Это вполне понятно.
Но уже очевидно, что алгоритм работает. Дело только за мощной техникой.
Запустила программу для ЛК порядка 24, она почти не двигается, ждала-ждала, когда хоть один ДЛК найдётся, так и не дождалась. Ну, тут ждать надо очень долго, часами или даже сутками.

Пробую расширить набор ДЛК.
Подробнее о том, как я ищу ДЛК.
Выполняется перестановка строк в этом ЛК 20-го порядка

0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17
4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11
8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12
9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3

Первая строка всегда остаётся на месте, то есть мы получаем всегда только нормализованные ДЛК.
На месте второй строки может стоять одна из следующих 17 строк

2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17
5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11
8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12
9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3

Для каждой строки я делаю отдельный набор ДЛК.
Таким образом, всего будет 17 наборов ДЛК.
Тут всё абсолютно понятно.
Задаю в программе одну из показанных 17 строк, она встаёт на место второй строки в искомых ДЛК, а все остальные строки переставляются.
В программе перестановки строк применена эвристика - условие отсечения. Если переставлять все строки - это будет о-ч-е-н-ь долго.
Сколько будет ДЛК в каждом из этих 17 наборов, я пока не знаю.
Я получила для тестирования небольшие наборы (по 20000 ДЛК) только для трёх вариантов строк из 17.
Всего у меня получилось 60000 ДЛК.
Проверила их на дубликаты, дубликатов не оказалось.

Ну, а дальше понятно, что надо делать.
Надо проверить этот набор ДЛК из 60000 ДЛК программой GetOrthogonal.
С таким небольшим набором программа справляется довольно быстро.
Протокол работы программы

Order? 20

Enter the name of the squares file: a
Choose 1 - get counts and maximum pairs, or 2 - get pairs for one square: 1
..output file a-orthCounts.txt
..output file a-orthNos.txt
    .. increasing LS store to     100,000
squares 60000 total orthogonal pairs 290015
Maximum pairs for square 21832: 146
This is the only square with this maximum number of pairs.
..output file a-21832orths.txt
Pairs for square 21832: 146

elapsed time 1:11:04

И я получаю таблицу ортогональных пар - это граф.
Посмотрите: образовано 290015 ортогональных пар, это рёбра графа, а вершин в графе 60000.
Этот граф надо проверить на максимальную клику.
Но! Программа SageMath не берёт такие большие графы; я уже довольно много сделала попыток, всё тщетно.
И здесь тупик.
Надо что-то придумывать для выхода из тупика.

Покажу фрагмент счётчика ортогональных пар

                orthogonal
      square       pairs
      ------    ----------

           1          143
           2          125
           3          125
           4          128
           5          127
           6          125
           7          125
           8          125
           9          125
          10          125

          11          125
          12          134
          13          127
          14          125
          15          125
          16          126
          17          126
          18          125
          19          126
          20          125

          21          125
          22          126
          23          131
          24          126
          25          127
          26          125
          27          125
          28          126
          29          126
          30          125
. . . . . . . 

       59981            0
       59982            0
       59983            0
       59984            0
       59985            0
       59986            1
       59987            0
       59988            0
       59989            0
       59990            0

       59991            0
       59992            0
       59993            0
       59994            0
       59995            0
       59996            0
       59997            0
       59998            0
       59999            0
       60000            0

Отмечу, что ДЛК третьей группы почти не имеют ортогональных диагональных соквадратов в рамках данного набора.
Покажу ещё фрагмент таблицы ортогональных пар (это граф)

[code]1: [21832,21834,21835,21838,21840,21852,21854,21855,21858,21860,21862,21864,21865,21868,21870,21892,21894,21895,21898,21900,21912,21914,21915,21918,21920,22152,22154,22155,22158,22160,22172,22174,22175,22178,22180,22182,22184,22185,22188,22190,22212,22214,22215,22218,22220,22232,22234,22235,22238,22240,22344,22346,22347,22350,22352,22364,22366,22367,22370,22372,22374,22376,22377,22380,22382,22404,22406,22407,22410,22412,22424,22426,22427,22430,22432,22792,22794,22795,22798,22800,22812,22814,22815,22818,22820,22822,22824,22825,22828,22830,22852,22854,22855,22858,22860,22872,22874,22875,22878,22880,23112,23114,23115,23118,23120,23132,23134,23135,23138,23140,23142,23144,23145,23148,23150,23172,23174,23175,23178,23180,23192,23194,23195,23198,23200,23818,25005,26139,27261,31281,31744,32119,32439,32584,33654,37461,37701,37861,38446,38751,39270,44078,44553],
2: [21831,21833,21836,21837,21839,21851,21853,21856,21857,21859,21861,21863,21866,21867,21869,21891,21893,21896,21897,21899,21911,21913,21916,21917,21919,22151,22153,22156,22157,22159,22171,22173,22176,22177,22179,22181,22183,22186,22187,22189,22211,22213,22216,22217,22219,22231,22233,22236,22237,22239,22343,22345,22348,22349,22351,22363,22365,22368,22369,22371,22373,22375,22378,22379,22381,22403,22405,22408,22409,22411,22423,22425,22428,22429,22431,22791,22793,22796,22797,22799,22811,22813,22816,22817,22819,22821,22823,22826,22827,22829,22851,22853,22856,22857,22859,22871,22873,22876,22877,22879,23111,23113,23116,23117,23119,23131,23133,23136,23137,23139,23141,23143,23146,23147,23149,23171,23173,23176,23177,23179,23191,23193,23196,23197,23199],
3: [21832,21834,21835,21838,21840,21852,21854,21855,21858,21860,21862,21864,21865,21868,21870,21892,21894,21895,21898,21900,21912,21914,21915,21918,21920,22152,22154,22155,22158,22160,22172,22174,22175,22178,22180,22182,22184,22185,22188,22190,22212,22214,22215,22218,22220,22232,22234,22235,22238,22240,22344,22346,22347,22350,22352,22364,22366,22367,22370,22372,22374,22376,22377,22380,22382,22404,22406,22407,22410,22412,22424,22426,22427,22430,22432,22792,22794,22795,22798,22800,22812,22814,22815,22818,22820,22822,22824,22825,22828,22830,22852,22854,22855,22858,22860,22872,22874,22875,22878,22880,23112,23114,23115,23118,23120,23132,23134,23135,23138,23140,23142,23144,23145,23148,23150,23172,23174,23175,23178,23180,23192,23194,23195,23198,23200],
4: [21831,21833,21836,21837,21839,21851,21853,21856,21857,21859,21861,21863,21866,21867,21869,21891,21893,21896,21897,21899,21911,21913,21916,21917,21919,22151,22153,22156,22157,22159,22171,22173,22176,22177,22179,22181,22183,22186,22187,22189,22211,22213,22216,22217,22219,22231,22233,22236,22237,22239,22343,22345,22348,22349,22351,22363,22365,22368,22369,22371,22373,22375,22378,22379,22381,22403,22405,22408,22409,22411,22423,22425,22428,22429,22431,22791,22793,22796,22797,22799,22811,22813,22816,22817,22819,22821,22823,22826,22827,22829,22851,22853,22856,22857,22859,22871,22873,22876,22877,22879,23111,23113,23116,23117,23119,23131,23133,23136,23137,23139,23141,23143,23146,23147,23149,23171,23173,23176,23177,23179,23191,23193,23196,23197,23199,23819,25006,26140],
5: [21831,21833,21836,21837,21839,21851,21853,21856,21857,21859,21861,21863,21866,21867,21869,21891,21893,21896,21897,21899,21911,21913,21916,21917,21919,22151,22153,22156,22157,22159,22171,22173,22176,22177,22179,22181,22183,22186,22187,22189,22211,22213,22216,22217,22219,22231,22233,22236,22237,22239,22343,22345,22348,22349,22351,22363,22365,22368,22369,22371,22373,22375,22378,22379,22381,22403,22405,22408,22409,22411,22423,22425,22428,22429,22431,22791,22793,22796,22797,22799,22811,22813,22816,22817,22819,22821,22823,22826,22827,22829,22851,22853,22856,22857,22859,22871,22873,22876,22877,22879,23111,23113,23116,23117,23119,23131,23133,23136,23137,23139,23141,23143,23146,23147,23149,23171,23173,23176,23177,23179,23191,23193,23196,23197,23199,31282,37462],
6: [21832,21834,21835,21838,21840,21852,21854,21855,21858,21860,21862,21864,21865,21868,21870,21892,21894,21895,21898,21900,21912,21914,21915,21918,21920,22152,22154,22155,22158,22160,22172,22174,22175,22178,22180,22182,22184,22185,22188,22190,22212,22214,22215,22218,22220,22232,22234,22235,22238,22240,22344,22346,22347,22350,22352,22364,22366,22367,22370,22372,22374,22376,22377,22380,22382,22404,22406,22407,22410,22412,22424,22426,22427,22430,22432,22792,22794,22795,22798,22800,22812,22814,22815,22818,22820,22822,22824,22825,22828,22830,22852,22854,22855,22858,22860,22872,22874,22875,22878,22880,23112,23114,23115,23118,23120,23132,23134,23135,23138,23140,23142,23144,23145,23148,23150,23172,23174,23175,23178,23180,23192,23194,23195,23198,23200],
7: [21832,21834,21835,21838,21840,21852,21854,21855,21858,21860,21862,21864,21865,21868,21870,21892,21894,21895,21898,21900,21912,21914,21915,21918,21920,22152,22154,22155,22158,22160,22172,22174,22175,22178,22180,22182,22184,22185,22188,22190,22212,22214,22215,22218,22220,22232,22234,22235,22238,22240,22344,22346,22347,22350,22352,22364,22366,22367,22370,22372,22374,22376,22377,22380,22382,22404,22406,22407,22410,22412,22424,22426,22427,22430,22432,22792,22794,22795,22798,22800,22812,22814,22815,22818,22820,22822,22824,22825,22828,22830,22852,22854,22855,22858,22860,22872,22874,22875,22878,22880,23112,23114,23115,23118,23120,23132,23134,23135,23138,23140,23142,23144,23145,23148,23150,23172,23174,23175,23178,23180,23192,23194,23195,23198,23200],
8: [21831,21833,21836,21837,21839,21851,21853,21856,21857,21859,21861,21863,21866,21867,21869,21891,21893,21896,21897,21899,21911,21913,21916,21917,21919,22151,22153,22156,22157,22159,22171,22173,22176,22177,22179,22181,22183,22186,22187,22189,22211,22213,22216,22217,22219,22231,22233,22236,22237,22239,22343,22345,22348,22349,22351,22363,22365,22368,22369,22371,22373,22375,22378,22379,22381,22403,22405,22408,22409,22411,22423,22425,22428,22429,22431,22791,22793,22796,22797,22799,22811,22813,22816,22817,22819,22821,22823,22826,22827,22829,22851,22853,22856,22857,22859,22871,22873,22876,22877,22879,23111,23113,23116,23117,23119,23131,23133,23136,23137,23139,23141,23143,23146,23147,23149,23171,23173,23176,23177,23179,23191,23193,23196,23197,23199],
9: [21832,21834,21835,21838,21840,21852,21854,21855,21858,21860,21862,21864,21865,21868,21870,21892,21894,21895,21898,21900,21912,21914,21915,21918,21920,22152,22154,22155,22158,22160,22172,22174,22175,22178,22180,22182,22184,22185,22188,22190,22212,22214,22215,22218,22220,22232,22234,22235,22238,22240,22344,22346,22347,22350,22352,22364,22366,22367,22370,22372,22374,22376,22377,22380,22382,22404,22406,22407,22410,22412,22424,22426,22427,22430,22432,22792,22794,22795,22798,22800,22812,22814,22815,22818,22820,22822,22824,22825,22828,22830,22852,22854,22855,22858,22860,22872,22874,22875,22878,22880,23112,23114,23115,23118,23120,23132,23134,23135,23138,23140,23142,23144,23145,23148,23150,23172,23174,23175,23178,23180,23192,23194,23195,23198,23200],
10: [21831,21833,21836,21837,21839,21851,21853,21856,21857,21859,21861,21863,21866,21867,21869,21891,21893,21896,21897,21899,21911,21913,21916,21917,21919,22151,22153,22156,22157,22159,22171,22173,22176,22177,22179,22181,22183,22186,22187,22189,22211,22213,22216,22217,22219,22231,22233,22236,22237,22239,22343,22345,22348,22349,22351,22363,22365,22368,22369,22371,22373,22375,22378,22379,22381,22403,22405,22408,22409,22411,22423,22425,22428,22429,22431,22791,22793,22796,22797,22799,22811,22813,22816,22817,22819,22821,22823,22826,22827,22829,22851,22853,22856,22857,22859,22871,22873,22876,22877,22879,23111,23113,23116,23117,23119,23131,23133,23136,23137,23139,23141,23143,23146,23147,23149,23171,23173,23176,23177,23179,23191,23193,23196,23197,23199],
. . . . .
59414: [27728,31450],
59455: [31115],
59477: [24017],
59481: [27917],
59484: [24084],
59508: [23971],
59511: [27837],
59515: [24128],
59562: [26102],
59580: [24762,25945,32015,32503],
59616: [21001],
59625: [21821],
59627: [21703],
59638: [32264],
59647: [20140,23598,31066,31567],
59648: [20129],
59658: [22657],
59711: [22390],
59744: [24214],
59752: [28228],
59785: [28589],
59786: [28591],
59788: [28586],
59789: [28587],
59800: [28559],
59802: [28560],
59803: [28557],
59804: [28558],
59875: [31609],
59912: [33296],
59952: [23780],
59986: [31102][/code]
Даже не делала попытку проверить этот граф программой SageMath, устала от этих бесплодных попыток.

Придумала такую тактику проверки.
Нужно искать такие ДЛК, которые имеют ортогональные ДЛК в разных группах.
Пока групп только три.
Но их можно сделать 17, как я уже сказала.
К тому же, в каждой группе надо найти все возможные ДЛК. Это моя программа может сделать.
Набор ДЛК получится большой.
Вот такой эксперимент. Понятно, что мы с черепашкой его не сможем выполнить. Нам нужна помощь.

Ещё замечу: ДЛК внутри одной группы не могут быть ортогональны.
Причина понятна - ДЛК в одной группе имеют две одинаковые строки - первую и вторую.
И ещё: удивительно - все ДЛК получаются ортогональными к исходному ЛК, в котором переставляются строки.
Может быть, тут нет ничего удивительного и теоретически это к� />
59991 0
59992 0
59993 0
59994 0
59995 0
59996 0
59997 0
59998 0
59999 0
60000 0[/code]
Отмечу, что ДЛК третьей группы почти не имеют ортогональных диагональных соквадратов в рамках данного набора.
Покажу ещё фрагмент таблицы ортогональных пар (это граф)

[code]1: [21832,21834,21835,21838,21840,21852,21854,21855,21858,21860,21862,21864,21865,21868,21870,21892,21894,21895,21898,21900,21912,21914,21915,21918,21920,22152,22154,22155,22158,22160,22172,22174,22175,22178,22180,22182,22184,22185,22188,22190,22212,22214,22215,22218,22220,22232,22234,22235,22238,22240,22344,22346,22347,22350,22352,22364,22366,22367,22370,22372,22374,22376,22377,22380,22382,22404,22406,22407,22410,22412,22424,22426,22427,22430,22432,22792,22794,22795,22798,22800,22812,22814,22815,22818,22820,22822,22824,22825,22828,22830,22852,22854,22855,22858,22860,22872,22874,22875,22878,22880,23112,23114,23115,23118,23120,23132,23134,23135,23138,23140,23142,23144,23145,23148,23150,23172,23174,23175,23178,23180,23192,23194,23195,23198,23200,23818,25005,26139,27261,31281,31744,32119,32439,32584,33654,37461,37701,37861,38446,38751,39270,44078,44553],
2: [21831,21833,21836,21837,21839,21851,21853,21856,21857,21859,21861,21863,21866,21867,21869,21891,21893,21896,21897,21899,21911,21913,21916,21917,21919,22151,22153,22156,22157,22159,22171,22173,22176,22177,22179,22181,22183,22186,22187,22189,22211,22213,22216,22217,22219,22231,22233,22236,22237,22239,22343,22345,22348,22349,22351,22363,22365,22368,22369,22371,22373,22375,22378,22379,22381,22403,22405,22408,22409,22411,22423,22425,22428,22429,22431,22791,22793,22796,22797,22799,22811,22813,22816,22817,22819,22821,22823,22826,22827,22829,22851,22853,22856,22857,22859,22871,22873,22876,22877,22879,23111,23113,23116,23117,23119,23131,23133,23136,23137,23139,23141,23143,23146,23147,23149,23171,23173,23176,23177,23179,23191,23193,23196,23197,23199],
3: [21832,21834,21835,21838,21840,21852,21854,21855,21858,21860,21862,21864,21865,21868,21870,21892,21894,21895,21898,21900,21912,21914,21915,21918,21920,22152,22154,22155,22158,22160,22172,22174,22175,22178,22180,22182,22184,22185,22188,22190,22212,22214,22215,22218,22220,22232,22234,22235,22238,22240,22344,22346,22347,22350,22352,22364,22366,22367,22370,22372,22374,22376,22377,22380,22382,22404,22406,22407,22410,22412,22424,22426,22427,22430,22432,22792,22794,22795,22798,22800,22812,22814,22815,22818,22820,22822,22824,22825,22828,22830,22852,22854,22855,22858,22860,22872,22874,22875,22878,22880,23112,23114,23115,23118,23120,23132,23134,23135,23138,23140,23142,23144,23145,23148,23150,23172,23174,23175,23178,23180,23192,23194,23195,23198,23200],
4: [21831,21833,21836,21837,21839,21851,21853,21856,21857,21859,21861,21863,21866,21867,21869,21891,21893,21896,21897,21899,21911,21913,21916,21917,21919,22151,22153,22156,22157,22159,22171,22173,22176,22177,22179,22181,22183,22186,22187,22189,22211,22213,22216,22217,22219,22231,22233,22236,22237,22239,22343,22345,22348,22349,22351,22363,22365,22368,22369,22371,22373,22375,22378,22379,22381,22403,22405,22408,22409,22411,22423,22425,22428,22429,22431,22791,22793,22796,22797,22799,22811,22813,22816,22817,22819,22821,22823,22826,22827,22829,22851,22853,22856,22857,22859,22871,22873,22876,22877,22879,23111,23113,23116,23117,23119,23131,23133,23136,23137,23139,23141,23143,23146,23147,23149,23171,23173,23176,23177,23179,23191,23193,23196,23197,23199,23819,25006,26140],
5: [21831,21833,21836,21837,21839,21851,21853,21856,21857,21859,21861,21863,21866,21867,21869,21891,21893,21896,21897,21899,21911,21913,21916,21917,21919,22151,22153,22156,22157,22159,22171,22173,22176,22177,22179,22181,22183,22186,22187,22189,22211,22213,22216,22217,22219,22231,22233,22236,22237,22239,22343,22345,22348,22349,22351,22363,22365,22368,22369,22371,22373,22375,22378,22379,22381,22403,22405,22408,22409,22411,22423,22425,22428,22429,22431,22791,22793,22796,22797,22799,22811,22813,22816,22817,22819,22821,22823,22826,22827,22829,22851,22853,22856,22857,22859,22871,22873,22876,22877,22879,23111,23113,23116,23117,23119,23131,23133,23136,23137,23139,23141,23143,23146,23147,23149,23171,23173,23176,23177,23179,23191,23193,23196,23197,23199,31282,37462],
6: [21832,21834,21835,21838,21840,21852,21854,21855,21858,21860,21862,21864,21865,21868,21870,21892,21894,21895,21898,21900,21912,21914,21915,21918,21920,22152,22154,22155,22158,22160,22172,22174,22175,22178,22180,22182,22184,22185,22188,22190,22212,22214,22215,22218,22220,22232,22234,22235,22238,22240,22344,22346,22347,22350,22352,22364,22366,22367,22370,22372,22374,22376,22377,22380,22382,22404,22406,22407,22410,22412,22424,22426,22427,22430,22432,22792,22794,22795,22798,22800,22812,22814,22815,22818,22820,22822,22824,22825,22828,22830,22852,22854,22855,22858,22860,22872,22874,22875,22878,22880,23112,23114,23115,23118,23120,23132,23134,23135,23138,23140,23142,23144,23145,23148,23150,23172,23174,23175,23178,23180,23192,23194,23195,23198,23200],
7: [21832,21834,21835,21838,21840,21852,21854,21855,21858,21860,21862,21864,21865,21868,21870,21892,21894,21895,21898,21900,21912,21914,21915,21918,21920,22152,22154,22155,22158,22160,22172,22174,22175,22178,22180,22182,22184,22185,22188,22190,22212,22214,22215,22218,22220,22232,22234,22235,22238,22240,22344,22346,22347,22350,22352,22364,22366,22367,22370,22372,22374,22376,22377,22380,22382,22404,22406,22407,22410,22412,22424,22426,22427,22430,22432,22792,22794,22795,22798,22800,22812,22814,22815,22818,22820,22822,22824,22825,22828,22830,22852,22854,22855,22858,22860,22872,22874,22875,22878,22880,23112,23114,23115,23118,23120,23132,23134,23135,23138,23140,23142,23144,23145,23148,23150,23172,23174,23175,23178,23180,23192,23194,23195,23198,23200],
8: [21831,21833,21836,21837,21839,21851,21853,21856,21857,21859,21861,21863,21866,21867,21869,21891,21893,21896,21897,21899,21911,21913,21916,21917,21919,22151,22153,22156,22157,22159,22171,22173,22176,22177,22179,22181,22183,22186,22187,22189,22211,22213,22216,22217,22219,22231,22233,22236,22237,22239,22343,22345,22348,22349,22351,22363,22365,22368,22369,22371,22373,22375,22378,22379,22381,22403,22405,22408,22409,22411,22423,22425,22428,22429,22431,22791,22793,22796,22797,22799,22811,22813,22816,22817,22819,22821,22823,22826,22827,22829,22851,22853,22856,22857,22859,22871,22873,22876,22877,22879,23111,23113,23116,23117,23119,23131,23133,23136,23137,23139,23141,23143,23146,23147,23149,23171,23173,23176,23177,23179,23191,23193,23196,23197,23199],
9: [21832,21834,21835,21838,21840,21852,21854,21855,21858,21860,21862,21864,21865,21868,21870,21892,21894,21895,21898,21900,21912,21914,21915,21918,21920,22152,22154,22155,22158,22160,22172,22174,22175,22178,22180,22182,22184,22185,22188,22190,22212,22214,22215,22218,22220,22232,22234,22235,22238,22240,22344,22346,22347,22350,22352,22364,22366,22367,22370,22372,22374,22376,22377,22380,22382,22404,22406,22407,22410,22412,22424,22426,22427,22430,22432,22792,22794,22795,22798,22800,22812,22814,22815,22818,22820,22822,22824,22825,22828,22830,22852,22854,22855,22858,22860,22872,22874,22875,22878,22880,23112,23114,23115,23118,23120,23132,23134,23135,23138,23140,23142,23144,23145,23148,23150,23172,23174,23175,23178,23180,23192,23194,23195,23198,23200],
10: [21831,21833,21836,21837,21839,21851,21853,21856,21857,21859,21861,21863,21866,21867,21869,21891,21893,21896,21897,21899,21911,21913,21916,21917,21919,22151,22153,22156,22157,22159,22171,22173,22176,22177,22179,22181,22183,22186,22187,22189,22211,22213,22216,22217,22219,22231,22233,22236,22237,22239,22343,22345,22348,22349,22351,22363,22365,22368,22369,22371,22373,22375,22378,22379,22381,22403,22405,22408,22409,22411,22423,22425,22428,22429,22431,22791,22793,22796,22797,22799,22811,22813,22816,22817,22819,22821,22823,22826,22827,22829,22851,22853,22856,22857,22859,22871,22873,22876,22877,22879,23111,23113,23116,23117,23119,23131,23133,23136,23137,23139,23141,23143,23146,23147,23149,23171,23173,23176,23177,23179,23191,23193,23196,23197,23199],
. . . . .
59414: [27728,31450],
59455: [31115],
59477: [24017],
59481: [27917],
59484: [24084],
59508: [23971],
59511: [27837],
59515: [24128],
59562: [26102],
59580: [24762,25945,32015,32503],
59616: [21001],
59625: [21821],
59627: [21703],
59638: [32264],
59647: [20140,23598,31066,31567],
59648: [20129],
59658: [22657],
59711: [22390],
59744: [24214],
59752: [28228],
59785: [28589],
59786: [28591],
59788: [28586],
59789: [28587],
59800: [28559],
59802: [28560],
59803: [28557],
59804: [28558],
59875: [31609],
59912: [33296],
59952: [23780],
59986: [31102][/code]
Даже не делала попытку проверить этот граф программой SageMath, устала от этих бесплодных попыток.

Придумала такую тактику проверки.
Нужно искать такие ДЛК, которые имеют ортогональные ДЛК в разных группах.
Пока групп только три.
Но их можно сделать 17, как я уже сказала.
К тому же, в каждой группе надо найти все возможные ДЛК. Это моя программа может сделать.
Набор ДЛК получится большой.
Вот такой эксперимент. Понятно, что мы с черепашкой его не сможем выполнить. Нам нужна помощь.

Ещё замечу: ДЛК внутри одной группы не могут быть ортогональны.
Причина понятна - ДЛК в одной группе имеют две одинаковые строки - первую и вторую.
И ещё: удивительно - все ДЛК получаются ортогональными к исходному ЛК, в котором переставляются строки.
Может быть, тут нет ничего удивительного и теоретически это как-то объяснимо.
Но нам это очень полезно. Если есть группа MODLS из N ДЛК, то есть и группа MOLS из (N+1) ЛК.

В этом небольшом тесте найден ДЛК, у которого 146 ОДЛК

Pairs for square 21832: 146

Этот ДЛК из второй группы (смотрите на вторую строку)

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6

А ортогональные диагональные соквадраты он имеет во первой группе (большинство) и в третьей группе (всего четыре ОДЛК).
Покажу три ортогональных диагональных соквадрата из первой группы

mate #1
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14

mate #2
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10

mate #3
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11

И самые последние ортогональные диагональные соквадраты из третьей группы. вот они

mate #143
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5

mate #144
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17

mate #145
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17

mate #146
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5

Начала формирование набора ДЛК 20-го порядка.
Сгенерировала ДЛК первой группы, их получилось 143216.
Да-а-а, много!
Пример, два первых ДЛК из этой группы

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19 
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6  12  13  14  10  11  17  18  19  15  16 
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8  14  10  11  12  13  19  15  16  17  18 
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5  11  12  13  14  10  16  17  18  19  15 
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7  13  14  10  11  12  18  19  15  16  17 
 10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 12  13  14  10  11  17  18  19  15  16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 
 14  10  11  12  13  19  15  16  17  18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 
 11  12  13  14  10  16  17  18  19  15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 
 13  14  10  11  12  18  19  15  16  17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 
 15  16  17  18  19  10  11  12  13  14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 
 17  18  19  15  16  12  13  14  10  11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 
 19  15  16  17  18  14  10  11  12  13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 
 16  17  18  19  15  11  12  13  14  10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 
 18  19  15  16  17  13  14  10  11  12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4  15  16  17  18  19  10  11  12  13  14 
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1  17  18  19  15  16  12  13  14  10  11 
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3  19  15  16  17  18  14  10  11  12  13 
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0  16  17  18  19  15  11  12  13  14  10 
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2  18  19  15  16  17  13  14  10  11  12 

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19 
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6  12  13  14  10  11  17  18  19  15  16 
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8  14  10  11  12  13  19  15  16  17  18 
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5  11  12  13  14  10  16  17  18  19  15 
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7  13  14  10  11  12  18  19  15  16  17 
 10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 12  13  14  10  11  17  18  19  15  16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 
 14  10  11  12  13  19  15  16  17  18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 
 11  12  13  14  10  16  17  18  19  15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 
 13  14  10  11  12  18  19  15  16  17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 
 15  16  17  18  19  10  11  12  13  14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 
 17  18  19  15  16  12  13  14  10  11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 
 19  15  16  17  18  14  10  11  12  13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 
 16  17  18  19  15  11  12  13  14  10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 
 18  19  15  16  17  13  14  10  11  12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4  15  16  17  18  19  10  11  12  13  14 
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2  18  19  15  16  17  13  14  10  11  12 
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0  16  17  18  19  15  11  12  13  14  10 
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3  19  15  16  17  18  14  10  11  12  13 
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1  17  18  19  15  16  12  13  14  10  11 

Как уже сказано выше, при перестановке строк первая строка всегда остаётся на месте, следовательно, все ДЛК получаются нормализованные.
ДЛК первой группы характеризуются второй строкой

2  3  4  0  1  7  8  9  5  6  12  13  14  10  11  17  18  19  15  16

то есть все ДЛК первой группы имеют такую вторую строку.

Проверила найденные ДЛК на различность, все они различные.
А это проверка ДЛК первой группы утилитой GetType

Order? 20

Enter the name of the squares file: a
.. writing type information to file aTypeDetail.txt

Counts
------
    143216 diagonal Latin
      8240 weakly pandiagonal
       512 axial symmetric
       628 center symmetric
    143216 nfr
       376 self-orthogonal
       376 doubly self-orthogonal
       256 axial parity 1-way
        56 symmetric parity

Замечательные квадратики!
Прекрасный букет свойств у этих ДЛК.

Как уже сообщалось, все ДЛК, получаемые программой перестановки строк в исходном ЛК, ортогональны этому ЛК.
Сейчас проверю ДЛК первой группы.

Вот

Order? 20

Enter the name of the squares file: a
Choose 1 - get counts and maximun pairs, or 2 - get pairs for one square: 2
    .. increasing LS store to     100,000
    .. increasing LS store to     200,000
squares 143217
Get pairs for square number, (1 .. 143217)? 1
..output file a-1orths.txt
Pairs for square 1: 143216

Удивительно, но факт!
Теоретическое объяснение этого факта должно быть.

Так, перехожу к генерации второй группы ДЛК.
Как уже сообщалось, групп всего будет 17.

Сгенерировала ДЛК второй группы.
Интересно: их получилось тоже 143216.
ДЛК второй группы характеризуются второй строкой

3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17

Показываю два ДЛК из этой группы

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19 
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7  13  14  10  11  12  18  19  15  16  17 
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5  11  12  13  14  10  16  17  18  19  15 
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8  14  10  11  12  13  19  15  16  17  18 
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6  12  13  14  10  11  17  18  19  15  16 
 10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 12  13  14  10  11  17  18  19  15  16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 
 14  10  11  12  13  19  15  16  17  18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 
 11  12  13  14  10  16  17  18  19  15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 
 13  14  10  11  12  18  19  15  16  17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 
 15  16  17  18  19  10  11  12  13  14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 
 17  18  19  15  16  12  13  14  10  11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 
 19  15  16  17  18  14  10  11  12  13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 
 16  17  18  19  15  11  12  13  14  10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 
 18  19  15  16  17  13  14  10  11  12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4  15  16  17  18  19  10  11  12  13  14 
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1  17  18  19  15  16  12  13  14  10  11 
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3  19  15  16  17  18  14  10  11  12  13 
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0  16  17  18  19  15  11  12  13  14  10 
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2  18  19  15  16  17  13  14  10  11  12 

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19 
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7  13  14  10  11  12  18  19  15  16  17 
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5  11  12  13  14  10  16  17  18  19  15 
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8  14  10  11  12  13  19  15  16  17  18 
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6  12  13  14  10  11  17  18  19  15  16 
 10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 12  13  14  10  11  17  18  19  15  16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 
 14  10  11  12  13  19  15  16  17  18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 
 11  12  13  14  10  16  17  18  19  15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 
 13  14  10  11  12  18  19  15  16  17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 
 15  16  17  18  19  10  11  12  13  14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 
 17  18  19  15  16  12  13  14  10  11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 
 19  15  16  17  18  14  10  11  12  13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 
 16  17  18  19  15  11  12  13  14  10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 
 18  19  15  16  17  13  14  10  11  12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4  15  16  17  18  19  10  11  12  13  14 
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2  18  19  15  16  17  13  14  10  11  12 
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0  16  17  18  19  15  11  12  13  14  10 
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3  19  15  16  17  18  14  10  11  12  13 
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1  17  18  19  15  16  12  13  14  10  11 

И даже свойства у ДЛК первой и второй групп совершенно одинаковые.
Это свойства ДЛК второй группы

Order? 20

Enter the name of the squares file: a
.. writing type information to file aTypeDetail_1.txt

Counts
------
    143216 diagonal Latin
      8240 weakly pandiagonal
       512 axial symmetric
       628 center symmetric
    143216 nfr
       376 self-orthogonal
       376 doubly self-orthogonal
       256 axial parity 1-way
        56 symmetric parity

Очень интересно!

Пойду генерировать третью группу ДЛК.