По команде

sage: for x in designs.mutually_orthogonal_latin_squares(5,18): print(x,'\n')

в программе SageMath получаем группу MOLS 18-го порядка, состоящую из пяти взаимно ортогональных ЛК

 0  3  6 16 10 13  1  4  7 11 14 17 15  9 12  2  5  8
 7  1  4 14 17 11  8  2  5 15  9 12 13 16 10  6  0  3
 5  8  2  9 12 15  3  6  0 13 16 10 11 14 17  4  7  1
 4  7  1  3  6  0 10 13 16  5  8  2 14 17 11  9 12 15
 2  5  8  1  4  7 17 11 14  0  3  6  9 12 15 16 10 13
 6  0  3  8  2  5 12 15  9  7  1  4 16 10 13 14 17 11
13 16 10  7  1  4  6  0  3 12 15  9  8  2  5 17 11 14
11 14 17  5  8  2  4  7  1 10 13 16  3  6  0 12 15  9
15  9 12  0  3  6  2  5  8 17 11 14  1  4  7 10 13 16
14 17 11  6  0  3  9 12 15  8  2  5 10 13 16  1  4  7
 9 12 15  4  7  1 16 10 13  3  6  0 17 11 14  8  2  5
16 10 13  2  5  8 14 17 11  1  4  7 12 15  9  3  6  0
12 15  9 17 11 14  0  3  6  4  7  1  2  5  8 13 16 10
10 13 16 12 15  9  7  1  4  2  5  8  6  0  3 11 14 17
17 11 14 10 13 16  5  8  2  6  0  3  4  7  1 15  9 12
 3  6  0 15  9 12 11 14 17 16 10 13  7  1  4  5  8  2
 1  4  7 13 16 10 15  9 12 14 17 11  5  8  2  0  3  6
 8  2  5 11 14 17 13 16 10  9 12 15  0  3  6  7  1  4 

 0  7  5 12 10 17 16 14  9  2  6  4 13 11 15  1  8  3
 3  1  8 15 13 11 10 17 12  5  0  7 16 14  9  4  2  6
 6  4  2  9 16 14 13 11 15  8  3  1 10 17 12  7  5  0
10 17 12  3  1  8 15 13 11  4  2  6  5  0  7 16 14  9
13 11 15  6  4  2  9 16 14  7  5  0  8  3  1 10 17 12
16 14  9  0  7  5 12 10 17  1  8  3  2  6  4 13 11 15
 9 16 14 13 11 15  6  4  2 10 17 12  7  5  0  8  3  1
12 10 17 16 14  9  0  7  5 13 11 15  1  8  3  2  6  4
15 13 11 10 17 12  3  1  8 16 14  9  4  2  6  5  0  7
11 15 13  7  5  0  2  6  4  9 16 14  3  1  8 17 12 10
14  9 16  1  8  3  5  0  7 12 10 17  6  4  2 11 15 13
17 12 10  4  2  6  8  3  1 15 13 11  0  7  5 14  9 16
 5  0  7 14  9 16  1  8  3 11 15 13 12 10 17  6  4  2
 8  3  1 17 12 10  4  2  6 14  9 16 15 13 11  0  7  5
 2  6  4 11 15 13  7  5  0 17 12 10  9 16 14  3  1  8
 4  2  6  8  3  1 17 12 10  0  7  5 14  9 16 15 13 11
 7  5  0  2  6  4 11 15 13  3  1  8 17 12 10  9 16 14
 1  8  3  5  0  7 14  9 16  6  4  2 11 15 13 12 10 17 

 0  8  4 14 10 15 11 16 12  9 17 13  7  3  2  5  1  6
 5  1  6 16 12 11 13  9 17 14 10 15  0  8  4  7  3  2
 7  3  2  9 17 13 15 14 10 16 12 11  5  1  6  0  8  4
14 10 15  3  2  7 17 13  9  8  4  0 12 11 16  1  6  5
16 12 11  8  4  0 10 15 14  1  6  5 17 13  9  3  2  7
 9 17 13  1  6  5 12 11 16  3  2  7 10 15 14  8  4  0
11 16 12 17 13  9  6  5  1  4  0  8  2  7  3 15 14 10
13  9 17 10 15 14  2  7  3  6  5  1  4  0  8 11 16 12
15 14 10 12 11 16  4  0  8  2  7  3  6  5  1 13  9 17
 6  5  1 11 16 12  7  3  2  0  8  4  9 17 13 14 10 15
 2  7  3 13  9 17  0  8  4  5  1  6 14 10 15 16 12 11
 4  0  8 15 14 10  5  1  6  7  3  2 16 12 11  9 17 13
 1  6  5  0  8  4 14 10 15 17 13  9  3  2  7 12 11 16
 3  2  7  5  1  6 16 12 11 10 15 14  8  4  0 17 13  9
 8  4  0  7  3  2  9 17 13 12 11 16  1  6  5 10 15 14
17 13  9  4  0  8  3  2  7 15 14 10 11 16 12  6  5  1
10 15 14  6  5  1  8  4  0 11 16 12 13  9 17  2  7  3
12 11 16  2  7  3  1  6  5 13  9 17 15 14 10  4  0  8 

 0  5  7  4  6  2 16  9 14  3  8  1 17 10 12 13 15 11
 8  1  3  0  5  7 12 17 10  2  4  6 13 15 11  9 14 16
 4  6  2  8  1  3 11 13 15  7  0  5  9 14 16 17 10 12
10 12 17  3  8  1  7  0  5 16  9 14  6  2  4 11 13 15
15 11 13  2  4  6  3  8  1 12 17 10  5  7  0 16  9 14
14 16  9  7  0  5  2  4  6 11 13 15  1  3  8 12 17 10
 1  3  8 13 15 11  6  2  4 14 16  9 10 12 17  0  5  7
 6  2  4  9 14 16  5  7  0 10 12 17 15 11 13  8  1  3
 5  7  0 17 10 12  1  3  8 15 11 13 14 16  9  4  6  2
 9 14 16 15 11 13  0  5  7  4  6  2 12 17 10  3  8  1
17 10 12 14 16  9  8  1  3  0  5  7 11 13 15  2  4  6
13 15 11 10 12 17  4  6  2  8  1  3 16  9 14  7  0  5
 3  8  1 12 17 10  9 14 16  6  2  4  7  0  5 15 11 13
 2  4  6 11 13 15 17 10 12  5  7  0  3  8  1 14 16  9
 7  0  5 16  9 14 13 15 11  1  3  8  2  4  6 10 12 17
12 17 10  6  2  4 15 11 13  9 14 16  0  5  7  1  3  8
11 13 15  5  7  0 14 16  9 17 10 12  8  1  3  6  2  4
16  9 14  1  3  8 10 12 17 13 15 11  4  6  2  5  7  0 

 0  2  1  9 11 10  3  5  4  8  7  6 17 16 15 14 13 12
 2  1  0 11 10  9  5  4  3  7  6  8 16 15 17 13 12 14
 1  0  2 10  9 11  4  3  5  6  8  7 15 17 16 12 14 13
 6  8  7  3  5  4 12 14 13 17 16 15  2  1  0 11 10  9
 8  7  6  5  4  3 14 13 12 16 15 17  1  0  2 10  9 11
 7  6  8  4  3  5 13 12 14 15 17 16  0  2  1  9 11 10
15 17 16  0  2  1  6  8  7 14 13 12 11 10  9  5  4  3
17 16 15  2  1  0  8  7  6 13 12 14 10  9 11  4  3  5
16 15 17  1  0  2  7  6  8 12 14 13  9 11 10  3  5  4
 4  3  5 14 13 12  9 11 10  2  1  0  6  8  7 16 15 17
 3  5  4 13 12 14 11 10  9  1  0  2  8  7  6 15 17 16
 5  4  3 12 14 13 10  9 11  0  2  1  7  6  8 17 16 15
12 14 13  7  6  8 17 16 15 10  9 11  5  4  3  0  2  1
14 13 12  6  8  7 16 15 17  9 11 10  4  3  5  2  1  0
13 12 14  8  7  6 15 17 16 11 10  9  3  5  4  1  0  2
11 10  9 15 17 16  1  0  2  3  5  4 13 12 14  8  7  6
10  9 11 17 16 15  0  2  1  5  4  3 12 14 13  7  6  8
 9 11 10 16 15 17  2  1  0  4  3  5 14 13 12  6  8  7 

ДЛК в этой группе нет.
Группа MODLS 18-го порядка, состоящая более чем из двух взаимно ортогональных ДЛК, пока неизвестна.

Далее дублирую три сообщения из другой темы.

https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=136&postid=2600

Каждая построенная по КРМ ортогональная пара ЛК 18-го порядка очень просто превращается в ортогональную пару ДЛК.
Вот эта ортогональная пара ДЛК 18-го порядка получена из исходной ортогональной пары ЛК (см. КРМ вариант 1)



С этого и начинался рассматриваемый в теме алгоритм (см. стартовый пост).

Интересно было бы проверить ортогональные пары ЛК, построенные по всем вариантам КРМ.
Будут ли среди них SOLS и соответственно SODLS?
------
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=136&postid=2602

И в заключение о третьем ЛК в рассмотренной группе MOLS 18-го порядка.
Этот ЛК в ДЛК не превращается.
Однако... если его аналогично преобразовать, он составит с двумя ДЛК группу MOLS, что тоже весьма интересно.
В статье
"О ГРУППАХ MOLS ВОСЕМНАДЦАТОГО ПОРЯДКА"
http://www.natalimak1.narod.ru/mols18.htm
показан третий ЛК данной группы MOLS



Преобразовала этот ЛК аналогично первым двум ЛК, далее превратила все три квадрата в традиционную форму и нормализовала их.
В результате получена группа MOLS 18-го порядка, состоящая из двух ДЛК и одного ЛК

ДЛК
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17
14  6 15  2  3  4  5  0  1  7  8  9 16 17 11 12 13 10
 7 17 10 11  2  3  4  6 15  0  1 12 13 14  9 16  8  5
 9  0 13  8 14  2  3 10 11  6 15 16 17  7 12  1  5  4
12  7  6 16  1 17  2  8 14 10 11 13  0  9 15  5  4  3
16  9  0 10 12 15 13  1 17  8 14  6  7 11  5  4  3  2
10 12  7  6  8  9 11 15 13  1 17  0 14  5  4  3  2 16
17 13 16 12  9  7  0  2  3  4  5 14 11 15  1  8 10  6
15 11 14 17 13 16 12  5  4  3  2  1  8 10  6  0  7  9
 1 15 11 14 17 13 16  3  2  5  4  8 10  6  0  7  9 12
11 14 17 13 16 12  9  4  5  2  3 15  1  8 10  6  0  7
 8  2  3  4  5  0 14  9 10 12  6  7 15 16 17 11  1 13
 2  3  4  5  7 11 17 12  6 16  0 10  9  1 13 14 15  8
 3  4  5  9 15 14 10 16  0 13  7  2  6 12  8 17 11  1
 4  5 12  1 11  6  8 13  7 17  9  3  2  0 16 10 14 15
 5 16  8 15  0 10  1 17  9 14 12  4  3  2  7 13  6 11
13 10  1  7  6  8 15 14 12 11 16  5  4  3  2  9 17  0
 6  8  9  0 10  1  7 11 16 15 13 17  5  4  3  2 12 14

ДЛК
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17
 9 17  7  0  2  3  4 16 10  8  1 12 13 14 15  5  6 11
12  8  6 16 17  0  2  5  1 10  7 13 14 15  4 11  9  3
13 12 10 11  5  6 17  4  7  1 16 14 15  3  9  8  2  0
14 13 12  1  9  4 11  3 16  7  5 15  2  8 10  0 17  6
15 14 13 12  7  8  3  2  5 16  4  0 10  1 17  6 11  9
17 15 14 13 12 16 10  0  4  5  3  1  7  6 11  9  8  2
 2  0 17  6 11  9  8 12 13 14 15  3  4  5 16  7  1 10
11  9  8 10  1  7 16 14 15 12 13  6 17  0  2  3  4  5
 3  2  0 17  6 11  9 15 14 13 12  4  5 16  7  1 10  8
 6 11  9  8 10  1  7 13 12 15 14 17  0  2  3  4  5 16
10  3  4  5 16 17  0  1  9 11  8  2  6 12 13 14 15  7
 4  5 16  7  0  2  1 10 11  6  9  8  3 17 12 13 14 15
16  7  1  2  3 10 15  8  6 17 11  5  9  4  0 12 13 14
 1 10  3  4  8 15 14  9 17  0  6  7 16 11  5  2 12 13
 8  4  5  9 15 14 13 11  0  2 17 10  1  7  6 16  3 12
 5 16 11 15 14 13 12  6  2  3  0  9  8 10  1 17  7  4
 7  6 15 14 13 12  5 17  3  4  2 16 11  9  8 10  0  1

ЛК
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17
11  0  1  7  5  8  9 10 12  4 15 16  6  3 13  2 17 14
 2 11  0  1 10  9 12 15 16  8 13 14  5  6  7 17  3  4
 3  7 11  0  1 15  4 13  2 12  6  9 14 10 17  5  8 16
 4  5 10 11  0  1 13  6  7 16 14  3 15 17  9 12  2  8
 5  8  9 15 11  0  1 14 10  2  3 13 17  4 16  7 12  6
 6  9 12  4 13 11  0  3 15  7  5 17  8  2 10 16 14  1
 7 10 15 13  6 14  3  0 17  1 11  2 16 12  8  4  9  5
 8 12 16  2  7 10 15 17  0 11  1  4  9  5  3 14  6 13
 9  4  8 12 16  2  7  1 11  0 17  5  3 14  6 13 15 10
10 15 13  6 14  3  5 11  1 17  0  7  2 16 12  8  4  9
 1 16 14  9  3 13 17  2  4  5  7  0 11  8 15  6 10 12
12  6  5 14 15 17  8 16  9  3  2  1  0 11  4 10 13  7
13  3  6 10 17  4  2 12  5 14 16  8  1  0 11  9  7 15
14 13  7 17  9 16 10  8  3  6 12 15  4  1  0 11  5  2
15  2 17  5 12  7 16  4 14 13  8  6 10  9  1  0 11  3
16 17  3  8  2 12 14  9  6 15  4 10 13  7  5  1  0 11
17 14  4 16  8  6 11  5 13 10  9 12  7 15  2  3  1  0

Очень симпатичная группа MOLS!
Проверяю группу программой GetOrthogonal

Order? 18

Enter the name of the squares file: a
Choose 1 - get counts and maximun pairs, or 2 - get pairs for one square: 1
..output file a-orthCounts.txt
..output file a-orthNos.txt
squares 3 total orthogonal pairs 3
Maximum pairs for square 1: 2
There are 2 other squares with this maximum number of pairs.
..output file a-1orths.txt
Pairs for square 1: 2

Всё верно: все три квадрата друг другу ортогональны.
Таблица ортогональных пар
1: [2,3],
2: [1,3],
3: [1,2]

Свойства квадратов этой группы MOLS

Order? 18

Enter the name of the squares file: inp1
.. writing type information to file inp1TypeDetail_7.txt

Counts
------
         1 Latin
         2 diagonal Latin
         3 nfr
         2 orthogonal pair
         2 self-orthogonal
         1 transpose parity

Интересный вопрос: нельзя ли получить из данной группы MOLS группу MODLS, состоящую из трёх взаимно ортогональных ДЛК?
Такая группа MODLS 18-го порядка пока неизвестна.
-------
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=136&postid=2604

А это псевдотройка MODLS 18-го порядка

1
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17
14  6 15  2  3  4  5  0  1  7  8  9 16 17 11 12 13 10
 7 17 10 11  2  3  4  6 15  0  1 12 13 14  9 16  8  5
 9  0 13  8 14  2  3 10 11  6 15 16 17  7 12  1  5  4
12  7  6 16  1 17  2  8 14 10 11 13  0  9 15  5  4  3
16  9  0 10 12 15 13  1 17  8 14  6  7 11  5  4  3  2
10 12  7  6  8  9 11 15 13  1 17  0 14  5  4  3  2 16
17 13 16 12  9  7  0  2  3  4  5 14 11 15  1  8 10  6
15 11 14 17 13 16 12  5  4  3  2  1  8 10  6  0  7  9
 1 15 11 14 17 13 16  3  2  5  4  8 10  6  0  7  9 12
11 14 17 13 16 12  9  4  5  2  3 15  1  8 10  6  0  7
 8  2  3  4  5  0 14  9 10 12  6  7 15 16 17 11  1 13
 2  3  4  5  7 11 17 12  6 16  0 10  9  1 13 14 15  8
 3  4  5  9 15 14 10 16  0 13  7  2  6 12  8 17 11  1
 4  5 12  1 11  6  8 13  7 17  9  3  2  0 16 10 14 15
 5 16  8 15  0 10  1 17  9 14 12  4  3  2  7 13  6 11
13 10  1  7  6  8 15 14 12 11 16  5  4  3  2  9 17  0
 6  8  9  0 10  1  7 11 16 15 13 17  5  4  3  2 12 14

2
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17
 9 17  7  0  2  3  4 16 10  8  1 12 13 14 15  5  6 11
12  8  6 16 17  0  2  5  1 10  7 13 14 15  4 11  9  3
13 12 10 11  5  6 17  4  7  1 16 14 15  3  9  8  2  0
14 13 12  1  9  4 11  3 16  7  5 15  2  8 10  0 17  6
15 14 13 12  7  8  3  2  5 16  4  0 10  1 17  6 11  9
17 15 14 13 12 16 10  0  4  5  3  1  7  6 11  9  8  2
 2  0 17  6 11  9  8 12 15 13 14  3  4  5 16  7  1 10
11  9  8 10  1  7 16 13 14 12 15  6 17  0  2  3  4  5
 3  2  0 17  6 11  9 14 13 15 12  4  5 16  7  1 10  8
 6 11  9  8 10  1  7 15 12 14 13 17  0  2  3  4  5 16
10  3  4  5 16 17  0  1  9 11  8  2  6 12 13 14 15  7
 4  5 16  7  0  2  1 10 11  6  9  8  3 17 12 13 14 15
16  7  1  2  3 10 15  8  6 17 11  5  9  4  0 12 13 14
 1 10  3  4  8 15 14  9 17  0  6  7 16 11  5  2 12 13
 8  4  5  9 15 14 13 11  0  2 17 10  1  7  6 16  3 12
 5 16 11 15 14 13 12  6  2  3  0  9  8 10  1 17  7  4
 7  6 15 14 13 12  5 17  3  4  2 16 11  9  8 10  0  1

3
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17
 9 17  7  0  2  3  4 16 10  8  1 12 13 14 15  5  6 11
12  8  6 16 17  0  2  5  1 10  7 13 14 15  4 11  9  3
13 12 10 11  5  6 17  4  7  1 16 14 15  3  9  8  2  0
14 13 12  1  9  4 11  3 16  7  5 15  2  8 10  0 17  6
15 14 13 12  7  8  3  2  5 16  4  0 10  1 17  6 11  9
17 15 14 13 12 16 10  0  4  5  3  1  7  6 11  9  8  2
 2  0 17  6 11  9  8 12 13 14 15  3  4  5 16  7  1 10
11  9  8 10  1  7 16 14 15 12 13  6 17  0  2  3  4  5
 3  2  0 17  6 11  9 15 14 13 12  4  5 16  7  1 10  8
 6 11  9  8 10  1  7 13 12 15 14 17  0  2  3  4  5 16
10  3  4  5 16 17  0  1  9 11  8  2  6 12 13 14 15  7
 4  5 16  7  0  2  1 10 11  6  9  8  3 17 12 13 14 15
16  7  1  2  3 10 15  8  6 17 11  5  9  4  0 12 13 14
 1 10  3  4  8 15 14  9 17  0  6  7 16 11  5  2 12 13
 8  4  5  9 15 14 13 11  0  2 17 10  1  7  6 16  3 12
 5 16 11 15 14 13 12  6  2  3  0  9  8 10  1 17  7  4
 7  6 15 14 13 12  5 17  3  4  2 16 11  9  8 10  0  1

Здесь все квадраты являются ДЛК, но квадраты 2 и 3 не ортогональны.
Таблица ортогональных пар
1: [2,3],
2: [1],
3: [1]

Немного поработала с показанной группой MOLS 18-го порядка, состоящей из двух ДЛК и одного ЛК.
Получен интересный набор из 384 ДЛК и одного ЛК, который даёт четыре аналогичные группы MOLS.
Это проверка полученного графа на клики

sage: d = { 1: [8,161,385],
2: [5,162],
3: [6,163],
4: [7,164],
5: [2,165],
6: [3,166],
7: [4,167],
8: [1,168,385],
17: [177],
18: [178],
19: [179],
20: [180],
21: [181],
22: [182],
23: [183],
24: [184],
41: [201],
42: [202],
43: [203],
44: [204],
45: [205],
46: [206],
47: [207],
48: [208],
57: [62,217],
58: [63,218],
59: [64,219],
60: [61,220],
61: [60,221],
62: [57,222],
63: [58,223],
64: [59,224],
161: [1,168,385],
162: [2,165],
163: [3,166],
164: [4,167],
165: [5,162],
166: [6,163],
167: [7,164],
168: [8,161,385],
177: [17],
178: [18],
179: [19],
180: [20],
181: [21],
182: [22],
183: [23],
184: [24],
201: [41],
202: [42],
203: [43],
204: [44],
205: [45],
206: [46],
207: [47],
208: [48],
217: [57,222],
218: [58,223],
219: [59,224],
220: [60,221],
221: [61,220],
222: [62,217],
223: [63,218],
224: [64,219],
385: [1,8,161,168]}
sage: g = Graph (d)
sage: g.cliques_maximum ()

Найденные клики

[[385, 1, 8], [385, 161, 1], [385, 161, 168], [385, 168, 8]]

Квадраты 1, 8, 161 и 168 - ДЛК, квадрат 385 - ЛК.
Клика из трёх ДЛК пока не найдена.
Но тут можно продолжить и получить расширение набора ДЛК.
Вдруг получится группа MODLS, состоящая из трёх взаимно ортогональных ДЛК.
Надо попробовать.

Покажу одну из найденных клик, вот эту

[385, 161, 168]

квадрат 161 - ДЛК
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
9 17 7 0 2 3 4 16 10 8 1 12 13 14 15 5 6 11
12 8 6 16 17 0 2 5 1 10 7 13 14 15 4 11 9 3
13 12 10 11 5 6 17 4 7 1 16 14 15 3 9 8 2 0
14 13 12 1 9 4 11 3 16 7 5 15 2 8 10 0 17 6
15 14 13 12 7 8 3 2 5 16 4 0 10 1 17 6 11 9
17 15 14 13 12 16 10 0 4 5 3 1 7 6 11 9 8 2
2 0 17 6 11 9 8 12 13 14 15 3 4 5 16 7 1 10
11 9 8 10 1 7 16 14 15 12 13 6 17 0 2 3 4 5
3 2 0 17 6 11 9 15 14 13 12 4 5 16 7 1 10 8
6 11 9 8 10 1 7 13 12 15 14 17 0 2 3 4 5 16
10 3 4 5 16 17 0 1 9 11 8 2 6 12 13 14 15 7
4 5 16 7 0 2 1 10 11 6 9 8 3 17 12 13 14 15
16 7 1 2 3 10 15 8 6 17 11 5 9 4 0 12 13 14
1 10 3 4 8 15 14 9 17 0 6 7 16 11 5 2 12 13
8 4 5 9 15 14 13 11 0 2 17 10 1 7 6 16 3 12
5 16 11 15 14 13 12 6 2 3 0 9 8 10 1 17 7 4
7 6 15 14 13 12 5 17 3 4 2 16 11 9 8 10 0 1

квадрат 168 - ДЛК
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
14 6 15 2 3 4 5 0 1 7 8 9 16 17 11 12 13 10
7 17 10 11 2 3 4 6 15 0 1 12 13 14 9 16 8 5
9 0 13 8 14 2 3 10 11 6 15 16 17 7 12 1 5 4
12 7 6 16 1 17 2 8 14 10 11 13 0 9 15 5 4 3
16 9 0 10 12 15 13 1 17 8 14 6 7 11 5 4 3 2
10 12 7 6 8 9 11 15 13 1 17 0 14 5 4 3 2 16
17 13 16 12 9 7 0 2 4 5 3 14 11 15 1 8 10 6
15 11 14 17 13 16 12 3 5 4 2 1 8 10 6 0 7 9
1 15 11 14 17 13 16 4 2 3 5 8 10 6 0 7 9 12
11 14 17 13 16 12 9 5 3 2 4 15 1 8 10 6 0 7
8 2 3 4 5 0 14 9 10 12 6 7 15 16 17 11 1 13
2 3 4 5 7 11 17 12 6 16 0 10 9 1 13 14 15 8
3 4 5 9 15 14 10 16 0 13 7 2 6 12 8 17 11 1
4 5 12 1 11 6 8 13 7 17 9 3 2 0 16 10 14 15
5 16 8 15 0 10 1 17 9 14 12 4 3 2 7 13 6 11
13 10 1 7 6 8 15 14 12 11 16 5 4 3 2 9 17 0
6 8 9 0 10 1 7 11 16 15 13 17 5 4 3 2 12 14

квадрат 385 - ЛК
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
11 0 1 7 5 8 9 10 12 4 15 16 6 3 13 2 17 14
2 11 0 1 10 9 12 15 16 8 13 14 5 6 7 17 3 4
3 7 11 0 1 15 4 13 2 12 6 9 14 10 17 5 8 16
4 5 10 11 0 1 13 6 7 16 14 3 15 17 9 12 2 8
5 8 9 15 11 0 1 14 10 2 3 13 17 4 16 7 12 6
6 9 12 4 13 11 0 3 15 7 5 17 8 2 10 16 14 1
7 10 15 13 6 14 3 0 17 1 11 2 16 12 8 4 9 5
8 12 16 2 7 10 15 17 0 11 1 4 9 5 3 14 6 13
9 4 8 12 16 2 7 1 11 0 17 5 3 14 6 13 15 10
10 15 13 6 14 3 5 11 1 17 0 7 2 16 12 8 4 9
1 16 14 9 3 13 17 2 4 5 7 0 11 8 15 6 10 12
12 6 5 14 15 17 8 16 9 3 2 1 0 11 4 10 13 7
13 3 6 10 17 4 2 12 5 14 16 8 1 0 11 9 7 15
14 13 7 17 9 16 10 8 3 6 12 15 4 1 0 11 5 2
15 2 17 5 12 7 16 4 14 13 8 6 10 9 1 0 11 3
16 17 3 8 2 12 14 9 6 15 4 10 13 7 5 1 0 11
17 14 4 16 8 6 11 5 13 10 9 12 7 15 2 3 1 0

Заглянем в статью OEIS
https://oeis.org/A328873
Цитирую

a(16) >= 14, a(17) >= 14, a(18) >= 2, a(19) >= 16, a(20) >= 2. - Natalia Makarova, Jan 08 2021

Пока никаких изменений нет в сторону улучшения показанных оценок.
Следовательно, группа MODLS 18-го порядка из трёх взаимно ортогональных ДЛК не найдена на данный момент.

Задача сложная. Можно надеяться только на везение, вдруг повезёт, как мне повезло в поиске MODLS 12-го порядка.
Тоже искала группу MODLS из трёх взаимно ортогональных ДЛК, а нашла сразу из четырёх! Да ещё потом дополнила найденную группу MODLS до группы MOLS из пяти взаимно ортогональных ЛК (пятый квадрат - ЛК).
Посмотрите, какая красивая группа MOLS получилась!



Итак, надо продолжить эксперимент с группами MOLS 18-го порядка.

Интересно: в наборе из 385 квадратов (384 ДЛК и один ЛК) есть много ДЛК - "пустышек" (по крайней мере. в рамках данного набора; может быть, конечно, они и не "пустышки" вне данного набора).
Показываю таблицу ортогональных пар (частично)

                orthogonal
      square       pairs
      ------    ----------

           1            3
           2            2
           3            2
           4            2
           5            2
           6            2
           7            2
           8            3
           9            0
          10            0

          11            0
          12            0
          13            0
          14            0
          15            0
          16            0
          17            1
          18            1
          19            1
          20            1

          21            1
          22            1
          23            1
          24            1
          25            0
          26            0
          27            0
          28            0
          29            0
          30            0

          31            0
          32            0
          33            0
          34            0
          35            0
          36            0
          37            0
          38            0
          39            0
          40            0

          41            1
          42            1
          43            1
          44            1
          45            1
          46            1
          47            1
          48            1
          49            0
          50            0
. . . . . . . . . . 
         381            0
         382            0
         383            0
         384            0
         385            4

И ещё интересно: квадрат 385 (ЛК) ортогонален ДЛК 1, 8, 161, 168.

Хочу для расширения набора поработать с ДЛК, которые не "пустышки".
Шансов получить группу MODLS 18-го порядка из трёх взаимно ортогональных ДЛК очень мало, но никто не доказал, что шансов совсем нет.

Кстати, есть ещё один путь к достижению поставленной цели: поработать с группой MOLS 18-го порядка из пяти взаимно ортогональных ЛК, выданной программой SageMath (смотрите стартовый пост).

Пробуйте, господа.
Задача интересная!

Алгоритм всё тот же - перестановка строк и столбцов.
У меня есть некоторые эвристики в этом алгоритме, которые позволяют быстро выполнять перестановку строк и столбцов.

Ну вот, завершила эксперимент со своими группами MOLS 18-го порядка.
Расширила набор до 722 квадратов, два из которых ЛК. остальные ДЛК.
К сожалению, ничего принципиально нового не получила.
Найдены точно такие же группы MOLS, состоящие из двух ДЛК и одного ЛК, только их стало в два раза больше.
Вот они - восемь клик размера 3

[[199, 722, 229],
 [199, 722, 231],
 [201, 722, 229],
 [201, 722, 231],
 [577, 721, 357],
 [577, 721, 359],
 [578, 721, 357],
 [578, 721, 359]]

Квадраты 721 и 722 - ЛК.

Ожидаемый результат.

Осталось попробовать с группой MOLS, выданной программой SageMath.

Покажу все квадраты, образующие восемь показанных клик размера 3; вы можете составить все восемь групп MOLS из этих квадратов в соответствии с кликами

199
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17
 6 11 12  2  3  4  5 16  9  7  1 13 14 15 17 10  0  8
14  8  6 13  2  3  4 10  7 16 12 15 17  0  1 11  9  5
17 15  9  8 14  2  3  1 16 10 13  0 11 12  6  7  5  4
11  0 17  7  9 15  2 12 10  1 14  6 13  8 16  5  4  3
 8  6 11  0 16  7 17 13  1 12 15 14  9 10  5  4  3  2
15  9  8  6 11 10 16 14 12 13 17  7  1  5  4  3  2  0
 7 16 10  1 12 13 14  2  3  4  5  9  8  6 11  0 17 15
12 13 14 15 17  0 11  4  5  2  3  1 10 16  7  9  8  6
 9  7 16 10  1 12 13  5  4  3  2  8  6 11  0 17 15 14
 1 12 13 14 15 17  0  3  2  5  4 10 16  7  9  8  6 11
10  2  3  4  5 11 15  9  6  8 16 17  0  1 12 13 14  7
 2  3  4  5  0 14  9  8 11  6  7 16 15 17 10  1 12 13
 3  4  5 17 13  8 12  6  0 11  9  2  7 14 15 16 10  1
 4  5 15 12  6  1 10 11 17  0  8  3  2  9 13 14  7 16
 5 14  1 11 10 16  7  0 15 17  6  4  3  2  8 12 13  9
13 10  0 16  7  9  8 17 14 15 11  5  4  3  2  6  1 12
16 17  7  9  8  6  1 15 13 14  0 12  5  4  3  2 11 10

201
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17
 6 11 12  2  3  4  5 16  9  7  1 13 14 15 17 10  0  8
14  8  6 13  2  3  4 10  7 16 12 15 17  0  1 11  9  5
17 15  9  8 14  2  3  1 16 10 13  0 11 12  6  7  5  4
11  0 17  7  9 15  2 12 10  1 14  6 13  8 16  5  4  3
 8  6 11  0 16  7 17 13  1 12 15 14  9 10  5  4  3  2
15  9  8  6 11 10 16 14 12 13 17  7  1  5  4  3  2  0
 7 16 10  1 12 13 14  3  4  2  5  9  8  6 11  0 17 15
12 13 14 15 17  0 11  2  5  3  4  1 10 16  7  9  8  6
 9  7 16 10  1 12 13  5  2  4  3  8  6 11  0 17 15 14
 1 12 13 14 15 17  0  4  3  5  2 10 16  7  9  8  6 11
10  2  3  4  5 11 15  9  6  8 16 17  0  1 12 13 14  7
 2  3  4  5  0 14  9  8 11  6  7 16 15 17 10  1 12 13
 3  4  5 17 13  8 12  6  0 11  9  2  7 14 15 16 10  1
 4  5 15 12  6  1 10 11 17  0  8  3  2  9 13 14  7 16
 5 14  1 11 10 16  7  0 15 17  6  4  3  2  8 12 13  9
13 10  0 16  7  9  8 17 14 15 11  5  4  3  2  6  1 12
16 17  7  9  8  6  1 15 13 14  0 12  5  4  3  2 11 10

229
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17
 7  4  5  6  0  1  8  9 10 16 17 12 13 14 15  2 11  3
12  9  1  8  3  4  5 16 17  2 11 13 14 15  6  7  0 10
13 12 16  5 10  0  1  2 11  6  7 14 15  3  9  4 17  8
14 13 12  2  8 17  4  6  7  3  9 15  0 16  1 11 10  5
15 14 13 12  6 10 11  3  9  0 16  4  2  5  7 17  8  1
 1 15 14 13 12  3 17  0 16  4  2  6  8  9 11 10  5  7
11  7  9 16  2  6  3 12 13 14 15 17 10  8  5  1  4  0
 8 10 17 11  7  9 16 15 14 13 12  5  1  4  0  3  6  2
 5  8 10 17 11  7  9 13 12 15 14  1  4  0  3  6  2 16
10 17 11  7  9 16  2 14 15 12 13  8  5  1  4  0  3  6
 4 16  6  0  1  2 10 11  5  7  8  3 17 12 13 14 15  9
 9  2  3  4 16  8  7 17  1 11  5  0  6 10 12 13 14 15
16  6  0  9  5 11 15 10  4 17  1  7  3  2  8 12 13 14
 2  3  7  1 17 15 14  8  0 10  4  9 11  6 16  5 12 13
 6 11  4 10 15 14 13  5  3  8  0 16  7 17  2  9  1 12
17  0  8 15 14 13 12  1  6  5  3  2  9 11 10 16  7  4
 3  5 15 14 13 12  0  4  2  1  6 10 16  7 17  8  9 11

231
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17
 7  4  5  6  0  1  8  9 10 16 17 12 13 14 15  2 11  3
12  9  1  8  3  4  5 16 17  2 11 13 14 15  6  7  0 10
13 12 16  5 10  0  1  2 11  6  7 14 15  3  9  4 17  8
14 13 12  2  8 17  4  6  7  3  9 15  0 16  1 11 10  5
15 14 13 12  6 10 11  3  9  0 16  4  2  5  7 17  8  1
 1 15 14 13 12  3 17  0 16  4  2  6  8  9 11 10  5  7
11  7  9 16  2  6  3 14 12 13 15 17 10  8  5  1  4  0
 8 10 17 11  7  9 16 15 13 12 14  5  1  4  0  3  6  2
 5  8 10 17 11  7  9 12 14 15 13  1  4  0  3  6  2 16
10 17 11  7  9 16  2 13 15 14 12  8  5  1  4  0  3  6
 4 16  6  0  1  2 10 11  5  7  8  3 17 12 13 14 15  9
 9  2  3  4 16  8  7 17  1 11  5  0  6 10 12 13 14 15
16  6  0  9  5 11 15 10  4 17  1  7  3  2  8 12 13 14
 2  3  7  1 17 15 14  8  0 10  4  9 11  6 16  5 12 13
 6 11  4 10 15 14 13  5  3  8  0 16  7 17  2  9  1 12
17  0  8 15 14 13 12  1  6  5  3  2  9 11 10 16  7  4
 3  5 15 14 13 12  0  4  2  1  6 10 16  7 17  8  9 11

357
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17
 9 17  7  0  2  3  4 16 10  8  1 12 13 14 15  5  6 11
12  8  6 16 17  0  2  5  1 10  7 13 14 15  4 11  9  3
13 12 10 11  5  6 17  4  7  1 16 14 15  3  9  8  2  0
14 13 12  1  9  4 11  3 16  7  5 15  2  8 10  0 17  6
15 14 13 12  7  8  3  2  5 16  4  0 10  1 17  6 11  9
17 15 14 13 12 16 10  0  4  5  3  1  7  6 11  9  8  2
 2  0 17  6 11  9  8 12 13 14 15  3  4  5 16  7  1 10
11  9  8 10  1  7 16 14 15 12 13  6 17  0  2  3  4  5
 3  2  0 17  6 11  9 15 14 13 12  4  5 16  7  1 10  8
 6 11  9  8 10  1  7 13 12 15 14 17  0  2  3  4  5 16
10  3  4  5 16 17  0  1  9 11  8  2  6 12 13 14 15  7
 4  5 16  7  0  2  1 10 11  6  9  8  3 17 12 13 14 15
16  7  1  2  3 10 15  8  6 17 11  5  9  4  0 12 13 14
 1 10  3  4  8 15 14  9 17  0  6  7 16 11  5  2 12 13
 8  4  5  9 15 14 13 11  0  2 17 10  1  7  6 16  3 12
 5 16 11 15 14 13 12  6  2  3  0  9  8 10  1 17  7  4
 7  6 15 14 13 12  5 17  3  4  2 16 11  9  8 10  0  1

359
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17
 9 17  7  0  2  3  4 16 10  8  1 12 13 14 15  5  6 11
12  8  6 16 17  0  2  5  1 10  7 13 14 15  4 11  9  3
13 12 10 11  5  6 17  4  7  1 16 14 15  3  9  8  2  0
14 13 12  1  9  4 11  3 16  7  5 15  2  8 10  0 17  6
15 14 13 12  7  8  3  2  5 16  4  0 10  1 17  6 11  9
17 15 14 13 12 16 10  0  4  5  3  1  7  6 11  9  8  2
 2  0 17  6 11  9  8 12 15 13 14  3  4  5 16  7  1 10
11  9  8 10  1  7 16 13 14 12 15  6 17  0  2  3  4  5
 3  2  0 17  6 11  9 14 13 15 12  4  5 16  7  1 10  8
 6 11  9  8 10  1  7 15 12 14 13 17  0  2  3  4  5 16
10  3  4  5 16 17  0  1  9 11  8  2  6 12 13 14 15  7
 4  5 16  7  0  2  1 10 11  6  9  8  3 17 12 13 14 15
16  7  1  2  3 10 15  8  6 17 11  5  9  4  0 12 13 14
 1 10  3  4  8 15 14  9 17  0  6  7 16 11  5  2 12 13
 8  4  5  9 15 14 13 11  0  2 17 10  1  7  6 16  3 12
 5 16 11 15 14 13 12  6  2  3  0  9  8 10  1 17  7  4
 7  6 15 14 13 12  5 17  3  4  2 16 11  9  8 10  0  1

577
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17
14  6 15  2  3  4  5  0  1  7  8  9 16 17 11 12 13 10
 7 17 10 11  2  3  4  6 15  0  1 12 13 14  9 16  8  5
 9  0 13  8 14  2  3 10 11  6 15 16 17  7 12  1  5  4
12  7  6 16  1 17  2  8 14 10 11 13  0  9 15  5  4  3
16  9  0 10 12 15 13  1 17  8 14  6  7 11  5  4  3  2
10 12  7  6  8  9 11 15 13  1 17  0 14  5  4  3  2 16
17 13 16 12  9  7  0  2  3  4  5 14 11 15  1  8 10  6
15 11 14 17 13 16 12  5  4  3  2  1  8 10  6  0  7  9
 1 15 11 14 17 13 16  3  2  5  4  8 10  6  0  7  9 12
11 14 17 13 16 12  9  4  5  2  3 15  1  8 10  6  0  7
 8  2  3  4  5  0 14  9 10 12  6  7 15 16 17 11  1 13
 2  3  4  5  7 11 17 12  6 16  0 10  9  1 13 14 15  8
 3  4  5  9 15 14 10 16  0 13  7  2  6 12  8 17 11  1
 4  5 12  1 11  6  8 13  7 17  9  3  2  0 16 10 14 15
 5 16  8 15  0 10  1 17  9 14 12  4  3  2  7 13  6 11
13 10  1  7  6  8 15 14 12 11 16  5  4  3  2  9 17  0
 6  8  9  0 10  1  7 11 16 15 13 17  5  4  3  2 12 14

578
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17
14  6 15  2  3  4  5  0  1  7  8  9 16 17 11 12 13 10
 7 17 10 11  2  3  4  6 15  0  1 12 13 14  9 16  8  5
 9  0 13  8 14  2  3 10 11  6 15 16 17  7 12  1  5  4
12  7  6 16  1 17  2  8 14 10 11 13  0  9 15  5  4  3
16  9  0 10 12 15 13  1 17  8 14  6  7 11  5  4  3  2
10 12  7  6  8  9 11 15 13  1 17  0 14  5  4  3  2 16
17 13 16 12  9  7  0  2  4  5  3 14 11 15  1  8 10  6
15 11 14 17 13 16 12  3  5  4  2  1  8 10  6  0  7  9
 1 15 11 14 17 13 16  4  2  3  5  8 10  6  0  7  9 12
11 14 17 13 16 12  9  5  3  2  4 15  1  8 10  6  0  7
 8  2  3  4  5  0 14  9 10 12  6  7 15 16 17 11  1 13
 2  3  4  5  7 11 17 12  6 16  0 10  9  1 13 14 15  8
 3  4  5  9 15 14 10 16  0 13  7  2  6 12  8 17 11  1
 4  5 12  1 11  6  8 13  7 17  9  3  2  0 16 10 14 15
 5 16  8 15  0 10  1 17  9 14 12  4  3  2  7 13  6 11
13 10  1  7  6  8 15 14 12 11 16  5  4  3  2  9 17  0
 6  8  9  0 10  1  7 11 16 15 13 17  5  4  3  2 12 14

721 – ЛК
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
11 0 1 7 5 8 9 10 12 4 15 16 6 3 13 2 17 14
2 11 0 1 10 9 12 15 16 8 13 14 5 6 7 17 3 4
3 7 11 0 1 15 4 13 2 12 6 9 14 10 17 5 8 16
4 5 10 11 0 1 13 6 7 16 14 3 15 17 9 12 2 8
5 8 9 15 11 0 1 14 10 2 3 13 17 4 16 7 12 6
6 9 12 4 13 11 0 3 15 7 5 17 8 2 10 16 14 1
7 10 15 13 6 14 3 0 17 1 11 2 16 12 8 4 9 5
8 12 16 2 7 10 15 17 0 11 1 4 9 5 3 14 6 13
9 4 8 12 16 2 7 1 11 0 17 5 3 14 6 13 15 10
10 15 13 6 14 3 5 11 1 17 0 7 2 16 12 8 4 9
1 16 14 9 3 13 17 2 4 5 7 0 11 8 15 6 10 12
12 6 5 14 15 17 8 16 9 3 2 1 0 11 4 10 13 7
13 3 6 10 17 4 2 12 5 14 16 8 1 0 11 9 7 15
14 13 7 17 9 16 10 8 3 6 12 15 4 1 0 11 5 2
15 2 17 5 12 7 16 4 14 13 8 6 10 9 1 0 11 3
16 17 3 8 2 12 14 9 6 15 4 10 13 7 5 1 0 11
17 14 4 16 8 6 11 5 13 10 9 12 7 15 2 3 1 0

722 – ЛК
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
3 0 15 4 14 11 1 2 13 5 7 8 9 12 10 16 17 6
13 14 0 10 11 12 3 4 9 1 2 5 8 7 16 17 6 15
1 9 12 0 7 3 8 11 5 15 4 13 2 16 17 6 10 14
9 15 5 8 0 2 14 3 1 10 11 4 16 17 6 7 12 13
11 5 10 1 13 0 4 14 15 7 3 16 17 6 2 8 9 12
16 3 1 7 15 9 0 12 10 2 14 17 6 4 13 5 8 11
12 8 13 9 5 1 15 16 6 0 17 14 3 11 4 2 7 10
4 11 3 14 12 8 13 6 16 17 0 2 7 10 15 1 5 9
7 2 4 11 3 14 12 0 17 16 6 10 15 1 5 9 13 8
8 13 9 5 1 15 10 17 0 6 16 12 14 3 11 4 2 7
5 7 11 2 9 6 17 10 12 13 15 0 4 14 8 3 1 16
10 4 7 13 6 17 16 15 14 8 1 9 0 2 3 12 11 5
2 10 8 6 17 16 9 1 3 12 5 15 13 0 7 11 14 4
15 12 6 17 16 13 2 5 11 14 9 7 1 8 0 10 4 3
14 6 17 16 8 7 11 9 4 3 13 1 10 5 12 0 15 2
6 17 16 12 10 4 7 13 2 11 8 3 5 15 9 14 0 1
17 16 14 15 2 10 5 8 7 4 12 6 11 9 1 13 3 0

Два последних квадра�17 5 3 14 6 13 15 10
10 15 13 6 14 3 5 11 1 17 0 7 2 16 12 8 4 9
1 16 14 9 3 13 17 2 4 5 7 0 11 8 15 6 10 12
12 6 5 14 15 17 8 16 9 3 2 1 0 11 4 10 13 7
13 3 6 10 17 4 2 12 5 14 16 8 1 0 11 9 7 15
14 13 7 17 9 16 10 8 3 6 12 15 4 1 0 11 5 2
15 2 17 5 12 7 16 4 14 13 8 6 10 9 1 0 11 3
16 17 3 8 2 12 14 9 6 15 4 10 13 7 5 1 0 11
17 14 4 16 8 6 11 5 13 10 9 12 7 15 2 3 1 0

722 – ЛК
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
3 0 15 4 14 11 1 2 13 5 7 8 9 12 10 16 17 6
13 14 0 10 11 12 3 4 9 1 2 5 8 7 16 17 6 15
1 9 12 0 7 3 8 11 5 15 4 13 2 16 17 6 10 14
9 15 5 8 0 2 14 3 1 10 11 4 16 17 6 7 12 13
11 5 10 1 13 0 4 14 15 7 3 16 17 6 2 8 9 12
16 3 1 7 15 9 0 12 10 2 14 17 6 4 13 5 8 11
12 8 13 9 5 1 15 16 6 0 17 14 3 11 4 2 7 10
4 11 3 14 12 8 13 6 16 17 0 2 7 10 15 1 5 9
7 2 4 11 3 14 12 0 17 16 6 10 15 1 5 9 13 8
8 13 9 5 1 15 10 17 0 6 16 12 14 3 11 4 2 7
5 7 11 2 9 6 17 10 12 13 15 0 4 14 8 3 1 16
10 4 7 13 6 17 16 15 14 8 1 9 0 2 3 12 11 5
2 10 8 6 17 16 9 1 3 12 5 15 13 0 7 11 14 4
15 12 6 17 16 13 2 5 11 14 9 7 1 8 0 10 4 3
14 6 17 16 8 7 11 9 4 3 13 1 10 5 12 0 15 2
6 17 16 12 10 4 7 13 2 11 8 3 5 15 9 14 0 1
17 16 14 15 2 10 5 8 7 4 12 6 11 9 1 13 3 0[/code]
Два последних квадрата (721 и 722) являются ЛК, все остальные квадраты - ДЛК.
Все ДЛК нормализованные и различные. ЛК тоже нормализованные и различные.
На изоморфность квадраты не проверялись.
Таким образом, все восемь групп MOLS, состоящие из двух ДЛК и одного ЛК, разные.

Свойства показанных квадратов

[code]Order? 18

Enter the name of the squares file: inp1
.. writing type information to file inp1TypeDetail_6.txt

Counts
------
2 Latin
8 diagonal Latin
10 nfr
3 orthogonal pair
4 self-orthogonal
1 transpose parity[/code]

Нормализовала ЛК группы MOLS, выданной программой SageMath, мне с нормализованными ЛК удобнее работать

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17
 1  2  0  4  5  3  7  8  6 10 11  9 13 14 12 16 17 15
 2  0  1  5  3  4  8  6  7 11  9 10 14 12 13 17 15 16
11  9 10  6  7  8 17 15 16 12 13 14  1  2  0  4  5  3
 9 10 11  7  8  6 15 16 17 13 14 12  2  0  1  5  3  4
10 11  9  8  6  7 16 17 15 14 12 13  0  1  2  3  4  5
14 12 13  0  1  2 11  9 10 15 16 17  4  5  3  7  8  6
12 13 14  1  2  0  9 10 11 16 17 15  5  3  4  8  6  7
13 14 12  2  0  1 10 11  9 17 15 16  3  4  5  6  7  8
 8  6  7 15 16 17  3  4  5  1  2  0 11  9 10 13 14 12
 6  7  8 16 17 15  4  5  3  2  0  1  9 10 11 14 12 13
 7  8  6 17 15 16  5  3  4  0  1  2 10 11  9 12 13 14
17 15 16 10 11  9 12 13 14  5  3  4  7  8  6  0  1  2
15 16 17 11  9 10 13 14 12  3  4  5  8  6  7  1  2  0
16 17 15  9 10 11 14 12 13  4  5  3  6  7  8  2  0  1
 4  5  3 14 12 13  2  0  1  6  7  8 16 17 15  9 10 11
 5  3  4 12 13 14  0  1  2  7  8  6 17 15 16 10 11  9
 3  4  5 13 14 12  1  2  0  8  6  7 15 16 17 11  9 10

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17
 8  6  7 10 11  9 17 15 16 12 13 14  5  3  4  2  0  1
16 17 15 13 14 12  1  2  0  5  3  4  9 10 11  7  8  6
 7  8  6  1  2  0  4  5  3 16 17 15 10 11  9 13 14 12
15 16 17  6  7  8 11  9 10  0  1  2 13 14 12  3  4  5
 2  0  1 17 15 16 14 12 13  8  6  7  3  4  5 10 11  9
 5  3  4  8  6  7  2  0  1 14 12 13 17 15 16 11  9 10
 9 10 11 16 17 15  7  8  6  4  5  3  1  2  0 14 12 13
12 13 14  0  1  2 15 16 17 11  9 10  6  7  8  4  5  3
10 11  9  2  0  1 13 14 12 17 15 16  4  5  3  6  7  8
13 14 12  7  8  6  3  4  5  1  2  0 11  9 10 17 15 16
 3  4  5 15 16 17 10 11  9  6  7  8 14 12 13  1  2  0
14 12 13 11  9 10  0  1  2  7  8  6 15 16 17  5  3  4
 4  5  3 14 12 13  8  6  7 15 16 17  2  0  1  9 10 11
11  9 10  4  5  3 16 17 15  2  0  1  7  8  6 12 13 14
 1  2  0 12 13 14  9 10 11  3  4  5  8  6  7 16 17 15
 6  7  8  5  3  4 12 13 14 10 11  9 16 17 15  0  1  2
17 15 16  9 10 11  5  3  4 13 14 12  0  1  2  8  6  7

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17
10 11  9  0  1  2 14 12 13  5  3  4 15 16 17  7  8  6
 3  4  5 10 11  9 17 15 16  2  0  1  7  8  6 12 13 14
13 14 12  9 10 11  2  0  1  6  7  8  4  5  3 17 15 16
16 17 15  5  3  4  9 10 11 14 12 13  1  2  0  6  7  8
 8  6  7  2  0  1  5  3  4 17 15 16 11  9 10 14 12 13
11  9 10 15 16 17  4  5  3  8  6  7 13 14 12  0  1  2
 4  5  3  7  8  6  1  2  0 13 14 12 16 17 15 10 11  9
 1  2  0 12 13 14 11  9 10 16 17 15  8  6  7  3  4  5
 7  8  6 16 17 15  0  1  2  3  4  5 14 12 13  9 10 11
12 13 14  8  6  7 10 11  9  0  1  2 17 15 16  5  3  4
15 16 17 13 14 12  3  4  5 10 11  9  6  7  8  2  0  1
 9 10 11 14 12 13  7  8  6  4  5  3  2  0  1 16 17 15
 5  3  4 17 15 16 12 13 14  1  2  0  9 10 11  8  6  7
 2  0  1  6  7  8 15 16 17 11  9 10  5  3  4 13 14 12
14 12 13  4  5  3 16 17 15  7  8  6  0  1  2 11  9 10
17 15 16  1  2  0  8  6  7 12 13 14 10 11  9  4  5  3
 6  7  8 11  9 10 13 14 12 15 16 17  3  4  5  1  2  0

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17
15 16 17  7  8  6 11  9 10  3  4  5  0  1  2 12 13 14
12 13 14  9 10 11  5  3  4  7  8  6 15 16 17  0  1  2
 3  4  5 13 14 12 10 11  9  1  2  0  8  6  7 16 17 15
 7  8  6  1  2  0  4  5  3 16 17 15 10 11  9 13 14 12
 9 10 11 16 17 15  8  6  7 13 14 12  4  5  3  1  2  0
 6  7  8 10 11  9 17 15 16  2  0  1 14 12 13  5  3  4
11  9 10  4  5  3 14 12 13 17 15 16  2  0  1  6  7  8
 5  3  4  8  6  7  2  0  1 14 12 13 17 15 16 11  9 10
17 15 16  6  7  8 12 13 14  0  1  2  9 10 11  3  4  5
14 12 13 11  9 10  0  1  2 15 16 17  3  4  5  7  8  6
 2  0  1  5  3  4 15 16 17 12 13 14  7  8  6  9 10 11
16 17 15  0  1  2  3  4  5 10 11  9 13 14 12  8  6  7
13 14 12 15 16 17  7  8  6  4  5  3  1  2  0 10 11  9
 1  2  0 12 13 14  9 10 11  8  6  7 16 17 15  4  5  3
10 11  9  2  0  1 13 14 12  5  3  4  6  7  8 17 15 16
 4  5  3 17 15 16  1  2  0  6  7  8 11  9 10 14 12 13
 8  6  7 14 12 13 16 17 15 11  9 10  5  3  4  2  0  1

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17
17 15 16 14 12 13  4  5  3  2  0  1  6  7  8 11  9 10
10 11  9  8  6  7 12 13 14 16 17 15  4  5  3  1  2  0
 4  5  3 17 15 16 14 12 13 11  9 10  2  0  1  6  7  8
12 13 14 10 11  9  8  6  7  1  2  0 16 17 15  4  5  3
 6  7  8  0  1  2  3  4  5 15 16 17  9 10 11 12 13 14
 8  6  7 12 13 14 10 11  9  4  5  3  1  2  0 16 17 15
 3  4  5  6  7  8  0  1  2 12 13 14 15 16 17  9 10 11
14 12 13  4  5  3 17 15 16  6  7  8 11  9 10  2  0  1
13 14 12  1  2  0  9 10 11  8  6  7 17 15 16  5  3  4
 7  8  6 15 16 17  2  0  1  3  4  5 10 11  9 13 14 12
 5  3  4 11  9 10 16 17 15 14 12 13  0  1  2  7  8  6
 2  0  1  7  8  6 15 16 17 13 14 12  3  4  5 10 11  9
16 17 15  5  3  4 11  9 10  7  8  6 14 12 13  0  1  2
 9 10 11 13 14 12  1  2  0  5  3  4  8  6  7 17 15 16
11  9 10 16 17 15  5  3  4  0  1  2  7  8  6 14 12 13
 1  2  0  9 10 11 13 14 12 17 15 16  5  3  4  8  6  7
15 16 17  2  0  1  7  8  6 10 11  9 13 14 12  3  4  5

Сейчас начну с ними работать.

Ничего не получилось с группой MOLS от программы SageMath.
Даже не удалось сделать группу MOLS с одним ДЛК и четырьмя ЛК.
Какие-то очень неудачные квадраты в этой группе.
Может быть, ошиблась где-нибудь в процессе подготовки набора ДЛК.

Прежде чем приступить к работе с группой MOLS 20-го порядка, покажу интересную закономерность, которуя я выявила во время работы с группой MOLS 12-го порядка.
Дублирую сообщение
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=120&postid=2477

Я тут сравнила группы MOLS...

Цитата из сообщения
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=138&postid=2452

Мне удалось расширить эту группу до пяти взаимно ортогональных ЛК, только пятый ЛК не является ДЛК.
Этот ЛК очень красивый получился, смотрите



Таким образом, я получила группу MOLS 12-го порядка, состоящую их четырёх ДЛК и одного ЛК.
Все квадраты этой группы получаются друг из друга перестановкой строк.

Сравните найденную мной группу MOLS 12-го порядка с полной системой MOLS 8-го порядка (составлена в матпакете Maple очень давно коллегой М. Алексеевым)



PS. Добавлю полную систему MOLS 16-го порядка

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
  
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5

15 14 9 8 11 10
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5[/code]
Всё точно так же!
Все квадраты получаются друг из друга перестановкой строк.
Единственный ЛК в системе имеет похожую структуру (смотрите на диагонали).

Очень интересная похожесть полных систем MOLS порядков 8 и 16 и группы MOLS 12-го порядка. Порядки серии n=4k, k=2, 3, 4.
Напрашивается мысль, что существует подобная группа MOLS 20-го порядка.

Для порядка 32, наверное, подобная полная система MOLS.
Эту полную систему MOLS можно посмотреть в теме
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=117

Интересная закономерность!

PS. Добавлю полную систему MOLS 4-го порядка

[code]0 1 2 3
3 2 1 0
1 0 3 2
2 3 0 1

0 1 2 3
2 3 0 1
3 2 1 0
1 0 3 2

0 1 2 3
1 0 3 2
2 3 0 1
3 2 1 0[/code]
____________________
конец дублируемого сообщения

В следующем сообщении
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=120&postid=2478
говорится о полной системе MOLS 32-го порядка, в которой аналогичная структура квадратов.
Итак, закономерность имеет место для групп MOLS порядков 4, 8, 12, 16 и 32, то есть для порядков серии n=4k при k=1, 2, 3, 4, 8.
Можно предположить, что существует аналогичные группы MOLS порядков 20, 24, 28.

В сообщении
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=120&postid=2479
показана группа MOLS 20-го порядка, выданная программой SageMath.
Нормализовала ЛК этой группы MOLS

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 7 15  4 12  1  9 17  6 14  5 11  0  3 16  8 13  2 10 19 18
14  3 11  0  8 16  5 13  4 10 18  2 15  7 12  1  9 19  6 17
 2 10 18  7 15  4 12  3  9 17  1 14  6 11  0  8 19  5 13 16
 9 17  6 14  3 11  2  8 16  0 13  5 10 18  7 19  4 12  1 15
16  5 13  2 10  1  7 15 18 12  4  9 17  6 19  3 11  0  8 14
 4 12  1  9  0  6 14 17 11  3  8 16  5 19  2 10 18  7 15 13
11  0  8 18  5 13 16 10  2  7 15  4 19  1  9 17  6 14  3 12
18  7 17  4 12 15  9  1  6 14  3 19  0  8 16  5 13  2 10 11
 6 16  3 11 14  8  0  5 13  2 19 18  7 15  4 12  1  9 17 10
15  2 10 13  7 18  4 12  1 19 17  6 14  3 11  0  8 16  5  9
 1  9 12  6 17  3 11  0 19 16  5 13  2 10 18  7 15  4 14  8
 8 11  5 16  2 10 18 19 15  4 12  1  9 17  6 14  3 13  0  7
10  4 15  1  9 17 19 14  3 11  0  8 16  5 13  2 12 18  7  6
 3 14  0  8 16 19 13  2 10 18  7 15  4 12  1 11 17  6  9  5
13 18  7 15 19 12  1  9 17  6 14  3 11  0 10 16  5  8  2  4
17  6 14 19 11  0  8 16  5 13  2 10 18  9 15  4  7  1 12  3
 5 13 19 10 18  7 15  4 12  1  9 17  8 14  3  6  0 11 16  2
12 19  9 17  6 14  3 11  0  8 16  7 13  2  5 18 10 15  4  1
19  8 16  5 13  2 10 18  7 15  6 12  1  4 17  9 14  3 11  0

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
15 11 16  9  2  7  5  1 17 10 13 18 19  6  0  4  8 14  3 12
10 15  8  1  6  4  0 16  9 12 17 19  5 18  3  7 13  2 14 11
14  7  0  5  3 18 15  8 11 16 19  4 17  2  6 12  1 13  9 10
 6 18  4  2 17 14  7 10 15 19  3 16  1  5 11  0 12  8 13  9
17  3  1 16 13  6  9 14 19  2 15  0  4 10 18 11  7 12  5  8
 2  0 15 12  5  8 13 19  1 14 18  3  9 17 10  6 11  4 16  7
18 14 11  4  7 12 19  0 13 17  2  8 16  9  5 10  3 15  1  6
13 10  3  6 11 19 18 12 16  1  7 15  8  4  9  2 14  0 17  5
 9  2  5 10 19 17 11 15  0  6 14  7  3  8  1 13 18 16 12  4
 1  4  9 19 16 10 14 18  5 13  6  2  7  0 12 17 15 11  8  3
 3  8 19 15  9 13 17  4 12  5  1  6 18 11 16 14 10  7  0  2
 7 19 14  8 12 16  3 11  4  0  5 17 10 15 13  9  6 18  2  1
19 13  7 11 15  2 10  3 18  4 16  9 14 12  8  5 17  1  6  0
12  6 10 14  1  9  2 17  3 15  8 13 11  7  4 16  0  5 19 18
 5  9 13  0  8  1 16  2 14  7 12 10  6  3 15 18  4 19 11 17
 8 12 18  7  0 15  1 13  6 11  9  5  2 14 17  3 19 10  4 16
11 17  6 18 14  0 12  5 10  8  4  1 13 16  2 19  9  3  7 15
16  5 17 13 18 11  4  9  7  3  0 12 15  1 19  8  2  6 10 14
 4 16 12 17 10  3  8  6  2 18 11 14  0 19  7  1  5  9 15 13

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 8  0 17  7 16 14  1 12 11 19  4  2 10 15  6  3 13 18  5  9
18 16  6 15 13  0 11 10 19  3  1  9 14  5  2 12 17  4  7  8
15  5 14 12 18 10  9 19  2  0  8 13  4  1 11 16  3  6 17  7
 4 13 11 17  9  8 19  1 18  7 12  3  0 10 15  2  5 16 14  6
12 10 16  8  7 19  0 17  6 11  2 18  9 14  1  4 15 13  3  5
 9 15  7  6 19 18 16  5 10  1 17  8 13  0  3 14 12  2 11  4
14  6  5 19 17 15  4  9  0 16  7 12 18  2 13 11  1 10  8  3
 5  4 19 16 14  3  8 18 15  6 11 17  1 12 10  0  9  7 13  2
 3 19 15 13  2  7 17 14  5 10 16  0 11  9 18  8  6 12  4  1
19 14 12  1  6 16 13  4  9 15 18 10  8 17  7  5 11  3  2  0
13 11  0  5 15 12  3  8 14 17  9  7 16  6  4 10  2  1 19 18
10 18  4 14 11  2  7 13 16  8  6 15  5  3  9  1  0 19 12 17
17  3 13 10  1  6 12 15  7  5 14  4  2  8  0 18 19 11  9 16
 2 12  9  0  5 11 14  6  4 13  3  1  7 18 17 19 10  8 16 15
11  8 18  4 10 13  5  3 12  2  0  6 17 16 19  9  7 15  1 14
 7 17  3  9 12  4  2 11  1 18  5 16 15 19  8  6 14  0 10 13
16  2  8 11  3  1 10  0 17  4 15 14 19  7  5 13 18  9  6 12
 1  7 10  2  0  9 18 16  3 14 13 19  6  4 12 17  8  5 15 11
 6  9  1 18  8 17 15  2 13 12 19  5  3 11 16  7  4 14  0 10

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 2  4 10 17  5 11 16 18 12  6  3  9  0  7 19  1 15 13  8 14
 3  9 16  4 10 15 17 11  5  2  8 18  6 19  0 14 12  7  1 13
 8 15  3  9 14 16 10  4  1  7 17  5 19 18 13 11  6  0  2 12
14  2  8 13 15  9  3  0  6 16  4 19 17 12 10  5 18  1  7 11
 1  7 12 14  8  2 18  5 15  3 19 16 11  9  4 17  0  6 13 10
 6 11 13  7  1 17  4 14  2 19 15 10  8  3 16 18  5 12  0  9
10 12  6  0 16  3 13  1 19 14  9  7  2 15 17  4 11 18  5  8
11  5 18 15  2 12  0 19 13  8  6  1 14 16  3 10 17  4  9  7
 4 17 14  1 11 18 19 12  7  5  0 13 15  2  9 16  3  8 10  6
16 13  0 10 17 19 11  6  4 18 12 14  1  8 15  2  7  9  3  5
12 18  9 16 19 10  5  3 17 11 13  0  7 14  1  6  8  2 15  4
17  8 15 19  9  4  2 16 10 12 18  6 13  0  5  7  1 14 11  3
 7 14 19  8  3  1 15  9 11 17  5 12 18  4  6  0 13 10 16  2
13 19  7  2  0 14  8 10 16  4 11 17  3  5 18 12  9 15  6  1
19  6  1 18 13  7  9 15  3 10 16  2  4 17 11  8 14  5 12  0
 5  0 17 12  6  8 14  2  9 15  1  3 16 10  7 13  4 11 19 18
18 16 11  5  7 13  1  8 14  0  2 15  9  6 12  3 10 19  4 17
15 10  4  6 12  0  7 13 18  1 14  8  5 11  2  9 19  3 17 16
 9  3  5 11 18  6 12 17  0 13  7  4 10  1  8 19  2 16 14 15

Попробую поработать с этой группой MOLS.
Переставлять строки/столбцы в ЛК 20-го порядка довольно трудно.

Кстати, это ортогональная пара ДЛК 20-го порядка

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6

ДЛК ортогональной пары получаются друг из друга перестановкой строк.
Нельзя ли добавить к этой ортогональной паре ЛК ортогональный обоим ДЛК, чтобы получилась группа MOLS из трёх взаимно ортогональных ЛК?
Хороший вопрос!

Вопрос очень быстро разрешился!
Итак, имею следующую группу из четырёх ДЛК 20-го порядка (ДЛК построены методом составных квадратов)

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6

Сконструировала такой ЛК

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0

Как он сконструирован - очевидно.
Добавила этот ЛК к показанной группе ДЛК.
Вот что получила



Очаровательные клики размера 3! Две штуки.
Таким образом, имеем две группы MOLS 20-го порядка, состоящие из двух ДЛК и одного ЛК.
Все квадраты в этих группах MOLS получаются друг из друга перестановкой строк.
Супер!

Теперь задача расширения полученных групп MOLS до четырёх ЛК.
Или же другая задача: найти группу MODLS 20-го порядка, состоящую из трёх взаимно ортогональных ДЛК.

Показываю одну из найденных групп MOLS 20-го порядка, соответствующую клике
[1, 4, 5]

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 4  0  1  2  3  9  5  6  7  8 14 10 11 12 13 19 15 16 17 18
 3  4  0  1  2  8  9  5  6  7 13 14 10 11 12 18 19 15 16 17
 2  3  4  0  1  7  8  9  5  6 12 13 14 10 11 17 18 19 15 16
 1  2  3  4  0  6  7  8  9  5 11 12 13 14 10 16 17 18 19 15
 5  6  7  8  9  0  1  2  3  4 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14
 9  5  6  7  8  4  0  1  2  3 19 15 16 17 18 14 10 11 12 13
 8  9  5  6  7  3  4  0  1  2 18 19 15 16 17 13 14 10 11 12
 7  8  9  5  6  2  3  4  0  1 17 18 19 15 16 12 13 14 10 11
 6  7  8  9  5  1  2  3  4  0 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
14 10 11 12 13 19 15 16 17 18  4  0  1  2  3  9  5  6  7  8
13 14 10 11 12 18 19 15 16 17  3  4  0  1  2  8  9  5  6  7
12 13 14 10 11 17 18 19 15 16  2  3  4  0  1  7  8  9  5  6
11 12 13 14 10 16 17 18 19 15  1  2  3  4  0  6  7  8  9  5
15 16 17 18 19 10 11 12 13 14  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4
19 15 16 17 18 14 10 11 12 13  9  5  6  7  8  4  0  1  2  3
18 19 15 16 17 13 14 10 11 12  8  9  5  6  7  3  4  0  1  2
17 18 19 15 16 12 13 14 10 11  7  8  9  5  6  2  3  4  0  1
16 17 18 19 15 11 12 13 14 10  6  7  8  9  5  1  2  3  4  0

Проверяю группу MOLS программой Harry White GetOrthogonal

Order? 20

Enter the name of the squares file: inp13
Choose 1 - get counts and maximum pairs, or 2 - get pairs for one square: 1
..output file inp13-orthCounts_2.txt
..output file inp13-orthNos_2.txt
squares 3 total orthogonal pairs 3
Maximum pairs for square 1: 2
There are 2 other squares with this maximum number of pairs.
..output file inp13-1orths_1.txt
Pairs for square 1: 2

Всё верно.
Таблица ортогональных пар
1: [2,3],
2: [1,3],
3: [1,2]

Вот так просто составляются группы MOLS 20-го порядка, состоящие из трёх взаимно ортогональных ЛК.
Математикам удалось получить группу MOLS данного порядка, состоящую из четырёх взаимно ортогональных ЛК, но в этой группе нет ни одного ДЛК.

Дублирую сообщение
https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=117&postid=1160

Задаю команду

sage: designs.mutually_orthogonal_latin_squares(4,20)

Получаю

[20 x 20 dense matrix over Integer Ring,
 20 x 20 dense matrix over Integer Ring,
 20 x 20 dense matrix over Integer Ring,
 20 x 20 dense matrix over Integer Ring]

Кольцо!

Задаю команду

sage: designs.mutually_orthogonal_latin_squares(5,20)

Получаю в ответ

NotImplementedError: I don't know how to build 5 MOLS of order 20

Не знает :)
Я тоже не знаю :)
________________________
конец дублируемого сообщения

Абсолютно тёмная насчёт колец.
Господа!
Просветите, пожалуйста.
Что это означает

20 x 20 dense matrix over Integer Ring

У меня есть подозрение, что в группах MOLS, где квадраты получаются друг из друга перестановкой строк, тоже есть какое-то кольцо.
Но в группе MOLS 20-го порядка, выданной программой SageMath, к сожалению, не видно перестановок строк в ЛК. Может быть, завуалированы как-то.

Вгрызаюсь в перестановку строк в ДЛК 20-го порядка.
Сначала решила поработать со своей группой MOLS, состоящей из двух ДЛК и одного ЛК.В этой группе квадраты получаются друг из друга перестановкой строк, что подаёт надежду на расширение группы MOLS (такие квадраты были в группах MOLS 12-го порядка).

Несмотря на все эвристики перестановка строк в ДЛК 20-го порядка выполняется довольно медленно. Это вполне объяснимо.
Но выполняется!
Вот посмотрите, сколько уже новых ДЛК я получила (это их свойства, выданные утилитой Harry White)

Order? 20

Enter the name of the squares file: INP1
.. writing type information to file INP1TypeDetail.txt

Counts
------
     61463 diagonal Latin
      1818 weakly pandiagonal
       278 axial symmetric
       276 center symmetric
     61463 nfr
       188 self-orthogonal
       112 axial parity 1-way
        38 symmetric parity

Квадратики хорошие.
Ну, пока только отладила программу и сделала один проход для окончательного тестирования.
Вроде всё правильно, ДЛК получаются правильные.
Можно продолжать.

Очень интересный момент!
Все найденные новые ДЛК ортогональны к ЛК этой группы MOLS

Order? 20

Enter the name of the squares file: inp1
Choose 1 - get counts and maximum pairs, or 2 - get pairs for one square: 2
    .. increasing LS store to     100,000
squares 61465
Get pairs for square number, (1 .. 61465)? 3
..output file inp1-3orths.txt
Pairs for square 3: 61464

elapsed time 0:00:28

Опубликовала задачу на форуме Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=54&t=74774&p=422243#p422243

Но эта тема долго не проживёт.
У Верховного (и единственного) модератора на этом форуме жуткая аллергия на латинские квадраты :)
Вот как придёт она на форум, так сразу же тему и закроет.
Понаблюдайте :)

Уже закрыла верховная модераторша тему.
Ха-ха-ха! :)))
Не думала я, что на квадраты может быть аллергия.
В чём проявляется? Где свербит? :) Где покраснение кожи? А где посинение?

Опа!
А что нашла в своей статье, написанной в марте 2009 г.
ГРУППЫ MOLS 20-го и 21-го ПОРЯДКА
http://www.natalimak1.narod.ru/mols20_21.htm

Цитирую

Теперь для полноты картины покажу группу MOLS 20-го порядка из трёх латинских квадратов, построенную методом составных квадратов (рис. 13 – 15). Первые два латинских квадрата в этой группе диагональные.

Оказывается, группу MOLS 20-го порядка, состоящую из двух ДЛК и одного ЛК, я построила 12 лет назад.
Смотрите эту группу MOLS в статье.
Ну, голова одинаково тогда работала и сейчас работает :)

В статье также описывается построение группы MOLS 20-го порядка, состоящей из четырёх взаимно ортогональных ЛК по известной квази-разностной матрице.
Интересно: совпадает ли эта группа MOLS с той, которую выдаёт программа SageMath?