Ещё раз посмотрим на ДЛК группы MODLS 12-го порядка

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 1  3  5  0  9  7  4  2 11  6  8 10
 4  9  8  6  1 11  0 10  5  3  2  7
 5  7  1  2 11  3  8  0  9 10  4  6
 7  2  3  5 10  0 11  1  6  8  9  4
11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0
 3  0  7  1  6  2  9  5 10  4 11  8
 6  4 10  9  0  8  3 11  2  1  7  5
 2  5  0  7  8  1 10  3  4 11  6  9
 8 11  4 10  5  9  2  6  1  7  0  3
 9  6 11  4  3 10  1  8  7  0  5  2
10  8  6 11  2  4  7  9  0  5  3  1

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 2  5  0  7  8  1 10  3  4 11  6  9
 3  0  7  1  6  2  9  5 10  4 11  8
11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0
 5  7  1  2 11  3  8  0  9 10  4  6
10  8  6 11  2  4  7  9  0  5  3  1
 9  6 11  4  3 10  1  8  7  0  5  2
 8 11  4 10  5  9  2  6  1  7  0  3
 6  4 10  9  0  8  3 11  2  1  7  5
 4  9  8  6  1 11  0 10  5  3  2  7
 7  2  3  5 10  0 11  1  6  8  9  4
 1  3  5  0  9  7  4  2 11  6  8 10

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 6  4 10  9  0  8  3 11  2  1  7  5
 7  2  3  5 10  0 11  1  6  8  9  4
 4  9  8  6  1 11  0 10  5  3  2  7
 2  5  0  7  8  1 10  3  4 11  6  9
 8 11  4 10  5  9  2  6  1  7  0  3
10  8  6 11  2  4  7  9  0  5  3  1
 3  0  7  1  6  2  9  5 10  4 11  8
 1  3  5  0  9  7  4  2 11  6  8 10
 5  7  1  2 11  3  8  0  9 10  4  6
11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0
 9  6 11  4  3 10  1  8  7  0  5  2

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 7  2  3  5 10  0 11  1  6  8  9  4
 8 11  4 10  5  9  2  6  1  7  0  3
10  8  6 11  2  4  7  9  0  5  3  1
 4  9  8  6  1 11  0 10  5  3  2  7
 5  7  1  2 11  3  8  0  9 10  4  6
11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0
 9  6 11  4  3 10  1  8  7  0  5  2
 3  0  7  1  6  2  9  5 10  4 11  8
 1  3  5  0  9  7  4  2 11  6  8 10
 6  4 10  9  0  8  3 11  2  1  7  5
 2  5  0  7  8  1 10  3  4 11  6  9

Эти ДЛК не простые, а золотые :)
Вы ничего не заметили в этих ДЛК?
Все они получаются друг из друга перестановкой строк!!
Мы знаем, что так получаются ДЛК в группах MODLS порядков 5, 7, 8, 9 (и не только!).
Теперь видим это и в группе MODLS 12-го порядка.

Таким образом, алгоритм поиска ЛК (пятого в этой группе) можно упростить, сделать "крупнопанельным".
Имеем 11 строк (первую строку не считаем, она будет первой и в искомом ЛК, то есть в перестановках она не участвует).
Надо их все переставить, получить все ЛК, а затем проверить их на ортогональность четырём ДЛК группы MODLS.
Однако... перестановок из 11 строк будет 11! = 39916800.
Черепашка это не осилит.
Вот так всё просто в теории, а на практике не так просто.
Я занималась перестановками строк и столбцов, но искала ДЛК; понятно, что ДЛК будет в разы меньше, чем ЛК.
И всё равно до конца я эту процедуру не выполнила.

Посмотрите на полные системы MOLS порядков 8 и 9





В каждой из этих групп и ДЛК, и ЛК получаются друг из друга перестановкой строк.
Все ЛК и ДЛК в этих группах нормализованные.

Если найдём пятый ЛК к найденной группе MODLS 12-го порядка путём перестановок строк, будет полная аналогия.

Итак, требуется найти 39916800 нормализованных ЛК перестановкой 11 известных строк.
Ну, нашлёпать эти ЛК не очень большая проблема, у кого компьютер с хорошей памятью и нормальной производительностью.
А вот проверить их на ортогональность четырём ДЛК группы MODLS - сложнее проблема.
А если по частям проверять?
Надо ведь, чтобы нашёлся такой ЛК, который будет ортогонален всем четырём ДЛК группы MODLS.

Ну, скажем, мы нашлёпали эти 39916800 нормализованных ЛК.
Берём один миллион ЛК, присоединяем к ним четыре ДЛК группы MODLS и проверяем на ортогональность программой GetOrthogonal.
Справится программа с миллионом ЛК и 4 ДЛК?
Если справится, хорошо.
Можно дальше проверять - следующий миллион ЛК.
Если миллион ЛК много для программы, можно по полмиллиона проверять.

PS. А вдруг ДЛК найдётся.

И в полной системе MOLS 11-го порядка всё точно так же!
Смотрите

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1
3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2
4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3
5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4
6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5
7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6
8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7
9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8
10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1
4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3
6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5
8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7
10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2
5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4
7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6
9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2
6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5
9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3
7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6
10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1
5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4
8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3
8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4
9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1
6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5
10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2
7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4
10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3
9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2
8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1
7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1
8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2
9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3
10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6
3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2
10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5
2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1
9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8
5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7
5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4
2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1
10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6
4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8
6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5
3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8
7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6
5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4
3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7
6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5
4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3
2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8
8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7
7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6
6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5
5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4
4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3
3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2
2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

В системе 2 ЛК и 8 ДЛК, все они получаются друг из друга перестановкой строк.
Хорошая закономерность, однако.

Нарисовала эти золотые ДЛК :)
Группа MODLS 12-го порядка



На иллюстрации хорошо видно, что все ДЛК получаются друг из друга перестановкой строк.
Эх, найти бы сюда пятый квадратик (если он существует), пусть он будет ЛК, всё равно красивая группа MOLS получится.

У-р-р-р-а-а-а!!!
Я его нашла!
С утра пришла в голову оптимизация в процедуре перестановки строк.
Ну и, конечно, распараллеливание.
В математике много чего делается по частям.

Итак, это у меня пятая порция ЛК, которая содержит 52082 ЛК.
Добавляю к этим ЛК 4 ДЛК из группы MODLS, записываю ДЛК первыми в наборе.
Выполняю для полученного набора программу GetOrthogonal.
Смотрю таблицу ортогональных пар

1: [2,3,4,1459,1526,1697,1780,2739,2797,2979],
1: [4146,4249,4299,4630,4649,4755,5528,6866,7233,7235],
1: [7611,7873,9330,10075,10101,10140,10245,10470,10772,11578],
1: [11722,11873,12064,12739,12931,12963,12965,13116,15244,15712],
1: [15917,17631,18225,18275,18660,19760,20098,20109,20160,20392],
1: [20914,20927,21144,21154,21191,21375,22627,22783,23829,24036],
1: [24167,27752,28268,28451,29224,29866,29910,32350,32616,33487],
1: [35059,46823,47043,48175,50995],
2: [1,3,4,244,1006,1627,2078,2818,3348,3362],
2: [3452,5909,5929,6430,16797,17316,17589,18347,19139,19338],
2: [19410,20123,20840,22660,22982,23365,23812,24070,25507,26325],
2: [27359,29232,29233,29407,29431,29682,29866,30130,31593,33634],
2: [34505,35591,36966,37605,37785,37793,37870,38940,38956,39089],
2: [39113,39485,39632,40727,41162,42311,42331,42839,43899,43941],
2: [43987,44012,44063,44749,45783,45954,46608,46793,47872,50939],
2: [50942,50978,51025,51602,51676],
3: [1,2,4,445,615,1812,1907,3148,3238,3324],
3: [5178,5548,7054,7626,8088,8447,10605,10742,11264,11313],
3: [11410,11936,12663,13304,13656,13867,13999,23312,23627,23739],
3: [23743,24309,26137,26335,26418,27305,27312,29023,29643,29866],
3: [30473,30479,31208,31550,31558,32601,32639,32646,32899,32981],
3: [34006,34365,37876,38019,39290,39932,39984,42453,42803,45356],
3: [45617,47435,47443,47481,47604,48108,48310,50014,50129,50291],
3: [50369,50396],
4: [1,2,3,871,1011,1068,2803,3665,4129,7855],
4: [8545,8887,8947,8975,12262,12987,13029,13711,14090,16137],
4: [16148,16476,16508,16674,17358,20034,20073,20097,21448,21452],
4: [21778,22030,22050,24464,24614,25141,25782,25833,26352,26374],
4: [26777,27111,27123,27225,29866,30776,33434,33679,33767,34813],
4: [34818,34925,35129,35467,35512,37527,37759,38002,42173,42187],
4: [42192,43292,43296,43881,43886,43959,45418,45446,45666,46297],
4: [49187,49250,49636,49738,50619,50622,51045],
244: [2],
445: [3],
615: [3],
871: [4],
1006: [2],
1011: [4],
1068: [4],
1459: [1],
1526: [1],
1627: [2],
. . . . . . .
29233: [2],
29407: [2],
29431: [2],
29643: [3],
29682: [2],
29866: [1,2,3,4],
29910: [1],
30130: [2],
30473: [3],
30479: [3],
30776: [4],
31208: [3],
. . . . . .

Вот она - клика размера 5
[1, 2, 3, 4, 29866]
Первые четыре квадрата - ДЛК, 29866-й квадрат - ЛК.

Показываю найденную группу MOLS 12-го порядка, состоящую из четырёх ДЛК и одного ЛК

ДЛК

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 1  3  5  0  9  7  4  2 11  6  8 10
 4  9  8  6  1 11  0 10  5  3  2  7
 5  7  1  2 11  3  8  0  9 10  4  6
 7  2  3  5 10  0 11  1  6  8  9  4
11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0
 3  0  7  1  6  2  9  5 10  4 11  8
 6  4 10  9  0  8  3 11  2  1  7  5
 2  5  0  7  8  1 10  3  4 11  6  9
 8 11  4 10  5  9  2  6  1  7  0  3
 9  6 11  4  3 10  1  8  7  0  5  2
10  8  6 11  2  4  7  9  0  5  3  1

ДЛК

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 2  5  0  7  8  1 10  3  4 11  6  9
 3  0  7  1  6  2  9  5 10  4 11  8
11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0
 5  7  1  2 11  3  8  0  9 10  4  6
10  8  6 11  2  4  7  9  0  5  3  1
 9  6 11  4  3 10  1  8  7  0  5  2
 8 11  4 10  5  9  2  6  1  7  0  3
 6  4 10  9  0  8  3 11  2  1  7  5
 4  9  8  6  1 11  0 10  5  3  2  7
 7  2  3  5 10  0 11  1  6  8  9  4
 1  3  5  0  9  7  4  2 11  6  8 10

ДЛК

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 6  4 10  9  0  8  3 11  2  1  7  5
 7  2  3  5 10  0 11  1  6  8  9  4
 4  9  8  6  1 11  0 10  5  3  2  7
 2  5  0  7  8  1 10  3  4 11  6  9
 8 11  4 10  5  9  2  6  1  7  0  3
10  8  6 11  2  4  7  9  0  5  3  1
 3  0  7  1  6  2  9  5 10  4 11  8
 1  3  5  0  9  7  4  2 11  6  8 10
 5  7  1  2 11  3  8  0  9 10  4  6
11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0
 9  6 11  4  3 10  1  8  7  0  5  2

ДЛК

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 7  2  3  5 10  0 11  1  6  8  9  4
 8 11  4 10  5  9  2  6  1  7  0  3
10  8  6 11  2  4  7  9  0  5  3  1
 4  9  8  6  1 11  0 10  5  3  2  7
 5  7  1  2 11  3  8  0  9 10  4  6
11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0
 9  6 11  4  3 10  1  8  7  0  5  2
 3  0  7  1  6  2  9  5 10  4 11  8
 1  3  5  0  9  7  4  2 11  6  8 10
 6  4 10  9  0  8  3 11  2  1  7  5
 2  5  0  7  8  1 10  3  4 11  6  9

ЛК

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 3  0  7  1  6  2  9  5 10  4 11  8
 2  5  0  7  8  1 10  3  4 11  6  9
 1  3  5  0  9  7  4  2 11  6  8 10
 6  4 10  9  0  8  3 11  2  1  7  5
 7  2  3  5 10  0 11  1  6  8  9  4
 4  9  8  6  1 11  0 10  5  3  2  7
 5  7  1  2 11  3  8  0  9 10  4  6
10  8  6 11  2  4  7  9  0  5  3  1
 9  6 11  4  3 10  1  8  7  0  5  2
 8 11  4 10  5  9  2  6  1  7  0  3
11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0

Очень симпатичный ЛК! Это ж надо так выстроиться диагоналям!

Проверяю свойства квадратов группы утилитой Harry White GetType1

Order? 12

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_6.txt

Counts
------
         1 Latin
         4 diagonal Latin
         4 axial symmetric
         1 double axial symmetric
         1 center symmetric
         5 nfr
         4 orthogonal pair
         1 symmetric parity
         1 transpose parity

И подтверждение взаимной ортогональности квадратов группы

Order? 12

Enter the name of the squares file: inp6
Choose 1 - get counts and maximun pairs, or 2 - get pairs for one square: 1
..output file inp6-orthCounts.txt
..output file inp6-orthNos.txt
squares 5 total orthogonal pairs 10
Maximum pairs for square 1: 4
There are 4 other squares with this maximum number of pairs.
..output file inp6-1orths.txt
Pairs for square 1: 4

Таблица ортогональных пар

1: [2,3,4,5],
2: [1,3,4,5],
3: [1,2,4,5],
4: [1,2,3,5],
5: [1,2,3,4]

А эксперимент ещё не закончен.
Дальше буду переставлять строки.
А затем надо будет собрать все порции ЛК, добавить к ним 4 ДЛК группы MODLS и проверить полученный набор на максимальную клику.

А кстати...
посмотрите на группу MOLS 12-го порядка, выданную программой SageMath,
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=120&postid=1290

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 1  0  3  2  5  4  7  6  9  8 11 10
 2  3  0  1  6  7  4  5 10 11  8  9
 3  2  1  0  7  6  5  4 11 10  9  8
 8  9 10 11  0  1  2  3  4  5  6  7
 9  8 11 10  1  0  3  2  5  4  7  6
10 11  8  9  2  3  0  1  6  7  4  5
11 10  9  8  3  2  1  0  7  6  5  4
 4  5  6  7  8  9 10 11  0  1  2  3
 5  4  7  6  9  8 11 10  1  0  3  2
 6  7  4  5 10 11  8  9  2  3  0  1
 7  6  5  4 11 10  9  8  3  2  1  0

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 6  7  4  5 10 11  8  9  2  3  0  1
 4  5  6  7  8  9 10 11  0  1  2  3
 2  3  0  1  6  7  4  5 10 11  8  9
10 11  8  9  2  3  0  1  6  7  4  5
 5  4  7  6  9  8 11 10  1  0  3  2
 7  6  5  4 11 10  9  8  3  2  1  0
 8  9 10 11  0  1  2  3  4  5  6  7
 9  8 11 10  1  0  3  2  5  4  7  6
 3  2  1  0  7  6  5  4 11 10  9  8
 1  0  3  2  5  4  7  6  9  8 11 10
11 10  9  8  3  2  1  0  7  6  5  4

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 3  2  1  0  7  6  5  4 11 10  9  8
11 10  9  8  3  2  1  0  7  6  5  4
 6  7  4  5 10 11  8  9  2  3  0  1
 4  5  6  7  8  9 10 11  0  1  2  3
 7  6  5  4 11 10  9  8  3  2  1  0
 9  8 11 10  1  0  3  2  5  4  7  6
 1  0  3  2  5  4  7  6  9  8 11 10
 5  4  7  6  9  8 11 10  1  0  3  2
 2  3  0  1  6  7  4  5 10 11  8  9
10 11  8  9  2  3  0  1  6  7  4  5
 8  9 10 11  0  1  2  3  4  5  6  7

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 9  8 11 10  1  0  3  2  5  4  7  6
 8  9 10 11  0  1  2  3  4  5  6  7
 1  0  3  2  5  4  7  6  9  8 11 10
 5  4  7  6  9  8 11 10  1  0  3  2
 3  2  1  0  7  6  5  4 11 10  9  8
 2  3  0  1  6  7  4  5 10 11  8  9
 4  5  6  7  8  9 10 11  0  1  2  3
11 10  9  8  3  2  1  0  7  6  5  4
 6  7  4  5 10 11  8  9  2  3  0  1
 7  6  5  4 11 10  9  8  3  2  1  0
10 11  8  9  2  3  0  1  6  7  4  5

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
10 11  8  9  2  3  0  1  6  7  4  5
 5  4  7  6  9  8 11 10  1  0  3  2
 7  6  5  4 11 10  9  8  3  2  1  0
 9  8 11 10  1  0  3  2  5  4  7  6
11 10  9  8  3  2  1  0  7  6  5  4
 3  2  1  0  7  6  5  4 11 10  9  8
 6  7  4  5 10 11  8  9  2  3  0  1
 2  3  0  1  6  7  4  5 10 11  8  9
 1  0  3  2  5  4  7  6  9  8 11 10
 8  9 10 11  0  1  2  3  4  5  6  7
 4  5  6  7  8  9 10 11  0  1  2  3

Все эти ЛК тоже получаются друг из друга перестановкой строк.

Полученная мной группа MOLS лучше, потому что она содержит четыре ДЛК.

Перестановку строк закончила.
Найдены ещё две клики размера 4, то есть к трём ДЛК прибавляется один ЛК, получаются группы MOLS из 3-х ДЛК и одного ЛК.
Ну, это не так интересно.
Теперь соберу все найденные ЛК и отправлю помощнику для проверки на максимальную клику.

Изобразила группу MOLS 12-го порядка, найденную мной: четыре ДЛК и один ЛК



Лепота! Я в восторге от этой группы!

Группа MODLS из пяти ДЛК пока не получилась. Может быть, и не получится - просто потому, что (вполне возможно) её не существует.

Черепашка очень довольна :)
Только огорчается, что не может проверить все ЛК на максимальную клику.
Ну, попросим нашего замечательного помощника.
Он, кстати, недавно и программу SageMath установил.
Сейчас соберём все ЛК и отправим ему.

Помощника постигла неудача с программой SageMath, что вполне ожидаемо.
Граф получился огромный, он занимает примерно 500 МБ.
И программа SageMath граф не смогла считать из входного файла.
Помощник пишет, что он ждал 10 часов, когда программа введёт граф, но так и не дождался.
Я вижу только протокол работы программы GetOrthogonal (помощник мне его прислал)

Order? 12

Enter the name of the squares file: lk12_502602
Choose 1 - get counts and maximun pairs, or 2 - get pairs for one square: 1
..output file lk12_502602-orthCounts.txt
..output file lk12_502602-orthNos.txt
    .. increasing LS store to     100,000
    .. increasing LS store to     200,000
    .. increasing LS store to     400,000
    .. increasing LS store to     800,000
squares 502602 total orthogonal pairs 31947721
Maximum pairs for square 1: 687
This is the only square with this maximum number of pairs.
..output file lk12_502602-1orths.txt
Pairs for square 1: 687

elapsed time 6:58:39

Мы видим в протоколе: проверяемый набор состоит из 502602 ЛК, из них первые четыре являются ДЛК (из группы MODLS 12-го порядка).
Образовано 31947721 ортогональных пар.
При этом максимальная группа ОЛК у квадрата 1, этот квадрат является ДЛК. Максимальная группа содержит 687 ОЛК, и она одна.
Среди ОЛК к квадрату 1 есть три ДЛК, все остальные - ЛК.

Попросила помощника попробовать поиск по файлу (содержащему граф).
Максимальная клика размера 5 выглядит в таблице ортогональности так
29866: [1, 2, 3, 4]
Следовательно, надо искать такой набор символов в строке
[1, 2, 3, 4

Но так мы проверим только ортогональность каждого ЛК четырём ДЛК.
А ещё ведь надо проверить, например, наличие таких клик
[1,2,3,
или варианты
[1,2,4,
[1,2,5,
и так далее.
То есть могут быть, вполне вероятно, группы, в которых три ДЛК и, как минимум, два ЛК.
А ещё интереснее, если будет три ДЛК и три ЛК, да пусть даже все шесть ЛК.
Однако группа MOLS 12-го порядка из шести ЛК пока науке неизвестна, известна только из пяти ЛК.
Вдруг в найденном мной наборе существует максимальная клика размера 6, пусть даже состоящая только из ЛК.

А где-то написано, что группа MOLS 12-го порядка из шести ЛК не существует?
Господа, если вам это известно, пожалуйста, сообщите.
Программа SageMath не знает группу MOLS 12-го порядка, состоящую из шести взаимно ортогональных ЛК.
Я думаю, что в программу введены все новейшие результаты в этой области.

Смотрим последовательность OEIS
https://oeis.org/A001438
Maximal number of mutually orthogonal Latin squares (or MOLS) of order n.

Цитирую

Parker and others conjecture that a(10) = 2.
It is also known that a(11) = 10, a(12) >= 5.
It is known that a(n) >= 2 for all n > 6, disproving a conjecture by Euler that a(4k+2) = 1 for all k. - Jeppe Stig Nielsen, May 13 2020

Комментарий довольно свежий, всего год назад.
Значит, пока всё-таки неизвестна группа MOLS 12-го порядка, состоящая из шести взаимно ортогональных ЛК.
Но и не утверждается, что такая группа не существует, потому что в таком случае было бы написано
a(12) = 5.

Кстати, в этой статье OEIS был бы хорош пример найденной мной группы MOLS 12-го порядка, состоящей из четырёх ДЛК и одного ЛК



Очень красивая группа MOLS, к тому же, оригинальная, потому что такую группу программа SageMath, например, не знает, она выдаёт совсем другую группу, состоящую из пяти ЛК.

Цитата из сообщения
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=117&postid=1189

Ура! Я её нашла!
Ссылка
https://doc.sagemath.org/html/en/reference/combinat/sage/combinat/designs/latin_squares.html
(между прочим, это от программы SageMath)

Сделала новый скриншот



Ну вот, здесь тоже написано, что для порядка 12 известна группа MOLS из пяти ЛК.

Здесь
https://math.stackexchange.com/questions/4156562/modls-of-order-12
по-прежнему полная тишина.
Добавила комментарий о том, что я нашла пятый квадрат к найденной группе MODLS, содержащей четыре ДЛК.
Вот как выглядит комментарий

I found the fifth square for the MODLS group I found, containing four diagonal Latin squares (see question).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 0 7 1 6 2 9 5 10 4 11 8
2 5 0 7 8 1 10 3 4 11 6 9
1 3 5 0 9 7 4 2 11 6 8 10
6 4 10 9 0 8 3 11 2 1 7 5
7 2 3 5 10 0 11 1 6 8 9 4
4 9 8 6 1 11 0 10 5 3 2 7
5 7 1 2 11 3 8 0 9 10 4 6
10 8 6 11 2 4 7 9 0 5 3 1
9 6 11 4 3 10 1 8 7 0 5 2
8 11 4 10 5 9 2 6 1 7 0 3
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=120&postid=2367

Unfortunately, this is not diagonal Latin square.

Может, кто-нибудь чего-нибудь скажет по этому поводу.
Уже никакой надежды не осталось.
Наверное, в самом деле, я нашла уникальную группу MODLS, доселе неизвестную науке.

Поразительно, что в OEIS эту группу MODLS до сих пор не утвердили.
Статья в OEIS
https://oeis.org/A328873
Моё добавление

COMMENTS a(12) >= 4. - Natalia Makarova, May 30 2021
LINKS Natalia Makarova, MOLS and MODLS of order 12

А, они сомневаются, что группа правильная. Им надо, чтобы господин Ватутин это подтвердил :)
П-о-н-и-м-а-ю...
Ну, он и подтвердил :) Добавил группу в свой "подтверждающий список".
Опять не утверждают. Чего-то ещё ждут.
Может быть, послали группу какому-нибудь эксперту и ждут заключения.
Ну, это я так фантазирую :)
Хотя... редактор писал же: "В OEIS есть стандарты качества и процесс проверки".
Ладно, пусть проверяют. Думаю, что не пройдёт и года, как утвердят. Впрочем, может быть, и не утвердят, а удалят добавление. И все дела!
Нет добавления - нет вопросов.

У нас с помощником есть огромный граф, в котором нам пока не удалось найти клику максимального размера.
Программа SageMath что-то забуксовала на проверке этого графа.

Пока думаем, что делать с этим графом.
Решили одну подзадачу.
Помощник поиском по файлу нашёл только один ЛК, которому ортогональны все четыре ДЛК (1, 2, 3, 4)

232546: [1,2,3,4,4160,4197,5232,13227,26395,28179],
232546: [28236,37561,38880,43155,43178,43767,45433,49360,49368,68176],
232546: [68814,71421,75756,76699,88603,88620,91100,91381,93818,94433],
232546: [94482,96544,99871,103053,103142,105990,113031,114800,118952,121596],
232546: [123247,125412,137754,141965,142256,144878,146487,152173,153656,154834],
232546: [155076,157011,159949,162469,164407,166309,167101,167237,187348,189063],
232546: [189754,189808,190487,190755,194776,195898,198243,199669,202352,202370],
232546: [202522,202534,202673,256134,259456,263133,263244,265777,267231,271276],
232546: [272415,272570,274385,275651,287974,290407,293324,293389,295354,295941],
232546: [312034,312616,320117,321010,322543,322571,325273,334560,334679,335765],
232546: [336330,336553,339846,342177,342199,342491,343532,343726,343767,344364],
232546: [347527,347899,348365,349186,349690,351269,356214,356566,356758,357252],
232546: [357621,357670,359073,362430,363397,365610,366527,371222,373449,391229],
232546: [391485,392045,392146,392811,393296,394670,395172,395212,399663,401186],
232546: [405847,412076,412618,414582,418475,424722,424733,424751,426769,428571],
232546: [428793,429570,430533,452769,452853,452977,453086,453132,454305,456243],
232546: [456636,462350,462870,462890,469075,469202,470833,470943,473041,495201],
232546: [495427,497409,498658,499048],

Тут, конечно, клика размера 5, содержащая четыре ДЛК и один ЛК.
И это та самая клика, которую я уже нашла ранее.
Квадрат 232546 - вот он

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
 3  0  7  1  6  2  9  5 10  4 11  8
 2  5  0  7  8  1 10  3  4 11  6  9
 1  3  5  0  9  7  4  2 11  6  8 10
 6  4 10  9  0  8  3 11  2  1  7  5
 7  2  3  5 10  0 11  1  6  8  9  4
 4  9  8  6  1 11  0 10  5  3  2  7
 5  7  1  2 11  3  8  0  9 10  4  6
10  8  6 11  2  4  7  9  0  5  3  1
 9  6 11  4  3 10  1  8  7  0  5  2
 8 11  4 10  5  9  2  6  1  7  0  3
11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0

Посмотрите, сколько у этого ЛК ортогональных соквадратов (помимо четырёх ДЛК)!

Далее, помощник прислал мне список всех ортогональных соквадратов к ДЛК 1, 2, 3, 4

1: [2,3,4,403,480,484,631,1225,1254,2609],
1: [2828,2831,3595,3663,3705,3901,3961,5667,5853,6295],
1: [6307,7546,8221,8225,8450,8713,9367,9629,9655,9820],
1: [10776,10884,11082,11770,14554,15549,15811,15841,16050,16053],
1: [18595,18699,19016,19683,21181,21193,21843,22268,22746,22937],
1: [23239,23274,23279,25287,27765,27940,30619,30636,30975,31502],
1: [33223,34580,34630,34633,34966,35011,35408,35790,36414,36582],
1: [38480,38998,39009,39975,40392,41961,44580,44728,45094,45097],
1: [45760,46722,46840,47822,48010,49041,51453,51938,52231,52610],
1: [52977,55452,55501,55504,55520,55953,56830,58678,61933,64637],
1: [66336,68025,68823,69332,71629,71703,72845,74457,75824,76031],
1: [77105,77188,78812,79100,79267,80208,82214,82236,82396,83832],
1: [83833,83944,85217,85247,89082,89459,89839,90094,90241,90537],
1: [90610,91181,91253,91295,91659,92216,92664,92726,92985,93424],
1: [93494,93641,93806,94960,95031,97452,97468,97785,98317,99139],
1: [99299,100187,100190,100890,100961,101189,101536,102280,102324,102349],
1: [102414,102679,103348,105779,106224,106358,106385,106793,107209,107217],
1: [107508,108395,108404,108424,108539,108549,108553,109277,109536,110502],
1: [111285,111292,111306,113395,113683,113871,114356,114531,114537,114796],
1: [114902,114917,115826,124977,125223,128732,130140,132641,133483,134010],
1: [134456,134889,135142,135524,135561,136187,136788,138800,139531,140308],
1: [140327,141693,142016,142558,142611,142777,143530,143783,146684,147053],
1: [147266,147396,147957,148622,149164,149245,150596,150708,152220,152277],
1: [152742,153157,155025,155063,156345,168049,168051,168353,168442,168646],
1: [169190,169512,169816,169939,170239,171189,171260,172906,173939,176406],
1: [177676,177786,178457,178870,179559,179598,179603,180000,180027,180194],
1: [181144,181212,181336,184897,184996,185529,188231,188387,189164,189210],
1: [189217,189356,189436,190421,190506,190572,190730,191186,192242,193148],
1: [194576,194660,196592,197020,197687,198093,199550,199848,200198,200952],
1: [204139,204206,204377,204460,205419,205477,205659,206826,206929,206979],
1: [207310,207329,207435,208208,209546,209913,209915,210291,210553,212010],
1: [212755,212781,212820,212925,213150,213452,214258,214402,214553,214744],
1: [215419,215611,215643,215645,215796,217924,218392,218597,220311,220905],
1: [220955,221340,222440,222778,222789,222840,223072,223594,223607,223824],
1: [223834,223871,224055,225307,225463,226509,226716,226847,230432,230948],
1: [231131,231904,232546,232590,235030,235296,236167,237739,249503,249723],
1: [250855,253675,254952,255027,255912,256119,257394,258176,259125,259317],
1: [259336,259872,260318,261421,261456,262228,262235,262937,263511,264710],
1: [264923,264926,265353,266553,270204,270247,270330,270655,271943,274304],
1: [274647,276168,276441,278728,281162,283091,283355,283452,283510,284316],
1: [284387,285664,287336,288294,290360,291905,293062,293617,296041,297122],
1: [297917,299421,301685,301686,301702,302604,303114,304406,304415,304638],
1: [305327,305408,305684,305685,305701,306330,306337,306766,307673,307674],
1: [308785,309171,309607,309969,309971,310472,310619,310913,311034,311993],
1: [312475,312792,315175,315526,316417,316631,316765,319505,320360,321042],
1: [321607,322260,322318,323746,324006,324333,326268,326516,326531,327796],
1: [328243,328292,328515,328794,328889,329797,332964,334583,334619,336363],
1: [336719,336841,337305,345525,346080,347057,347093,347115,347116,349338],
1: [349348,349896,349916,350909,351168,351190,351191,353513,353650,353720],
1: [353816,353818,353888,354654,354692,354693,355727,355747,355929,355996],
1: [355997,357183,357235,357522,360481,361417,361549,361642,361847,362345],
1: [364021,366393,366402,366958,367107,367135,368091,369229,369238,370560],
1: [370575,371662,371838,373628,374307,374858,381761,382629,382630,382732],
1: [383194,383258,385409,385422,386405,387458,387491,387500,387518,388547],
1: [389319,389656,389761,389862,391449,391681,391930,394195,394390,396924],
1: [397542,406182,407739,408541,409293,409315,410001,410070,411350,411399],
1: [411402,411418,411460,411506,411611,411814,413000,414272,414279,416474],
1: [417741,418203,418257,420466,420699,420730,420840,421021,421202,422043],
1: [422508,422546,422640,422660,423612,424436,424453,425143,425412,426053],
1: [426846,426986,427283,428356,428409,428789,431469,432835,432919,434716],
1: [434977,435441,436487,436512,436514,437817,437853,438494,438511,438969],
1: [440028,440791,440877,442932,444069,444406,447350,447676,447691,448356],
1: [449382,451366,451657,451664,451684,453939,455962,456071,456299,457067],
1: [457074,457094,458005,458270,459257,459719,460698,461661,461832,463656],
1: [463692,465586,468568,469417,469771,473314,473805,473816,474198,474932],
1: [475659,475747,475920,476383,476451,476786,476923,479534,480480,482364],
1: [484443,484449,484597,484699,485132,485881,486563,488201,488204,491027],
1: [491168,491193,492480,492483,493386,493443,494604,494667,496627,496641],
1: [496715,497044,497157,497534,499903,501953,501987],
2: [1,3,4,393,903,2206,2555,2668,2963,5388],
2: [5652,6717,7259,7265,8491,9710,10724,11127,13157,13742],
2: [15549,15570,15807,17500,19213,19973,20074,20156,20366,21714],
2: [22042,22133,22553,22558,22912,22923,25958,26031,26034,27506],
2: [27672,28569,28916,29149,29487,30576,30581,30622,30665,30667],
2: [31043,33892,33949,34732,35340,36013,36045,36369,36386,36643],
2: [36654,37227,37280,37303,37658,37686,38307,40031,40166,40180],
2: [41356,41609,41661,41770,43233,43440,43741,43745,43793,43986],
2: [52958,53972,54783,55273,55396,58471,59048,59100,61628,61710],
2: [61938,62063,62231,62439,62477,62625,62681,62838,65061,65469],
2: [68705,69646,69742,69855,70429,70583,71971,72962,74000,74026],
2: [75044,75374,75694,76397,76433,76855,77298,77843,79109,79505],
2: [79991,80043,83040,83257,84603,84890,85966,86238,88226,88279],
2: [88425,88731,88865,89367,90401,90436,91761,92284,92377,92428],
2: [92598,93923,94157,95157,95272,95306,95347,95762,96465,97193],
2: [99174,99236,103304,103335,103738,111228,112881,113505,114223,116927],
2: [118460,118949,119470,120200,120281,120284,120416,120628,120984,121462],
2: [121603,123480,125211,126457,126473,127215,127265,127320,127386,129324],
2: [130021,130753,130769,130997,131724,132204,134938,135388,136354,136442],
2: [136541,137401,137554,137630,138625,138687,138836,139150,139835,140144],
2: [140352,140415,140471,140913,142838,142996,143094,143502,143686,145245],
2: [145564,145566,146784,146937,147030,149034,149246,149575,149577,149748],
2: [149924,150731,150812,150884,151258,151804,151815,153182,153190,153376],
2: [153389,153397,153527,153535,157369,158790,159215,159336,159463,160420],
2: [160542,160791,161312,162645,163152,165148,166401,166558,166881,167146],
2: [167239,168388,168439,170412,170514,170603,173423,173499,173602,173688],
2: [174656,174830,174851,175110,175115,175217,175255,176428,176471,176480],
2: [176633,176642,177572,177727,177767,177807,178293,178643,181697,181846],
2: [182047,182065,184822,186156,186177,186385,186418,192629,192791,193009],
2: [193558,194344,194914,195054,195119,195272,195340,197265,197339,198062],
2: [200356,200734,201654,201773,202132,202434,202547,202924,203686,204307],
2: [204758,205498,206028,206042,206132,208589,208609,209110,219477,219996],
2: [220269,221027,221819,222018,222090,222803,223520,225340,225662,226045],
2: [226492,226750,228187,229005,230039,231912,231913,232087,232111,232362],
2: [232546,232810,234273,236314,237185,238271,239646,240285,240465,240473],
2: [240550,241620,241636,241769,241793,242165,242312,243407,243842,244991],
2: [245011,245519,246579,246621,246667,246692,246743,247429,248463,248634],
2: [249288,249473,250552,253619,253622,253658,253705,254282,254356,255695],
2: [256256,256491,257549,257558,257894,257909,258063,258078,259840,260405],
2: [260539,263075,263420,263650,264089,265393,265816,267073,267470,267481],
2: [268160,268734,279607,280243,280372,280440,281455,282364,282521,283096],
2: [285840,287358,287482,288570,288972,289081,291809,293364,293412,293666],
2: [293966,295830,296211,296546,297708,297960,299049,299716,300095,300099],
2: [347122,347746,347907,349077,349195,349220,352991,353245,353340,355672],
2: [356841,356852,356940,357575,357714,357925,358028,358111,359435,362871],
2: [363578,363649,363732,364080,364633,365503,365570,365642,367006,367152],
2: [367180,367852,375569,375649,375706,376110,377340,377342,378558,378591],
2: [381280,381299,381537,381620,381628,382342,382448,382621,384819,384884],
2: [386037,386073,386184,386291,386603,386709,387680,387901,388802,389059],
2: [389420,390138,390209,393758,393926,395648,395681,395868,395873,395936],
2: [397159,397204,397327,397668,398374,399424,399486,399594,399598,400203],
2: [400863,401223,402107,402325,403560,405856,406080,406488,407183,407514],
2: [408158,408599,408810,409027,409280,409397,409519,411172,411174,412500],
2: [413758,414089,414192,414910,415690,418800,419098,421446,422391,422925],
2: [425890,429378,429761,430762,432601,434099,435441,436227,439341,440876],
2: [442007,442164,442194,442212,442321,445229,445231,445554,446706,447207],
2: [448317,448881,449051,450349,450574,450897,450973,451372,451399,451414],
2: [451597,452753,452755,453807,453879,454228,454243,454369,454381,454565],
2: [454864,455137,457314,457316,457359,458486,458720,458734,459348,459737],
2: [460279,460650,460764,462015,462134,462136,463486,464814,466226,466288],
2: [466314,467096,469208,469296,469407,469942,470126,470197,470427,472772],
2: [473663,473874,474440,475151,475208,475975,476356,479348,479515,479522],
2: [479601,481231,481248,481808,482014,483058,483204,483363,484365,485236],
2: [486233,486956,487252,487264,487436,487752,487864,490281,490414,490563],
2: [490656,490681,492112],
3: [1,2,4,93,128,363,1535,1823,2036,2040],
3: [2726,3303,4156,6979,7466,7474,7547,7607,7785,7925],
3: [8485,9192,9514,9693,11873,12057,12608,12747,12749,14248],
3: [14596,15549,15819,16396,16960,18261,18654,18687,18716,19403],
3: [20620,20635,23844,24964,25543,26465,26988,27181,35921,36081],
3: [36319,37390,38644,39412,39587,39691,39939,39955,40015,40148],
3: [40672,40863,41032,43101,43130,46661,46720,47054,47352,47355],
3: [47631,47824,48242,48244,48478,48740,48816,49472,50212,50680],
3: [53609,53722,53898,53952,54363,54585,54711,55673,55675,55861],
3: [55906,56076,57077,57734,58153,59050,59152,59301,59706,59792],
3: [60095,60251,60273,62551,62709,62784,64137,65252,65327,66773],
3: [67782,67951,68507,69752,71759,73083,73352,74301,77243,77768],
3: [80992,81017,81264,82434,82660,83095,85632,85892,86900,86907],
3: [88609,90418,90488,93708,94073,94947,95048,98189,99532,99576],
3: [100632,102217,102886,103030,103441,103909,105329,105664,106118,106326],
3: [107880,109223,109932,110120,110432,110750,111253,111261,111277,111588],
3: [112085,112222,112477,115037,115068,115257,115937,116066,116953,116961],
3: [117266,117493,118151,118157,118452,118959,119049,119597,119634,120252],
3: [120288,121872,122059,123790,123934,123940,124689,125973,126249,127952],
3: [127988,128890,129142,129810,129985,130394,130970,131812,132126,132536],
3: [132955,133355,133700,133705,134352,134545,145259,146154,147886,148095],
3: [148644,148747,149174,149232,159137,159141,159419,159444,159530,159803],
3: [161350,161449,161946,164258,165332,165397,165399,165453,165628,165922],
3: [166044,167233,167359,167366,168654,170025,170167,170715,171249,171625],
3: [172427,172782,172971,173673,174015,174030,174443,174447,175104,175251],
3: [175336,176627,176631,176941,177042,177815,178066,178241,179007,179352],
3: [180336,180411,181621,181626,181667,182214,185424,186755,186823,187837],
3: [187876,187909,187957,188173,189701,196813,196867,196871,197341,198242],
3: [198524,198596,198600,199567,199573,201331,201513,202248,203125,203295],
3: [204492,204587,205828,205918,206004,207858,208228,209734,210306,210768],
3: [211127,213285,213422,213944,213993,214090,214616,215343,215984,216336],
3: [216547,216679,225992,226307,226419,226423,226989,228817,229015,229098],
3: [229985,229992,231703,232323,232546,233153,233159,233888,234230,234238],
3: [235281,235319,235326,235579,235661,236686,237045,240556,240699,241970],
3: [242612,242664,245133,245483,248036,248297,250115,250123,250161,250284],
3: [250788,250990,252694,252809,252971,253049,253076,301049,301703,301908],
3: [301949,303306,306141,306243,306363,306422,306528,306998,307499,307647],
3: [308902,308946,309495,310218,311651,312148,312710,314263,314452,314731],
3: [314766,315429,315601,316320,316437,317822,317829,318564,319372,320156],
3: [320419,320565,321967,322359,322364,322435,322443,322513,329485,329802],
3: [332191,332455,332724,333646,333800,334230,334254,335118,336249,336493],
3: [337187,340424,341029,341789,342377,344409,344413,344654,344966,346386],
3: [348073,349380,351654,351679,351747,351924,352451,355111,355488,357387],
3: [357479,358261,359180,359322,359613,361595,361638,362867,363409,364198],
3: [365395,365447,367190,367394,367552,367659,373131,373794,374227,374410],
3: [374629,375184,375903,376530,378394,378966,379217,379485,379558,379837],
3: [381738,381908,381915,382139,382497,383128,383165,383716,384090,387176],
3: [387331,387523,387737,393241,393330,393595,393604,395354,396325,396983],
3: [397017,397179,397267,397510,397733,398008,398594,399036,399064,399101],
3: [399910,400187,400481,400486,402643,403665,405251,415712,415793,416136],
3: [416192,416318,416423,417401,417963,417999,418766,419574,421955,422833],
3: [422895,422960,423080,423798,423997,424311,424350,425474,426431,426439],
3: [426477,426919,428077,428345,429073,429716,429740,430604,431449,431851],
3: [432124,432184,433150,433532,433996,434053,434055,435441,436311,436455],
3: [439148,440240,440361,440474,443078,443963,443968,444504,446850,446914],
3: [447455,449024,450616,450805,453636,453852,457517,458074,458182,458583],
3: [459327,459481,459668,460663,461426,461546,461795,465893,466157,466945],
3: [467071,467350,467929,468465,468663,468710,468909,469262,472203,472237],
3: [472635,473461,475321,475683,476606,478512,478517,478571,478792,480659],
3: [480669,481082,481133,483691,484487,484491,484543,485245,485458,485466],
3: [486271,486281,486415,486600,487025,488159,488373,488470,488477,488764],
3: [489524,493577,493755,495023,495147,495383,496172,497620,498027,498058],
4: [1,2,3,1954,3064,3194,4335,4667,5218,6389],
4: [8358,8401,8455,10720,10780,12070,12264,12338,12414,12431],
4: [12719,15571,15706,15947,16727,16740,18993,19338,21532,23759],
4: [23772,24911,25220,25221,26005,26174,26249,26672,26830,27020],
4: [32434,33243,33891,34539,35145,39122,39128,39872,41190,41822],
4: [42449,42853,43446,43510,45289,45983,46849,47317,47949,48394],
4: [49268,49394,49785,49818,49830,49853,52016,52765,52892,53130],
4: [53287,53853,54448,55325,55656,56128,57112,58141,60056,60572],
4: [60761,61546,61547,61934,61956,61981,63090,63553,63677,63806],
4: [65080,65327,65498,65499,65815,65857,68163,68886,69346,69850],
4: [69891,70091,70094,70951,71232,71455,71460,71819,72040,72119],
4: [72234,73609,73816,77637,78130,78171,78269,78575,80762,80763],
4: [80824,80888,81949,82065,82220,82629,83602,84086,84177,84189],
4: [84370,84374,85006,87577,88297,89656,90002,90987,91564,91608],
4: [92526,93331,94382,94838,94842,151691,152114,152188,152413,153609],
4: [153798,154834,154903,155087,155368,155510,155704,156529,157093,157194],
4: [157394,157942,158642,159184,159314,159683,161544,161548,161804,162581],
4: [163007,163146,163414,165444,166467,167143,167203,167272,167721,168135],
4: [170441,170442,170484,170873,171916,171917,172212,172580,173335,184507],
4: [185264,187213,187337,187365,187557,188124,188260,188760,189234,189237],
4: [189319,190105,190146,190600,191283,191458,191561,191808,192280,192282],
4: [192699,193670,194104,194175,194473,196085,196619,196845,196860,197476],
4: [197649,197768,198387,198432,201456,203551,203691,203748,205483,206345],
4: [206809,210535,211225,211567,211627,211655,214942,215667,215709,216391],
4: [216770,218817,218828,219156,219188,219354,220038,222714,222753,222777],
4: [224128,224132,224458,224710,224730,227144,227294,227821,228462,228513],
4: [229032,229054,229457,229791,229803,229905,232546,233456,236114,236359],
4: [236447,237493,237498,237605,237809,238147,238192,240207,240439,240682],
4: [244853,244867,244872,245972,245976,246561,246566,246639,248098,248126],
4: [248346,248977,251867,251930,252316,252418,253299,253302,253725,262196],
4: [262492,263430,263524,263599,264854,264857,264964,268245,269048,269606],
4: [269850,271432,273000,273024,273563,273973,277626,278717,280748,281750],
4: [282451,282465,282678,282869,283285,283845,284736,285831,285961,286497],
4: [286878,287065,287257,288220,289706,289764,290013,290031,290267,290504],
4: [292166,292602,292849,293467,293666,293980,293992,294275,296824,296956],
4: [297182,297540,297551,298547,298595,299082,299097,299378,300235,300519],
4: [301109,302357,302367,305621,306692,307377,307876,308120,308418,308595],
4: [309316,309366,309520,309523,309693,310209,310532,310843,311532,313178],
4: [313525,313679,314206,314227,323119,323249,324531,324714,325369,325372],
4: [325385,325692,331118,331272,331669,333983,334082,337479,338066,339026],
4: [339983,340187,341243,341411,341815,344183,344603,345333,345338,345927],
4: [346721,348127,349060,349383,350029,350251,350344,352353,352915,353173],
4: [353175,353241,354122,355592,356096,356170,356718,356953,360315,360426],
4: [361132,361269,361871,362844,363720,363890,366678,366941,368316,370895],
4: [370901,372302,375063,375423,375748,377516,378811,378973,380064,380380],
4: [381144,382608,383629,385032,386538,386745,386778,388038,389094,389127],
4: [389275,389682,392327,392354,392710,393841,393866,394038,394886,395232],
4: [395443,396127,396213,396303,396401,396512,398149,398501,398675,399359],
4: [401113,402658,403348,403626,404014,404107,404123,404176,406952,407840],
4: [408274,408279,408303,408739,408945,411191,412279,414408,415071,415275],
4: [415432,416330,416937,417105,417503,417688,417691,420616,421001,421028],
4: [422473,422525,423026,423140,423394,425412,425766,425770,426242,426791],
4: [426828,426833,426975,429900,430191,431289,431301,431307,433169,437418],
4: [437537,438816,438984,439211,439967,440211,442245,442386,442779,445262],
4: [445354,447070,447080,447636,448179,448626,448694,448807,450982,451844],
4: [452282,452294,453547,453785,455487,455618,455797,456547,457226,457308],
4: [457356,457866,458021,467685,468174,468370,468388,470829,475630,476061],
4: [477117,477538,477685,480323,480338,480644,482887,485276,485525,485683],
4: [488193,488818,489300,490154,490634,491164,491950,492197,492265,492432],
4: [494479,494515,494751,494764,495445,495643,495692,496082,497013,497241],
4: [497670,498849,502118,502324,502341],

Тут надо придумать, как поискать общие ортогональные ЛК, скажем, к ДЛК 1, 2 и 3, или к ДЛК 1 и 2; ну, тут много вариантов.
Пока не придумывается автоматизация этого поиска.

Но самая главная задача: проверить граф на клику размера 6, паче чаяния такая вообще существует в природе.
Пусть эта клика состоит из всех ЛК, это тоже очень хорошо.

Я попросила помощника выложить таблицу ортогональных пар (этот самый огромный граф) на Яндекс.Диск
Вот здесь
https://disk.yandex.ru/d/wfQVzrZvfW35PQ
текстовый файл сжат, в сжатом виде 172,3 МБ.

Господа!
Вы можете поискать в этом графе максимальную клику.
Пожалуйста, расскажите, если у вас получится.

Я тут сравнила группы MOLS...

Цитата из сообщения
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=138&postid=2452

Мне удалось расширить эту группу до пяти взаимно ортогональных ЛК, только пятый ЛК не является ДЛК.
Этот ЛК очень красивый получился, смотрите



Таким образом, я получила группу MOLS 12-го порядка, состоящую их четырёх ДЛК и одного ЛК.
Все квадраты этой группы получаются друг из друга перестановкой строк.

Сравните найденную мной группу MOLS 12-го порядка с полной системой MOLS 8-го порядка (составлена в матпакете Maple очень давно коллегой М. Алексеевым)



PS. Добавлю полную систему MOLS 16-го порядка

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5

Всё точно так же!
Все квадраты получаются друг из друга перестановкой строк.
Единственный ЛК в системе имеет похожую структуру (смотрите на диагонали).

Очень интересная похожесть полных систем MOLS порядков 8 и 16 и группы MOLS 12-го порядка. Порядки серии n=4k, k=2, 3, 4.
Напрашивается мысль, что существует подобная группа MOLS 20-го порядка.

Для порядка 32, наверное, подобная полная система MOLS.
Эту полную систему MOLS можно посмотреть в теме
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=117

Интересная закономерность!

PS. Добавлю полную систему MOLS 4-го порядка

0 1 2 3
3 2 1 0
1 0 3 2
2 3 0 1

0 1 2 3
2 3 0 1
3 2 1 0
1 0 3 2

0 1 2 3
1 0 3 2
2 3 0 1
3 2 1 0

Я посмотрела на полную систему MOLS 32-го порядка.
Да! Всё точно так же!
Все квадраты получаются друг из друга перестановкой строк.
Единственный ЛК имеет похожую структуру (смотрите на диагонали)

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
 1  0  3  2  5  4  7  6  9  8 11 10 13 12 15 14 17 16 19 18 21 20 23 22 25 24 27 26 29 28 31 30
 2  3  0  1  6  7  4  5 10 11  8  9 14 15 12 13 18 19 16 17 22 23 20 21 26 27 24 25 30 31 28 29
 3  2  1  0  7  6  5  4 11 10  9  8 15 14 13 12 19 18 17 16 23 22 21 20 27 26 25 24 31 30 29 28
 4  5  6  7  0  1  2  3 12 13 14 15  8  9 10 11 20 21 22 23 16 17 18 19 28 29 30 31 24 25 26 27
 5  4  7  6  1  0  3  2 13 12 15 14  9  8 11 10 21 20 23 22 17 16 19 18 29 28 31 30 25 24 27 26
 6  7  4  5  2  3  0  1 14 15 12 13 10 11  8  9 22 23 20 21 18 19 16 17 30 31 28 29 26 27 24 25
 7  6  5  4  3  2  1  0 15 14 13 12 11 10  9  8 23 22 21 20 19 18 17 16 31 30 29 28 27 26 25 24
 8  9 10 11 12 13 14 15  0  1  2  3  4  5  6  7 24 25 26 27 28 29 30 31 16 17 18 19 20 21 22 23
 9  8 11 10 13 12 15 14  1  0  3  2  5  4  7  6 25 24 27 26 29 28 31 30 17 16 19 18 21 20 23 22
10 11  8  9 14 15 12 13  2  3  0  1  6  7  4  5 26 27 24 25 30 31 28 29 18 19 16 17 22 23 20 21
11 10  9  8 15 14 13 12  3  2  1  0  7  6  5  4 27 26 25 24 31 30 29 28 19 18 17 16 23 22 21 20
12 13 14 15  8  9 10 11  4  5  6  7  0  1  2  3 28 29 30 31 24 25 26 27 20 21 22 23 16 17 18 19
13 12 15 14  9  8 11 10  5  4  7  6  1  0  3  2 29 28 31 30 25 24 27 26 21 20 23 22 17 16 19 18
14 15 12 13 10 11  8  9  6  7  4  5  2  3  0  1 30 31 28 29 26 27 24 25 22 23 20 21 18 19 16 17
15 14 13 12 11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15
17 16 19 18 21 20 23 22 25 24 27 26 29 28 31 30  1  0  3  2  5  4  7  6  9  8 11 10 13 12 15 14
18 19 16 17 22 23 20 21 26 27 24 25 30 31 28 29  2  3  0  1  6  7  4  5 10 11  8  9 14 15 12 13
19 18 17 16 23 22 21 20 27 26 25 24 31 30 29 28  3  2  1  0  7  6  5  4 11 10  9  8 15 14 13 12
20 21 22 23 16 17 18 19 28 29 30 31 24 25 26 27  4  5  6  7  0  1  2  3 12 13 14 15  8  9 10 11
21 20 23 22 17 16 19 18 29 28 31 30 25 24 27 26  5  4  7  6  1  0  3  2 13 12 15 14  9  8 11 10
22 23 20 21 18 19 16 17 30 31 28 29 26 27 24 25  6  7  4  5  2  3  0  1 14 15 12 13 10 11  8  9
23 22 21 20 19 18 17 16 31 30 29 28 27 26 25 24  7  6  5  4  3  2  1  0 15 14 13 12 11 10  9  8
24 25 26 27 28 29 30 31 16 17 18 19 20 21 22 23  8  9 10 11 12 13 14 15  0  1  2  3  4  5  6  7
25 24 27 26 29 28 31 30 17 16 19 18 21 20 23 22  9  8 11 10 13 12 15 14  1  0  3  2  5  4  7  6
26 27 24 25 30 31 28 29 18 19 16 17 22 23 20 21 10 11  8  9 14 15 12 13  2  3  0  1  6  7  4  5
27 26 25 24 31 30 29 28 19 18 17 16 23 22 21 20 11 10  9  8 15 14 13 12  3  2  1  0  7  6  5  4
28 29 30 31 24 25 26 27 20 21 22 23 16 17 18 19 12 13 14 15  8  9 10 11  4  5  6  7  0  1  2  3
29 28 31 30 25 24 27 26 21 20 23 22 17 16 19 18 13 12 15 14  9  8 11 10  5  4  7  6  1  0  3  2
30 31 28 29 26 27 24 25 22 23 20 21 18 19 16 17 14 15 12 13 10 11  8  9  6  7  4  5  2  3  0  1
31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0

Восхитительная закономерность!
И больше всего мне нравится, что найденная мной группа MOLS 12-го порядка вписалась в эту закономерность.